# 6. Load/Constraint # 6.1 하중 midas NFX에서 사용할 수 있는 정적 하중은 크게 힘, 관성력, 변위 그리고 온도에 의한 열팽창으로 구분할 수 있으며 각각을 정리하면 표 6.1.1과 같다. 표 6.1.1 midas NFX 에서 사용할 수 있는 하중

종류	적용 범위
절점하중 (nodal force)	절점
압력하중 (pressure load)	2 차원 요소, 3 차원 요소
Bar 요소 하중	Bar 요소
중력 (gravity)	질량을 가지는 모든 요소
회전 관성력 (rotational force)	질량을 가지는 모든 요소
강제 변위하중 (specified displacement)	절점
온도(열팽창) 하중 (temperature load)	절점, bar 요소, shell 요소
선행 하중 (preload)	질량을 가지는 모든 요소

• 절점하중 절점하중은 가장 기본적인 하중으로 각 절점 별로 3개 성분의 힘과 3개 성분의모멘트를 입력할 수 있으며, 그 방향은 임의의 좌표계에 대해 정의할 수 있다. • 압력하중 압력하중은 요소의 면(face)이나 변(edge)에 분포하중 형태로 입력한다. 2차원 요소 또는 3차원 요소에 사용 가능하며, 입력 방향은 임의 좌표계의 축방향, 임의벡터 방향 그리고 수직방향이 가능하다. 그림 6.1.1은 여러 가지 요소에 작용하는 압력하중의 예를 보여주고 있다. 

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Three 3D structural diagrams showing force distribution on a rectangular frame, with arrows indicating direction and grid lines (no text or symbols)

그림 6.1.1 여러가지 요소에 작용하는 압력하중 • 중력 중력은 구조물의 자중 또는 관성력을 모델링 하는데 사용되며 질량을 가지는 모든 요소에 재하가 가능하다. 위치에 따라 다른 크기의 중력을 받도록 하거나 임의의 좌표계에 대해 방향을 입력할 수 있다. • 회전 관성력 회전 관성력은 구조물이 특정 축에 대해 회전하는 경우, 각속도(angular velocity)에 의한 원심력(centrifugal force)과 각가속도(angular acceleration)에 의한 관성력을 모델링하는데 사용된다. 

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ω,α G r a×r m F -ω×(ω×r) z y x

그림 6.1.2 회전 관성력의 정의와 작용하는 힘의 방향 그림 6.1.2와 같이 축 R을 중심으로 회전하고 있는 절점의 회전 관성력은 다음식으로 표현된다. $$ \mathbf {F} = m (- \boldsymbol {\omega} \times (\boldsymbol {\omega} \times \mathbf {r}) + \boldsymbol {\alpha} \times \mathbf {r}) \tag {6.1.1} $$ ω : 회전 각속도 벡터 r : 회전축으로부터의 위치벡터 α : 회전 각가속도 벡터 \- 강제 변위 강제 변위는 특정 절점에 변위를 부여하는 것으로서 절점의 변형 후 위치를 알고 있을 때 사용된다. 강제 변위는 구조물의 변형을 발생시키기 때문에 하중으로 분류하고 있으나, 구속력이 발생하는 등 경계조건과 유사한 특징이 있다. 해석하고자 하는 문제의 자유도 전체를 $u_{A}$ 라 하고 이를 강제 변위가 부여된 자유도와 나머지 자유도로 구분하면 다음과 같다. $$ \mathbf {u} _ {A} = \left\{ \begin{array}{l} \mathbf {u} _ {F} \\ \mathbf {u} _ {S} \end{array} \right\} \tag {6.1.2} $$ $u_{F}$ : 강제 변위가 부여되지 않은 자유도 $u_{S}$ : 강제 변위가 부여된 자유도 같은 원리로 강성행렬 역시 다음과 같이 구분하여 표현할 수 있다. $$ \mathbf {K} _ {A A} \mathbf {u} _ {A} = \left[ \begin{array}{l l} \mathbf {K} _ {F F} & \mathbf {K} _ {F S} \\ \mathbf {K} _ {S F} & \mathbf {K} _ {S S} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \mathbf {u} _ {F} \\ \mathbf {u} _ {S} \end{array} \right\} = \mathbf {f} _ {A} = \left\{ \begin{array}{l} \mathbf {f} _ {F} \\ \mathbf {f} _ {S} \end{array} \right\} \tag {6.1.3} $$ 위식에서 $u_{s}$ 는 결정된 값이므로 행렬 방정식의 두 번째 행은 의미를 가지지 않는다. $u_{s}$ 를 이용하여 첫 번째 행을 정리하면 다음과 같이 강제 변위에 의한 하중을 계산할 수 있다. $$ \mathbf {K} _ {F F} \mathbf {u} _ {F} = \mathbf {f} _ {A} - \mathbf {K} _ {F S} \mathbf {u} _ {S} \tag {6.1.4} $$ # • 온도 하중 온도 하중은 초기온도와 최종온도의 차이 로 나타낼 수 있으며, 재료온도$T _ { m }$ 에 의해 결정되는 열팽창 계수에 의하여 변형률 를 발생시킨다.그러므로 초기온도와 최종온도를 각각 구조물에 정의해야 한다. 온도를 정의하는 방법은 표 6.1.2와 같다. 표 6.1.2 구조물에 정의할 수 있는 온도의 종류

종류	적용 범위
기본 온도	온도가 정의되지 않은 모든 절점
절점 온도	절점
요소 온도	bar, membrane, plane strain, shell온도 구배 : bar, shell

표 6.1.2에 표시된 온도는 초기온도와 최종온도로 모두 사용될 수 있으며, 초기온도를 설정하지 않은 경우에는 재료 성질에 정의되어 있는 참조온도(referencetemperature)를 사용한다. # • 선행 하중 선행 하중은 요소가 해석 초기에 받게 되는 부재력을 정의하는 것으로서, 볼트의 체결력(bolt load) 혹은 프리텐션과 초기힘/스트레스가 이에 해당한다. 선행하중은 다른 하중과 분리하여 해석하게 되며, 그 해석 절차는 다음과 같다. 예를 들어 bar 요소에 작용하는 선행 하중의 크기를 라 하면, 이를 요소 내력으로 간주하여 선행 하중해석을 수행한다. $$ \mathbf {K} \mathbf {u} = - \mathbf {f} _ {\text { int }} \tag {6.1.5} $$ $\mathbf { f } _ { \mathrm { i n t } }$ : 선행 하중 에 의한 요소 내력 이 때 볼트의 체결력은 선행 하중을 받은 요소의 강성을 무시함으로써, 인접 요소에 선행 하중의 크기가 정확하게 전달되도록 한다. 해석 결과는 초기응력(initial stress)으로 간주하여 일반 하중과 함께 해석에 적용한다. 초기 힘/스트레스는 재하된 선행 하중으로 발생한 초기응력이 다른 일반 하중에 의한 응력과 합쳐지며, 선행 하중을 받은 요소의 강성을 무시하지 않아 인접 요소에 선행 하중의 크기가 정확히 전달되지 않는다. 이 하중은 케이블 혹은 바요소 등의 초기 긴장력을 표현하는데 사용한다. $$ \mathbf {K} \Delta \mathbf {u} = \mathbf {f} - \mathbf {f} _ {\text { int }} (\boldsymbol {\sigma}) \tag {6.1.6} $$ f(0） : 초기응력에 의한 요소 내력 # 6.2 구속조건 구속조건은 크게 단일 절점 구속(single-point constraint)과 다중 절점 구속(multi-point constraint)이 있다. 단일 절점 구속이란 구속조건이 하나의 절점에적용되는 것을 의미하며 다중 절점 구속이란 여러 개의 절점 자유도 간에 특정한 관계가 성립하도록 구속하는 것을 의미한다. # • 단일 절점 구속 단일 절점 구속은 구속하고자 하는 개별 절점의 자유도 성분을 선택적으로 고정시킴으로써 해당 자유도를 제거하는 결과를 가져오게 된다. 단일 절점 구속을사용하는 대표적인 경우는 실제로 변위가 발생하지 않는 지점에 적용하거나 대칭조건을 설정하기 위하여 사용하는 것이다. 이 밖에도 해석에 반영하면 안 되는 자유도를 제거하기 위하여 단일 절점 구속을 사용하기도 한다. 이 방법은 강성행렬의 특이성을 제거하는 것과 같으며, 특히 구속조건을 적용하고자 하는 방향을 적절하게 설정하는 것이 중요하다. 예를들어 다음 그림과 같은 예제에 있어서 두 rod 요소가 만나는 절점은 축방향으로만 자유도를 가지게 되므로 그 이외의 자유도는 해석에 반영되면 안 된다. 따라서 그 이외의 방향을 적절히 구속하여 강성행렬에서 특이성을 제거해야 하는데, 좌표축이 그림과 같이 x-y 좌표계로 정의되어 있다면 적절한 구속 방향을결정할 수 없다. 그러므로 요소의 축방향과 이에 수직인 벡터 을 포함하는 새로운 절점 변위 좌표계를 정의하여, n 방향을 구속해 줌으로써 해석에 필요한적절한 구속조건의 설정이 이루어질 수 있다. 

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n y ROD 1 ROD 2 x

그림 6.2.1 절점 변위 좌표계의 사용 예 • 다중 절점 구속 다중 절점 구속은 여러 개의 절점 자유도 간의 선형 관계식을 이용하여 구속조건을 적용하는 것으로서 선형 관계식의 일반적인 형태는 다음과 같다. $$ R _ {j} u _ {j} = 0 \tag {6.2.1} $$ $R _ { j }$ : 선형 관계식의 계수 $u _ { j }$ : 구속조건에 관계된 자유도 다중 절점구속 조건이 여러 개 있을 경우 다음과 같이 행렬 형태로 나타낼 수있다. $$ \mathbf {R} _ {M} \mathbf {u} _ {M} = \mathbf {0} \tag {6.2.2} $$ 위와 같은 다중 절점 구속조건을 연립방정식에 적용하기 위해서는 $\mathbf { u } _ { M }$ 을 주자유도(independent DOF)와 종속자유도(dependent DOF)로 구분하여, 연립방정식으로부터 종속자유도를 소거하는 방법을 사용한다. 먼저 다중 자유도 구속조건에 관여하는 자유도를 다음과 같이 주자유도 $\mathbf { u } _ { I }$ 와 종속자유도 ${ \bf u } _ { D }$ 로 구분한다. $$ \mathbf {u} _ {M} = \left\{ \begin{array}{l} \mathbf {u} _ {I} \\ \mathbf {u} _ {D} \end{array} \right\}, \mathbf {R} _ {M} = \left[ \begin{array}{l l} \mathbf {R} _ {I} & \mathbf {R} _ {D} \end{array} \right] \tag {6.2.3} $$ 위 식을 이용하면 (6.2.2)를 다음과 같이 표현할 수 있다. $$ \mathbf {R} _ {I} \mathbf {u} _ {I} + \mathbf {R} _ {D} \mathbf {u} _ {D} = \mathbf {0} \tag {6.2.4} $$ 주어진 식에서 $\mathbf { R } _ { D }$ 의 역행렬이 존재한다면 주자유도와 종속자유도 간의 관계식을 다음과 같이 정리할 수 있다. $$ \mathbf {u} _ {D} = - \mathbf {R} _ {D} ^ {- 1} \mathbf {R} _ {I} \mathbf {u} _ {I} = \mathbf {G} \mathbf {u} _ {I} \tag {6.2.5} $$ 이 식을 이용하여 전체 모델로 이루어진 연립방정식으로부터 종속자유도 $\mathbf { u } _ { D } \triangleqq$ 소거할 수 있다. 다중 절점 구속은 그 적용 범위가 매우 넓어서 다음과 같은 다양한 경우에 활용할 수 있다. ► 두 절점 간의 상대적 운동을 모사하는 경우 ► 힌지 또는 슬라이딩 조인트를 모사하는 경우 ► 절점 당 자유도 개수가 서로 다른 요소 간의 인접부를 결합하는 경우 ► 하중을 분산하여 작용하도록 하고자 할 때 ► 절점에 할당된 변위 좌표계에 일치하지 않는 방향으로 구속조건을 적용하고자하는 경우 강체/보간 요소에서 발생하는 자유도 간의 구속은 다중 절점 구속의 한 종류에해당하며, 실제로 강체/보간 요소에 의해 표현되는 거동의 경우에는 다중 절점구속을 사용하는 것보다 강체/보간 요소를 이용하는 것이 편리하다. • 자동 단일 절점 구속 midas NFX에서는 절점 단위에서 강성행렬의 특이성(단일 절점 특이성)을 자동으로 발견하여 구속조건을 자동으로 적용해 주는 자동 단일 절점 구속(automatic single-point constraint) 기능이 있다. 이 기능을 사용하게 되면 절점단위로 변위 또는 회전에 대해 구성된 3x3 강성행렬을 분석하여, 강성이 0에 가까운 방향으로 구속 조건을 생성한다. 그림 6.2.1과 같이 rod 요소로 이루어진 모델에 대해서 자동 구속을 사용하면,앞서 설명한 단일 자유도 구속을 정의하지 않더라도 강성 성분이 없는 방향으로의 구속조건이 자동 생성된다. 이 경우 앞에서와 마찬가지로 요소의 축방향과 이에 수직인 벡터 을 포함하는 절점 변위 좌표계를 정의해 두는 것이 중요하다. • 구속력 계산 구속조건이 적용된 자유도에 대해서는 구속력이 작용하게 되는데, 해가 구해진경우 다음과 같이 단일 절점 구속 및 다중 절점 구속에 대한 구속력을 계산할수 있다. 단일 절점 구속력 와 다중 절점 구속력 는 다음 평형방정식을 만족시켜야한다. $$ \mathbf {f} _ {\text { int }} = \mathbf {f} _ {\text { ext }} + \mathbf {f} _ {S} + \mathbf {f} _ {M} \tag {6.2.6} $$ $f_{ext}$ : 외부 하중 벡터 $f_{int}$ : 내력 벡터 ( $\int B^{T}\sigma d\Omega$ ) 위 식을 주자유도(,,I)와 종속자유도 성분(,,D)으로 분리하고, 단일 절점 구속과 다중 절점 구속이 동일한 자유도에 적용될 수 없다는 조건을 이용하면 다음과 같이 정리할 수 있다. $$ \left\{ \begin{array}{l} \mathbf {f} _ {\text { int }, I} \\ \mathbf {f} _ {\text { int }, D} \end{array} \right\} = \left\{ \begin{array}{l} \mathbf {f} _ {\text { ext }, I} \\ \mathbf {f} _ {\text { ext }, D} \end{array} \right\} + \left\{ \begin{array}{l} \mathbf {f} _ {S, I} \\ \mathbf {0} \end{array} \right\} + \left\{ \begin{array}{l} \mathbf {f} _ {M, I} \\ \mathbf {f} _ {M, D} \end{array} \right\} \tag {6.2.7} $$ 따라서 종속자유도에 대한 구속력 $f_{M,D}$ 는 다음과 같이 계산할 수 있다. $$ \mathbf {f} _ {M, D} = \mathbf {f} _ {\text { int }, D} - \mathbf {f} _ {\text { ext }, D} \tag {6.2.8} $$ 또한 주자유도에 대한 구속력 $f_{M,I}$ 는 (6.2.5)를 이용하면 다음의 관계를 만족한다. $$ \mathbf {f} _ {M, I} = - \mathbf {G} ^ {T} \mathbf {f} _ {M, D} \tag {6.2.9} $$ 이와 같이 다중 절점 구속력이 구해지고 나면 (6.2.7)로부터 단일 절점 구속력 $f_{S,I}$ 를 최종적으로 계산할 수 있다. # 6.3 열하중/경계조건 midas NFX 열전달 해석에 있어서 열 하중 및 경계조건으로는 절점에 부가되는온도 경계조건, 절점, 선 및 표면에 가해지는 열속(heat flux), 대류(convection),복사(radiation) 등을 사용할 수 있으며, 각각을 정리하면 표 6.3.1과 같다. 그림6.3.1은 midas NFX 열전달 해석에서 고려할 수 있는 하중조건 및 경계조건을 나타낸다. 표 6.3.1 midas NFX 에서 사용할 수 있는 열 하중/경계조건

종류	적용 범위
절점 온도조건 (prescribed nodal temperature)	절점
발열 (heat generation)	1 차원 요소, 2 차원 요소, 3 차원 요소
열속 (heat flux)	절점, 1 차원 요소, 2 차원 요소, 3 차원 요소
대류 (convection)	절점, 1 차원 요소, 2 차원 요소, 3 차원 요소
파이프 냉각(pipe cooling)	1 차원 요소
복사 (radiation)	절점, 1 차원 요소, 2 차원 요소, 3 차원 요소
공동 복사 (cavity radiation)	2 차원 요소, 3 차원 요소