$$ F _ {C n} = F _ {C o} + \frac {\partial F}{\partial \widetilde {\sigma}} ^ {T} \dot {\widetilde {\sigma}} + \frac {\partial F}{\partial \varepsilon_ {p}} \dot {\varepsilon} _ {p} = F _ {C o} + \widetilde {\mathbf {a}} _ {C} ^ {T} \dot {\widetilde {\sigma}} - h \dot {\lambda} = 0 \tag {21} $$ 여기서, $\varepsilon_{p}$ : 유효 소성 변형율 따라서, $\dot{\lambda}$ 는 다음과 같이 구해지고, 최종적인 응력의 값도 얻을 수 있습니다. $$ \dot {\lambda} = \frac {F _ {o} - \mathbf {a} ^ {T} \mathbf {r} _ {o}}{\mathbf {a} ^ {T} \mathbf {D} ^ {e} \mathbf {a} + h} \tag {22} $$ # 8-6-4 소성 재료 모델 4가지 일반적인 소성 모델이 이용 가능합니다. - Tresca, von Mises – 금속과 같이, 소성 비압축성(Plastic Incompressibility)을 보이는 연성 재료에 대해 적합합니다(그림 2.8.28). - Mohr-Coulomb, Drucker-Prager – 콘크리트나 암석, 지반처럼, 부피 소성 변형을 보이는 재료에 대해 적합합니다(그림 2.8.29). 

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von Mises yield surface σ₃ Hydrostatic axis Tresca yield surface σ₂ σ₁

그림 2.8.28 Tresca와 von Mises 항복 기준 

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Drucker-Prager Mohr-Coulomb -σ₁ -σ₃ -σ₂ σ₁ ρₜ ρc σ₂ σ₃

그림 2.8.29 Mohr-Coulomb과 Drucker-Prager 항복 기준 # Tresca 기준 Tresca 항복 기준은 금속과 같이 부피 소성 변형을 보이지 않고, 연성인 재료에 대해 적합합니다. 이 기준을 따르면, 최대 전단 응력이 규정된 값에 도달할 때 항복이 시작됩니다. 그러므로, 주응력(Principal Stress)이 $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3} \left( \sigma_{1} \geq \sigma_{2} \geq \sigma_{3} \right)$ 이면, 항복 함수는 식 (23)과 같습니다. $$ F (\widetilde {\sigma}, \kappa) = \sigma_ {1} - \sigma_ {3} - \kappa \left(\varepsilon_ {p}\right) \tag {23} $$ 응력 상태가 항복면 상의 특이점에 있을 때 수치적 문제가 발생할 수 있으며, Tresca 기준에 대해 이는 편각 (Lode Angle) θ 가 ± 30°에 근접할 때 발생할 수 있습니다. 따라서, 이 경우에 대해서는 응력 적분 방법이 보정되어야 합니다. midas Civil에서는 θ >29°일 때, 흐름 벡터를 형성하기 위해 Von Mises 항복 기준이 사용됩니다. # Von Mises 기준 Von Mises 기준은 금속에 대해 가장 일반적으로 수용되는 항복 기준입니다. 이 기준은 변형 에너지를 기반한 것으로, 항복 함수는 다음과 같습니다. $$ F (\underset {\sim} {\sigma}, \kappa) = \sqrt {3 J _ {2}} - \kappa \left(\varepsilon_ {p}\right) \tag {24} $$ 여기서, J₂는 두 번째 편향 응력 상수 (Second Deviatoric Stress Invariant) 입니다. # Mohr-Coulomb 기준 Mohr-Coulomb 기준은 콘크리트, 지반, 암석과 같은 부피 소성 변형을 보이는 재료에 적합합니다. Mohr-Coulomb 항복 기준은 Coulomb 마찰 법칙의 일반화로서, 다음과 같이 정의됩니다. $$ F \left(\underset {\sim} {\sigma}, \kappa\right) = \tau - \left(c - \sigma_ {n} \tan \phi\right) \tag {25} $$ 여기서 τ: 전단 응력의 크기 $\sigma_{n}$ : 수직 응력 C: 점성 $\phi$ : 내부 마찰각 점성 c와 내부 마찰각 $\phi$ 는 모두 변형율 경화 인자 K에 따릅니다. Tresca 기준과 마찬가지로, 응력 지점이 항복면의 특이점에 있을 때 수치적 문제가 발생합니다. Mohr-Coulomb 기준에 대해서 이는 편각 (Lode Angle) θ 가 ± 30°에 근접하거나 꼭지점에서 발생할 수 있습니다. 따라서, 이 두 경우에 대해서는 응력 적분 방법이 보정되어야 합니다. midas Civil에서는 θ >29°일 때, 흐름 벡터를 형성하기 위해 Drucker-Prager 기준이 사용됩니다. # Drucker-Prager 기준 Drucker-Prager 기준은 지반, 콘크리트, 암석 등의 부피 소성 변형을 보이는 재료에 대해 적합합니다. 이 기준은 Mohr-Coulomb 기준과 근사하고, Von Mises 기준의 확장된 형태입니다. 항복 함수는 정수압 (Hydrostatic Stress) 의 영향을 포함하고, 다음과 같이 정의됩니다. $$ F (\widetilde {\sigma}, \kappa) = \frac {2 \sin \phi}{\sqrt {3} (3 - \sin \phi)} I _ {1} + \sqrt {J _ {2}} - \frac {6 c \cos \phi}{\sqrt {3} (3 - \sin \phi)} \tag {26} $$ 여기서, I는 첫 번째 응력 상수 (First Stress Invariant) 입니다. Drucker-Prager 기준에 대해서는, 응력 지점이 항복면의 꼭지점 상에 있을 때 수치적 문제가 발생합니다. # 8-6-5 경화 법칙 # 유효 소성 변형율(Effective Plastic Strain)의 정의 방식에 따른 분류 # 1. 변형율 경화 (Strain Hardening) 변형율 경화에 대해, 유효 소성 변형율은 다음과 같이 정의됩니다. $$ d \varepsilon_ {p} = \sqrt {\frac {2}{3} \left(d \underset {\sim} {\varepsilon} ^ {p}\right) ^ {T} d \underset {\sim} {\varepsilon} ^ {p}} = \sqrt {\frac {2}{3} \underset {\sim} {\mathbf {a}} ^ {T} \underset {\sim} {\mathbf {a}}} d \lambda \tag {27} $$ 이 유효 소성 변형율은 부피 소성 변형이 없다는 가정 하에서 소성 변형율의 랣(Norm)을 단일 축 변형율에 맞게 스케일링 한 것입니다. 따라서, 이것은 원칙적으로는 Tresca나 Von Mises에만 적용되어야 하겠지만, 수치적인 편리함으로 인해 다른 경우에도 많이 사용됩니다. # 2. 일 경화 (Work Hardening) 소성 일의 증분은 다음과 같습니다. $$ d W _ {p} = \underset {\sim} {\sigma} ^ {T} d \underset {\sim} {\varepsilon} ^ {p} = d \lambda \underset {\sim} {\mathbf {a}} ^ {T} \underset {\sim} {\sigma} \tag {28} $$ 단일 축 경우에 대해, 위의 소성 일의 증분은 다음과 같습니다. $$ d W _ {p} = \sigma_ {1} d \varepsilon_ {1} = \sigma_ {e} d \varepsilon_ {p} \tag {29} $$ 따라서,일 경화에 대한 유효 소성 변형율은 다음과 같이 정의됩니다. $$ d \varepsilon_ {p} = \frac {\mathbf {a} ^ {T} \boldsymbol {\sigma}}{\boldsymbol {\sigma} _ {e}} d \lambda \tag {30} $$ # 항복면의 변화 형식에 따른 분류 # 1. 완전 소성 (Perfectly Plastic) 완전 소성 재료에 대해, 소성 변형이 일어나고 항복면은 변하지 않습니다. 따라서 항복 함수는 다음과 같이 표현됩니다. $$ F \left(\underset {\sim} {\sigma}, \kappa\right) = \sigma_ {e} \left(\underset {\sim} {\sigma}\right) - \kappa \tag {31} $$ 여기서 K는 상수입니다. # 2. 등방성 경화(Isotropic Hardening) 등방성 경화의 경우에는, 그림 2.8.30(a)에서와 같이 항복면이 균일하게 팽창하므로, 항복 함수는 다음과 같이 표현됩니다. $$ F (\underset {\sim} {\sigma}, \kappa) = \sigma_ {e} (\underset {\sim} {\sigma}) - \kappa (\varepsilon_ {p}) \tag {32} $$ # 3. 운동형 경화 (Kinematic Hardening) 운동형 경화의 경우에 항복면은 그림 2.8.30(b)에서 처럼 크기는 변하지 않고 위치만 이동되므로, 항복 함수는 다음과 같이 표현됩니다. $$ F \left(\underset {\sim} {\sigma}, \underset {\sim} {\alpha}, \kappa\right) = \sigma_ {e} \left(\underset {\sim} {\sigma} - \underset {\sim} {\alpha}\right) - \kappa \tag {33} $$ 여기서 $\alpha$ : 항복면 중심 좌표 K: 상수 운동형 경화에서는 유발 항복면 중심 좌표 α 를 결정하는 것이 중요합니다. 경화 인자 α 를 결정하는 방법은 보통 두 가지가 있는데, 하나는 Prager의 경화 법칙이고, 다른 하나는 Ziegler의 경화 법칙입니다. Prager의 경화 법칙은 다음과 같이 표현됩니다. $$ d \underset {\sim} {\alpha} = C _ {p} d \underset {\sim} {\varepsilon} ^ {p} = C _ {p} \underset {\sim} {\mathbf {a}} d \lambda \tag {34} $$ 여기서 $C_{p}$ 는 Prager 경화 계수입니다. 

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σ A B O C ε A' B'

(a) 등방성 경화 

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σ A B a O C ε a' A' B'

(b) 운동형 경화 그림 2.8.30 일차원에서의 경화법칙 이 방법은 응력의 부 공간에서 사용될 때, 몇 가지 문제가 발생할 수 있습니다. 가령 응력의 어떤 성분이 0이더라도 $d\alpha$ 는 0이 아닐 수 있기 때문에 항복면의 이동만을 나타내지 않을 수 있습니다. Ziegler의 경화 법칙은 중심의 이동 변화율 $d\alpha$ 가 감소된 응력(Reduced-Stress) 벡터 $\sigma-\alpha$ 의 방향으로 발생한다고 가정하므로, 이러한 문제가 발생하지 않습니다. 이 경화 법칙은 다음과 같이 표현됩니다. $$ d \underline {{\alpha}} = d \mu (\underline {{\sigma}} - \underline {{\alpha}}) = C _ {z} d \varepsilon_ {p} (\underline {{\sigma}} - \underline {{\alpha}}) \tag {35} $$ 여기서 $C_{z}$ 는 Ziegler 경화 계수입니다. # 4. 혼합형 경화 (Mixed Hardening) 혼합형 경화는 등방성 경화와 운동형 경화가 조합된 형태로 다음과 같이 표현됩니다. $$ F \left(\underset {\sim} {\sigma}, \underset {\sim} {\alpha}, \kappa\right) = \sigma_ {e} \left(\underset {\sim} {\sigma} - \underset {\sim} {\alpha}\right) - \kappa \left(\varepsilon_ {p}\right) \tag {36} $$ # 8-6-6 재료비선형 모델 사용시 주요 고려사항 midas Civil에 탑재되어 있는 재료비선형 모델들은 탄소성 모델로써 Von Mises,Tresca, Mohr-Coulomb, Drucker-Prager로 구성된 네 개의 모델이 있습니다. 이중Von Mises, Tresca모델은 구속압력에 독립적인 형태의 모델로써 연성재료인 강재의모델링에 적합한 재료모델입니다. Mohr-Coulomb모델과 Drucker-Prager모델은 구속압에 종속적인 특성을 가지며 콘크리트나 암반 또는 지반과 같은 취성거동을 하는재료에 적합합니다. 네 개의 각 모델들은 모두 등방성경화모델(Isotropic Hardening)과 이동경화모델(Kinematic Hardening)을 가지고 있습니다. 그러나 실무적으로 이동경화모델은 강재와 같은 연성재료에서 나타나는 거동특성으로써 Von Mises,Tresca모델에 많이 사용되며 Mohr-Coulomb, Drucker-Prager와 같은 취성모델에는일반적으로 사용하지 않습니다. midas Civil 에서는 경화거동을 Bilinear거동으로 규정하고 있으며 Cyclic 하중을 받는 강재에 등방성경화와 이동경화모델을 혼용하는Mixed 모델을 적용할 경우 다음 그림과 같은 응력경로를 보입니다. 

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σ ε

그림 2.8.31 Cyclic 하중을 받는 강재의 거동 시공시 많이 사용되는 일반 구조용강을 해석할 경우는 다음 그림과 같이 완전소성거동을 가정하는 것이 일반적이지만 항복점을 넘어서는 경우 강성이 0이 되므로구조물의 모델링 시 특별한 주의를 요합니다. 

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| ε | σ | | ---- | ---- | | 0 | 0 | | ε | Yield Stress |

그림 2.8.32 완전 소성거동 콘크리트와 같은 취성모델들은 다음 그림과 같이 인장거동과 압축거동이 다릅니다.인장거동의 경우 균열모델을 사용하여 거동을 예측하는 것이 일반적입니다. midasCivil에서는 균열모델과 콘크리트의 압축 거동 시 관측되는 비선형 경화거동에 대한 모델은 현재 탑재되어 있지 않습니다. 

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| ε | σ | | ---- | ---- | | 0.0 | 0.0 | | 0.5 | 0.5 | | 1.0 | 0.0 |

그림 2.8.33 콘크리트의 인장 및 압축거동 Mohr-Coulomb이나 Drucker-Prager모델의 경우 3차원 주응력 공간 상에서 아래의두 그림과 같이 육각추나 원추형 형상의 파괴면을 갖습니다. 탄소성 모델의 수치해석 시 요구되는 응력회귀는 이러한 파괴면의 수직방향을 사용합니다. 

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-σ₁ hydrostatic axis -σ₃ -σ₂

(a) Mohr-Coulomb failure surface 

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σ₁ θ rᵢ₀ r꜀₀ σ₂ σ₃

(b)  -plane 

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θ = -π/6 r₀ = 2√6c cosø / 3 + sinø √3c cotø hydrostatic axis r₀ = 2√6c cosø / 3 - sinø θ = π/6

(c) meridian plane 그림 2.8.34 Mohr-Coulomb yield surface in Π-plane & meridian plane 

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-σ₁ hydrostatic axis -σ₃ -σ₂

(a) Drucker-Prager failure surface 

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σ₁ θ r r₀ σ₂ σ₃

(b)  -plane 

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θ = -π/6 √6α 1 deviatoric axis r₀ = √2k k √3α hydrostatic axis 1 r₀ = √2k θ = π/6

(c) meridian plane 그림 2.8.35 Drucker-Prager yield surface in Π-plane & meridian plane