# 다축-힌지 모델 : P-M-M Type 다축-힌지 모델은 축력과 2축의 모멘트를 받는 기둥부재의 모델링에 주로 사용되는 힌지모델입니다. 다축-힌지 모델의 축력-모멘트의 관계는 항복곡면에 의해 정의되며, 축력의 변동에 따라서 항복모멘트를 산정합니다. 

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| M | P(compression) | P(tension) | |-------|---------------|----------| | PC0(t)| P_max | P(tension)| | MC0 | P_max | P(tension)| | MY0 | P_max | P(tension)| | MY,max| P(tension) | P(tension)|

(a) RC TYPE(Trilinear) 

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| Point | P(tension) | P(compression) | |-------|------------|----------------| | M | max | max |

(b) Steel Type(Bilinear) 그림 2.8.62 P-M-M Type 힌지의 항복곡면 2방향 모멘트 및 축력을 받는 경우에는 주어진 축력에 대한 각 축 방향의 항복 모멘트를 구한 후 다음과 같은 관계식을 사용합니다. 

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MY_z MY'_z M_z M_y MY'_y MY_y MY_y

$$ \left(\frac {M Y _ {y} ^ {\prime}}{M Y _ {y}}\right) ^ {\alpha} + \left(\frac {M Y _ {z} ^ {\prime}}{M Y _ {z}}\right) ^ {\alpha} = 1. 0 \tag {79} $$ α 는 1.0\~2.0값을 설정하며, 식(79)는 콘크리트와 철골부재에 모두 사용합니다. 단, H형강인 경우는 강축인 경우, α =2.0, 약축인 경우 α =1.0값을 채용합니다. 식(80)는 y축이 강축인 경우의 2방향 모멘트상관관계를 나타냅니다. $$ \left(\frac {M Y _ {y} ^ {\prime}}{M Y _ {y}}\right) ^ {2. 0} + \left(\frac {M Y _ {z} ^ {\prime}}{M Y _ {z}}\right) ^ {1. 0} = 1. 0 \tag {80} $$ # RC 부재의 2차 구배 강성저감율 RC 부재를 모멘트-회전각 관계요소로 정의하고, 모멘트성분에 Trilinear Type의 골격곡선을 정의한 경우, 균열 후의 강성은 항복시 강성저감율 $\alpha_{y}$ 를 이용하여 자동계산 됩니다. 항복시 강성저감율 $\alpha_{y}$ 는 그림 2.8.63과 같이 표현되며, 2차구배의 강성저감율 $\alpha_{1}$ 는 식(81)로 구할 수 있습니다. 

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M M_y M_c α_1·k_0 α_2·k_0 k_0 α_y·k_0 θ_c θ_y θ

그림 2.8.63 RC부재의 균열후의 강성과 ay와의 관계 $$ \alpha_ {y} = \left(0. 0 4 3 + 1. 6 4 n p _ {t} + 0. 0 4 3 \frac {a}{D} + 0. 3 3 \eta_ {0}\right) \left(\frac {d}{D}\right) ^ {2} \tag {81} $$ (일본건축학회 [철근콘크리트구조설계규준·동해석]) $$ \alpha_ {1} = \frac {M _ {y} - M _ {c}}{\frac {M _ {y}}{\alpha_ {y}} - M _ {c}} \tag {82} $$ 다축-힌지(PMM Type)의 경우, 축력변동을 고려하여 항복모멘트를 강성하기 때문에강성저감율 $\alpha _ { y }$ 의 계산시에도 축력변동의 영향을 고려할 필요가 있습니다. PMMType에서 $\alpha _ { y }$ 의 계산방법은 다음과 같습니다. 1. 항복곡면상에서 현재 스텝에서의 부재축력 $P _ { i }$ 과 균열면과의 교차점인 균열모멘트를 산정합니다. 2. 초기하중(장기하중)에 대한 부재축력 부재축력 $P _ { 0 }$ 과 점a를 지나는 직선을항복면까지 연장하여 점b를 구합니다. 3. 점b의 모멘트를 예측항복모멘트로 하여, $\alpha _ { y }$ 산정용 축력 $P _ { \alpha y } { \ttqqless }$ 구합니다. 

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| Point | P(tension) | P(compression) | |-------|------------|----------------| | a | MC | P0 | | b | MY | Pax | | c | MC | Pax |

그림 2.8.64 PMM TYPE의 ay계산시의 축력산정 # 8-7-9 성능점을 이용한 내진성능평가 midas Civil에서는 기본적으로 능력스펙트럼법(CSM)의 원리를 이용하여 구조물의보유내력과 내진성능을 평가합니다. 구조물의 보유내력은 Pushover 해석을 이용하여 능력곡선과 능력스펙트럼을 산정하여 평가할 수 있습니다. 그리고 지진하중에대한 요구스펙트럼은 유효감쇠 원리가 적용된 탄성설계스펙트럼을 이용하여 평가할 수 있습니다. 이 두 가지 스펙트럼을 하나의 좌표계로 표현하면 교차점이 발생하며 이 교차점이 바로 구조물의 비선형 최대 요구내력을 의미하는 성능점(Performance Point)으로 결정됩니다. 성능점에서의 변형정도와 보유내력을 이용하여 구조물이 보유하고 있는 내진성능과 성능수준을 평가할 수 있습니다. # 능력스펙트럼과 요구스펙트럼 구조물의 내진성능과 성능수준을 평가하기 위해 능력스펙트럼(Capacity Spectrum)과 요구스펙트럼(Demand Spectrum)을 사용합니다. Pushover 해석에서는 하중-변위관계(V -U )가 생성되며, 응답스펙트럼의 경우에는 가속도-주기(A-T)의 관계가 얻어집니다. 따라서, 두 가지를 상호 비교하기 위하여 가속도-변위 스펙트럼(Acceleration-Displacement Response Spectrum)의 관계(ADRS Format)로 다시 표현하게 됩니다. 

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| U | V | |-------|-------| | U | Peak | | >U | Decreasing from Peak to plateau |

(a) 하중-변위관계의 가속도-변위 스펙트럼으로의 변환 

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| Tn | Demand spectrum | | ------ | --------------- | | Tn1 | Tn1 | | D | Tn2 |

(b) 가속도-주기 스펙트럼의 가속도-변위 스펙트럼으로의 변환 그림 2.8.65 능력스펙트럼과 요구스펙트럼의 산정 하중-변위관계는 그림 2.8.65(a)와 같은 가속도-변위의 관계로 변환되며, 이는 식(83), (84)와 같은 방식으로 변환됩니다. $$ A = \frac {V}{M ^ {k}} \tag {83} $$ $$ D = \frac {U}{\Gamma^ {k} \phi^ {k}} \tag {84} $$ 여기서 $\Gamma^{k}$ 와 $M^{k}$ 는 각각 해당방향의 k차 모드에 대한 모드참여계수와 유효질량 계수를 의미합니다. 산정식은 각각 식 (85), (86)과 같습니다. $$ \text {모드참여계수} \quad \Gamma^ {k} = \frac {\sum_ {j = 1} ^ {N} m _ {j} \phi_ {j k}}{\sum_ {j = 1} ^ {N} m _ {j} \phi_ {j k} ^ {2}} \tag {85} $$ $$ \text {모드참여질량} M ^ {k} = \frac {\left(\sum_ {j = 1} ^ {N} m _ {j} \phi_ {j k}\right) ^ {2}}{\sum_ {j = 1} ^ {N} m _ {j} \phi_ {j k} ^ {2}} \tag {86} $$ 식 (83)과 식 (84)는 동역학 이론에서 다자유도(MDOF) 시스템과 단자유도(SDOF) 시스템의 관계를 의미합니다. 즉, A와 D는 단자유도 시스템의 응답을 의미하는 스펙트럼상에서의 응답가속도와 응답변위를 말하며 V와 U는 다자유도 시스템에서의 밑면전단력과 변위를 의미합니다. 그리고 탄성응답스펙트럼은 단자유도 시스템에서의 변위와 가속도 관계인 식 (87)을 이용하여 그림 2.8.65(b)와 같은 방법으로 변환됩니다. $$ D = \frac {T _ {n} ^ {2}}{4 \pi^ {2}} A \tag {87} $$ # 성능점 (Perrformance Poinnt)의 평가 성능스펙트럼럼과 요구스펙트트럼이 만나는 점을 성능점(PPerformance Pooint)이라고 정의합니다. mmidas Civil에서 제공하는 성능능점의 평가방법법은 ATC-40의 능력스펙트럼법(CSM)에 제시된 Proceddure-A와 Proceedure-B 방법을을 모두 적용할 수 있습니다.두가지 방법법의 근본적인 원원리는 동일합니니다. 성능점을 찾는 과정에서서 유효감쇠 산정에 의한 직접 반복법을 적용하는 것이이 Procedure-A 이며, 연성비 가가정과 유효주기원리를 이이용한 방법이 PProcedure-B 입 니다. # (1) 등가가감쇠(Equivallent Damping) 의 산정 능력스스펙트럼법(CSMM)에서는 Pushoover해석에 의한한 능력스펙트럼럼을 산정한 후에 아래래 그림과 같이이 등가의 면적을을 가지는 이선선형(Bilinear)곡선선으로 표현합니다. CSM에서는 5%% 감쇠를 가지 는 탄성응답스 펙트럼과 능력스스펙트럼을 이용하여여 구조물의 등가가감쇠를 산정합합니다. 구조물물의 감쇠에 의하하여 소산되는에너지지의 양은 등가 이선형 곡선에 서의 이력거동 에 대한 면적을을 나타내며 식(88a), (88b)와 같이 산산정할 수 있습습니다. 

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Bilinear representation of capacity spectrum Capacity spectrum a_{pi} K_{initial} K_{effective} a_y E_{SO} d_y d_{pi} E_D Spectral Acceleration a_{pi} a_y d_y d_{pi} Spectral Displacement E_D

그림림 2.8.66 이력거동동에 의한 등가감쇠의의 산정 $$ \beta_ {e q} = \beta_ {0} + 0. 0 5 \tag {88a} $$ $$ \beta_ {0} = \frac {1}{4 \pi} \frac {E _ {D}}{E _ {S O}} = \frac {6 3 . 7 (a _ {y} d _ {p i} - d _ {y} a _ {p i})}{a _ {p i} d _ {p i}} \tag {88b} $$ 여기서서, ED = 구구조물의 감쇠에 의하여 소산되되는 에너지 E = 구구조물의 최대변변형에너지 식(88a)를 백분율의 형태로 표현하면 다음 식과 같이 나타낼 수 있습니다. $$ \beta_ {e q} = \beta_ {0} + 5 = \frac {6 3 . 7 (a _ {y} d _ {p i} - d _ {y} a _ {p i})}{a _ {p i} d _ {p i}} + 5 \tag {89} $$ 여기서, $\beta _ { e q }$ 는 감쇠비(%)를 나타내며, ATC-40에서는 25%를 초과할 경우는신중한 판단이 요구되며 최대 50%를 초과할 수 없다고 설명하고 있습니다. # (2) 유효감쇠(Effective Damping)의 산정 지진하중을 받는 철근콘크리트 구조물의 이력특성은 강도저하(StiffnessDegradation)와 강성저하(Strength Deterioration), 슬립 및 핀칭(Slip or Pinching)등에 의하여 이상화된 이력모델의 특성을 나타내지는 못합니다. 그러므로ATC-40에서는 철근콘크리트 구조물에서의 이러한 이력거동의 특성을 반영하기 위하여 감쇠조정계수(Damping Modification Factor)를 사용하여 등가감쇠를조정합니다. 조정된 등가감쇠를 유효감쇠계수라고 하며 아래식과 같이 산정할수 있습니다. $$ \beta_ {e q} = \kappa \beta_ {0} + 5 = \frac {6 3 . 7 \kappa (a _ {y} d _ {p i} - d _ {y} a _ {p i})}{a _ {p i} d _ {p i}} + 5 \tag {90} $$ 위의 식에서 좌변의 감쇠비 5%는 탄성시스템에 대한 지진요구이므로, 철근콘크리트 재료의 이력특성을 반영하는 감쇠조정계수는 등가감쇠에 적용됩니다.그리고 이러한 이력특성으로 인한 구조물의 에너지 소산능력의 저하현상을반영하기 위하여 분류된 구조물에 따라서 감쇠조정계수를 아래와 같이 세 가지로 구분하여 적용합니다.

구조거동 형식	등가감쇠 $\beta_{0}$ (%)	감쇠조정계수( $K$ )
Type A (완전한 이력특성)	$\leq 16.25$ $> 16.25$	$1.0$ $1.13 - \frac{0.51 \left( a_{y} d_{pi} - d_{y} a_{pi} \right)}{a_{pi} d_{pi}}$
Type B (보통의 이력특성)	$\leq 25$ $> 25$	$0.67$ $0.845 - \frac{0.446 \left( a_{y} d_{pi} - d_{y} a_{pi} \right)}{a_{pi} d_{pi}}$
Type C (열악한 이력특성)	모든 값	$0.33$

표 2.8.6 구조물의 이력거동에 따른 감쇠조정계수 # (3) 비탄성 요구스펙트럼의 산정 앞서 산정한 유효감쇠계수를 적용하여 비탄성 응답스펙트럼을 고려합니다. 즉, 유효감쇠계수를 이용하여 응답스펙트럼의 조정계수인 응답감소계수(Spectrum Reduction Factor, SR)를 산정하며 응답감소계수는 가속도구간 및 속도구간으로 구분하여 그림 2.8.67과 같이 각각 다르게 적용합니다. 응답감소계수는 Newmark와 Hall(1982)의 지반운동 증폭계수를 이용한 것이며, 가속도구간의 응답감소계수(SR $_{A}$ )와 속도구간의 응답감소계수(SR $_{V}$ )는 아래 식(91)과 같이 산정합니다. ATC-40에서는 구조물의 이력거동에 따라 응답감소계수의 하한치를 표 2.8.7과 같이 제시하고 있습니다. 

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| S_d Range | S_a Range | Label | | --------------- | --------- | ------------------------- | | 0 | 0 | Acceleration Range | | 1 | 1 | Velocity Range | | 2 | 2 | Elastic Response Spectrum | | 3 | 3 | Reduced Response Spectrum |

그림 2.8.67 응답감소계수에 의한 비탄성 응답스펙트럼의 산정 $$ S R _ {A} = \frac {3 . 2 1 - 0 . 6 8 \ln \left[ \frac {6 3 . 7 \kappa \left(a _ {y} d _ {p i} - d _ {y} a _ {p i}\right)}{a _ {p i} d _ {p i}} + 5 \right]}{2 . 1 2} \geq \left\{ \begin{array}{l} 0. 3 3 (\text { for Type } A) \\ 0. 4 4 (\text { for Type } B) \\ 0. 5 6 (\text { for Type } C) \end{array} \right. \tag {91a} $$ $$ S R _ {V} = \frac {2 . 3 1 - 0 . 4 1 \ln \left[ \frac {6 3 . 7 \kappa \left(a _ {y} d _ {p i} - d _ {y} a _ {p i}\right)}{a _ {p i} d _ {p i}} + 5 \right]}{1 . 6 5} \geq \left\{ \begin{array}{l l} 0. 5 0 & \text {(for Type A)} \\ 0. 5 6 & \text {(for Type B)} \\ 0. 6 7 & \text {(for Type C)} \end{array} \right. \tag {91b} $$

구분	$\kappa$	SRA	SRV
Type A (완전한 이력특성)	1.00	0.33	0.50
Type B (보통의 이력특성)	0.67	0.44	0.56
Type C (열악한 이력특성)	0.33	0.56	0.67

표 2.8.7 구조물의 이력거동에 따른 응답감소계수의 하한치 이상과 같은 절차를 통하여 설계지진하중 또는 선형탄성 응답스펙트럼에 대한 비탄성 요구를 산정할 수 있습니다. 이와 같이 산정된 비탄성 지진요구스펙트럼과 Pushover 해석을 통해 산정한 구조물의 능력스펙트럼과 비교하여구조물의 성능점을 산정할 수 있습니다. # (4) 성능점의 산정 Pushover 해석에 의하여 산정된 구조물의 능력스펙트럼과 비탄성 설계응답스펙트럼의 교차점을 이용하여 재현주기별 지진하중에 대한 구조물의 비탄성최대 변위와 내력을 의미하는 성능점을 산정할 수 있으며, 또한 구조물의 성능수준도 평가할 수 있습니다. # 8-7-10 성능점을 산정하는 방법 midas Civil에서는 크게 2가지 방법으로 능력스펙트럼법(CSM)에 의한 성능점을 산정할 수 있습니다. 이 방법은 ATC-40에서 제시하고 있는 방법으로 기본적인 원리는 유효감쇠계수를 이용하여 비탄성 요구스펙트럼을 평가하고 능력스펙트럼과의교차점을 통하여 성능점을 산정하는 방식입니다. # Procedure-A ATC-40에서 제시하는 기본적인 방법으로서 능력스펙트럼의 초기강성에 대한 기울기와 5% 탄성 설계응답스펙트럼과의 교차점을 초기 성능점이라고 가정합니다. 초기 성능점에 대한 등가감쇠를 산정하고, 유효감쇠계수가 적용된 비탄성 설계응답스펙트럼을 구한 후에 다시 교차점에서의 성능점을 산정합니다. 이러한 방법으로유효감쇠계수를 적용한 비탄성 설계응답스펙트럼과 능력스펙트럼과의 교차점에서의 응답변위와 응답가속도와의 변화가 오차범위내에 들어올 때까지 계속적인 반복작업을 통하여 최종적인 성능점을 산정합니다. Procedure-A 방법을 이용한 성능점산정의 원리는 그림 2.8.68과 같습니다.  그림 2.8.68 Procedure-A 방법을 이용한 성능점 산정 (ATC-40)