$$ \mathbf {B} _ {L 0} = \left[ \begin{array}{c c c c c} N _ {1, x} & 0 & \dots & N _ {N, x} & 0 \\ 0 & N _ {1, y} & \dots & 0 & N _ {N, y} \\ N _ {1, y} & N _ {1, x} & \dots & N _ {N, y} & N _ {N, x} \\ \frac {N _ {1}}{r} & 0 & \dots & \frac {N _ {N}}{r} & 0 \end{array} \right] \tag {4.6.6} $$ $$ \mathbf {B} _ {L 1} = \left[ \begin{array}{c c c} ^ {t} u _ {, x} N _ {1, x} & ^ {t} v _ {, x} N _ {1, x} & \dots \\ ^ {t} u _ {, y} N _ {1, y} & ^ {t} v _ {, y} N _ {1, y} & \dots \\ \left(^ {t} u _ {, x} N _ {1, y} + ^ {t} u _ {, y} N _ {1, x}\right) & \left(^ {t} v _ {, x} N _ {1, y} + ^ {t} v _ {, y} N _ {1, x}\right) & \dots \\ ^ {t} u \frac {N _ {1}}{r ^ {2}} & 0 & \dots \end{array} \right. \tag {4.6.7} $$ $$ \left. \begin{array}{c c} ^ {t} u _ {, x} N _ {N, x} & ^ {t} v _ {, x} N _ {N, x} \\ ^ {t} u _ {, y} N _ {N, y} & ^ {t} v _ {, y} N _ {N, y} \\ \left(^ {t} u _ {, x} N _ {N, y} + ^ {t} u _ {, y} N _ {N, x}\right) & \left(^ {t} v _ {, x} N _ {N, y} + ^ {t} v _ {, y} N _ {N, x}\right) \\ ^ {t} u \frac {N _ {N}}{r ^ {2}} & 0 \end{array} \right] $$ 식 (4.1.18)에서 가상 변형률의 비선형 항을 구성하는 δL 은 다음과 같다. $$ \delta \mathbf {L} = \left\{\delta u _ {, x} \quad \delta u _ {, y} \quad \delta v _ {, x} \quad \delta v _ {, y} \quad \frac {\delta u}{r} \right\} ^ {T} \tag {4.6.8} $$ 식 (4.6.8)은 가상변위 항 $\delta u$ 와 행렬 $B_{NL}$ 의 곱으로 표현된다. $$ \delta \mathbf {L} = \mathbf {B} _ {N L} \delta \mathbf {u} \tag {4.6.9} $$ 유사한 방법으로 ΔL 또한 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$ \Delta \mathbf {L} = \mathbf {B} _ {N L} \Delta \mathbf {u} \tag {4.6.10} $$ $B_{NL}$ 은 다음과 같다. $$ \mathbf {B} _ {N L} = \left[ \begin{array}{c c c c c} N _ {1, x} & 0 & \dots & N _ {N, x} & 0 \\ N _ {1, y} & 0 & \dots & N _ {N, y} & 0 \\ 0 & N _ {1, x} & \dots & 0 & N _ {N, x} \\ 0 & N _ {1, y} & \dots & 0 & N _ {N, y} \\ \frac {N _ {1}}{r} & 0 & \dots & \frac {N _ {N}}{r} & 0 \end{array} \right] \tag {4.6.11} $$ 식 (4.6.4-5)와 (4.6.9-10)을 식 (4.1.18)에 대입하여 정리하면 선형화된 평형 방정식을 얻을 수 있다. $$ \delta \mathbf {u} ^ {T} \left(^ {t} \mathbf {K} _ {L} ^ {e} + ^ {t} \mathbf {K} _ {N L} ^ {e}\right) \Delta \mathbf {u} = \delta \mathbf {u} ^ {T} \left(^ {t + \Delta t} \mathbf {f} _ {\text { ext }} ^ {e} - ^ {t} \mathbf {f} _ {\text { int }} ^ {e}\right) \tag {4.6.12} $$ 식 (4.6.12)의 각 항은 다음과 같다. $$ { } ^ { t } \mathbf { K } _ { L } ^ { e } = \int _ { A _ { e } } r \mathbf { B } _ { L } ^ { T } \mathbf { D } \mathbf { B } _ { L } d A $$ $$ { } ^ { t } \mathbf { K } _ { N L } ^ { e } = \int _ { A _ { e } } r ^ { t } \mathbf { B } _ { N L } ^ { T } { } ^ { t } \hat { \mathbf { S } } ^ { t } \mathbf { B } _ { N L } d A \tag {4.6.13} $$ $$ { } ^ { t } \mathbf { f } _ { \text { i n t } } ^ { e } = \int _ { A _ { e } } r ^ { t } \mathbf { B } _ { L } ^ { T } { } ^ { t } \mathbf { S } d A $$ 그리고, $$ { } ^ { t } \hat { \mathbf { S } } = \left[ \begin{array} { c c c } { } ^ { t } S _ { x x } & { } ^ { t } S _ { x y } & \mathbf { 0 } \\ { } ^ { t } S _ { x y } & { } ^ { t } S _ { y y } & \mathbf { 0 } \\ \mathbf { 0 } & \mathbf { 0 } & { } ^ { t } \mathbf { S } \end{array} \right] \quad { } ^ { t } \mathbf { S } = \left[ \begin{array} { c c c } { } ^ { t } S _ { x x } & { } ^ { t } S _ { x y } & 0 \\ { } ^ { t } S _ { x y } & { } ^ { t } S _ { y y } & 0 \\ 0 & 0 & { } ^ { t } S _ { z z } \end{array} \right] \tag {4.6.14} $$ 축대칭 요소의 해석 결과로는 선형 해석과 같이 절점 응력과 변형률이 있으며, 절점에서의 결과 이외에 적분점에서의 응력과 변형률을 표를 통해 볼 수 있다. 적분 차수는 다음과 같다. • 3절점 삼각형 : 1 점 가우스 적분 • 4절점 사각형 : 4 점 가우스 적분 - 6절점 삼각형 : 3 점 가우스 적분 • 8절점 사각형 : 9 점 가우스 적분. # 4-7 입체요소 기하비선형성을 고려한 입체(solid) 요소는 등매개변수(isoparametric) 요소로 구성되어 있으며, 4절점, 6절점, 8절점, 10절점, 15절점, 20절점 요소가 있다. 각요소는 선형 요소와 동일한 형상함수를 사용하며, 비적합모드를 사용하지 않는다. 입체요소는 요소좌표계에서 이동변위, u , v , w 를 가지며, 변위는 형상함수 Ni를 이용하여 다음과 같이 나타낸다. $$ u = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} u _ {i}, v = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} v _ {i}, w = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} w _ {i} \tag {4.7.1} $$ 입체 요소에서 사용되는 응력과 변형률은 다음과 같다. $$ \mathbf {S} = \left\{S _ {x x} \quad S _ {y y} \quad S _ {z z} \quad S _ {x y} \quad S _ {y z} \quad S _ {z x} \right\} ^ {T}, \quad \mathbf {E} = \left\{E _ {x x} \quad E _ {y y} \quad E _ {z z} \quad E _ {x y} \quad E _ {y z} \quad E _ {z x} \right\} ^ {T} \tag {4.7.2} $$ 식 (4.1.18)에서 가상 변형률의 선형 항 는 다음과 같이 정리할 수 있다. $$ \delta \mathbf {e} = \left\{ \begin{array}{c} \delta u _ {, x} \\ \delta v _ {, y} \\ \delta w _ {, z} \\ \delta u _ {, y} + \delta v _ {, x} \\ \delta v _ {, z} + \delta w _ {, y} \\ \delta w _ {, z} + \delta u _ {, z} \end{array} \right\} + \left\{ \begin{array}{c} \delta u _ {, x} ^ {t} u _ {, x} + \delta v _ {, x} ^ {t} v _ {, x} + \delta w _ {, x} ^ {t} w _ {, x} \\ \delta u _ {, y} ^ {t} u _ {, y} + \delta v _ {, y} ^ {t} v _ {, y} + \delta w _ {, y} ^ {t} w _ {, y} \\ \delta u _ {, z} ^ {t} u _ {, z} + \delta v _ {, z} ^ {t} v _ {, z} + \delta w _ {, z} ^ {t} w _ {, z} \\ \delta u _ {, x} ^ {t} u _ {, y} + \delta v _ {, x} ^ {t} v _ {, y} + \delta w _ {, x} ^ {t} w _ {, y} + \delta u _ {, y} ^ {t} u _ {, x} + \delta v _ {, y} ^ {t} v _ {, x} + \delta w _ {, y} ^ {t} w _ {, x} \\ \delta u _ {, y} ^ {t} u _ {, z} + \delta v _ {, y} ^ {t} v _ {, z} + \delta w _ {, y} ^ {t} w _ {, z} + \delta u _ {, z} ^ {t} u _ {, y} + \delta v _ {, z} ^ {t} v _ {, y} + \delta w _ {, z} ^ {t} w _ {, y} \\ \delta u _ {, z} ^ {t} u _ {, x} + \delta v _ {, z} ^ {t} v _ {, x} + \delta w _ {, z} ^ {t} w _ {, x} + \delta u _ {, x} ^ {t} u _ {, z} + \delta v _ {, x} ^ {t} v _ {, z} + \delta w _ {, x} ^ {t} w _ {, z} \end{array} \right\} \tag {4.7.3} $$ 식 (4.7.3)은 다음과 같이 가상변위 항 δu 와 행렬 B 의 곱으로 표현된다. $$ \delta \mathbf {e} = \mathbf {B} _ {L 0} \delta \mathbf {u} + \mathbf {B} _ {L 1} \delta \mathbf {u} = \mathbf {B} _ {L} \delta \mathbf {u} \tag {4.7.4} $$ 증분 변형률의 선형 항 역시 유사한 형태로 표현할 수 있다. $$ \Delta \mathbf {e} = \mathbf {B} _ {L 0} \Delta \mathbf {u} + \mathbf {B} _ {L 1} \Delta \mathbf {u} = \mathbf {B} _ {L} \Delta \mathbf {u} \tag {4.7.5} $$ 식 (4.7.4)과 (4.7.5)에서 변위-변형률 관계행렬은 다음과 같다. $$ \mathbf {B} _ {L 0} = \left[ \begin{array}{c c c c c c c c} N _ {1, x} & 0 & 0 & N _ {2, x} & \dots & N _ {N, x} & 0 & 0 \\ 0 & N _ {1, y} & 0 & 0 & \dots & 0 & N _ {N, y} & 0 \\ 0 & 0 & N _ {1, z} & 0 & \dots & 0 & 0 & N _ {N, z} \\ N _ {1, y} & N _ {1, x} & 0 & N _ {2, y} & \dots & N _ {N, y} & N _ {N, x} & 0 \\ 0 & N _ {1, z} & N _ {1, y} & 0 & \dots & 0 & N _ {N, z} & N _ {N, y} \\ N _ {1, z} & 0 & N _ {1, x} & N _ {2, z} & \dots & N _ {N, z} & 0 & N _ {N, x} \end{array} \right] \tag {4.7.6} $$ $$ \mathbf {B} _ {L 1} = \left[ \begin{array}{c c c c c c} ^ {\prime} u _ {, x} N _ {1, x} & ^ {\prime} v _ {, x} N _ {1, x} & ^ {\prime} w _ {, x} N _ {1, x} & ^ {\prime} u _ {, x} N _ {2, x} & \dots & ^ {\prime} w _ {, x} N _ {N, 1} \\ ^ {\prime} u _ {, y} N _ {1, y} & ^ {\prime} v _ {, y} N _ {1, y} & ^ {\prime} w _ {, y} N _ {1, y} & ^ {\prime} u _ {, y} N _ {2, y} & \dots & ^ {\prime} w _ {, y} N _ {N, 2} \\ ^ {\prime} u _ {, z} N _ {1, z} & ^ {\prime} v _ {, z} N _ {1, z} & ^ {\prime} w _ {, z} N _ {1, z} & ^ {\prime} u _ {, z} N _ {2, z} & \dots & ^ {\prime} w _ {, z} N _ {N, 3} \\ ^ {\prime} u _ {, x} N _ {1, y} + ^ {\prime} u _ {, x} N _ {1, x} & ^ {\prime} v _ {, x} N _ {1, y} + ^ {\prime} v _ {, y} N _ {1, x} & ^ {\prime} w _ {, x} N _ {1, y} + ^ {\prime} w _ {, y} N _ {1, x} & ^ {\prime} u _ {, x} N _ {2, y} + ^ {\prime} u _ {, y} N _ {2, x} & \dots & ^ {\prime} w _ {, x} N _ {N, y} + ^ {\prime} w _ {, y} N _ {N, x} \\ ^ {\prime} u _ {, y} N _ {1, z} + ^ {\prime} u _ {, z} N _ {1, y} & ^ {\prime} v _ {, y} N _ {1, z} + ^ {\prime} v _ {, z} N _ {1, y} & ^ {\prime} w _ {, y} N _ {1, z} + ^ {\prime} w _ {, z} N _ {1, y} & ^ {\prime} u _ {, y} N _ {2, z} + ^ {\prime} u _ {, z} N _ {2, y} & \dots & ^ {\prime} w _ {, y} N _ {N, z} + ^ {\prime} w _ {, z} N _ {N, y} \\ ^ {\prime} u _ {, x} N _ {1, z} + ^ {\prime} u _ {, z} N _ {1, x} & ^ {\prime} v _ {, x} N _ {1, z} + ^ {\prime} v _ {, z} N _ {1, x} & ^ {\prime} w _ {, x} N _ {1, z} + ^ {\prime} w _ {, z} N _ {1, x} & ^ {\prime} u _ {, x} N _ {3, z} + ^ {\prime} u _ {, z} N _ {3, x} & \dots & ^ {\prime} w _ {, x} N _ {N, z} + ^ {\prime} w _ {, z} N _ {N, x} \end{array} \right] \tag {4.7.7} $$ 식 (4.1.18)에서 가상 변형률의 비선형 항을 구성하는 δL 은 다음과 같다. $$ \delta \mathbf {L} = \left\{\delta u _ {, x} \quad \delta u _ {, y} \quad \delta u _ {, z} \quad \delta v _ {, x} \quad \delta v _ {, y} \quad \delta v _ {, z} \quad \delta w _ {, x} \quad \delta w _ {, y} \quad \delta w _ {, z} \right\} ^ {T} \tag {4.7.8} $$ 식 (4.7.8)은 가상변위 항 $\delta u$ 와 행렬 $B_{NL}$ 의 곱으로 표현된다. $$ \delta \mathbf {L} = \mathbf {B} _ {N L} \delta \mathbf {u} \tag {4.7.9} $$ 유사한 방법으로 ΔL 또한 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$ \Delta \mathbf {L} = \mathbf {B} _ {N L} \Delta \mathbf {u} \tag {4.7.10} $$ 여기서, $$ \begin{array}{l} \mathbf {B} _ {N L} = \left[ \begin{array}{c c c c c c c c} \tilde {\mathbf {B}} _ {1} & \mathbf {0} & \mathbf {0} & \tilde {\mathbf {B}} _ {2} & \dots & \tilde {\mathbf {B}} _ {N} & \mathbf {0} & \mathbf {0} \\ \mathbf {0} & \tilde {\mathbf {B}} _ {1} & \mathbf {0} & \mathbf {0} & \dots & \mathbf {0} & \tilde {\mathbf {B}} _ {N} & \mathbf {0} \\ \mathbf {0} & \mathbf {0} & \tilde {\mathbf {B}} _ {1} & \mathbf {0} & \dots & \mathbf {0} & \mathbf {0} & \tilde {\mathbf {B}} _ {N} \end{array} \right] \\ \tilde {\mathbf {B}} _ {i} = \left\{N _ {i, x} \quad N _ {i, y} \quad N _ {i, z} \right\} ^ {T} \end{array} \tag {4.7.11} $$ 식 (4.7.4-5)와 (4.7.9-10)을 식 (4.1.18)에 대입하여 정리하면 선형화된 평형 방 정식을 얻을 수 있다. $$ \delta \mathbf {u} ^ {T} \left(^ {t} \mathbf {K} _ {L} ^ {e} + ^ {t} \mathbf {K} _ {N L} ^ {e}\right) \Delta \mathbf {u} = \delta \mathbf {u} ^ {T} \left(^ {t + \Delta t} \mathbf {f} _ {e x t} ^ {e} - ^ {t} \mathbf {f} _ {\text { int }} ^ {e}\right) \tag {4.7.12} $$ 식 (4.7.12)의 각 항은 다음과 같다. $$ { } ^ { t } \mathbf { K } _ { L } ^ { e } = \int _ { V _ { e } } \mathbf { B } _ { L } ^ { T } \mathbf { D } \mathbf { B } _ { L } d V $$ $$ { } ^ { t } \mathbf { K } _ { N L } ^ { e } = \int _ { V _ { e } } { } ^ { t } \mathbf { B } _ { N L } ^ { T } { } ^ { t } \hat { \mathbf { S } } ^ { t } \mathbf { B } _ { N L } d V \tag {4.7.13} $$ $$ { } ^ { t } \mathbf { f } _ { \text { i n t } } ^ { e } = \int _ { V _ { e } } { } ^ { t } \mathbf { B } _ { L } ^ { T } { } ^ { t } \mathbf { S } d V $$ 여기서, $$ { } ^ { t } \hat { \mathbf { S } } = \left[ \begin{array} { c c c } { } ^ { t } \mathbf { S } & \mathbf { 0 } & \mathbf { 0 } \\ \mathbf { 0 } & { } ^ { t } \mathbf { S } & \mathbf { 0 } \\ \mathbf { 0 } & \mathbf { 0 } & { } ^ { t } \mathbf { S } \end{array} \right] \quad { } ^ { t } \mathbf { S } = \left[ \begin{array} { c c c } { } ^ { t } S _ { x x } & { } ^ { t } S _ { x y } & { } ^ { t } S _ { z x } \\ { } ^ { t } S _ { x y } & { } ^ { t } S _ { y y } & { } ^ { t } S _ { y z } \\ { } ^ { t } S _ { z x } & { } ^ { t } S _ { y z } & { } ^ { t } S _ { z z } \end{array} \right] \tag {4.7.14} $$ 입체요소의 해석 결과로는 선형 해석과 같이 절점 응력과 변형률이 있으며, 절점에서의 결과 이외에 적분점에서의 응력과 변형률을 표를 통해 볼 수 있다. 적분 차수는 다음과 같다. • 4절점 4면체 : 1 점 가우스 적분 • 6절점 5면체 : 6 점 가우스 적분 • 8절점 6면체 : 8 점 가우스 적분 • 10절점 4면체 : 4 점 가우스 적분 • 15절점 5면체 : 9 점 가우스 적분 • 20절점 6면체 : 27 점 가우스 적분 Part 1 Element Library 

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# Analysis and Algorithm Manual # Part 2 Material Library Chapter 1. Material Models Chapter 2. Total Strain Crack Chapter 3. Interface Nonlinearities # Chapter 1. Material Models # 1-1 개요 # 1-1-1 서론 재료의 소성거동은 탄성거동과 달리 재하된 하중을 제거하여도 구조물에 영구변형이발생한다. 이러한 거동적 특성을 나타내기 위해 변형률은 다음과 같이 탄성과소성성분으로 나누는 변형분리가정에 따라 정식화한다. $$ \boldsymbol {\varepsilon} = \boldsymbol {\varepsilon} ^ {\mathrm{e}} + \boldsymbol {\varepsilon} ^ {\mathrm{p}} \tag {1.1.1} $$ 여기서, ε : 총 변형률 $\pmb { \varepsilon } ^ { \mathrm { e } }$ : 탄성 변형률 (elastic strain) $\mathbf { \varepsilon } _ { \mathbf { \varepsilon } _ { \mathbf { \varepsilon } } } ^ { \mathrm { p } }$ : 소성 변형률 (plastic strain) 후크의 법칙(Hook’s law)은 탄성범위에서의 변형과 응력의 관계를 정의하며, 이를식 (1.1.1)에 적용하면 응력은 다음과 같이 정의할 수 있다. $$ \boldsymbol {\sigma} = \mathbf {D} \boldsymbol {\varepsilon} ^ {\mathrm{e}} = \mathbf {D} \left(\boldsymbol {\varepsilon} - \boldsymbol {\varepsilon} ^ {\mathrm{p}}\right) \tag {1.1.2} $$ 여기서, σ : 응력벡터 D : 재료강성 행렬 (material stiffness matrix) 하중을 받는 구조물 내 임의의 한 점에 발생하는 응력은 그 점의 탄-소성상태를정의하는 척도가 된다. 탄성 및 소성을 정의하는 이러한 기준은 강재나 콘크리트등 재료의 특성에 따라 다르게 정의되며, 이를 항복기준(yield criterion)이라 한다.재료의 항복기준은 다양한 응력상태에 대한 실험을 통해 정의되며, 소성흐름(plastic flow)을 유발하는 시점의 응력값들은 응력공간 상의 함수형태로 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$ f (\boldsymbol {\sigma}, \kappa) = 0 \tag {1.1.3} $$ 여기서, f : 항복함수 (yield function) κ : 경화변수 (hardening parameter) 항복함수 f 가 0보다 작을 경우 소성흐름은 발생하지 않으며, f 가 0보다 클 경우 소성흐름이 발생한다. # 1-1-2 소성흐름법칙(Plastic flow rule) 재료의 향복은 소성흐름을 유발하며 이러한 소성흐름은 재료의 평형상태를 유지하기위해 응력의 재분배를 유발한다. 이러한 소성흐름의 계산은 비선형 형태로 이루어지며 이를 위해 일반적으로 증분형태를 사용하여 정식화된다. 재료의 탄소성해석에서 소성흐름의 계산에 사용되는 일반적인 값들 중 대표적인 것은 증분응력방향, 소성변형률방향이며 이중 증분응력방향은 다음과 같다. $$ \mathbf {n} _ {\mathrm{i}} = \frac {\partial f _ {\mathrm{i}}}{\partial \boldsymbol {\sigma}} \tag {1.1.4} $$ 여기서, n 은 항복면에 수직한 증분응력의 방향을 나타내는 기울기벡터를 나타내며 i 는 항복함수가 여러 개로 이루어진 경우의 항복함수개수를 의미한다. 증분소성변형률은 코이터의 법칙(Koiter's law)에 따라 다음과 같이 크기와 방향성분으로 분리하여 나타낸다. $$ \dot {\pmb {\varepsilon}} _ {\mathrm{p}} = \sum_ {\mathrm{i} = 1} ^ {\mathrm{n}} \dot {\lambda} _ {\mathrm{i}} \frac {\partial \mathbf {g} _ {\mathrm{i}}}{\partial \pmb {\sigma}} = \sum_ {\mathrm{i} = 1} ^ {\mathrm{n}} \dot {\lambda} _ {\mathrm{i}} \mathbf {m} _ {\mathrm{i}} \tag {1.1.5} $$ 여기서, $g_{i}$ 는 소성포텐셜함수(plastic potential function)로써 응력과 경화변수 $\kappa$ 에 의한 함수 $g_{i}(\sigma,\kappa)$ 이며 일반적으로 재료실험을 통해 얻어진다. $\dot{\lambda}_{i}$ 는 소성승수(plastic multiplier)이며, 다음과 같이 쿠-터커 조건(Kuhn-Tucker condition)을 만족해야 한다.