인장 파괴에너지 : 0.0 I Gf
균열폭 : h 0.0
본 모델의 연화거동은 Hordijk7 , Cornelissen 그리고 Reinhardt8 가 제안한 모델이다.
line
| ε_cr_nn | σ_cr_nn |
| ------- | ------- |
| 0 | 0 |
| ε_cr_nn.ult | 0 |
그림 2.7.4 비선형 인장연화 (Hordijk et al.)
본 모델의 기본 함수는 다음과 같다.
7 HORDIJK, D. A. Local Approach to Fatigue of Concrete. PhD thesis, Delft University of Technology, 1991.
8 CORNELISSEN, H. A. W., HORDIJK, D. A., AND REINHARDT, H. W.
Experimental determination of crack softening characteristics of normalweight and lightweight concrete.
Heron 31, 2 (1986).
$$
\frac {\sigma_ {n n} ^ {c r} \left(\varepsilon_ {n n} ^ {c r}\right)}{f _ {t}} = \left\{ \begin{array}{c c} \left(1 + \left(c _ {1} \frac {\varepsilon_ {n n} ^ {c r}}{\varepsilon_ {n n . u l t} ^ {c r}}\right) ^ {3}\right) \exp \left(- c _ {2} \frac {\varepsilon_ {n n} ^ {c r}}{\varepsilon_ {n n . u l t} ^ {c r}}\right) \dots & \\ - \frac {\varepsilon_ {n n} ^ {c r}}{\varepsilon_ {n n . u l t} ^ {c r}} \left(1 + c _ {1} ^ {3}\right) \exp \left(- c _ {2}\right) & \left(i f 0 < \varepsilon_ {n n} ^ {c r} < \varepsilon_ {n n. u l t} ^ {c r}\right) \\ 0 & \left(i f \varepsilon_ {n n. u l t} ^ {c r} < \varepsilon_ {n n} ^ {c r} < 0\right) \end{array} \right\} \tag {2.7.20}
$$
여기서 $c_{1}=3,\quad c_{2}=6.93$ 이다.
본 모델에서 α 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
$$
\begin{array}{l} \alpha = \int_ {0} ^ {\infty} y (x) d x = \int_ {0} ^ {1} y (x) d x + \int_ {1} ^ {\infty} 0 d x \\ = \int_ {0} ^ {1} \left(1 + \left(c _ {1} x\right) ^ {3}\right) \exp \left(- c _ {2} x\right) - x \left(1 + c _ {1} ^ {3}\right) \exp \left(- c _ {2}\right) d x \\ = \frac {- 1 2 c _ {1} ^ {3} - 1 2 c _ {1} ^ {3} c _ {2} - 6 c _ {1} ^ {3} c _ {2} ^ {2} - 2 c _ {2} ^ {3} - 2 c _ {1} ^ {3} c _ {2} ^ {3}}{\dots} \dots \tag {2.7.21} \\ \dots \frac {- c _ {2} ^ {4} - c _ {1} ^ {3} c _ {2} ^ {4} + 1 2 c _ {1} ^ {3} \exp (c _ {2}) + 2 c _ {2} ^ {3} \exp (c _ {2})}{\cdots 2 c _ {2} ^ {4} \exp (c _ {2})} \\ \end{array}
$$
위 관계식을 통해 $c_{1}=3,\quad c_{2}=6.93$ 인 경우에 $\alpha=0.195$ 를 얻을 수 있다.
극한균열변형률은 다음과 같이 얻을 수 있다.
$$
\varepsilon_ {n n. u l t} ^ {c r} = 5. 1 3 6 \frac {G _ {f} ^ {I}}{h f _ {t}} \tag {2.7.22}
$$
Hordijk 등이 제안한 연화 도식(softening diagram)에 의해 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있다.
$$
\left. \frac {d y}{d x} \right| _ {x = 0} = \left(3 c _ {1} \left(c _ {1} x\right) ^ {2} - c _ {2} \left(1 + \left(c _ {1} x\right) ^ {3}\right)\right) \exp \left(- c _ {2} x\right) - \left(1 + c _ {1} ^ {3}\right) \exp \left(- c _ {2}\right) \big | _ {x = 0} \tag {2.7.23}
$$
$$
= - c _ {2} - \left(1 + c _ {1} ^ {3}\right) \exp \left(- c _ {2}\right)
$$
이상의 관계식들을 통해, 최소 극한균열변형률과 감소된 인장강도는 다음과 같이 얻을 수 있다.
$$
\varepsilon_ {n n. u l t. \min} ^ {c r} = 6. 9 5 7 \frac {f _ {t}}{E} \tag {2.7.24}
$$
$$
f _ {t} = \left(0. 7 3 9 \frac {G _ {f} ^ {I} E}{h}\right) ^ {\frac {1}{2}} \tag {2.7.25}
$$
# 다중선형모델
인장강도를 초과 하면 사용자가 입력한 연화가 일어난다고 본 모델이다, (그림2.7.1(g)).
최대 30개의 좌표를 입력할 수 있으며, 최초 좌표는 무조건 0.d0 이어야 한다.[조건 > 0.d0 , 변형률은 단조 증가의 값을 입력하여야 한다.
line
| εₙₙᶜʳ | σₙₙᶜʳ |
| ------ | ------ |
| 0 | 0 |
| fₜ,₁ | εₙₙ,₁ᶜʳ |
| fₜ,ₙ | εₙₙ,ₙᶜʳ |
그림 2.7.5 다중 인장연화
초기 접선 기울기는 아래와 같은 조건을 만족해야 한다.
$$
\frac {f _ {t , 1} - f _ {t , 0}}{\varepsilon_ {n n , 1} ^ {c r}} \geq - E \tag {2.7.26}
$$
# 2-8 전단 모델
전단 거동의 모사는 균열발생 이후에 전단 강성이 일반적으로 감소하는 고정균열에서만 필요하며 회전균열에서는 효과가 없다. midas FEA에서 균열 발생 이후에전단 강성이 전단지연계수(shear retention factor) 만큼 저감되게 구현되어 있다.현재 midas FEA에서는 불변모델과 다중선형 모델이 구현되어 있다.
# 2.8.1 전변형률 균열모델의 전단 모델
text_image
Elastic Modulus G
τ
γ
text_image
Elastic Modulus
τ
βG
γ
line
| γ | τ |
| ------- | ------- |
| γ₀ | τ₀ |
| γ₁ | τ₁ |
| γ₂ | τ₂ |
line
| Point | γ | β |
|---|---|---|
| (γ₀, β₀) | 0 | |
| (γ₁, β₁) | 0 | |
| (γ₂, β₂) | 0 | |
그림 2.8.1 전단모델
# 탄성모델
일반적인 전단 모델로 전단 강성의 감소가 없다.
text_image
Elastic Modulus G
τ
γ
그림 2.8.2 탄성모델
# 불변모델
전단지연계수만큼 전단 강성이 감소한다.
$$
G ^ {c r} = \beta G [ 0 \leq \beta \leq 1 ] \tag {2.8.1}
$$
text_image
Elastic Modulus
βG
τ
γ
그림 2.8.3 불변모델
여기서 는 전단지연계수이다.
# 다중선형모델
midas FEA는 두 가지 다중선형 모델을 제공한다. 하나는 전단응력과 전단변형률이 다중 선형으로 표현한 것이고 다른 하나는 전단지연계수와 전단변형률의 관계를 표현한 것이다.
line
| γ | β |
| ------- | ------- |
| (γ₀, β₀) | (γ₀, β₀) |
| (γ₁, β₁) | (γ₁, β₁) |
| (γ₂, β₂) | (γ₂, β₂) |
그림 2.8.4 다중선형(전단변형률, 전단지연계수)
line
| γ | τ |
| ------- | ------- |
| (γ₀, τ₀) | (γ₀, τ₀) |
| (γ₁, τ₁) | (γ₁, τ₁) |
| (γ₂, τ₂) | (γ₂, τ₂) |
그림 2.8.5 다중선형(전단변형률, 전단응력)
# 2-9 횡방향 영향
# 2.9.1 포아송비에 의한 횡방향 확장
포아송 효과(Poisson effect)는 일축 인장이나 압축력을 받는 시편의 횡방향 변형을 결정한다. 횡 변형이 구속된 시편에는 횡방향 구속효과가 발생하게 되며 이러한 효과는 철근콘크리트 부재의 3차원적 모사에 있어서 상당히 중요하다. Selby와 Vecchio $^{9}$ 는 횡방향 팽창효과를 구조물에 추가적으로 가해지는 외력으로 대체해 설명했으며 이 개념은 유한요소 해석 절차의 적절한 수정을 요하게 된다.
포아송 효과는 등가의 일축 변형률 개념을 통해 해석에 반영되었다. 선형-탄성 (linear-elastic) 거동의 경우 3차원 응력-변형률 관계는 다음과 같다.
$$
\boldsymbol {\sigma} _ {n s t} = \frac {E}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} \left[ \begin{array}{c c c} 1 - \nu & \nu & \nu \\ \nu & 1 - \nu & \nu \\ \nu & \nu & 1 - \nu \end{array} \right] \boldsymbol {\varepsilon} _ {n s t} \tag {2.9.1}
$$
이 식은 아래와 같이 표현될 수 있다.
$$
\boldsymbol {\sigma} _ {n s t} = \left[ \begin{array}{l l l} E & 0 & 0 \\ 0 & E & 0 \\ 0 & 0 & E \end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c c c} \frac {1 - \nu}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} & \frac {\nu}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} & \frac {\nu}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} \\ \frac {\nu}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} & \frac {1 - \nu}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} & \frac {\nu}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} \\ \frac {\nu}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} & \frac {\nu}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} & \frac {1 - \nu}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} \end{array} \right] \boldsymbol {\varepsilon} _ {n s t} \tag {2.9.2}
$$
위 관계식은 등가 일축 변형률을 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.
$$
\boldsymbol {\sigma} _ {n s t} = \left[ \begin{array}{l l l} E & 0 & 0 \\ 0 & E & 0 \\ 0 & 0 & E \end{array} \right] \tilde {\boldsymbol {\varepsilon}} _ {n s t} \tag {2.9.3}
$$
여기서 등가 일축 변형률 벡터는 다음과 같이 정의된다.
$$
\begin{array}{l} \tilde {\boldsymbol {\varepsilon}} _ {n s t} = \left\{ \begin{array}{c} \tilde {\mathcal {E}} _ {1} \\ \tilde {\mathcal {E}} _ {2} \\ \tilde {\mathcal {E}} _ {3} \end{array} \right\} \\ = \left[ \begin{array}{c c c} \frac {1 - \nu}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} & \frac {\nu}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} & \frac {\nu}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} \\ \frac {\nu}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} & \frac {1 - \nu}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} & \frac {\nu}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} \\ \frac {\nu}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} & \frac {\nu}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} & \frac {1 - \nu}{(1 + \nu) (1 - 2 \nu)} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon_ {1} \\ \varepsilon_ {2} \\ \varepsilon_ {3} \end{array} \right\} \tag {2.9.4} \\ \end{array}
$$
$$
\tilde {\boldsymbol {\varepsilon}} _ {n s t} = \mathbf {P} \quad \boldsymbol {\varepsilon} _ {n s t} \tag {2.9.5}
$$
이 개념은 비선형 재료 모델에도 적용되었다. 주 방향 좌표계에서 응력 벡터는 주변형률에 의해 계산되는 것이 아니라, 위에서 설명한 등가의 일축 변형률 벡터에 의해 계산된다. 등가의 일축 변형률 벡터는 포아송비와 주변형률을 통해 결정될 수 있다.
접선 강성 행렬의 하위 행렬인 $D_{nst}$ 는 등가 일축 변형률 개념에서 다음과 같이 약간의 수정이 필요하게 된다.
$$
\mathbf {D} _ {n s t} = \frac {\partial \boldsymbol {\sigma} _ {n s t}}{\partial \boldsymbol {\varepsilon} _ {n s t}} = \frac {\partial \boldsymbol {\sigma} _ {n s t}}{\partial \tilde {\boldsymbol {\varepsilon}} _ {n s t}} \mathbf {P} \tag {2.9.6}
$$
# 2.9.2 횡방향 구속하의 압축거동
등방성 응력(isotropic stress)의 증가에 따른 강도의 증가는 4개의 인자를 가지는 Hsieh-Ting-Chen 파괴면(failure surface)에 의해 모사된다. 이 파괴면의 정의는 다음과 같다.
$$
f = 2. 0 1 0 8 \frac {J _ {2}}{f _ {c c} ^ {2}} + 0. 9 7 1 4 \frac {\sqrt {J _ {2}}}{f _ {c c}} + 9. 1 4 1 2 \frac {f _ {c 1}}{f _ {c c}} + 0. 2 3 1 2 \frac {I _ {1}}{f _ {c c}} - 1 = 0 \tag {2.9.7}
$$
여기서 응력 불변수 J₂와 I₁은 다음과 같이 콘크리트 주 응력들로 표현된다.
$$
J _ {2} = \frac {1}{6} \left\{\left(\sigma_ {c 1} - \sigma_ {c 2}\right) ^ {2} + \left(\sigma_ {c 2} - \sigma_ {c 3}\right) ^ {2} + \left(\sigma_ {c 3} - \sigma_ {c 1}\right) ^ {2} \right\} \tag {2.9.8}
$$
$$
I _ {1} = \sigma_ {c 1} + \sigma_ {c 2} + \sigma_ {c 3} \tag {2.9.9}
$$
한편 $f_{c1}$ 은 다음과 같이 콘크리트의 최대 인장응력이 아닌 최대 주응력을 의미한다. $^{10}$
$$
f _ {c 1} = \max (\sigma_ {c 1}, \sigma_ {c 2}, \sigma_ {c 3}) \tag {2.9.10}
$$
위 파괴면의 인자들은 콘크리트 시편의 일축 인장, 압축 강도, 이축 압축 강도, 3 축 실험 자료들의 보정을 통해 결정된다. 응력 $f_{c3}$ 는 파괴를 일으킨다고 가정되고, 아래와 같이 선형 탄성 응력 벡터에 적절한 비례계수를 곱하여 얻게 된다. 이때 앞서 Hsieh-Ting-Chen의 파괴면 조건식을 만족해야 한다.
$$
\boldsymbol {\sigma} _ {c} = s E \varepsilon_ {n s t} \tag {2.9.11}
$$
그렇다면 다축 응력 하에서 압축 파괴 응력은 다음과 같다.
$$
f _ {c 3} = s \cdot \min (\sigma_ {c 1}, \sigma_ {c 2}, \sigma_ {c 3}) \tag {2.9.12}
$$
만약 비례 계수 s 가 음수이고 결과적으로 양의 파괴 응력 $f_{c3}$ 이 얻어지게 되면,
응력 벡터는 파괴면의 인장부를 기준으로 비례 조정되고, 파괴 강도는 상당히 큰음수 값인 (-30fcc) 로 맞추어 지게 된다. 파괴강도 fcf는 아래와 같이 얻어진다.
$$
f _ {c f} = - f _ {c 3} \tag {2.9.13}
$$
피크 응력 계수 $K _ { \sigma } \cong \mathsf { S e l b y } ^ { 1 1 } \supset \mathsf { I }$ 제안한 식에 의하면 아래와 같다.
$$
K _ {\sigma} = \frac {f _ {c f}}{f _ {c c}} \geq 1 \tag {2.9.14}
$$
한편 피크 변형률 계수는 아래와 같다.
$$
K _ {\varepsilon} = K _ {\sigma} \tag {2.9.15}
$$
비 구속된 압축 상태에서 피크위치의 값들은 일축 압축 강도와 같다고 보고, 피크응력 계수는 ‘1’로 본다. 이런 조건 하에서 압축 응력-변형률 함수의 인자들은 다음과 같다.
$$
f _ {c f} = K _ {\sigma} f _ {c c}, \quad \varepsilon_ {p} = K _ {\sigma} \varepsilon_ {0} \tag {2.9.16}
$$
여기서 초기 변형률은 다음과 같은 관계식을 가진다.
$$
\varepsilon_ {0} = - \frac {n}{n - 1} \times \frac {f _ {c c}}{E _ {c}} \tag {2.9.17}
$$
위의 관계식은 구속된 압축 하중 하에서 최대 강도의 점진적인 증가를 반영하며,응력-변형률 그래프의 초기 기울기를 영 계수와 같게 만든다. 완전한 삼축 응력상태에서 파괴면까지의 도달은 가능하지 않으며, 아래 그림과 같이 선형 응력-변형률 관계가 얻어지게 된다.