김경종
18 KiB
대해서는 불안정구조체가 됩니다.
압축력전담요소나 인장력전담요소를 사용할 경우에는 하중의 크기에 따라 요소의 강성이 발현되지 않을 수 있으므로(예: 인장력전담요소가 압축력을 받는 경우) 주의해야 합니다.
(c) Y-Z 평면에 X방향으로하중이 작용하는 경우
그림 1.4.1 트러스요소(인장력 또는 압축력전담요소)로 형성된 대표적 불안정구조체의 예
인장력 전담요소와 압축력 전담요소는 비선형탄성(Nonlinear Elastic)요소로서 다음 그림과 같은 거동을 한다고 가정합니다.
text_image
P Tension Limit u
(a) 인장력 전담요소
text_image
P u Compression Limit
(b) 압축력 전담요소
그림 1.4.2 인장력 전담요소와 압축력 전담요소의 비선형 거동
위의 그림 1.4.2(a)에서와 같이 인장력 전담요소는 인장력만 받을 수 있는 요소로서,인장력이 Tension Limit보다 작을 경우 일반적인 트러스와 같이 거동하지만 인장력이Tension Limit보다 크거나 압축을 받을 경우에는 외력에 저항하지 못하는 특징을 가집니다. 반면, 그림 1.4.2(b)에서와 같이 압축력 전담요소는 압축력만 받을 수 있는 요소로서, 압축력이 Compression Limit보다 작을 경우 일반적인 트러스와 같이 거동하지만 압축력이 Compression Limit보다 크거나 인장을 받을 경우에는 외력에 저항하지못하는 특징을 가집니다.
압축력 전담요소가 인장을 받거나 압축력이 Compression Limit을 초과하는 경우 요소의 강성은 0이 되며 이는 수치에러를 유발하는 주요한 요인이 됩니다. 이러한 이유로인장력 전담요소와 압축력 전담요소를 사용할 경우에는 특별한 주의를 요합니다. 다음 그림은 압축력 전담요소를 사용하는 경우 발생되는 문제를 예시한 것입니다.
flowchart
graph LR
A["Grid with input and output arrows"] --> B["Grid with input and output arrows"]
B --> C["Output with input and output arrows"]
style A fill:#f9f,stroke:#333
style C fill:#f9f,stroke:#333
(a) 압축력 전담요소에 인장력이 작용하여 구조물이 분리되는 경우
text_image
Diagram showing two grid-based configurations with arrows indicating direction, possibly representing a mathematical or logical operation.
(b) 압축력 전담요소에 인장력이 작용하여도 구조물이 분리되지 않는 경우
그림 1.4.3 구조물의 분리 여부에 대한 해석의 안정성
위의 그림 1.4.3(a)의 경우 왼쪽 구조물은 압축력 전담요소를 통해 하나의 구조물로연결된 것으로 보입니다. 그러나, 압축력 전담요소에 인장이 발생하도록 하중을 재하할 경우 오른쪽 그림과 같이 두 개의 구조물로 분리됨을 알 수 있습니다. 이때 분리된 각각의 구조물이 용인되는(Admissible) 조건을 가진다면 문제가 발생하지 않지만그림과 같이 용인되지 못하는 조건을 가진 경우에는 수치에러가 발생합니다. 따라서이러한 경우 분리되는 두 구조물을 사전에 예상하여 경계조건을 적절히 추가하여 용
인되는 조건을 만족시켜주어야 합니다. 그림 1.4.3(b)의 경우는 압축력 전담요소에 인장이 발생하더라도 구조물이 두 개의 구조물로 분리되지 않기 때문에 압축력 전담요소의 비선형거동이 적용된 안정적인 해석이 가능합니다. 이와 같은 문제는 압축력 전담요소에 Compression Limit보다 큰 압축력이 발생하거나 인장력 전담요소에 압축력 또는 Tension Limit보다 큰 인장력이 발생하는 경우에도 동일하게 적용됩니다.
앞에서 거론된 바와 같이 인장력 전담요소나 압축력 전담요소는 비선형 탄성거동을 하는 요소로써 근본적으로 반복해석을 수행하는 비선형 해석이 필요합니다. 비선형 해석은 근사해석으로써 이전단계 해석 결과와 현재 단계 해석 결과의 비율로서 수렴비를 산정하며 이를 특정 기준값과 비교하여 수렴여부를 판단합니다. 수렴비를 산정하기 위해 사용되는 해석 결과로는 증분 변위, 증분 하중, 증분 에너지가 있으며 midas Civil 에서는 증분 변위값을 사용하여 수렴비를 산정하고 이 값이 기준값인 Tolerance값보다 작을 경우 수렴이 된 것으로 판단합니다. 통상적으로 비선형 해석에서 Tolerance는 1/100~1/1000의 값을 사용하는 것이 일반적이며 midas Civil 은 Default로 1/1000값을 사용하고 있습니다.
인장력 전담요소 및 압축력 전담요소는 일반선형해석, 선형시공단계해석 및 비선형시공단계해석에서 사용가능하며, Civil 2009 부터는 재료비선형해석 및 기하비선형해석에서도 사용가능합니다. 그러나, 좌굴해석, P-Delta 해석, Pushover 해석, 수화열해석에서는 사용할 수 없습니다. 특히, 고유치해석, 응답스펙트럼해석, 시간이력해석, 이동하중해석, 지점침하해석에서는 일반 트러스로 변환하여 해석을 수행합니다.
4-2 보요소
단면의 치수에 비해 길이가 긴 균일단면의 골조부재나 변단면부재(Tapered Member)의 모델링에 주로 사용됩니다. 그리고 보요소는 절점당 6개의 자유도를 가지기 때문에 자유도가 서로 다른 요소끼리 연결될 때 하중전달용 요소로도 사용될 수 있습니다.
보요소에 재하할 수 있는 하중의 종류는 골조부재에 작용하는 중간 집중하중, 분포하중, 온도구배하중 등이며 프리스트레스하중을 고려할 수 있습니다.
보요소는 인장, 압축, 전단, 굽힘, 비틀림 등의 강성을 가지기 때문에 절점당 6개의자유도를 가질 수 있습니다. 보요소에서 전단변형을 무시하고자 할 경우에는 단면성질을 입력할 때 전단면적을 입력하지 않습니다.
보요소의 정식화에는 Timoshenko Beam Theory(중립축에 수직한 단면은 변형 후에평면을 유지하지만 중립축에 수직일 필요는 없다.)가 사용되었으며 보의 전단변형을고려할 수 있습니다. 길이에 대한 단면의 폭 또는 높이비가 대략 1/5 보다 커질 경우에는 전단변형에 의한 영향이 커지게 되므로 판형요소를 사용하여 조밀한 요소망이형성되도록 모델링하는 것이 바람직합니다.
보요소의 단면성질중 비틀림강성(Torsional Resistance)은 단면의 극관성모멘트(PolarMoment of Inertia)와는 다르며(원형 또는 원통형 단면의 경우는 동일) 실험적 방법에의해 결정되기 때문에 비틀림변형의 영향이 클 경우에는 주의해야 합니다.
보요소(또는 트러스요소)는 선요소(Line Element)로 이상화되어 있기 때문에 단면방향의 크기가 없는 것으로 가정되며, 단면의 성질이 양절점간을 연결하는 중립축에 집중되어 있는 것으로 간주되기 때문에 부재간의 Panel Zone(기둥과 보부재의 접합부위)에 의한 효과나 중립축의 불일치에 따른 영향을 고려하지 않습니다. 따라서 PanelZone에 의한 효과나 중립축의 불일치에 따른 효과를 고려할 경우에는 강성역(BeamEnd Offset) 기능을 이용하거나 기하학적 구속조건을 사용해야 합니다.
부재의 단면이 비균일단면(Non-prismatic Section)일 경우에는 Tapered Section을 사용하고, 굽은보를 모델링에 반영할 경우에는 가능한 한 여러 개로 분할한 요소를 사용하는 것이 바람직합니다.
보요소로 모델링할 부재의 양단부가 핀접합(Pin Connection) 또는 슬롯홀(Slot Hole)등에 의해 연결될 경우에는 단부자유도해제조건(Beam End Release)을 이용하여 모델에 반영해야 합니다.
이때 한 절점의 임의 자유도에 대해 중복하여 단부자유도해제조건을 부여할 경우에는 해당 자유도의 강성이 없어져서 특이성 오류가 발생될 수 있기 때문에 주의해야하며, 불가피한 경우에는 해당 자유도에 미소량의 스프링요소(또는 탄성경계요소)를추가하여야 합니다.
여러개의 보요소가 한 절점에 핀접합으로 만날 경우 특이성 오류를 피하기위해 한 개 요소의 끝단은단부해제조건을 부여하지않고 나머지요소의 단부에대해서는 단부자유도해제조건(Beam End Release)를 부여한다.
text_image
Rotational d.o.f. released Rigid connection
(c) 여러 개의 보요소가 한 절점에 핀접합으로 연결된 경우
text_image
Rigid connection Beam element Rigid beam element for connectivity All rotational degrees of freedom and vertical displacement degree of freedom released beam beam wall Plane stress or plate elements
(d) 절점자유도가 서로 다른 요소끼리 연결된 경우
그림 1.4.4 단부자유도해제조건(Beam End Release)의 적용 예
그리고 절점자유도가 서로 다른 요소끼리 접하는 경우에는 강체 보요소(Rigid Beam Element)를 사용하면 효과적입니다. 일반적으로 강체 보요소의 강성은 연산오류를 감안하여 인접한 요소의 탄성계수에 비해 대략 10^{5} \sim 10^{8} 배 정도의 값을 사용하는 것이 타당합니다.
그림 1.4.4(d)에서 벽체와 보부재가 연결될 경우에 벽체를 평면응력요소 또는 판요소로 모델링하고 보부재를 보요소로 입력하면 평면응력요소(또는 판요소, 입체요소)는 면의 수직방향에 대한 회전강성을 가지지 않기 때문에 보요소를 연결하더라도 보요소와의 회전방향 자유도에 대한 연결성이 확보되지 않고 핀접합한 것과 같은 결과가 됩니다. 이때 연결성의 확보를 위해 강체 보요소를 사용하게 되는데, 강체 보요소의 단부접합조건은 보요소와 연결되는 단부에 대해서는 별도의 해제조건을 부여하지 않고, 반대편 단부에 대해서는 회전자유도와 축방향 변위자유도를 해제하는 방법을 사용합니다.
4-3 평면응력요소
인장 또는 압축을 받는 막구조나 평면방향으로만 하중을 전달할 수 있는 구조물의 부재에 사용될 수 있습니다.
평면응력요소는 각 변에 대해 수직방향으로 압력하중을 받을 수 있습니다.
평면응력요소는 사각형 또는 삼각형모양을 가지며 평면내의 인장, 압축, 전단강성만을 가집니다.
사각형요소(4절점 요소)는 요소의 특성상 변위 및 응력에 대해 근접한 결과를 산출하지만, 삼각형요소(3절점 요소)의 경우 변위는 비교적 정확하나 응력은 정확성이 떨어지는 경향이 있습니다. 따라서 정밀한 해석결과가 필요한 부위에서는 삼각형요소의 사용을 피해야 합니다.
체눈의 크기를 변화시키고자 하는 경우 사각형요소간의 연결을 위해 삼각형요소가 주로 사용됩니다. (그림 1.4.5 참조)
평면응력요소는 회전강성이 없어서 연결절점에서 회전변위에 대한 자유도가 없기 때문에 회전자유도가 없는 요소끼리 접하는 절점에서는 해석과정에서 특이성오류가 발생됩니다. midas Civil에서는 이러한 경우 해당절점의 회전자유도를 자동구속시킴으로써 특이성오류의 발생을 방지하고 있습니다.
그리고 회전강성을 가진 보요소나 판요소 등과 연결될 때는 강체구속조건(주절점, 종속절점기능)을 이용하거나 강체 보요소 등을 이용하여 요소간의 연결성을 유지시키도록 하여야 합니다.
요소의 적정 형상비(Aspect Ratio)는 요소의 종류, 기하학적 형상, 구조형태 등에 따라 다릅니다. 그러나 일반적으로는 요소형상비를 가능한 한 1.0에 가깝도록 하고 사각형요소의 경우는 네 모서리각이 90°에 근접하도록 하는 것이 바람직합니다. 이와같은 조건으로 모델링하기 어려울 경우에는 응력의 변화가 심한 부분이나 엄밀해가요구되는 부위만이라도 정사각형에 가깝도록 유지하는 것이 좋습니다.
또한, 요소의 크기는 상대적으로 작을수록 수렴성이 우수합니다.
text_image
(a) Crack (b) 유한요소모델 Triangular elements are used for connecting the quadrilateral elements
그림 1.4.5 Crack 모델에서 삼각형/사각형요소를 사용한 예
4-4 평면변형요소
평면변형요소는 댐(Dam) 또는 터널(Tunnel)등과 같이 일정한 단면을 유지하면서 길이가 긴 구조물의 해석에 사용될 수 있으며 다른 종류의 요소들과는 혼용될 수 없습니다.
평면변형요소는 각 변에 대해 수직방향으로 압력하중을 받을 수 있습니다.
이 요소는 평면변형적 특성을 근거로 하고 있기 때문에 선형정적해석에만 사용할 수 있고 두께방향의 변형율은 존재하지 않으며, 두께방향의 응력성분은 Poisson Effect에 의해 존재하는 것으로 가정합니다.
평면변형요소는 사각형 또는 삼각형모양을 가질 수 있으며 평면내의 인장, 압축, 전단강성과 두께방향의 인장, 압축강성을 가집니다.
평면변형요소는 평면응력요소와 마찬가지로 삼각형요소보다는 사각형요소를 사용하는 것이 바람직하며, 요소형상비는 1.0에 가깝도록 하는 것이 좋습니다.
4-5 축대칭요소
축대칭요소는 형상, 재질, 하중조건 등이 임의 축에 대해 회전대칭조건을 만족하는 구조체(Pipe, Vessel, Tank, Bin 등)의 해석에 사용될 수 있으며, 다른 종류의 요소들과는 흔용될 수 없습니다.
축대칭요소는 각 변에 대해 수직방향으로 압력하중을 받을 수 있습니다.
이 요소는 구조물의 축대칭적 특성을 근거로 하고 있기 때문에 선형정적해석에만 사용할 수 있고 원주방향에 대한 변위, 전단변형률, 전단응력은 “0”으로 가정합니다.
축대칭요소는 평면응력요소와 마찬가지로 삼각형요소보다는 사각형요소를 사용하는 것이 바람직하며, 요소형상비는 1.0에 가깝도록 하는 것이 좋습니다.
4-6 판요소
평면방향 거동과 면외 hover거동을 일으킬 수 있는 압력용기, 토류벽, 교량의 상판, 구조물의 바닥 및 기초판 등의 모델에 사용할 수 있습니다.
판요소는 전체좌표계 또는 요소좌표계를 기준으로 임의 방향에 대해 면상에 압력하 중을 받을 수 있습니다.
판요소는 사각형 또는 삼각형 모양을 가지며 평면내의 압축, 인장, 전단강성과 두께 방향의 휈강성, 전단강성을 가집니다.
midas Civil에 사용된 판요소의 면외강성은 DKT, DKQ(Discrete Kirchhoff Element)와 DKMT, DKMQ(Discrete Kirchhoff-Mindlin Element)의 두가지 종류로 구분됩니다. DKT, DKQ인 경우에는 얇은 판 이론(Kirchhoff Plate Theory)에 의해 개발된 것이고, DKMT, DKMQ요소는 두꺼운 판 이론(Mindlin-Reissner Plate Theory)에 의해 개발되었으나 적절한 전단변형률장을 가정함으로서 얇은 요소부터 두꺼운 판요소까지 우수한 성능을 나타내고 있는 요소입니다. 판요소의 면내강성은 3각형인 경우는 LST(Linear Strain Triangle)이론을 사용하였고 4각형인 경우에는 비적합모드를 포함하는 등매개 평면응력이론(Isoparametric Plane Stress Formulation with Incompatible Modes)을 사용하여 정식화하였습니다.
판요소 두께의 입력은 면내강성(Inplane Stiffness)을 계산하기 위한 것과 면외강성(Out of Plane Stiffness)을 계산하기 위한 것으로 구분하여 입력할 수 있습니다. 일반적으로 자중이나 질량의 계산에는 면내강성의 계산을 위한 두께가 사용되지만 면외강성의 계산을 위한 두께만 입력되는 경우에는 면외방향 두께를 사용합니다.
text_image
angle between adjacent elements node plate element
그림 1.4.6 구형 또는 원통형 모델에 사용된 판요소의 예