김경종
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9-2-3 비탄성 트러스 요소
비탄성 트러스 요소는 축방향 강성만을 갖는 요소로서 Inelastic Hinge Properties에서 Truss Type 으로 정의됩니다. 비탄성 트러스 요소의 비선형성은 축방향 성분만이 정의 가능하며, Truss Type 비탄성 힌지는 일축힌지 이력모델에 의거한 상태판정으로부터 강성을 갱신하여, 요소강성을 재구성합니다.
비탄성 트러스 요소는 기하학적 선형으로 정식화됩니다. 단, 비탄성 보요소와 마찬가지로 사용자가 초기부재력을 Initial Element Force에서 입력하고, Initial ForceControl Data의 Check to Reflect Initial Axial Forces into Geometric Stiffness를 선택한 경우, 입력되는 초기부재력에 의한 기하강성을 구성하여 요소강성에 더하는 방법으로 고려됩니다. 단, 해석중에 기하강성은 갱신되지 않습니다.
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i kₓ j nᵢ, uᵢ nⱼ, uⱼ i j n, u L
그림 2.9.10 비탄성 트러스요소와 축방향 강성
9-3 비선형 이력 모델의 개요
구조물이 지진하중과 같은 불규칙한 반복하중을 받아서, 균열, 항복 등이 발생하면, 현재까지의 변위이력이 이후의 복원력-변위관계에 영향을 미치기 때문에 정적하중을 받을때와 달리 매우 복잡한 거동을 나타냅니다. 부재의 1방향하중에 대한 힘과 변형의 관계를 골격곡선이라 합니다. 이력모델은 골격곡선을 기본으로 하여, 정(+), 부(-)의 반복하중이 작용할 때, 제하시(UnLoading)시와 재재하(Re-Loading)시의 힘과 변형의 관계를 규칙화한 것으로, 비선형해석시에는 부재의 복원력특성을 이력모델로 정의하는 것이 일반적입니다.
이력모델은 해석용 최소모델 단위인 부재단면의 거동특징을 구성재료의 응력-변형율관계, 단면의 힘모멘트-곡률관계, 부재단의 힘모멘트-회전각관계 등의 간단한 힘과 변형의 관계로 이상화한 것으로, 전체 하중이력에 대해서 하중과 변형관계로 표현 가능하여야 하며, 실험시에 시험체에서 관측되는 공통된 특성을 반영할 수 있어야 합니다.
비선형 해석시에는 사용하는 이력모델과 비선형 해석조건의 설정에 의해 해석결과가 크게 달라질 수 있으므로, 해석결과를 적절히 얻기 위해서는 모델링시에 충분한 검토를 통하여 사용재료와 부재의 복원력특성을 충실히 반영할 수 있는 이력모델을 선택하여야만 합니다. 표 2.9.1는 midas Civil에서 제공하는 이력을 용도에 따라 분류한 것입니다.
표 2.9.1의 축력-모멘트 상호작용에 대한, P-M, P-M-M Type에 대해서는 9-5-2 P-M 및 P-M-M 상관작용에서 다루도록 합니다.
9-3-1 비선형 힌지 속성
비탄성 힌지의 속성은 집중형(Lumped Type), 분포형(Distributed Type), 스프링형(Spring Type), 트러스형(Truss Type)으로 구분됩니다. 집중형 및 분포형은 보요소에만 적용되며 용수철형은 범용연결요소(General Link), 트러스형은 트러스요소에 적용됩니다.
비탄성힌지 속성은 각 성분 별로 정의된 비선형 거동특성의 집합으로, 보요소인경우, 비틀림을 제외한 5개성분, 범용연결요소는 6개성분, 트러스 요소는 축성분만정의 가능합니다. 여기서 비탄성 힌지의 비선형 거동특성은 이력모델에 의해 정의되며, 각 성분의 특성은 독립적으로 일축-힌지 이력모델(Uni-axial HingeHysteresis Model)에 의해서 정의되거나, 축력-모멘트 성분의 상호작용을 고려한 다축-힌지 이력모델(Multi-axial Hinge Hysteresis Model)에 의해서 정의될 수 있습니다.
*B : Beam, T : Truss, S : Spring
| 분 류 | 이력모델 | 적용요소 | 축력-모멘트상호작용 | 주요용도 |
| Simplified Model | 이동경화형(Kinematic Hardening/Trilinear) | B, T, S | P-M, P-M-M | 강재 |
| 원점지향형(Origin-oriented/Trilinear) | B, T, S | P-M | 교량 상부구조 | |
| 최대점지향(Peak-oriented/Trilinear) | B, T, S | P-M | 교량 상부구조 | |
| 노말 2선형(Normal Bilinear) | B, T, S | P-M | 강재, 간략모델화 | |
| Degrading Model | 클러프(Clough/Bilinear)형 | B, T, S | P-M | 철근 콘크리트 부재 |
| 강성저감3선형(Degrading Tri-linear)형 | B, T, S | P-M | 철근 콘크리트 부재 | |
| 다케다(Original Takeda Trilinear)형 | B, T, S | P-M | 철근 콘크리트 부재 | |
| 다케다(Original Takeda Tetralinear)형 | B, T, S | P-M | 철근 콘크리트 부재 | |
| 수정 다케다(Modified Takeda Trilinear)형 | B, T, S | P-M | 철근 콘크리트 부재 | |
| 수정 다케다(Modified Takeda Tetralinear)형 | B, T, S | P-M | 철근 콘크리트 부재 | |
| Nonlinear Elastic | 탄성 2선형(Elastic Bilinear) | B, T, S | P-M | 교량 상부구조 |
| 탄성 3선형(Elastic Trilinear) | B, T, S | P-M | 교량 상부구조 | |
| 탄성 4선형(Elastic Tetralinear) | B, T, S | P-M | 교량 상부구조 | |
| Slip Model | 슬립(Slip Bilinear)형 | B, T, S | P-M | 강재, 고무 Support |
| 슬립(Slip Bilinear/Tension)형 | B, T, S | P-M | 강재, 고무 Support | |
| 슬립(Slip Bilinear/Compression)형 | B, T, S | P-M | 강재, 고무 Support | |
| 슬립(Slip Trilinear)형 | B, T, S | P-M | 강재, 고무 Support | |
| 슬립(Slip Trilinear/Tension)형 | B, T, S | P-M | 강재, 고무 Support | |
| 슬립(Slip Trilinear/Compression)형 | B, T, S | P-M | 강재, 고무 Support | |
| Special Model | Ramberg Osgood | S | - | 비선형 지반용 |
| Hardin Drnevich | S | - | 비선형 지반용 |
표 2.9.1 midas Civil의 이력모델 분류(1)
*B : Beam, T : Truss, S : Spring
| 분 류 | 이력모델 | 적용요소 | 축력-모멘트상호작용 | 주요 용도 |
| Multi-LinearModel | 탄성형(Elastic) | B, T, S | - | 간략모델화 |
| 이동경화형(Plastic Kinematic) | B, T, S | - | 강재, 간략모델화 | |
| 다케다형(Plastic Takeda) | B, T, S | - | 철근 콘크리트 부재 | |
| 피봇형(Plastic Pivot) | B, T, S | - | 철근 콘크리트 부재 |
표 2.9.1 midas Civil의 이력모델 분류(2)
9-3-2 보요소의 항복강도
비탄성 흰지에 설정되는 이력모델은 항복강도와 항복 후의 강성저감율로 정의됩니다. 요소의 항복강도는 사용자가 User Input으로 입력하거나, midas Civil의 항복강도 자동계산기능을 통해서 설정가능합니다. midas Civil의 자동계산기능에 의한, 휈에 의한 보요소의 항복은 그림 2.9.11과 같이 정의됩니다. 철골 단면의 경우에 1차 항복은 중립축으로부터 가장 먼 위치의 휈 응력이 항복응력에 도달한 것으로 간주합니다. 2차 항복은 전단면의 휈응력이 항복응력에 도달한 것으로 간주합니다. RC 단면의 경우에 1차 항복은 중립축으로부터 가장 먼 위치의 휈 응력이 콘크리트의 균열응력에 도달한 것으로 간주합니다. 2차 항복은 콘크리트의 압축연단이 극한변 형율에 도달한 것으로 간주하며 이 때 철근의 응력은 항복응력보다 작거나 같습니다. SRC 단면의 경우에 콘크리트 충전강관 형태인 경우에는 철골단면, 콘크리트 피복형인 경우에는 RC단면의 계산 기준을 적용합니다.
축력과 모멘트의 상관작용을 고려하고자 하는 P-M, P-M-M Type의 경우에는 축력에 의한 중리축의 이동을 고려하여 축력-모멘트의 상관곡선(항복곡면)을 작성해야 하며, 이 경우에도 자동계산이 가능합니다.
9-4 일축-힌지 이력모델(Hysteresis Model for Uni-axial Hinge)
일축-힌지(Uni-axial Hinge) 모델은 3개의 병진 및 3개의 회전 성분이 상호 독립적으로 거동하는 히지입니다. midas Civil에서 일축-힌지를 대상으로 제공되는 이력모델은 골격곡선(Skeleton Curve)에 기초하고 있는 것들로서, 표 2.9.1의 모든 이력모델이 일축-힌지로 정의가능합니다. 이들 모델은 비대칭의 단면 혹은 재료 특성에 대응할 수 있도록 1, 2차 항복 강도 및 강성저감률을 정(+), 부(-) 비대칭으로 지정할 수 있습니다. 단, 이동경화형 모델의 경우, 이력의 특성상 강성저감률은 비대칭성을 지원하지 않습니다.
이하의 이력모델 설명에 있어서 응답점(Response Point)은 이력모델의 경로상에 위치한 하중-변형 좌표점을 의미합니다. 재하(Loading)는 하중의 절대치가 증가함을, 제하(Unloading)는 하중의 절대치가 감소함을, 재재하(Re-loading)은 제하 도중에 하중의 부호가 바뀌면서 절대치가 증가하는 것을 의미합니다. 제하점(Unloading Point)은 재하에서 제하로 바뀌는 응답점을 의미합니다.
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P (+) Mz (+) y z My (+)
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1st Yielding Compression Tension Dc Dt Strain Fsc Fy N.A. α ≤ Fy / Es + + Fst Fy α ≤ Fy / Es
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2nd Yielding Compression Tension Dc Dt Strain ε ≤ Fy/Es +
Fsc Fy Stress Fst Fy N.A.
D_{c} : Center of Steel Compressive Force D_{t} : Center of Steel Tensile
(a) Steel
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P (+) Mz (+) y z My (+)
1st Yielding (Cracking)
M _ {\sigma} = k \sqrt {f _ {d}} Z - \frac {Z}{A} N
Mcr : Cracking Moment
k : Coefficien t for Cracking Moment
(ACI =7. 5 in lb -in u nit, A IJ= 1.8 in kg f-cm un it )
fck : Specified Comp res sive Strength of Concrete
Z : Elast ic S ection Mod ulus
2nd Yielding
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Compression Tension D_{s1} D_{s2} D_{s3} D_{s4} Strain Stress 1: f_{ck} f_{k1} f_{k2} f_{k3} f_{k4} f_{k5} f_{k6} f_{k7} f_{k8} f_{k9} f_{k10} N.A.
Dc : Center of Concrete Compres sive Force
(b) RC
그림 2.9.11 보 요소의 항복강도 산정 기준
철근 콘크리트부재의 경우, 콘크리트의 균열, 철근의 항복에 의한 강성저감이 일어납니다. 또한, 반복하중이 작용하는 경우, 항복후의 제하시에도 강성이 저하되어하중의 방향이 바뀌면 과거에 경험한 최대변위점을 지향하는 특징이 있습니다. 철근콘크리트 부재의 복원력 특성을 모델화한 이력모델은 다수 제안되어 있지만, 어느 모델에도 강성저하와 최대점지향이 필수적으로 고려되어 있습니다. 철근콘크리트 모델을 대표하는 것이 Takeda 모델이며, Clough형, 강성저감3선형 등도 사용됩니다.
강재는 한번 어느 방향에서 소성변형을 받은 후 역방향의 하중이 작용하면, 소성변형을 받지 않은 강재에서 동일한 방향의 하중이 작용한 경우보다 작은 응력에서소성화하는 것으로 알려져 있습니다. 이것을 바우싱거 효과(Bauschinger Effect)라고 합니다. 또한 변형율이 크게 되면 응력이 증대하는 성질, 즉 변형율 경화(StrainHardening)가 일어납니다. 이와 같은 성질을 갖는 강재의 복원력 특성은 이동경화형의 Normal Bilinear 이력모델로 표현하는 것이 일반적이며, Normal Trilinear 이력모델을 적용하는 경우도 있습니다.
콘크리트로 충진된 강재교각의 비선형 특성은 Takeda 이력 혹은, 항복점에서 강성이 변화하는 이동경화형 Normal Bilinear로 표현됩니다. Normal Bilinear 이력은 철
근 콘크리트 부재와 달리 강성저하가 일어나지 않는 이력곡선을 그리도록 정의됩니다.
콘크리트로 충진되지 않은 강재교각은 Normal Bilinear로 표현하는 것이 일반적입니다. 한편, 교각은 중력하중에 의한 압축력의 작용으로 인해, 압축측에서 항복한후에 인장측에서 항복이 일어나게 되므로, 압축측과 인장측이 항복에 도달하는 하중이 다른 것을 고려하여 강부재의 골격곡선을 3개의 직선의 Normal Trilinear로 표현하는 경우도 있습니다.
9-4-1 Normal Bilinear Type
이력의 개요
초기 재하시의 응답점은 2선형 골격곡선상에서 이동합니다. 제하(Unloading)강성은탄성강성과 동일하며, 항복 후 강성 저감률은 정(+), 부(-) 비대칭 정의가 가능합니다. 집중형 및 분포형 힌지 요소, 스프링 요소, 트러스 요소 등에 적용가능합니다.
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P P1(+) K2(+) K0 D1(-) K0 D1(+) K0 D K2(-) P1(-)
그림 2.9.12 Normal Bilinear 이력모델
골격곡선의 정의
이력모델의 비선형특성은 이하의 값으로 정의됩니다.
P 1 _ {(+)}, P 1 _ {(-)} \quad : (+), (-) \text { 측 제1차항복강도 }
D 1 _ {(+)}, D 1 _ {(-)} \quad : (+), (-) \text {측 제1차항복변형}
K _ {0} \quad : \text { 초기강성 }
\mathrm{w} _ {0} (+) = \mathrm{w} _ {0} (-) \quad : (+), (-) \text { 측제2강성. }
\text { 단, } K 2 ^ {(+)} = \alpha 1 ^ {(+)} \cdot K _ {0}, \quad K 2 ^ {(-)} = \alpha 1 ^ {(-)} \cdot K _ {0}
\alpha 1 ^ {(+)}, \alpha 1 ^ {(-)} \quad : (+), (-) \text {측 제1차항복후의 강성저감율 }
노말 2선형(Normal Bilinear Type)의 이력규칙
\left|D_{max}\right|<D1의 경우는 선형탄성으로, 원점을 지나는 탄성구배K_{0}의 직선상에서 이동합니다.- 변형 D 가 처음으로
D1_{(\pm)}을 넘는 경우, 혹은 현재까지의 최대변형점을 넘는 경우, 제2차구배K2^{(+)},K2^{(-)}직선상을 이동합니다. D1_{(+)} < D,D < D1_{(-)}의 상태에서 제하되는 경우는, Masing의 법칙에 따라서 탄성구배K_{0}로 제하되어,K2^{(-)},K2^{(+)}직선상을 이동합니다.- 이후, 2~3의 규칙으로 이동합니다.
9-4-2 Kinematic Hardening Type
이력의 개요
초기 재하시의 응답점은 3선형 골격곡선상에서 이동합니다. 제하(Unloading)강성은탄성강성과 동일하며, 하중이 증가하면서 강도가 증가하는 경향을 보이는데, 이는금속 재료의 바우싱거효과(Bauschinger Effect)를 모델링하는데 사용되는 것입니다.따라서 콘크리트의 경우에는 에너지 소산량을 과대 평가할 수 있으므로 주의해야합니다. 항복 후 강성 저감률은 모델의 특성상, 정(+), 부(-) 대칭만이 정의가 가능하며, 집중형 힌지 및 분포형 힌지 요소, 스프링 요소, 트러스 요소 등에 적용가능합니다.
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P P2(+) P1(+) K2(+) K3(+) K0 K0 K0 D2(-) D1(-) D1(+) D2(+) D K0 K2(-) K3(-) P1(-) P2(-)
그림 2.9.13 Kinematic Hadening 이력모델
골격곡선의 정의
이력모델의 비선형특성은 이하의 값으로 정의됩니다.
P 1 _ {(+)}, P 1 _ {(-)} \quad : (+), (-) \text { 측 제1차항복강도 }
P 2 _ {(+)}, P 2 _ {(-)} \quad : (+), (-) \text { 측 제2차항복강도 }
D 1 _ {(+)}, D 1 _ {(-)} \quad : (+), (-) \text { 측 제1차항복변형 }
D 2 _ {(+)}, D 2 _ {(-)} \quad : (+), (-) \text { 측 제2차항복변형 }
K _ {0} \quad : \text { 초기강성 }
: (+), (-) \text { 측 제2강성. }
\begin{array}{l} K 2 ^ {(+)}, K 2 ^ {(-)} \quad \cdot (1), (-) \text {是} \text {제288}. \\ \text { 단, } K 2 ^ {(+)} = \alpha 1 ^ {(+)} \cdot K _ {0}, \quad K 2 ^ {(-)} = \alpha 1 ^ {(-)} \cdot K _ {0} \\ \end{array}
\kappa_ {2} (+) - \kappa_ {2} (-) \quad : (+), (-) \text { 측 제3강성. }
\text { 단, } K 3 ^ {(+)} = \alpha 2 ^ {(+)} \cdot K _ {0}, \quad K 3 ^ {(-)} = \alpha 2 ^ {(-)} \cdot K _ {0}
\alpha 1 ^ {(+)}, \alpha 1 ^ {(-)} \qquad \qquad : (+), (-) \text {측 제1차항복후의 강성저감율 }
\alpha 2 ^ {(+)}, \alpha 2 ^ {(-)} \quad : (+), (-) \text { 측 제2차항복후의 강성저감율 }
이동경화형(Kinematic Hardening Type)의 이력규칙
\left|D_{max}\right|<D2의 경우, 통상의 Bilinear로서 거동합니다.\left|D_{max}\right|>D2의 경우, Trilinear로 이동합니다.- 재하시는, Masing의 법칙에 의해 탄성강성의 직성상에서 이동합니다.