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1-4-2 유한요소 정식화

평면응력요소는 전체 면적에 대해 두께가 일정하다고 가정한다. 평면응력요소는 등매 개변수(isoparametric) 요소로 구성되어 있으며, 4절점 사각형 요소의 경우에는 비적합(incompatible) 모드를 이용한다. 그리고 평면응력요소는 요소좌표계에서 x,y 방향의 이동변위(translation) u, v 만을 가진다.

\mathbf {u} _ {i} = \left\{u _ {i} \quad v _ {i} \right\} ^ {T} \tag {1.4.1}

평면응력요소는 4절점 사각형 요소의 비적합 모드를 제외하면 절점 개수에 관계 없이 유사한 과정으로 강성을 계산할 수 있다. 따라서 절점 수 N 개를 가지는 요소에 대하여 일괄적으로 설명한다.

요소 내 임의의 좌표 x,y 와 이동변위 u,v 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

x = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} x _ {i}, \quad y = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} y _ {i}, \quad u = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} u _ {i}, \quad v = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} v _ {i} \tag {1.4.2}

• 3절점 삼각형

N _ {1} = 1 - \xi - \eta , N _ {2} = \xi , N _ {3} = \eta \tag {1.4.3}

4절점 사각형

N _ {1} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 - \eta), N _ {2} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 - \eta)

N _ {3} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 + \eta), N _ {4} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 + \eta) \tag {1.4.4}

6절점 삼각형

N _ {1} = (1 - \xi - \eta) (1 - 2 \xi - 2 \eta), \quad N _ {2} = \xi (2 \xi - 1), \quad N _ {3} = \eta (2 \eta - 1)

N _ {4} = 4 \xi (1 - \xi - \eta), N _ {5} = 4 \xi \eta , N _ {6} = 4 \eta (1 - \xi - \eta) \tag {1.4.5}

• 8절점 사각형

N _ {1} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 - \eta) - \frac {1}{2} N _ {5} - \frac {1}{2} N _ {8}, \quad N _ {2} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 - \eta) - \frac {1}{2} N _ {5} - \frac {1}{2} N _ {6}

N _ {3} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 + \eta) - \frac {1}{2} N _ {6} - \frac {1}{2} N _ {7}, \quad N _ {4} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 + \eta) - \frac {1}{2} N _ {7} - \frac {1}{2} N _ {8}

N _ {5} = \frac {1}{2} (1 - \xi^ {2}) (1 - \eta), N _ {6} = \frac {1}{2} (1 + \xi) (1 - \eta^ {2}), N _ {7} = \frac {1}{2} (1 - \xi^ {2}) (1 + \eta)

N _ {8} = \frac {1}{2} (1 - \xi) (1 - \eta^ {2}) \tag {1.4.6}

절점 변위 u와 변형률 ε의 관계는 B_{i} 에 의하여 식(1.4.7)과 같이 나타낼 수 있다.

\boldsymbol {\varepsilon} = \sum_ {i = 1} ^ {N} \mathbf {B} _ {i} \mathbf {u} _ {i} \tag {1.4.7}

행렬 B_{i} 는 형상함수의 미분값으로 다음과 같이 표현된다.

\mathbf {B} _ {i} = \left[ \begin{array}{c c} \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} & 0 \\ 0 & \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} \\ \frac {\partial N _ {i}}{\partial y} & \frac {\partial N _ {i}}{\partial x} \end{array} \right] \tag {1.4.8}

행렬 B_{i} 를 이용하여 면내변형에 관계된 요소강성 행렬을 표현하면 다음과 같다.

\mathbf {K} _ {i j} = t \int_ {A _ {e}} \mathbf {B} _ {i} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {B} _ {j} d A \tag {1.4.9}

여기서,

\begin{array}{l l} t & : \text {두께} \\ A _ {e} & : \text {면적} \end{array}

등방성(isotropic) 재료의 경우 응력과 변형률의 관계를 나타내는 행렬 D 는 다음과 같다.

\mathbf {D} = \frac {E}{1 - \nu^ {2}} \left[ \begin{array}{c c c} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac {1 - \nu}{2} \end{array} \right] \tag {1.4.10}

선형 해석 시 4절점 사각형 요소는 비적합 모드를 포함하여 계산한다. 비적합 모드를 포함한 경우에는 절점변위 이외에 다음과 같은 추가적인 자유도를 가지게 된다.

\mathbf {u} _ {a} = \left\{a _ {1} \quad b _ {1} \quad a _ {2} \quad b _ {2} \right\} ^ {T} \tag {1.4.11}

좌표 x, y 와 이동변위 u v, 는 다음과 같이 나타낸다.

x = \sum_ {i = 1} ^ {4} N _ {i} x _ {i}, y = \sum_ {i = 1} ^ {4} N _ {i} y _ {i}, u = \sum_ {i = 1} ^ {4} N _ {i} u _ {i} + a _ {1} P _ {1} + a _ {2} P _ {2}, v = \sum_ {i = 1} ^ {4} N _ {i} v _ {i} + b _ {1} P _ {1} + b _ {2} P _ {2} \tag {1.4.12}

비적합 모드를 의미하는 형상함수는 다음과 같다.

P _ {1} = 1 - \xi^ {2}, P _ {2} = 1 - \eta^ {2} \tag {1.4.13}

변형률 ε 는 절점변위와 비적합 모드를 동시에 고려하여 다음과 같이 표현된다.

\boldsymbol {\varepsilon} = \sum_ {i = 1} ^ {4} \mathbf {B} _ {i} \mathbf {u} _ {i} + \mathbf {B} _ {a} \mathbf {u} _ {a} \tag {1.4.14}

행렬 B 는 식 (1.4.15)과 같고, 비적합 모드에 관계된 B 는 다음과 같다.

\mathbf {B} _ {a} = \left[ \begin{array}{c c c c} \frac {\partial P _ {1}}{\partial x} & 0 & \frac {\partial P _ {2}}{\partial x} & 0 \\ 0 & \frac {\partial P _ {1}}{\partial y} & 0 & \frac {\partial P _ {2}}{\partial y} \\ \frac {\partial P _ {1}}{\partial y} & \frac {\partial P _ {1}}{\partial x} & \frac {\partial P _ {2}}{\partial y} & \frac {\partial P _ {2}}{\partial x} \end{array} \right] \tag {1.4.15}

행렬 B 와 B 를 이용하여 면내변형에 관계된 요소강성 행렬을 계산하면, 다음과같이 4개의 행렬을 얻을 수 있다.

\mathbf {K} _ {i j} = t \int_ {A _ {e}} \mathbf {B} _ {i} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {B} _ {j} d A, \mathbf {K} _ {i a} = t \int_ {A _ {e}} \mathbf {B} _ {i} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {B} _ {a} d A

\mathbf {K} _ {a i} = t \int_ {A _ {e}} \mathbf {B} _ {a} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {B} _ {i} d A, \quad \mathbf {K} _ {a a} = t \int_ {A _ {e}} \mathbf {B} _ {a} ^ {T} \mathbf {D} \mathbf {B} _ {a} d A \tag {1.4.16}

식 (1.4.16)의 4가지 강성행렬은 다음과 같은 관계를 가진다.

\left[ \begin{array}{l l} \left[ \mathbf {K} _ {i j} \right] & \left[ \mathbf {K} _ {i a} \right] \\ \left[ \mathbf {K} _ {a j} \right] & \mathbf {K} _ {a a} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \left\{\mathbf {u} _ {j} \right\} \\ \mathbf {u} _ {a} \end{array} \right\} = \left\{ \begin{array}{l} \left\{\mathbf {F} _ {i} \right\} \\ \mathbf {0} \end{array} \right\} \tag {1.4.17}

비적합 \Xi \subseteq 0 \| 대한 강성은 정적 축약(static condensation)에 의해 다음과 같이 소거한다.

\left[ \mathbf {K} _ {i j} \right] = \left[ \mathbf {K} _ {i j} \right] - \left[ \mathbf {K} _ {i a} \right] \mathbf {K} _ {a a} ^ {- 1} \left[ \mathbf {K} _ {a j} \right] \tag {1.4.18}

비적합 모드에 관한 행렬 \mathbf { B } _ { a } 의 구성에 필요한 형상함수를 미분할 때는 무차원 자연좌표계(natural coordinate)의 원점( \xi = \eta = 0 )에서 계산된 Jacobian을 이용한다. 비적합 모드는 그림 1.4.3과 같은 굽힘 형태의 변위를 모사할 수 있기 때문에 요소의성능 향상에 기여하게 된다.

natural_image

Simple geometric diagram of a rectangle with dashed curved lines on its sides (no text or symbols)

natural_image

Simple geometric diagram of a rectangle with dashed lines indicating hidden edges (no text or symbols)

그림 1.4.3 비적합 모드의 형상 (굽힘)

1-4-3 하중과 질량

평면응력요소에 적용되는 하중은 체적력(body force), 압력하중(pressure load), 모서리하중(edge load), 온도하중(thermal load), 프리스트레스하중(prestress load) 등이 있다. 체적력은 요소의 자중이나 관성력을 표현하고자 하는 하중이고, 압력하중은 요소의 면에 가해지는 분포하중이다. 모서리하중은 요소의 변에 가해지는 분포하중이이며, 온도하중에는 절점온도, 요소온도 하중과 같은 면내방향 열 변형하중이다.

- 체적력

\mathbf {F} _ {i} = t \int_ {A _ {e}} N _ {i} \left\{ \begin{array}{l} \omega_ {x} \\ \omega_ {y} \\ \omega_ {z} \end{array} \right\} d A \tag {1.4.19}

여기서,

\omega_ {x}, \omega_ {y}, \omega_ {z} \quad : \text { 단위   체적당   자중(방향별) }

- 압력하중

\mathbf {F} _ {i} = \int_ {A _ {e}} N _ {i} \left\{ \begin{array}{l} P _ {x} \\ P _ {y} \\ 0 \end{array} \right\} d A \tag {1.4.20}

여기서,

P _ {x}, P _ {y} \quad : \text { 단위면적당   하중(방향별) }

- 모서리하중

\mathbf {F} _ {i} = \int_ {L} N _ {i} \left\{ \begin{array}{l} P _ {x} \\ P _ {y} \\ 0 \end{array} \right\} d s \tag {1.4.21}

여기서,

P _ {x}, P _ {y} \quad : \text { 단위길이당   하중(방향별) }

- 온도하중

\mathbf {F} _ {i} = t \int_ {A _ {e}} \mathbf {B} _ {i} ^ {T} \mathbf {D} \left\{ \begin{array}{l} \alpha_ {x} \\ \alpha_ {y} \\ 0 \end{array} \right\} \Delta T d A \tag {1.4.22}

여기서,

\alpha_ {x}, \alpha_ {y} \quad : \text {   열팽창계수(방향별)   }

\Delta T: \text { 온도변화 }

평면응력요소의 질량은 집중질량(lumped mass)과 분포질량(consistent mass)을 사용할 수 있으며, x,y,z 방향의 이동변위만을 반영한다.

- 분포질량

\mathbf {M} _ {i j} = \rho t \int_ {A _ {e}} N _ {i} N _ {j} d A \tag {1.4.23}

- 집중질량

집중질량은 요소 전체질량( \rho tA_{e} )을 분포질량의 대각 항 비율로 분배하여 사용한다.

1-4-4 요소결과

평면응력요소의 해석 결과로는 절점에서의 응력과 변형률이 있으며, 부호와 방향은 요소좌표계를 따른다. 요소좌표계를 기준으로 출력된 결과는 전체좌표계 또는 출력좌표계로 변환하여 볼 수 있다. 평면응력요소에서 출력되는 응력과 변형률의 종류는 다음과 같다. 주변형률 성분 중 E_{3} 은 선형해석의 경우 0으로 간주하였음에 주의해야 한다.

• 응력 성분 \sigma_{xx}, \sigma_{yy}, \tau_{xy}

• Von-Mises 응력 \sqrt{\left(P_{1}^{2}+P_{2}^{2}-P_{1}P_{2}\right)}
  • 최대 전단응력 \sqrt{\left(\frac{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}{2}\right)^{2}+\tau_{xy}^{2}}
  • 주응력 P_{1}, P_{2}

P _ {i} = \frac {\sigma_ {x x} + \sigma_ {y y}}{2} \pm \sqrt {\left(\frac {\sigma_ {x x} - \sigma_ {y y}}{2}\right) ^ {2} + \tau_ {x y} ^ {2}}

• 변형률 성분 \varepsilon_{xx}, \varepsilon_{yy}, \gamma_{xy}

• Von-Mises 변형률 \frac{2}{3}\sqrt{\left(E_{1}^{2}+E_{2}^{2}-E_{1}E_{2}\right)}
  • 체적(volumetric) 변형률 E_{1} + E_{2}
  • 주변형률 E_{1}, E_{2}

E _ {i} = \frac {\varepsilon_ {x x} + \varepsilon_ {y y}}{2} \pm \sqrt {\left(\frac {\varepsilon_ {x x} - \varepsilon_ {y y}}{2}\right) ^ {2} + \frac {\gamma_ {x y} ^ {2}}{4}}

절점에서의 응력과 변형률은 요소 내의 적분점에서 계산된 결과를 이용하여 외삽법 (extrapolation)에 의해 산출된다. 평면응력요소의 적분점은 다음과 같다.

• 3절점 삼각형 : 1 점 가우스 적분
• 4절점 사각형 : 4 점 가우스 적분

• 6절점 삼각형 : 3 점 가우스 적분
  • 8절점 사각형 : 9 점 가우스 적분

응력과 변형률에 대한 부호규약은 그림 1.4.1과 같다.

1-5 판요소

1-5-1 개요

판요소는 3, 4, 6, 8개의 절점에 의해 정의되는 삼각형 또는 사각형 요소이며, 압력용기, 토류벽, 교량 상판 등의 모델링에 사용할 수 있다. 판요소는 평면응력(planestress) 상태의 면내변형(in-plane deformation), 휨(bending). 전단(shear)으로 이루어진 면외변형(out-of-plane deformation)을 고려할 수 있으며, 정적(선형/비선형)해석 및 동적 해석에 모두 사용할 수 있다. 판요소의 변형을 정의하는 응력과 변형률은 다음과 같다.

\boldsymbol {\sigma} = \left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {x x} \\ \sigma_ {y y} \\ \sigma_ {x y} \end{array} \right\}, \quad \boldsymbol {\varepsilon} = \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon_ {x x} \\ \varepsilon_ {y y} \\ \gamma_ {x y} \end{array} \right\}

(면내방향 응력과 변형률)

\mathbf {M} = \left\{ \begin{array}{l} M _ {x x} \\ M _ {y y} \\ M _ {x y} \end{array} \right\}, \quad \mathbf {K} = \left\{ \begin{array}{l} \kappa_ {x x} \\ \kappa_ {y y} \\ \kappa_ {x y} \end{array} \right\}

(휨모멘트와 곡률)

\mathbf {Q} = \left\{ \begin{array}{l} Q _ {z x} \\ Q _ {y z} \end{array} \right\}, \quad \boldsymbol {\gamma} = \left\{ \begin{array}{l} \gamma_ {z x} \\ \gamma_ {y z} \end{array} \right\}

(전단력과 전단변형률)

면내방향 응력과 변형률의 부호 규약은 평면응력요소와 동일하며, 휨모멘트와 전단력의 방향은 그림 1.5.1과 같이 정의한다. 그림에서 화살표 방향이 ‘+’를 의미한다.

text_image

z y Qzx,γzx ECS Mxx,κxx Mxy,κxy Mxy,κxy Qyz,γyz Myy,κyy

그림 1.5.1 판요소의 내력

요소좌표계는 오른손법칙에 준한 x, , y z 축의 직교좌표계를 따르며, 방향은 그림1.5.2와 같이 설정된다. 사각형 요소는 절점 1과 절점 4의 중점에서 절점 2와 절점 3의 중점을 향하는 방향을 x 축 방향으로 하며, 삼각형 요소는 절점 1에서 2를 향하는 방향을 x 축 방향으로 설정한다.

text_image

ECS z-axis 3 ECS y-axis 1 ECS x-axis (1 → 2 direction) 2