※ 요소응력의 출력은 요소좌표계를 따르며 화살표 방향이 양(+)의 방향을 의미한다. 

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y σyy σyx σzz σxx σxy σzz σxy σxx x z σyy

(a) 축응력 및 전단응력 성분 

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y 3 2 σ₃ σ₂ σ₁ θ z x σ₂ σ₃

(b) 주응력 성분 $\sigma_{xx}$ : Axial stress in the ECS x - direction $\sigma_{yy}$ : Axial stress in the ECS y - direction $\sigma_{zz}$ : Axial stress in the ECS z - direction $\sigma_{xy} = \sigma_{yx}$ : Shear stress in the ECS x - y plane $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}:$ Principal stresses in the directions of the principal axes, 1, 2 and 3 where, $\sigma^3 - I_1\sigma^2 - I_2\sigma - I_3 = 0$ $$ I _ {l} = \sigma_ {x x} + \sigma_ {y y} + \sigma_ {z z} $$ $$ I _ {2} = - \left| \begin{array}{c c} \sigma_ {x x} & \sigma_ {x y} \\ \sigma_ {x y} & \sigma_ {y y} \end{array} \right| - \left| \begin{array}{c c} \sigma_ {x x} & \sigma_ {x z} \\ \sigma_ {x z} & \sigma_ {z z} \end{array} \right| - \left| \begin{array}{c c} \sigma_ {y y} & \sigma_ {y z} \\ \sigma_ {y z} & \sigma_ {z z} \end{array} \right| $$ $$ I _ {3} = \left| \begin{array}{c c c} \sigma_ {x x} & \sigma_ {x y} & \sigma_ {x z} \\ \sigma_ {x y} & \sigma_ {y y} & \sigma_ {y z} \\ \sigma_ {x z} & \sigma_ {y z} & \sigma_ {z z} \end{array} \right|, \quad \sigma_ {y z} = \sigma_ {z x} = 0 $$ θ : Angle between the x - axis and the principal axis, 1 in the ECS x - y plane $\tau_{max}:\text{Maximum shear stress} = \max \left[\frac{\left|\sigma_1 - \sigma_2\right|}{2},\frac{\left|\sigma_2 - \sigma_3\right|}{2},\frac{\left|\sigma_3 - \sigma_1\right|}{2}\right]$ $\sigma_{eff}:$ von - Mises Stress $= \sqrt{\frac{1}{2}\left[\left(\sigma_{1} - \sigma_{2}\right)^{2} + \left(\sigma_{2} - \sigma_{3}\right)^{2} + \left(\sigma_{3} - \sigma_{1}\right)^{2}\right]}$ $\sigma_{oct}:$ Octahedral Normal Stress $= \frac{1}{3}\big(\sigma_{1} + \sigma_{2} + \sigma_{3}\big)$ $\tau_{oct}:$ Octahedral Shear Stress $= \sqrt{\frac{1}{9}\left[\left(\sigma_{1} - \sigma_{2}\right)^{2} + \left(\sigma_{2} - \sigma_{3}\right)^{2} + \left(\sigma_{3} - \sigma_{1}\right)^{2}\right]}$ 그림 1.3.28 축대칭요소의 응력출력치의 부호규약 AXISYMMETRIC ELEMENT FORCES(GLOBAL）DEFAULTOUTPUT Unit System：kN，m

ELEM	MAT	LC	NODE	FX	FZ
1	1	LCOMB1	1	0.00000	0.00000
			2	-42.26970	0.00000
			13	-42.26970	0.00000
			12	0.00000	0.00000
		LCOMB2	1	0.00000	-36.76077
			2	-42.26970	-38.83923
			13	-42.26970	0.00000
			12	0.00000	0.00000

AXISYMMETRIC ELEMENT STRESSES(GLOBAL） DEFAULTOUTPUT Unit System：N，mm

ELEM	MAT	LC	NODE	Sig-XX	Sig-YY	Sig-ZZ	Sig-XZ
1	1	LCOMB1	Cent	-87.6928	154.4228	0.0000	0.0000
			1	-87.6928	166.1440	0.0000	0.0000
			2	-87.6928	143.0679	0.0000	0.0000
			13	-87.6928	143.0679	0.0000	0.0000
			12	-87.6928	166.1440	0.0000	0.0000
			NODE	Sig-P1	Sig-P2	Sig-P3	MAX-SHR	Sig-EFF	Sig-Oct
			Cent	154.4228	0.0000	-87.6928	121.0578	212.3162	100.0868
			1	166.1440	0.0000	-87.6928	126.9184	223.3013	105.2652
			2	143.0679	0.0000	-87.6928	115.3803	201.7535	95.1075
			13	143.0679	0.0000	-87.6928	115.3803	201.7535	95.1075
			12	166.1440	0.0000	-87.6928	126.9184	223.3013	105.2652
		LC	NODE	Sig-XX	Sig-YY	Sig-ZZ	Sig-XZ
		LCOMB2	Cent	-87.6928	154.4228	0.0000	0.0000
			1	-87.6928	166.1440	0.0000	0.0000
			2	-87.6928	143.0579	0.0000	0.0000
			13	-87.6928	143.0679	0.0000	0.0000
			12	-87.6928	166.1440	0.0000	0.000
			NODE	Sig-P1	Sig-P2	Sig-P3	MAX-SHR	Sig-EFF	Sig-Oct
			Cent	154.4228	0.0000	-87.6928	121.0578	212.3162	100.0868
				1	166.1440	0.0000	-87.6928	126.9184	223.3013
				2	143.0679	0.0000	-87.6928	115.3803	201.7535
				13	143.0679	0.0000	-87.6928	115.3803	201.7535
				12	166.1440	0.0000	-87.6928	126.9184	223.3013

그림 1.3.29 축대칭요소의 요소내력 및 요소응력 출력 예 # 3-9 판요소 (Plate Element) # 3-9-1 일반사항 이 요소는 동일평면상에 위치한 3개 또는 4개의 절점에 의해 정의되는 판요소(3D Plate Element)로서 평면인장/압축거동, 평면전단거동, 두께방향의 휩거동, 두께방향의 전단거동을 고려할 수 있습니다. midas Civil에 사용된 판요소의 면외강성은 DKT, DKQ(Discrete Kirchhoff Element)와 DKMT, DKMQ(Discrete Kirchhoff-Mindlin Element)의 두가지 종류로 구분됩니다. DKT, DKQ인 경우에는 얇은 판 이론(Kirchhoff Plate Theory)에 의해 개발된 것이고, DKMT, DKMQ요소는 두꺼운 판 이론(Mindlin-Reissner Plate Theory)에 의해 개발되었으나, 적절한 전단변형율장을 가정함으로서 얇은 요소부터 두꺼운 판요소까지 우수한 성능을 나타내고 있습니다. 판요소의 면내강성은 3각형인 경우는 LST(Linear Strain Triangle) 이론이 사용하고 있고 4각형인 경우에는 면내 회전자유도에 대한 강성의 고려여부에 따라 2가지 방법을 사용하고 있습니다. 회전자유도에 대한 강성을 고려하지 않는 경우에는 비적합모드를 포함하는 등매개 평면응력이론(Isoparametric Plane Stress Formulation with Incompatible Modes)을 사용합니다. 회전자유도에 대한 강성을 고려하는 경우에는 Allman의 2차 변위장 가정을 도입하여 면내 회전자유도를 변위에 반영하는 방법을 사용하고 있습니다. 이때 사각형 판요소의 경우에는 모든 절점이 동일평면에 존재하지 않는 경우에 발생하는 해석상의 문제를 해결하기 위해 warping항을 고려할 수 있도록 하였으며, DKQ는 Taylor& Simon에 의해 개발된 알고리즘을 사용하여 새롭게 보완되었습니다. 판요소 두께의 입력은 면내강성(In-plane Stiffness)을 계산하기 위한 것과 면외강성(Out-of-Plane Stiffness)을 계산하기 위한 것으로 구분하여 입력할 수 있습니다. 일반적으로 자중이나 질량의 계산에는 면내강성의 계산을 위한 두께가 사용되며, 면외강성의 계산을 위한 두께만 입력되는 경우에는 면외방향 두께가 사용됩니다. # 3-9-2 요소자유도 및 요소좌표계 요소자유도는 요소좌표계 x, y, z 축 방향의 이동변위자유도와 x, y 축에 대한 회전변위자유도를 가집니다. 요소좌표계는 오른손법칙에 준한 x, y, z축의 직교좌표계를 따르며 요소좌표계의 방향은 평면응력요소의 경우와 같이 설정됩니다. (그림 1.3.30 참조) 3-9-3 요소관련 기능

Create Elements	요소 입력
Material	재료적 성질 입력
Thickness	요소두께의 입력
Pressure Loads	요소의 면에 수직한 방향 또는 변에 압력하중 입력
Temperature Gradient	온도구배 입력


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ECS z-axis (normal to the element Node numbering order for creating the element ECS y-axis (perpendicular to the ECS x-axis in the element plane) Center of N1 N2 N3 N4

(a) 사긱형요소의 요소좌표계 

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ECS z-axis (normal to the element surface, out of the Node numbering order for creating the element (N1→N2→N3) ECS y-axis (perpendicular to ECS x-axis in the element Center of Element N1 N2 ECS x-axis (N1→N2 direction)

(b) 삼각형요소의 요소좌표계 그림 1.3.30 판요소의 배치 및 요소좌표계 # 3-9-4 적분점 # 3절점 삼각형 요소 이 요소는 1 Point Gauss 적분을 이용하므로, 적분에 적용되는 자연좌표계에서 적분점 좌표는 (1/3, 1/3) 입니다. 

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N3 η P = (1/3, 1/3) N1 N2 ξ y x

그림 1.3.31 3절점 평면응력요소의 적분점위치 이 요소의 기하학적 형상함수는 $N_{1}=1-\xi-\eta$ , $N_{2}=\xi$ , $N_{3}=\eta$ 이므로 요소내 특정 위치에서의 좌표값은 형상함수를 이용하여 다음 식과 같이 구할 수 있습니다. $$ x _ {p} = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} x _ {i}, y _ {p} = \sum_ {i} ^ {N} N _ {i} y _ {i} $$ 이 요소의 적분점 좌표인 $\xi=1/3$ , $\eta=1/3$ 을 형상함수에 대입하면 전체좌표계에서 적분점의 좌표를 구할 수 있습니다. $$ x _ {p} = \sum_ {i = 1} ^ {3} N _ {i} x _ {i} = \left(1 - \frac {1}{3} - \frac {1}{3}\right) x _ {1} + \frac {1}{3} x _ {2} + \frac {1}{3} x _ {3} = \frac {1}{3} \left(x _ {1} + x _ {2} + x _ {3}\right) $$ $$ y _ {p} = \frac {1}{3} \left(y _ {1} + y _ {2} + y _ {3}\right) $$ # 4절점 사각형 요소 이 요소는 4 Point Gauss 적분을 이용하므로, 적분에 적용되는 자연좌표계에서 적분점 좌표 $P_{i}$ 는 다음 그림과 같습니다. 

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N4 η N3 P4 P3 η = 1/√3 ξ P1 P2 η = -1/√3 N1 ξ = -1/√3 ξ = 1/√3 N2 y x P1 = (-1/√3, -1/√3) P2 = (1/√3, -1/√3) P3 = (1/√3, 1/√3) P4 = (-1/√3, 1/√3)

그림 1.3.32 4절점 평면응력요소의 적분점위치 이 요소의 기하학적 형상함수는 다음 식과 같습니다. $$ N _ {1} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 - \eta), N _ {2} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 - \eta), N _ {3} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 + \eta), N _ {4} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 + \eta) $$ 이 요소의 적분점 좌표인 $P_{i}$ 를 형상함수에 대입하면 전체좌표계에서 적분점의 좌표를 구할 수 있습니다. 예를 들어 첫 번째 적분점 좌표 $P_{1}$ 에 대한 전체좌표계에서 x 좌표를 구하면 다음과 같습니다. $$ x _ {p 1} = \sum_ {i = 1} ^ {4} N _ {i} x _ {i} = \frac {1}{6} \left[ (2 + \sqrt {3}) x _ {1} + x _ {2} + (2 - \sqrt {3}) x _ {3} + x _ {4} \right] $$ 같은 방법으로 각 적분점에 대해 전체좌표계에서 좌표를 구하면 다음과 같습니다. $$ x _ {p} = \frac {1}{6} \left[ \begin{array}{c c c c} 2 + \sqrt {3} & 1 & 2 - \sqrt {3} & 1 \\ & 2 + \sqrt {3} & 1 & 2 - \sqrt {3} \\ & & 2 + \sqrt {3} & 1 \\ \text {symmetry} & & & 2 + \sqrt {3} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{c} x _ {1} \\ x _ {2} \\ x _ {3} \\ x _ {4} \end{array} \right\} $$ $$ y _ {p} = \frac {1}{6} \left[ \begin{array}{c c c c} 2 + \sqrt {3} & 1 & 2 - \sqrt {3} & 1 \\ & 2 + \sqrt {3} & 1 & 2 - \sqrt {3} \\ & & 2 + \sqrt {3} & 1 \\ \text {symmetry} & & & 2 + \sqrt {3} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{c} y _ {1} \\ y _ {2} \\ y _ {3} \\ y _ {4} \end{array} \right\} $$ # 3-9-5 응력계산법(Extrapolation) 3절점 삼각형 요소의 경우 1 Point Gauss 적분을 하므로 모든 절점에 대해 적분점에서 계산된 응력을 동일하게 적용합니다. 

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ξ = -1 η = 1 ξ = 1 η = 1 t = 1 η = -1 ξ = -1 s = -1 s = 1 ξ = 1 η ξ = -1 η ξ = 1 t = -1 η = -1 ξ = 1

그림 1.3.33 4절점 평면응력요소에 대한 적분점에서 응력에 대한 외삽법 4절점 사각형 요소의 경우 각 적분점은 요소좌표계의 좌표절점과 다음과 같은 관계를 갖습니다. $$ s = \xi \sqrt {3}, t = \eta \sqrt {3} $$ 요소 내부의 특정 위치에서 응력은 형상함수를 이용하여 구할 수 있습니다. $$ \sigma_ {N} = \sum N _ {i} \sigma_ {i} \quad i = 1, 2, 3, 4 $$ 예를 들어 절점 1에서 응력을 계산하면 다음과 같습니다. $$ \begin{array}{l} \sigma_ {N 1} = \sum_ {i = 1} ^ {4} N _ {i} \sigma_ {i} = \frac {1}{4} \left[ (1 + \sqrt {3}) (1 + \sqrt {3}) \sigma_ {1} + (1 - \sqrt {3}) (1 + \sqrt {3}) \sigma_ {2} \right. \\ \left. + (1 - \sqrt {3}) (1 - \sqrt {3}) \sigma_ {3} + (1 + \sqrt {3}) (1 - \sqrt {3}) \sigma_ {4} \right] \\ = \frac {1}{4} \left[ (4 + 2 \sqrt {3}) \sigma_ {1} - 2 \sigma_ {2} + (4 - 2 \sqrt {3}) \sigma_ {3} - 2 \sigma_ {4} \right] \\ \end{array} $$ 같은 방법으로 각 절점에서 응력을 구하면 다음과 같습니다. $$ \left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {N 1} \\ \sigma_ {N 2} \\ \sigma_ {N 3} \\ \sigma_ {N 4} \end{array} \right\} = \frac {1}{2} \left[ \begin{array}{c c c c} 2 + \sqrt {3} & - 1 & 2 - \sqrt {3} & - 1 \\ & 2 + \sqrt {3} & - 1 & 2 - \sqrt {3} \\ & & 2 + \sqrt {3} & - 1 \\ & & & 2 + \sqrt {3} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {1} \\ \sigma_ {2} \\ \sigma_ {3} \\ \sigma_ {4} \end{array} \right\} $$ # 3-9-6 요소내력 출력내용 판요소의 요소내력 및 응력은 다음과 같이 출력되며 부호와 방향은 요소좌표계 또는 전체좌표계를 따릅니다. 여기서는 요소좌표계를 기준으로 설명합니다. ■ 연결절점에서의 요소내력 출력 ■연결절점과 요소중심에서의 단위길이당 요소내력 출력 ▪ 연결절점과 요소중심에서 판의 상단면과 하단면에 대한 응력출력 연결절점에서의 요소내력은 절점에서 산출된 각 성분별 변위와 해당요소 강성성분을 곱한 값으로 출력됩니다. 연결절점과 요소중심에서의 단위길이당 요소내력은 면내평면거동과 면외굽힘거동을 분리하여 해당점에서 계산된 응력을 두께방향으로 적분하여 산출합니다. 단위길이당 요소내력은 철근콘크리트 부재의 설계시 효과적으로 사용될 수 있습니다. 연결절점과 요소중심에서의 응력은 요소내의 적분점(Gauss Point)에서 연산된 응력을 이용하여 외삽법(Extrapolation)에 의해 산출됩니다. ■ 요소내력의 출력 요소내력의 출력치에 대한 부호규약은 그림 1.3.34와 같고, 화살표방향이 양 (+)의 방향을 의미합니다. ■ 단위길이당 요소내력의 출력 연결절점과 요소중심에서의 단위길이당 요소내력의 출력치에 대한 부호규약은 그림 1.3.35와 같고, 화살표방향이 양(+)의 방향을 의미합니다. #  요소응력의 출력 연결절점과 요소중심에서의 요소응력은 그림 1.3.36 (a)에서와 같이 상단면(Top Surface)과 하단면(Bottom Surface)에 대해서 출력되고 부호규약은1.3.36(b)와 같습니다. ※ 요소내력의 출력은 요소좌표계를 따르며 화살표 방향이 양(+)의 방향을 의미한다. 

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Fz4 Fx4 Mx4 My4 Fy4 N4 Fz3 Mx3 Fy3 Fx1 Mx1 N1 y z Fz2 My2 Mx2 Fy2 N2 Fx2 Fy2 Mx3 Fx3

(a) 사각형요소의 절점내력 

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Fz3 Mx3 My3 Fy3 Fx3 Fx1 Mx1 N3 y Fz2 Mx2 Fx2 My2 Fy2 N2 Fy1 My1 N1

(b) 삼각형요소의 절점내력 그림 1.3.34 판요소의 각 연결절점에서의 내력출력치에 대한 부호규약 ※ 요소내력의 출력은 요소좌표계를 따르며 화살표 방향이 양(+)의 방향을 의미한다. 

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N4 y z Center point N3 N1 x N2


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N1 N2 N3 Center point x y z

 : Out put locations of element forces per unit length (a) 내력 출력위치 

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y Vyy Fyy Fxy Fxy Fxx → x Vxx


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y Fyy Fxx Fxy Fmin Fmax x Angle of principal axis

(b) 출력위치에서의 면내평면거동에 의한 단위길이당의 힘 

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Mxy Myy Mxy → x Mxx


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y Mxy Mxy Mxy Mxx Mmin Mmax Angle of principal axis x

(c) 출력위치에서의 면외굽힘거동에 의한 단위길이당의 모멘트 그림 1.3.35 판요소의 단위길이당 요소내력의 출력위치 및 부호규약