MultiPhysicsVault/.raw/MidasCivilAnalysisReference/MidasCivilAnalysisReference_003.md

3-1 트러스요소 (Truss Element)

3-1-1 일반사항

이 요소는 2개의 절점에 의해 정의되는 "Uniaxial Tension-Compression 3D Line Element"로서, 일반적으로 공간트러스(Space Truss) 또는 대각부재(Diagonal Brace) 등을 모델링 하는데 사용되며 요소 축방향의 힘만 전달할 수 있습니다.

3-1-2 요소자유도 및 요소좌표계

요소자유도는 요소좌표계 x방향의 변위자유도만 갖습니다.

요소좌표계는 모든 요소의 부재력 또는 응력의 출력 기준이 되고, 특히 보요소의 전단강성과 힘강성의 입력방향을 정하는 기준이 되기 때문에 이 개념을 정확히 이해하는 것이 중요합니다.

트러스나 인장력/압축력 전담요소와 같이 축방향 강성만 가지는 요소의 경우는 요소 좌표계 x축만 의미를 가지며 y, z축은 의미를 가지지 않지만, 그래픽 화면상에 부재 단면의 배치방향을 지정하는데 필요합니다.

midas Civil은 사용자 편의를 위해 요소좌표계 y, z축의 방향을 지정하는데 Beta Angle(β) 개념을 사용합니다.

모든 선요소의 요소좌표계 x축은 N1 절점에서 N2 절점으로 진행하는 방향이 됩니다. (그림 1.3.2 참조) 선요소의 요소좌표계 x축이 전체좌표계 Z축과 평행하면 Beta Angle은 전체좌표계 X축과 요소좌표계 z축이 이루는 각도가 됩니다. 각도의 부호는 요소좌표계 x축을 회전축으로 한 오른손법칙을 따릅니다. 그리고, 요소좌표계 x축이 전체좌표계 Z축과 평행하지 않으면 Beta Angle은 전체좌표계 Z축과 요소좌표계 x-z 평면이 이루는 수직각도가 됩니다.

midas Civil에서 선요소란 트러스, 인장력전담, 압축력전담, 보, 변단면요소와 같이 선형인 요소를 통칭하며, 면요소(또는 판형요소)는 평면응력요소, 판요소, 평면변형요소, 축대칭 요소 등을 의미한다.

text_image

Y' z β X' X' Y Z' Z X GCS Y' X' Z' y

g through node N1 and parallel with the global X-axis g through node N1 and parallel with the global Y-axis through node N1 and parallel with the global Z-axis

(a) 수직부재인 경우 (요소좌표계 x축이 전체좌표계 Z축과 평행할 경우)

text_image

z β y z Y' x X' Z' Y GCS

text_image

Z' z x X' y Y' β

(b) 수평 또는 대각부재인 경우 (요소좌표계 x축이 전체좌표계 Z축과 평행하지 않을 경우)
그림 1.3.1 Beta Angle의 개념도

3-1-3 요소관련 기능

Create Elements	요소의 입력
Material	재료적 성질 입력
Section	단면성질 입력
Pretension Loads	프리텐션하중 입력

3-1-4 요소내력 출력내용

요소내력의 출력치에 대한 부호규약은 그림 1.3.2와 같고, 화살표 방향이 양(+)의 방향을 의미합니다.

text_image

※ 화살표 방향이 양(+)의 방향을 의미한다. ECS x-axis Axial Force ECS z-axis N1 ECS y-axis N2 Axial Force

그림 1.3.2 트러스요소의 요소좌표계 및 요소내력(또는 응력) 출력치의 부호규약

TRUSS ELEMENT FORCES DEFAULT PR INTOUT

Unit System：kN，m

ELEM	MAT	SEC	LC	FORCE-I	FORCE-J
20	1	6	sLCB1	-22.81527	-22.77868
			sLCB2	-20.20131	-20.16994
			sLCB3	-27.16766	-27.13630
21	1	6	sLCB1	-42.00574	-41.93256
			sLCB2	-36.21717	-36.15445
			sLCB3	-49.17972	-49.11699
22	1	6	sLCB1	-43.48228	-43.37251
			sLCB2	-36.49496	-36.40087
			sLCB3	-50.08010	-49.98602

TRUSSELEMENT STRESSES DEFAULTPRINTOUT

Unit System :N，mm

ELEM	MAT	SEC	LC	STRESS-I	STRESS-J
20	1	6	sLCB1	-16.8006	-16.7737
			sLCB2	-14.8758	-14.8527
			sLCB3	-20.0056	-19.9825
21	1	6	sLCB1	-30.9321	-30.8782
			sLCB2	-26.6695	-26.6233
			sLCB3	-36.2148	-36.1686
22	1	6	sLCB1	-32.0194	-31.9385
			sLCB2	-26.8740	-26.8048
			sLCB3	-36.8778	-36.8086

그림 1.3.3 트러스요소의 요소내력 및 요소응력 출력 예

3-2 인장력 전담요소 (Tension-only Element)

3-2-1 일반사항

이 요소는 2개의 절점에 의해 정의되는 “Tension-only 3D Line Element” 로서, 일반적으로 Wind Brace나 Hook Element 등을 모델링 하는데 사용되며, 요소 축방향의 인장력만 전달할 수 있습니다.

인장력전담요소에서 입력할 수 있는 요소의 종류는 다음과 같습니다.

Truss

인장력전담요소로 인장력만을 받을 수 있는 트러스요소를 정의하는데 사용됩니다.

Hook

인장력전담요소로 일정한 초기간격(Hook Distance)을 가지며, 이 간격만큼 변위가 발생한 후에 요소의 강성이 발현됩니다.

text_image

N1 N2 X if hook distance = 0

(a) Truss Type

text_image

N1 N2 X if hook distance > 0

(b) Hook Type
그림 1.3.4 인장력 전담요소의 형태에 따른 개념도

3-2-2 요소자유도 및 요소좌표계

“트러스요소”와 동일한 요소자유도를 가지며, 요소좌표계도 동일한 체계를 따릅니다.

3-2-3 요소관련 기능

Main Control Data 인장력전담요소의 반복해석시 사용되는 수렴조건 입력

Material 재료적 성질 입력

Section 단면성질 입력

Pretension Loads 프리텐션하중 입력

3-2-4 요소내력 출력 내용

“트러스요소”와 동일한 부호체계를 따릅니다.

3-3 케이블 요소(Cable Element)

3-3-1 일반사항

이 요소는 2개의 절점에 의해 정의되는 “Tension-only 3D Line Element”로서, 요소 축방향의 인장력만 전달할 수 있으며, 부재의 장력에 따라 강성이 변화하는 케이블의 특성을 고려하는데 사용됩니다.

케이블요소는 선형해석시 등가 트러스요소로, 기하비선형 해석시 탄성현수선 요소로 자동 전환되어 해석에 적용됩니다.

flowchart

graph TD
    N1 --> N2
    N2 --> X
    style N1 fill:#f9f,stroke:#333
    style N2 fill:#f9f,stroke:#333
    style pretension fill:#ccf,stroke:#333

그림 1.3.5 케이블 요소의 개념도

3-3-2 등가 트러스요소

등가 트러스요소의 강성은 일반 탄성강성과 처짐(Sag)에 의한 강성으로 구성되며 장력의 변화에 따른 강성은 아래와 같은 식으로 산정합니다.

K _ {c o m b} = \frac {1}{1 / K _ {s a g} + 1 / K _ {e l a s t i c}}

K _ {c o m b} = \frac {E A}{L \left[ 1 + \frac {\left(w L _ {H}\right) ^ {2} E A}{1 2 T ^ {3}} \right]}

K _ {\text { elastic }} = \frac {E A}{L}, \quad K _ {\text { sag }} = \frac {1 2 T ^ {3}}{w ^ {2} L L _ {H} ^ {2}}

여기서

E:탄성계수

A: 단면적

L: 길이

w:단위길이당 자중

T:장력

LH:수평 길이

3-3-3 탄성현수선요소 (Elastic Catenary Cable Element)

midas Civil에서 기하비선형 해석에 적용하는 케이블요소에 대한 접선강성은 다음과 같은 방법으로 계산합니다.

그림 1.3.6과 같이 두 점을 갖는 케이블 요소에 i점에서의 변위 \Delta_{1} , \Delta_{2} , \Delta_{3} 와 j점에서의 변위 \Delta_{4} , \Delta_{5} , \Delta_{6} 가 발생하여 절점력이 F_{1}^{0}, F_{2}^{0}, F_{3}^{0}, F_{4}^{0}, F_{5}^{0}, F_{6}^{0} 에서 F_{1}, F_{2}, F_{3}, F_{4}, F_{5}, F_{6} 으로 변환되었을 때 절점력과 변위의 평형관계는 다음과 같습니다.

F _ {4} = - F _ {1}

F _ {5} = - F _ {2}

F _ {6} = - F _ {3} - \omega_ {0} L _ {0} \text {(단,} \omega_ {0} = \omega \text {로 가정 가능)}

l _ {x} = l _ {x} ^ {0} - \Delta_ {I} + \Delta_ {4} = f (F _ {1}, F _ {2}, F _ {3})

l _ {y} = l _ {y} ^ {0} - \Delta_ {2} + \Delta_ {5} = g (F _ {1}, F _ {2}, F _ {3})

l _ {z} = l _ {z} ^ {0} - \Delta_ {3} + \Delta_ {6} = h (F _ {1}, F _ {2}, F _ {3})

text_image

F⁰₂ F⁰₃ i {Δ₁, Δ₂, Δ₃} F⁰₁ x⁰ y⁰ F⁰₃ F₂ i′ F₁ x y F₃ F⁰₅ F⁰₄ {Δ₄, Δ₅, Δ₆} F⁰₆ j j′ F₄ F₅ F₆ F₆ w₀, A₀, L₀ w, A, L z⁰ z

그림 1.3.6 탄성현수선요소(케이블)의 접선강성 개념도

케이블의 전체좌표계 방향별 길이에 대한 미분식은 아래와 같고, 변위와 하중에 대한 관계를 정리하면 유연도 행렬([F])을 구할 수 있습니다. 유연도 행렬의 역행렬을 계산하여 케이블의 접선강성([K])을 구합니다. 케이블의 강성은 한번에 구해지는 것이 아니라 평형 상태에 도달할 때까지 반복적인 해석을 통하여 구할 수 있습니다.

d l _ {x} = \frac {\partial f}{\partial F _ {1}} d F _ {1} + \frac {\partial f}{\partial F _ {2}} d F _ {2} + \frac {\partial f}{\partial F _ {3}} d F _ {3}

d l _ {y} = \frac {\partial g}{\partial F _ {1}} d F _ {1} + \frac {\partial g}{\partial F _ {2}} d F _ {2} + \frac {\partial g}{\partial F _ {3}} d F _ {3}

d l _ {z} = \frac {\partial h}{\partial F _ {1}} d F _ {1} + \frac {\partial h}{\partial F _ {2}} d F _ {2} + \frac {\partial h}{\partial F _ {3}} d F _ {3}

\left\{ \begin{array}{l} d l _ {x} \\ d l _ {y} \\ d l _ {z} \end{array} \right\} = [ F ] \left\{ \begin{array}{l} d F _ {1} \\ d F _ {2} \\ d F _ {3} \end{array} \right\}, \quad \left(\left[ F \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \frac {\partial f}{\partial F _ {1}} & \frac {\partial f}{\partial F _ {2}} & \frac {\partial f}{\partial F _ {3}} \\ \frac {\partial g}{\partial F _ {1}} & \frac {\partial g}{\partial F _ {2}} & \frac {\partial g}{\partial F _ {3}} \\ \frac {\partial h}{\partial F _ {1}} & \frac {\partial h}{\partial F _ {2}} & \frac {\partial h}{\partial F _ {3}} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} f _ {1 1} & f _ {1 2} & f _ {1 3} \\ f _ {2 1} & f _ {2 2} & f _ {2 3} \\ f _ {3 1} & f _ {3 2} & f _ {3 3} \end{array} \right]\right)

\left\{ \begin{array}{l} d F _ {1} \\ d F _ {2} \\ d F _ {3} \end{array} \right\} = [ K ] \left\{ \begin{array}{l} d l _ {x} \\ d l _ {y} \\ d l _ {z} \end{array} \right\}, \quad (K = F ^ {- 1})

유연도 행렬의 각 원소들은 아래 식과 같이 구성됩니다.

f _ {1 1} = \frac {\partial f}{\partial F _ {1}} = - \frac {L _ {0}}{E A _ {0}} - \frac {1}{w} \left[ \ln \left\{F _ {3} + w L _ {0} + B \right\} - \ln \left\{F _ {3} + A \right\} \right]

- \frac {F _ {1} ^ {2}}{w} \left[ \frac {1}{B ^ {2} + \left(F _ {3} + w L _ {0}\right) B} - \frac {1}{A ^ {2} + F _ {3} A} \right]

f _ {1 2} = \frac {\partial f}{\partial F _ {2}} = - \frac {F _ {1} F _ {2}}{w} \left[ \frac {1}{B ^ {2} + \left(F _ {3} + w L _ {0}\right) B} - \frac {1}{A ^ {2} + F _ {3} A} \right]

f _ {1 3} = \frac {\partial f}{\partial F _ {3}} = - \frac {F _ {1}}{w} \left[ \frac {F _ {3} + w L _ {0} + B}{B ^ {2} + \left(F _ {3} + w L _ {0}\right) B} - \frac {F _ {3} + A}{A ^ {2} + F _ {3} A} \right]

\begin{array}{l} f _ {2 1} = \frac {\partial g}{\partial F _ {1}} = f _ {1 2} \\ f _ {2 2} = \frac {\partial g}{\partial F _ {2}} = - \frac {L _ {0}}{E A _ {0}} - \frac {1}{w} \left[ \ln \left\{F _ {3} + w L _ {0} + B \right\} - \ln \left\{F _ {3} + A \right\} \right] \\ - \frac {F _ {2} ^ {2}}{w} \left[ \frac {1}{B ^ {2} + \left(F _ {3} + w L _ {0}\right) B} - \frac {1}{A ^ {2} + F _ {3} A} \right] \\ \end{array}

f _ {2 3} = \frac {\partial g}{\partial F _ {3}} = \frac {F _ {2}}{F _ {1}} f _ {1 3}

f _ {3 1} = \frac {\partial h}{\partial F _ {1}} = - \frac {F _ {1}}{w} \left[ \frac {1}{B} - \frac {1}{A} \right]

f _ {3 2} = \frac {\partial h}{\partial F _ {2}} = \frac {F _ {2}}{F _ {1}} f _ {3 1}

f _ {3 3} = \frac {\partial h}{\partial F _ {3}} = - \frac {L _ {0}}{E A _ {0}} - \frac {1}{w} \left[ \frac {F _ {3} + w L _ {0}}{B} - \frac {F _ {3}}{A} \right]

A = \left(F _ {1} ^ {2} + F _ {2} ^ {2} + F _ {3} ^ {2}\right) ^ {1 / 2}, \quad B = \left(F _ {1} ^ {2} + F _ {2} ^ {2} + \left(F _ {3} + w L _ {0}\right) ^ {2}\right) ^ {1 / 2})

\left\{d F \right\} = K _ {T} \left\{d \Delta \right\}

\left( \right.\text {단}, K _ {T} = \left[\begin{array}{c c c c c c}\frac {\partial F _ {1}}{\partial \Delta_ {1}}&\frac {\partial F _ {1}}{\partial \Delta_ {2}}&\frac {\partial F _ {1}}{\partial \Delta_ {3}}&\frac {\partial F _ {1}}{\partial \Delta_ {4}}&\frac {\partial F _ {1}}{\partial \Delta_ {5}}&\frac {\partial F _ {1}}{\partial \Delta_ {6}}\\\frac {\partial F _ {2}}{\partial \Delta_ {1}}&\frac {\partial F _ {2}}{\partial \Delta_ {2}}&\frac {\partial F _ {2}}{\partial \Delta_ {3}}&\frac {\partial F _ {2}}{\partial \Delta_ {4}}&\frac {\partial F _ {2}}{\partial \Delta_ {5}}&\frac {\partial F _ {2}}{\partial \Delta_ {6}}\\\frac {\partial F _ {3}}{\partial \Delta_ {1}}&\frac {\partial F _ {3}}{\partial \Delta_ {2}}&\frac {\partial F _ {3}}{\partial \Delta_ {3}}&\frac {\partial F _ {3}}{\partial \Delta_ {4}}&\frac {\partial F _ {3}}{\partial \Delta_ {5}}&\frac {\partial F _ {3}}{\partial \Delta_ {6}}\\- \frac {\partial F _ {1}}{\partial \Delta_ {1}}&- \frac {\partial F _ {1}}{\partial \Delta_ {2}}&- \frac {\partial F _ {1}}{\partial \Delta_ {3}}&- \frac {\partial F _ {1}}{\partial \Delta_ {4}}&- \frac {\partial F _ {1}}{\partial \Delta_ {5}}&- \frac {\partial F _ {1}}{\partial \Delta_ {6}}\\- \frac {\partial F _ {1}}{\partial \Delta_ {1}}&- \frac {\partial F _ {2}}{\partial \Delta_ {2}}&- \frac {\partial F _ {2}}{\partial \Delta_ {3}}&- \frac {\partial F _ {2}}{\partial \Delta_ {4}}&- \frac {\partial F _ {2}}{\partial \Delta_ {5}}&- \frac {\partial F _ {2}}{\partial \Delta_ {6}}\\- \frac {\partial F _ {1}}{\partial \Delta_ {1}}&- \frac {\partial F _ {3}}{\partial \Delta_ {2}}&- \frac {\partial F _ {3}}{\partial \Delta_ {3}}&- \frac {\partial F _ {3}}{\partial \Delta_ {4}}&- \frac {\partial F _ {3}}{\partial \Delta_ {5}}&- \frac {\partial F _ {3}}{\partial \Delta_ {6}}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c c}F _ {i i}&F _ {i j}\\- F _ {i i}&- F _ {i j}\end{array}\right])