# 3-3-5 접촉 밀도모델(Li et al.) 접촉 밀도모델은 아래와 같은 가정을 바탕으로 하였다. 1. 균열면은 여러 경사면의 조합으로 이루어져 있다. 경사각(θ )은 접촉면 밀도 확률 함수 ( Ω( ) θ )로 표현 가능하다. 2. 접촉 응력의 방향은 초기 접촉 방향에 법선 방향으로 고정되어있다. 3. 밀도 함수 ( Ω( ) θ )는 삼각법에 의한 함수로 가정되었고, 골재의 크기와 입도 그리고 굵은 골재의 강도와 종류와는 독립적이다. 4. 접촉력은 완전 탄소성 모델에 의해서 산정된다. 5. 유효 접촉면적 비율 $K ( \Delta u _ { n } )$ 은 균열면의 거칠기에 비해 법선 방향의 균열 변위$( \Delta u _ { n }$ )가 충분히 클 때 접촉면에 손실을 야기한다.  그림 3.3.6 접촉밀도모델 접촉밀도모델에 대한 수식은 식 (3.3.7)과 같다. $$ f _ {t} = \int_ {- \frac {1}{2} \pi} ^ {\frac {1}{2} \pi} \sigma_ {c o n} K (\Delta u _ {n}) A _ {t} \Omega (\theta) \sin \theta d \theta \tag {3.3.7} $$ $$ f _ {n} = \int_ {- \frac {1}{2} \pi} ^ {\frac {1}{2} \pi} \sigma_ {c o n} K (\Delta u _ {n}) A _ {t} \Omega (\theta) \cos \theta d \theta $$ 여기서, At : 균열 단면적 (균열면의 1.27배) # 3-4 부착슬립 철근콘크리트 구조물에서 철근과 콘크리트 사이의 계면거동은 이차 종, 횡방향 균열에 지배된다. 이러한 거동은 부착슬립(bond-slip)으로써 규정할 수 있으며 이는두께가 0인 계면요소를 사용하여 모델링하는 것이 일반적이다. midas FEA에서는 총 변형이론에 근거한 구성모델을 사용하여 부착슬립모델을 표현한다. 이때 법선방향 거동은 선형탄성거동, 접선방향거동은 비선형거동을 하는것으로 가정하며 이를 수식화 하면 다음과 같다. $$ \begin{array}{l} t _ {n} = k _ {n} \Delta u _ {n} \\ \text { and } f (t _ {n}) \end{array} \tag {3.4.1} $$ $$ t _ {t} = f _ {t} (d t) $$ 식 (3.19)의 우변을 상대변위에 대해 일차 미분하여 계산한 접선 강성은 다음과 같다. $$ \left[ \begin{array}{l l} D _ {1 1} = k _ {n} & D _ {1 2} = 0 \\ D _ {2 1} = 0 & D _ {2 2} = \frac {\partial f _ {t}}{\partial d t} \end{array} \right] \tag {3.4.2} $$ # 3-4-1 입방함수(Cubic Function (Dorr)) Dorr은 전단응력과 슬립의 관계를 그림 3.4.1과 같이 표현하였으며, 수식은 식(3.4.3)와 같다.  그림 3.4.1 부착슬립의 입방함수 $$ f _ {t} = \left\{ \begin{array}{c c} c \left(5 \left(\frac {d t}{d t ^ {0}}\right) - 4. 5 \left(\frac {d t}{d t ^ {0}}\right) ^ {2} + 1. 4 \left(\frac {d t}{d t ^ {0}}\right) ^ {3}\right) & i f \quad 0 \leq d t \leq d t ^ {0} \\ 1. 9 c & i f \quad d t \geq d t ^ {0} \end{array} \right. \tag {3.4.3} $$ 여기서, c : 실험데이타에 의한 상수 0 dt : 전단슬립(shear slip) 제하와 재하는 할선 접근방법을 사용한다. # 3-4-2 거듭제곱 법칙(Power Law (Noakowski)) Noakowski 모델은 식 (3.4.4)와 같이 지수형태로 부착슬립거동을 정의하였다. 그림 3.4.2와 같이 슬립이 초기 변위 ( 0 dt ) 보다 작은 경우에는 비정상적으로 초기전단강성 값이 커지는 것을 방지하기 위해 선형 거동하는 것으로 가정한다.  그림 3.4.2 부착슬립의 거듭제곱 법칙 $$ f _ {t} = \left\{ \begin{array}{l l} a (d t) ^ {b} & \text { if } \quad d t \geq d t ^ {0} \\ a (d t) ^ {b - 1} \Delta u _ {t} & \text { if } \quad 0 \leq d t \leq d t ^ {0} \end{array} \right. \tag {3.4.4} $$ 여기서, $$ a, b \quad : \text { 실험데이터에 의한 상수 } (b < 1) $$ $$ d t ^ {0} \quad : \text { 전단슬립(shear slip) } $$ 제하와 재하는 할선 접근방법을 사용한다. # 3-5 쿨롱마찰 midas FEA에서는 마찰 거동에 지배되는 이질적 또는 동질적인 재료의 경계면을표현하기 위해, 계면요소의 거동을 쿨롱마찰이론(coulomb friction theory)을 사용하여 정의한다. 미소 상대변위 ∆u 를 변위분리 가정에 따라 탄성과 소성에 대한미소증분형태로 분리하여 나타내면 다음과 같다. $$ \Delta \dot {\mathbf {u}} = \Delta \dot {\mathbf {u}} ^ {e} + \Delta \dot {\mathbf {u}} ^ {p} \tag {3.5.1} $$ 계면에 발생하는 응력의 증분량은 다음과 같이 정의된다. $$ \dot {\mathbf {t}} = \mathbf {D} ^ {e} \Delta \dot {\mathbf {u}} ^ {e} = \mathbf {D} ^ {e} \left(\Delta \dot {\mathbf {u}} - \Delta \dot {\mathbf {u}} ^ {p}\right) \tag {3.5.2} $$ 

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t_t c / tanø c Ø t_n

그림 3.5.1 쿨롱마찰 기준 쿨롱마찰모델의 파괴함수 f 와 포텐셜함수 g 는 마찰각을 나타내는 φ 와 점착력 을 나타내는 c 값으로 구성된 2계수를 사용하여 식 (3.5.3)과 같이 정의하며 응력면상에서의 형상은 그림 3.5.1과 같다. $$ \left\{ \begin{array}{l} f = \sqrt {t _ {t} ^ {2}} + t _ {n} \tan \phi (\kappa) - c (\kappa) = 0 \\ g = \sqrt {t _ {t} ^ {2}} + t _ {n} \tan \varphi \end{array} \right. \tag {3.5.3} $$ 여기서, k）： c k( ) : 내부변수 κ 의 함수로 정의되는 점착계수 소성상대변위 p ∆u 는 다음과 같이 크기를 나타내는 소성승수와 소성방향을 나타내는 성분으로 구분하여 정의할 수 있다. $$ \Delta \dot {\mathbf {u}} ^ {p} = \dot {\lambda} \frac {\partial g}{\partial \mathbf {t}} \tag {3.5.4} $$ 외력에 저항하는 구조체의 소성응답거동을 정의하기 위해 Taylor series 1차 확장을 사용하여 파괴함수 f 를 확장하면 다음과 같이 증가률형태로 수식화할 수 있다. $$ \dot {f} = \frac {\partial f ^ {T}}{\partial \mathbf {t}} \dot {\mathbf {t}} + \frac {\partial f}{\partial \kappa} \dot {\kappa} = 0 \tag {3.5.5} $$ 이때 소성승수 λ 는 식(3.5.5)에 식 (3.5.2), (3.5.4)를 대입하여 λ 에 대해 정리하면 다음과 같다. $$ \dot {\lambda} = \frac {\frac {\partial f ^ {T}}{\partial \mathbf {t}} \mathbf {D} ^ {e}}{- \frac {\partial f}{\partial \kappa} + \frac {\partial f ^ {T}}{\partial \mathbf {t}} \mathbf {D} ^ {e} \frac {\partial g}{\partial \mathbf {t}}} \Delta \dot {\mathbf {u}} = \frac {\frac {\partial f ^ {T}}{\partial \mathbf {t}} \mathbf {D} ^ {e}}{- h + \frac {\partial f ^ {T}}{\partial \mathbf {t}} \mathbf {D} ^ {e} \frac {\partial g}{\partial \mathbf {t}}} \Delta \dot {\mathbf {u}} \tag {3.5.6} $$ 내부변수 증가량 κ 과 소성승수 증가량 λ 의 관계는 다음과 같다. $$ \dot {\kappa} = \left| \Delta \dot {\mathbf {u}} _ {t} ^ {p} \right| = \dot {\lambda} \left| \frac {\partial g}{\partial \mathbf {t}} \right| = \dot {\lambda} \sqrt {\left(\frac {\partial g}{\partial \mathbf {t}}\right) ^ {T} \cdot \left(\frac {\partial g}{\partial \mathbf {t}}\right)} = \dot {\lambda} \sqrt {1 + \tan^ {2} \varphi} = \dot {\lambda} \quad \because \tan \varphi < < 1 \tag {3.5.7} $$ 여기서, $$ \partial \mathbf {g} / \partial \mathbf {t} = \left\{\tan \varphi \quad t _ {t} / \mid t _ {t} \mid \right\} $$ 최종적으로 응력증가량은 식(3.5.2)에 식(3.5.4), (3.5.6)을 대입하여 정리하면 다음과 같이 식 (3.5.8)로 나타낼 수 있다. $$ \dot {\mathbf {t}} = \left\{\mathbf {D} ^ {e} - \frac {\mathbf {D} ^ {e} \frac {\partial \mathbf {g}}{\partial \mathbf {t}} \frac {\partial f ^ {T}}{\partial \mathbf {t}} \mathbf {D} ^ {e}}{- h + \frac {\partial f ^ {T}}{\partial \mathbf {t}} \mathbf {D} ^ {e} \frac {\partial \mathbf {g}}{\partial \mathbf {t}}} \right\} \Delta \dot {\mathbf {u}} \tag {3.5.8} $$ 여기서, $$ \mathbf {D} ^ {e} = \left[ \begin{array}{c c} k _ {n} & 0 \\ 0 & k _ {t} \end{array} \right] $$ $$ h = \frac {\partial f}{\partial \kappa} = \frac {\partial f}{\partial \mathbf {t}} \frac {\partial \mathbf {t}}{\partial \Delta \mathbf {u} _ {t} ^ {p}} \frac {\partial \Delta \mathbf {u} _ {t} ^ {p}}{\partial \kappa} $$ $$ \frac {\partial g}{\partial \mathbf {t}} = \left\{\tan \varphi \frac {t _ {t}}{\left| t _ {t} \right|} \right\} $$ $$ \frac {\partial f ^ {T}}{\partial \mathbf {t}} = \left\{\tan \phi (k) \frac {t _ {t}}{\left| t _ {t} \right|} \right\} $$ 위의 식을 정리하여 다시 쓰면 다음과 같다. $$ \dot {\mathbf {t}} = \frac {1}{- h + k _ {n} \tan \phi \tan \varphi + k _ {t}} \left[ \begin{array}{c c} k _ {n} (h + k _ {t}) & - k _ {n} k _ {t} \tan \varphi \frac {t _ {t}}{\left| t _ {t} \right|} \\ - k _ {n} k _ {t} \tan \phi (k) \frac {t _ {t}}{\left| t _ {t} \right|} & k _ {t} (h + k _ {n} \tan \phi \tan \varphi) \end{array} \right] \Delta \dot {\mathbf {u}} \tag {3.5.9} $$ 이때 φ ≠ ϕ 인 경우 식 (3.5.9)에서 대괄호⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 안의 행렬은 비대칭이 되어 비상관소성흐름이 발생하며 φ = ϕ 인 경우 식 (3.5.9)에서 대괄호⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 안의 행렬은 대칭이 되어 상관소성흐름이 발생한다. 상관소성흐름해석을 수행할 경우 계면에 수직한 방향으로 과도한 열림현상이 발생하게 되며 이는 실제거동과 맞지 않게 된다. 그러나 비상관소성흐름해석을 수행할 경우 강성행렬의 저장량이 커짐에 따라 메모리와수행속도가 증가하여 해석이 느리게 진행될 수 있다. 특히 φ 값과 ϕ 값의 차이가클 경우, 즉 비상관성이 큰 해석의 경우에는 수렴이 잘 되지 않는 현상이 관찰된다. 이를 위해 midas FEA에서는 φ −ϕ ≤ ° 20 가 되도록 권장하고 있다. # 3-6 복합파괴 모델 (Combined Cracking-Shearing-Crushing) 계면 재료 모델 중 ‘복합파괴모델(Combined Cracking-Shearing-Crushing)’은조적식 구조물의 결합부와 같은 모델의 파괴, 마찰슬립(frictional slip)과압괴파괴(crushing) 거동을 해석하는데 적합하다. 그림 3.6.1 과 같은 일반적인경우에 단위 벽돌은 선형 탄성 또는 점탄성으로 모델링하고, 모르타르와 같은결합부는 Lourenco 와 Rots 와 van Zijl 이 제시한 ‘복합파괴모델’ 계면요소로모델링한다. 

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mortar interface interface brick potential brick crack


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joint / interface joint / interface brick potential brick crack

그림 3.6.1 조적식 구조물의 모델링 방법 # 3-6-1 2차원 계면모델 midas FEA에서 2차원 계면모델은 Lourenco와 Rots 모델과 이를 개선한 van Zijl의 모델을 이용하여 정의하였다. 이 모델은 인장한계(tension cutoff) 및 타원형의압축 캡모델(Elliptical compression cap model)과 결합된 쿨롬 마찰모델에 기초하여 다중면 소성모델을 사용한다. 그림 3.6.12와 같이 연화과정은 쿨롱 마찰모드,인장모드와 캡모드 3방향으로 일어나며, 경화과정은 캡모드에서만 고려된다. 계면모델에서 응력, 변형률 벡터는 다음과 같다.