같은 방법으로 각 절점에서 응력을 구하면 다음과 같습니다. $$ \left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {N 1} \\ \sigma_ {N 2} \\ \sigma_ {N 3} \\ \sigma_ {N 4} \\ \sigma_ {N 5} \\ \sigma_ {N 6} \end{array} \right\} = \frac {1}{6} \left[ \begin{array}{c c c c c c} 5 + 5 \sqrt {3} & - 1 - \sqrt {3} & - 1 - \sqrt {3} & 5 - 5 \sqrt {3} & - 1 - \sqrt {3} & - 1 + \sqrt {3} \\ & 5 + 5 \sqrt {3} & - 1 - \sqrt {3} & - 1 + \sqrt {3} & 5 - 5 \sqrt {3} & - 1 + \sqrt {3} \\ & & 5 + 5 \sqrt {3} & - 1 - \sqrt {3} & - 1 - \sqrt {3} & 5 - 5 \sqrt {3} \\ & & & 5 + 5 \sqrt {3} & - 1 - \sqrt {3} & - 1 - \sqrt {3} \\ & & & & 5 + 5 \sqrt {3} & - 1 - \sqrt {3} \\ & & & & & 5 + 5 \sqrt {3} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {1} \\ \sigma_ {2} \\ \sigma_ {3} \\ \sigma_ {4} \\ \sigma_ {5} \\ \sigma_ {6} \end{array} \right\} $$ 8절점 6면체 요소의 경우 각 적분점은 요소좌표계의 좌표절점과 다음과 같은 관계를 갖습니다. 

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ξ = -1 η = 1 ξ = -1 η = 1 t = 1 ξ = -1/√3 η = -1 ξ = -1 s = -1 s = 1 ξ = 1 η = -1 η = -1 ξ = 1 s = 1 ξ = 1

그림 1.3.44 8절점 6면체요소에 대한 적분점에서 응력에 대한 외삽법 $$ s = \xi \sqrt {3}, t = \eta \sqrt {3}, u = \zeta \sqrt {3} $$ 예를 들어 절점 1에서의 응력을 형상함수를 이용하여 구하면 다음과 같습니다. $$ \begin{array}{l} \sigma_ {N 1} = \sum_ {i = 1} ^ {8} N _ {i} \sigma_ {i} = \frac {1}{8} \left[ (1 + \sqrt {3}) (1 + \sqrt {3}) (1 + \sqrt {3}) \sigma_ {1} + (1 - \sqrt {3}) (1 + \sqrt {3}) (1 + \sqrt {3}) \sigma_ {2} \right. \\ + (1 - \sqrt {3}) (1 - \sqrt {3}) (1 + \sqrt {3}) \sigma_ {3} + (1 + \sqrt {3}) (1 - \sqrt {3}) (1 + \sqrt {3}) \sigma_ {4} \\ + (1 + \sqrt {3}) (1 + \sqrt {3}) (1 - \sqrt {3}) \sigma_ {5} + (1 - \sqrt {3}) (1 + \sqrt {3}) (1 - \sqrt {3}) \sigma_ {6} \\ \left. + (1 - \sqrt {3}) (1 - \sqrt {3}) (1 - \sqrt {3}) \sigma_ {7} + (1 + \sqrt {3}) (1 - \sqrt {3}) (1 - \sqrt {3}) \sigma_ {8} \right] \\ = \frac {1}{8} \left[ (1 0 + 6 \sqrt {3}) \sigma_ {1} + (- 2 - 2 \sqrt {3}) \sigma_ {2} + (- 2 + 2 \sqrt {3}) \sigma_ {3} + (- 2 - 2 \sqrt {3}) \sigma_ {4} \right. \\ \left. + \left(- 2 - 2 \sqrt {3}\right) \sigma_ {5} + \left(- 2 + 2 \sqrt {3}\right) \sigma_ {6} + \left(1 0 - 6 \sqrt {3}\right) \sigma_ {7} + \left(- 2 + 2 \sqrt {3}\right) \sigma_ {8} \right] \\ \end{array} $$ 같은 방법으로 각 적분점에 대한 전체좌표계에서 좌표를 구하면 다음과 같습니다. $$ \left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {N 1} \\ \sigma_ {N 2} \\ \sigma_ {N 3} \\ \sigma_ {N 4} \\ \sigma_ {N 5} \\ \sigma_ {N 6} \\ \sigma_ {N 7} \\ \sigma_ {N 8} \end{array} \right\} = \frac {1}{4} \left[ \begin{array}{c c c c c c c c} 5 + 3 \sqrt {3} & - 1 - \sqrt {3} & - 1 + \sqrt {3} & - 1 - \sqrt {3} & - 1 - \sqrt {3} & - 1 + \sqrt {3} & 5 - 3 \sqrt {3} & - 1 + \sqrt {3} \\ & 5 + 3 \sqrt {3} & - 1 - \sqrt {3} & - 1 + \sqrt {3} & - 1 + \sqrt {3} & - 1 - \sqrt {3} & - 1 + \sqrt {3} & 5 - 3 \sqrt {3} \\ & & 5 + 3 \sqrt {3} & - 1 - \sqrt {3} & 5 - 3 \sqrt {3} & - 1 + \sqrt {3} & - 1 - \sqrt {3} & - 1 + \sqrt {3} \\ & & & 5 + 3 \sqrt {3} & - 1 + \sqrt {3} & 5 - 3 \sqrt {3} & - 1 + \sqrt {3} & - 1 - \sqrt {3} \\ & & & & 5 + 3 \sqrt {3} & - 1 - \sqrt {3} & - 1 + \sqrt {3} & - 1 - \sqrt {3} \\ & & & & & 5 + 3 \sqrt {3} & - 1 - \sqrt {3} & - 1 + \sqrt {3} \\ & & & & & & 5 + 3 \sqrt {3} & - 1 - \sqrt {3} \\ & & & & & & & 5 + 3 \sqrt {3} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {1} \\ \sigma_ {2} \\ \sigma_ {3} \\ \sigma_ {4} \\ \sigma_ {5} \\ \sigma_ {6} \\ \sigma_ {7} \\ \sigma_ {8} \end{array} \right\} $$ # 3-10-6 요소내력 출력내용 3차원 입체요소의 요소내력 및 응력은 다음과 같이 출력되며, 부호와 방향은 요소좌표계 또는 전체좌표계를 따릅니다.  연결절점에서의 요소내력 출력  연결절점과 요소중심에서 3차원 응력성분 출력 연결절점에서의 요소내력은 절점에서 산출된 각 성분별 변위와 해당 요소의 강성성분을 곱한 값으로 출력됩니다. 연결절점과 요소중심에서의 응력은 요소내의 적분점(Gauss Point)에서 계산된 응력을 이용하여 외삽법(Extrapolation)에 의해 산출됩니다.  요소내력의 출력 요소내력의 출력치에 대한 부호규약은 그림 1.3.45와 같고, 화살표방향이 양(+)의 방향을 의미합니다.  요소응력의 출력 요소응력의 출력치에 대한 부호규약은 그림 1.3.46과 같고, 화살표 방향이양(+)의 방향을 의미합니다. ※ 요소내력의 출력은 전체좌표계를 따르며 화살표 방향이 양(+)의 방향을 의미한다. 

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Diagram showing force vectors (F) acting on a 3D grid with labeled axes X, Y, Z and force components FX1 to FX8

그림 1.3.45 3차원 입체요소의 연결절점에 대한 내력출력치 및 부호규약 ※ 요소응력의 출력은 요소좌표계를 따르며 화살표 방향이 양(+)의 방향을 의미한다. 

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σ_zz σ_zx σ_zy σ_xz σ_yz σ_xx σ_xy σ_yx σ_yy σ_zz

(a) 축응력 및 전단응력 성분 

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σ₃ σ₂ σ₁

(b) 주응력 성분 $\sigma_{xx}$ : Axial stress in the ECS x - direction $\sigma_{yy}$ : Axial stress in the ECS y - direction $\sigma_{zz}$ : Axial stress in the ECS z - direction $\sigma_{xz} = \sigma_{zx}$ : Shear stress in the ECS x - z direction $\sigma_{xy} = \sigma_{yx}$ : Shear stress in the ECS x - y direction $\sigma_{yz} = \sigma_{zy}$ : Shear stress in the ECS y - z direction $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}$ : Principal stresses in the directions of the principal axes, 1, 2 and 3 where, $\sigma^3 - I_1\sigma^2 - I_2\sigma - I_3 = 0$ $$ I _ {l} = \sigma_ {x x} + \sigma_ {y y} + \sigma_ {z z} $$ $$ I _ {2} = - \left| \begin{array}{c c} \sigma_ {x x} & \sigma_ {x y} \\ \sigma_ {x y} & \sigma_ {y y} \end{array} \right| - \left| \begin{array}{c c} \sigma_ {x x} & \sigma_ {x z} \\ \sigma_ {x z} & \sigma_ {z z} \end{array} \right| - \left| \begin{array}{c c} \sigma_ {y y} & \sigma_ {y z} \\ \sigma_ {y z} & \sigma_ {z z} \end{array} \right| $$ $$ I _ {3} = \left| \begin{array}{c c c} \sigma_ {x x} & \sigma_ {x y} & \sigma_ {x z} \\ \sigma_ {x y} & \sigma_ {y y} & \sigma_ {y z} \\ \sigma_ {x z} & \sigma_ {y z} & \sigma_ {z z} \end{array} \right| $$ $\tau_{max}$ : Maximum shear stress = max $\left[\frac{\left|\sigma_{1}-\sigma_{2}\right|}{2},\frac{\left|\sigma_{2}-\sigma_{3}\right|}{2},\frac{\left|\sigma_{3}-\sigma_{1}\right|}{2}\right]$ $\sigma_{eff}:$ von - Mises Stress $= \sqrt{\frac{1}{2}\left[\left(\sigma_{1} - \sigma_{2}\right)^{2} + \left(\sigma_{2} - \sigma_{3}\right)^{2} + \left(\sigma_{3} - \sigma_{1}\right)^{2}\right]}$ $\sigma_{oct}:$ Octahedral Normal Stress $= \frac{1}{3}\big(\sigma_{1} + \sigma_{2} + \sigma_{3}\big)$ $\tau_{oct}:$ Octahedral Shear Stress $= \sqrt{\frac{1}{9}\left[\left(\sigma_{1} - \sigma_{2}\right)^{2} + \left(\sigma_{2} - \sigma_{3}\right)^{2} + \left(\sigma_{3} - \sigma_{1}\right)^{2}\right]}$ 그림 1.3.46 3차원 입체요소의 연결절점에 대한 응력출력치 및 부호규약

SOLID ELEMENT FORCES(GLOBAL) DEFAULT OUTPUT Unit System : kN , m
ELEM	MAT	LC	NODE	FX	FY	FZ
1	1	LCOMB1	1	-2.45166	-0.28377	-0.28377
			5	2.45166	-0.07604	-0.07604
			6	2.45166	0.07604	-0.07604
			2	-2.45166	0.28377	-0.28377
			3	-2.45166	-0.28377	0.28377
			7	2.45166	-0.07604	0.07604
			8	2.45166	0.07604	0.07604
			4	-2.45166	0.28377	0.28377
		LCOMB2	1	-49.03325	-2.45166	-6.30239
			5	44.12992	2.45166	-0.98543
			6	-44.12992	2.45166	0.98543
			2	49.03325	-2.45166	6.30239
			3	-49.03325	-2.45166	6.30239
			7	44.12992	2.45166	0.98543
			8	-44.12992	2.45166	-0.98543
			4	49.03325	-2.45166	-6.30239

SOLID ELEMENT STRESSES(GLOBAL) DEFAULT OUTPUT Unit System : N , mm
ELEM	MAT	LC	NODE	Sig-XX	Sig-YY	Sig-ZZ	Sig-XY	Sig-YZ	Sig-XZ
1	1	LCOMB1	Cent	0.0392	0.0029	0.0029	0.0000	0.0000	0.0000
			1	0.0392	0.0079	0.0079	0.0000	0.0000	0.0000
			5	0.0392	-0.0021	-0.0021	0.0000	0.0000	0.0000
			6	0.0392	-0.0021	-0.0021	0.0000	0.0000	0.0000
			2	0.0392	0.0079	0.0079	0.0000	0.0000	0.0000
			3	0.0392	0.0079	0.0079	0.0000	0.0000	0.0000
			7	0.0392	-0.0021	-0.0021	0.0000	0.0000	0.0000
			8	0.0392	-0.0021	-0.0021	0.0000	0.0000	0.0000
			4	0.0392	0.0079	0.0079	0.0000	0.0000	0.0000
			NODE	Sig-P1	Sig-P2	Sig-P3	MAX-SHR	Sig-EFF	Sig-Oct
			Cent	0.0392	0.0029	0.0029	0.0182	0.0363	0.0171
			1	0.0392	0.0000	0.0000	0.0196	0.0392	0.0185
			5	0.0392	-0.0021	-0.0021	0.0207	0.0413	0.0195
			6	0.0392	0.0000	0.0000	0.0196	0.0392	0.0185
			2	0.0392	0.0079	0.0079	0.0157	0.0314	0.0148
			3	0.0392	0.0079	0.0079	0.0157	0.0314	0.0148
			7	0.0392	-0.0021	-0.0021	0.0207	0.0413	0.0195
			8	0.0392	-0.0021	-0.0021	0.0207	0.0413	0.0195
			4	0.0392	0.0079	0.0079	0.0157	0.0314	0.0148
		LC	NODE	Sig-XX	Sig-YY	Sig-ZZ	Sig-XY	Sig-YZ	Sig-XZ
		LCOMB2	Cent	0.0000	0.0000	0.0000	0.0392	0.0000	0.0000
			1	2.2786	0.0426	0.3876	0.0392	0.0850	0.0850
			5	2.1933	-0.0426	-0.0378	0.0392	-0.0850	0.0850
			6	-2.1933	0.0426	0.0378	0.0392	-0.0850	-0.0850
			2	-2.2786	-0.0426	-0.3876	0.0392	0.0850	-0.0850
			3	2.2786	0.0426	0.3876	0.0392	-0.0850	-0.0850
			7	2.1933	-0.0426	-0.0378	0.0392	0.0850	-0.0850
			8	-2.1933	0.0426	0.0378	0.0392	0.0850	0.0850
			4	-2.2786	-0.0426	-0.3876	0.0392	-0.0850	0.0850
			NODE	Sig-P1	Sig-P2	Sig-P3	MAX-SHR	Sig-EFF	Sig-Oct
			Cent	0.0392	0.0000	-0.0392	0.0392	0.0679	0.0320
			1	2.2832	0.4030	0.0227	1.1303	2.0964	0.9883
			5	2.1971	0.0443	-0.1286	1.1628	2.2442	1.0579
			6	0.1286	-0.0443	-2.1971	1.1628	2.2442	1.0579
			2	-0.0227	-0.4030	-2.2832	1.1303	2.0964	0.9883
			3	2.2832	0.4030	0.0227	1.1303	2.0964	0.9883
			7	2.1971	0.0443	-0.1286	1.1628	2.2442	1.0579
			8	0.1286	-0.0443	-2.1971	1.1628	2.2442	1.0579
			4	-0.0227	-0.4030	-2.2832	1.1303	2.0964	0.9883

그림 1.3.47 3차원 입체요소의 요소내력 및 요소응력 출력 예 # Chapter 4. 요소 입력시 주요 고려사항 “midas Civil의 수치해석 모델”의 서론에서 언급한 바와 같이 구조해석이란 구조물의 구조적 거동을 파악하기 위해 수치해석 모델을 이용하여 예견되는 가상적 상황에대한 이론적 모의실험을 수행하는 것이기 때문에 실제상황과 얼마나 근접한 모델을입력하는가가 해석작업의 성패를 좌우하는 요인이 됩니다. 따라서 해당구조물의 구조적 거동을 가장 근접하게 반영할 수 있는 유한요소의 선택과 입력과정이 모델링 전반에 걸쳐 가장 중요한 사항이라 할 수 있습니다. 유한요소의 선택과 모델링의 범위는 해석의 목적에 따라 달라지게 되는데, 가령 해석후 설계작업까지 수행할 경우에는 설계시 필요한 변위, 부재내력, 응력 등의 설계변수를 구할 수 있도록 절점과 요소분할이 이뤄져야 합니다. 요소내력 및 응력의 출력치도 추가로 변환할 필요없이 설계에 그대로 사용할 수 있도록 요소를 선택하는 것이 효과적입니다. 그리고 해석목적이 변위를 구하는 것인지, 요소내력을 구하는 것인지 또는 고유치해석 수행에 있는지 등에 따라 요소의 선택과 모델링의 범위, 요소분할의 정도가 달라집니다. 변위를 구하거나 고유치해석만을 수행할 경우에는 모델을단순화하는 것이 효과적이지만 요소내력을 구할 경우에는 일반적으로 요소를 세분화하는 것이 바람직합니다. 구조물의 전체거동을 파악하기 위한 고유치해석 문제인 경우에는 국부모드(LocalMode)의 발생을 억제하기 위하여 모델을 단순화하는 것이 좋습니다. 특히 토목구조물의 예비설계단계(Preliminary Design Phase)에서는 상세모델보다는 구조물의 전체강성을 이론적 등가강성을 가진 보요소로 치환하는 것이 효과적입니다. 수치해석 모델을 입력하는데 주요한 고려사항은 다음과 같습니다. 절점의 위치를 선정할 때의 주요 고려사항은 구조물의 기하학적 형상, 재료, 단면의종류, 하중상태 등으로 절점이 필요한 위치는 다음과 같습니다.  해석결과가 필요한 위치  하중의 입력이 필요한 위치  강성(단면 또는 두께)이 변하는 위치 또는 구획선의 경계  재질이 변하는 위치 또는 구획선의 경계  개구부 주위와 같이 응력의 변화가 심한 위치 또는 구획선의 경계  구조물의 경계부분  구조형상이 변하는 위치 또는 구획선의 경계 선요소(트러스요소, 보요소 ... 등)의 경우는 요소의 크기에 영향을 받지 않지만, 판형요소(평면응력요소, 평면변형요소, 축대칭요소, 판요소) 또는 입체요소의 경우는 요소의 크기, 형상, 분포에 따라 결과치에 큰 영향을 받게 됩니다. 판형요소 또는 입체요소의 크기와 분포방법을 결정할 때, 응력의 변화가 심한 곳과 정확한 해가 요구되는부분에 대해서는 세분화하고, 예상되는 응력의 분포형태를 고려하여 응력등고선(Contour)을 따라 분할하는 것이 바람직합니다. 일반적으로 요소의 세분화가 필요한 부위는 다음과 같습니다.  기하학적 불연속부위 또는 개구부 주위  하중의 변화가 심한 부위, 특히 상대적으로 큰 집중하중이 작용하는 위치의인접부위  강성 또는 물성치가 변하는 부위  불규칙한 경계부위  응력집중이 예상되는 부위  정밀한 요소내력 또는 응력결과가 필요한 부위 요소의 크기 및 형상을 결정할 때 기본적으로 고려해야 하는 사항은 다음과 같습니다.  요소의 크기와 모양은 가능한 한 일정하게 유지해야 합니다.  요소크기의 변화가 필요한 부위에 대해서는 로그분포(LogarithmicConfiguration)를 가지도록 합니다.  인접요소간의 요소크기 차이가 1/2이하가 되도록 합니다.  응력을 구할 경우에는 4절점요소(면요소) 또는 8절점요소(입체요소)를 사용하고, 요소형상비는 1:1일 경우가 최적의 조건이며 불가피할 경우에는 1:4를 넘지않도록 합니다. 그리고 강성전달 목적이거나 변위를 구할 경우에는 1:10을넘지 않도록 하는 것이 좋습니다.  이상적인 모서리각도는 요소의 면이 사각형일 때는 90°이고 삼각형일 때는60°입니다.  불가피한 경우라도 사각면의 모서리각도는 가능한 한 45°이하 또는 135°이상이 되지 않도록 하며, 삼각면일 경우는 내부각이 30°이하나 150°이상이 되지않도록 합니다.  사각형일 경우 모서리절점은 가능한 한 동일평면상에 존재하는 것이 좋으며높이차가 장변길이에 대해 1/100을 넘지 않도록 합니다. 다음은 요소종류별 주요용도와 사용상 고려해야 할 사항에 대해 서술합니다. # 4-1 트러스요소, 인장력 전담요소, 압축력 전담요소 이 요소들은 공간트러스, 케이블, 대각부재 등과 같이 부재의 축방향으로만 힘을 받는 부재나 접촉면의 모델링에 주로 사용됩니다. 예를 들어 트러스요소는 축방향으로 압축 및 인장을 받을 수 있는 트러스구조의 모델에 사용될 수 있으며, 인장력전담요소는 Sagging을 무시할 수 있는 케이블 또는 대각부재 중 세장비가 커서 압축력을 거의 전달할 수 없는 Wind Bracing 등과 같은 부재에 사용될 수 있습니다. 그리고 압축력전담요소는 구조체간의 접촉면이나 인장을 받을 수 없는 지반경계조건 등을 반영하는데 응용될 수 있습니다. 프리스트레스를 받는 경우에는 Pretension Loads를 이용할 수 있습니다. 이 요소들은 회전강성이 없어서 양단의 연결절점에서 회전변위에 대한 자유도를 가지지 못하기 때문에 이 요소들 또는 기타 회전자유도가 없는 요소끼리 접하는 절점에서는 해석과정에서 특이성 오류(Singular Error)가 발생됩니다. midas Civil에서는 이러한 경우 해당절점의 회전자유도를 자동구속시킴으로써 특이성 오류의 발생을 방지하고 있습니다. 그러나 이 요소들이 회전방향강성을 가진 보요소와 연결될 때는 별도로 특이성 오류를 방지하기 위한 조치가 필요 없습니다. 그림 1.4.1과 같이 트러스요소끼리 연결할 경우에는 불안정구조체가 되지 않도록 주의해야 합니다. 그림 1.4.1(a)의 경우는 평면방향으로 하중이 가해질 때 하중을 지지하여 전달할 수 있는 회전강성이 없기 때문에 불안정구조체가 되며 그림 1.4.1(b), (c)의 경우도 마찬 가지로 Y-Z 평면에 대해서는 안정적이지만 하중작용방향인 X-Z 평면방향의 거동에