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1-2-4 Von Mises 모델

Von Mises 모델은 연성재료인 금속재료의 해석에서 가장 많이 사용되는 모델로서,정팔면체 전단응력 \tau _ { o c t } 가 순수전단에서의 항복응력 \tau _ { y } 에 도달했을 때 항복이 일어난다는 가정을 적용하여 다음과 같이 수식화한다.

f \left(\tau_ {o c t}\right) = \tau_ {o c t} - \sqrt {\frac {2}{3}} \tau_ {y} = 0 \tag {1.2.28}

일축압축의 경우를 고려하여 응력불변수를 사용하여 나타내면 다음과 같다.

f \left(J _ {2}, \kappa\right) = \sqrt {3 J _ {2}} - \sigma_ {y} (\kappa) = 0 \tag {1.2.29}

여기서, \sigma _ { y } \left( \kappa \right) \in ~ \sigma _ { y } \left( \kappa \right) = \sqrt { 3 \tau _ { y } } 이며, 일축거동에 대한 항복응력을 나타낸다.

가장 많이 사용되는 형태는 식 (1.2.29)이며, 응력불변량 J _ { 2 } 에만 종속적인 모델로서 J _ { 2 } theory라고도 불린다. Von Mises 항복면은 그림 1.2.7과 같이 주응력공간에서 정수압축에 평행한 원주형상을 나타낸다. 만약, von Mises와 Tresca 기준을압축과 신장자오선 즉, ( / 6) cr θ π = − 및 ( / 6) tr θ π = 에서 서로 일치시키면, 편차평면에서의 von Mises 곡면은 Tresca의 육각형을 외접하는 원이 된다. (그림1.2.8(a)).

이 경우 예상되는 항복응력의 최대차는 순수전단자오선 ( 0) θ = 을 따라서 일어나며,von Mises와 Tresca 기준의 항복전단응력의 비는 2 / \sqrt { 3 } = 1 . 1 5 이다. 다른 한편으로 만약 두 기준을 순수전단자오선에 일치시키면 von Mises원은 Tresca 육각형을내접하게 되며, 두 기준간의 최대 예상오차는 압축자오선 ( / 6) θ = −π 과 신장자오선\left( \theta = \pi / 6 \right) 을 따라 생긴다(그림 1.1.8(b)).

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-σ₁ hydrostatic axis -σ₃ -σ₂

그림 1.2.7 주응력공간에서의 von Mises 항복면 형상

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Von mises Tresca θ rc ri σ₁ σ₂ σ₃

(a) π 평면에서 외접한 경우 Tresca와의 관계

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Tresca Von mises θ r σ₁ σ₂ σ₃

(b) π 평면에서 내접한 경우 Tresca와의 관계

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deviatoric axis r_c θ = - π/6 hydrostatic axis r_t θ = π/6

(c) \theta = - { \frac { \pi } { 6 } }
그림 1.2.8 π 평면과 메리디안 평면에서의 von Mises 항복면 형상

■ 경화거동

Von Mises 모델의 변형경화거동을 정의하기 위한 소성 주 변형률은 다음과 같다.

\boldsymbol {\varepsilon} ^ {\mathrm{p}} = \lambda \mathbf {m} = \lambda \frac {1}{2 \sigma_ {e}} \left\{ \begin{array}{c c c} 2 \sigma_ {1} & - \sigma_ {2} & - \sigma_ {3} \\ - \sigma_ {1} & + 2 \sigma_ {2} & - \sigma_ {3} \\ - \sigma_ {1} & - \sigma_ {2} & + 2 \sigma_ {3} \end{array} \right\} \tag {1.2.30}

여기서,

\sigma_ {e} = \sqrt {\frac {1}{2} \pmb {\sigma} ^ {T} \mathbf {P} \pmb {\sigma}}

\boldsymbol {\sigma} = \left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {x x} \\ \sigma_ {y y} \\ \sigma_ {z z} \\ \tau_ {x y} \\ \tau_ {y z} \\ \tau_ {z x} \end{array} \right\}, \quad \mathbf {P} = \left[ \begin{array}{c c c c c c} 2 & - 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & - 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \end{array} \right]

윗 식을 적절히 정리하면 다음과 같다.

\kappa = \lambda \tag {1.2.31}

midas FEA에서는 von Mises 모델에 대해 항복응력 σ y 에 대한 경화거동을 지원하며, 경화거동은 다중선형함수를 사용하여 정의할 수 있다.

1-2-5 Mohr-Coulomb 모델

Mohr(1900)의 기준에 의하면 재료의 항복은 다음과 같이 정의된다.

\left| \tau \right| = F (\sigma) \tag {1.2.32}

여기서, 임의 평면에서의 한계전단응력 τ 는 동일평면상의 수직응력 σ 에만 관계된다고 가정한다. 식 (1.2.32)는 대응하는 Mohr원의 항복면을 나타내며 항복함수F( ) σ 는 실험으로 결정되는 함수이다. Mohr의 기준에 의하면 재료의 항복은 가장큰 Mohr원이 Coulomb의 항복면에 접하는 순간 발생된다고 가정한다. 이것은 중간주응력 \sigma _ { { } _ { 2 } } ( \sigma _ { { } _ { 1 } } \geq \sigma _ { { } _ { 2 } } \geq \sigma _ { { } _ { 3 } } ) 가 항복조건에 영향을 미치지 않는다는 것을 의미한다.Coulomb 항복면의 가장 간단한 형상은 직선이며 이 직선 포락선의 방정식은 다음과 같다.

\left| \tau \right| = c + \sigma \tan \phi \tag {1.2.33}

여기서, c, φ = 재료의 강도변수

c = \text { 점착력 }

\phi = \text { 내부마찰각 }

식 (1.2.33)의 항복기준을 Mohr-Coulomb 기준이라 하며, 간단하고 정확성이 높은장점 때문에 압축응력에 따라 전단강도가 달라지는 재료모델에 현재까지 널리 사용되고 있다.

Mohr-Coulomb 식을 주응력의 항으로 나타내면, 다음과 같이 정리할 수 있다.

\sigma_ {1} \frac {(1 + \sin \phi)}{2 c \cos \phi} - \sigma_ {3} \frac {(1 - \sin \phi)}{2 c \cos \phi} = 1 \tag {1.2.34}

식 (1.2.34)를 1 2I J, 및 θ 의 항으로 나타내면 다음과 같다.

f \left(I _ {1}, J _ {2}, \theta\right) = - \frac {1}{3} I _ {1} \sin \phi + \sqrt {J _ {2}} \left(\cos \theta + \frac {1}{\sqrt {3}} \sin \theta \sin \phi\right) - c \cos \phi = 0 \tag {1.2.35}

Mohr-Coulomb 기준은 그림 1.2.9에서 보는 바와 같이 주응력공간에서 불규칙 육각형 피라미드 형상이고, 자오선은 직선이다. 그리고 π 평면 ( \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } + \sigma _ { 3 } = 0 ) 상의편차형상은 그림 1.2.10(a)와 같이 불규칙 육각형이 된다. 불규칙 육각형을 그리기위해서는 θ = −π / 6 에서의 메리디안 평면에 대한 그림 1.2.10(b)에서와 같이 r _ { t 0 } 와r _ { c 0 } 의 길이가 필요하며, 이들 길이는 다음과 같다.

r _ {t 0} = \frac {2 \sqrt {6} c \cos \phi}{3 + \sin \phi} \tag {1.2.36}

r _ {c 0} = \frac {2 \sqrt {6} c \cos \phi}{3 - \sin \phi} \tag {1.2.37}

식 (1.2.36)과 식 (1.2.37)로부터 r _ { t 0 } / r _ { c 0 } 는 다음과 같다.

\frac {r _ {t 0}}{r _ {c 0}} = \frac {3 - \sin \phi}{3 + \sin \phi} \tag {1.2.38}

등압축을 따라 Mohr-Coulomb 항복면의 편차평면형상은 모두 기하학적으로 닮은꼴이기 때문에 임의의 편차평면에 대한(즉, I 또는 ξ 의 다른 값에 대한) r _ { t } / r _ { c } 비는 항상 일정하게 유지된다.

\frac {r _ {t}}{r _ {c}} = \frac {r _ {t 0}}{r _ {c 0}} = \frac {3 - \sin \phi}{3 + \sin \phi} \tag {1.2.39}

또한 과도한 체적팽창현상을 제어할 목적으로 비상관소성흐름법칙을 적용할 수 있으며, 이를 위해 소성포텐셜함수는 내부마찰각 φ 대신 팽창각 ψ 를 사용하여 다음과 같이 정의할 수 있다.

g \left(I _ {1}, J _ {2}, \theta\right) = - \frac {1}{3} I _ {1} \sin \psi + \sqrt {J _ {2}} \left(\cos \theta + \frac {1}{\sqrt {3}} \sin \theta \sin \psi\right) \tag {1.2.40}

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-σ₁ hydrostatic axis -σ₃ -σ₂

그림 1.2.9 주응력공간에서의 Mohr-Coulomb 항복면 형상

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σ₁ θ r₀ r₀ x σ₂

(a) π 평면 항복면 형상

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θ = -π/6 r₁₀ = 2√6c cosφ/3 + sinφ √3c cotφ hydrostatic axis r_c0 = 2√6c cosφ/3 - sinφ σ₃ θ = π/6

(b) \theta = - { \frac { \pi } { 6 } }
그림 1.2.10 π 평면과 메리디안 평면에서의 Mohr-Coulomb 항복면 형상

■ 경화거동

Morh-Coulomb 모델에서 소성변형률은 다음과 같다.

\boldsymbol {\varepsilon} ^ {\mathrm{p}} = \lambda \mathbf {m} = \lambda \left\{ \begin{array}{l} \frac {1}{2} (1 + \sin \psi) \\ 0 \\ - \frac {1}{2} (1 - \sin \psi) \end{array} \right\} \tag {1.2.41}

위의 식 (1.2.41)을 식 (1.1.8)에 대입하면, 경화를 정의하기 위한 소성승수 λ 와 경화변수 κ 의 관계는 다음과 같이 정의된다.

\kappa = \lambda \sqrt {\frac {1}{3} \left(1 + \sin^ {2} \psi\right)} \tag {1.2.42}

midas FEA에서는 Mohr-Coulomb 모델에 대해 점착력 c , 내부마찰각 φ , 팽창각수 있다.

1-2-6 Drucker-Prager 모델

Drucker-Prager 모델은 Drucker와 Prager(1952)가 von Mises 모델을 수정하여확장시킨 파괴 기준으로써 실무 문제에 널리 적용되고 있으며, 확장 von Mises(extended von Mises)기준이라고도 불리운다. Drucker-Prager모델의 항복함수와소성포텐셜함수를 응력 불변량 I _ { 1 } 및 J _ { 2 } 의 항으로 나타내면 다음과 같다.

f \left(I _ {1}, J _ {2}\right) = \sqrt {3 J _ {2}} - \alpha I _ {1} - \beta c = 0 \tag {1.2.43}

g \left(I _ {1}, J _ {2}\right) = \sqrt {3 J _ {2}} - \gamma I _ {1}

여기서, \alpha = \frac { 2 \sin \phi } { 3 - \sin \phi } ~ , ~ \beta = \frac { 6 \cos \phi } { 3 - \sin \phi } ~ , ~ \gamma = \frac { 2 \sin \psi } { 3 - \sin \psi }

이때, 재료상수 α 와 k 는 응력상태를 일치시킴으로써, Mohr-Coulomb 기준의 점착력과 내부마찰각인 c 와 φ 에 관련지어 나타낼 수 있다. α 가 ‘0(zero)’이면 식(1.2.43)은 von Mises 항복기준으로 환원된다. 소성포텐셜함수 g 의 β 값을 정의하기 위해서는 팽창각 ψ 값이 추가로 필요하다.

Drucker-Prager 항복면을 주응력공간에 나타내면 그림 1.2.11과 같다. 이 항복면은 공간대각선(정수압면 응력축, \sigma _ { 1 } = \sigma _ { 2 } = \sigma _ { 3 } )을 축으로 하는 정원추형 형상을 나타낸다.

Drucker-Prager 항복면은 콘크리트나 지반재료의 거동에 맞추어 von Mises 항복면을 정수압에 따라 변화하도록 확장한 것으로 생각할 수 있다.

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-σ₁ hydrostatic axis -σ₃ -σ₂

그림 1.2.11 주응력공간에서의 Drucker-Prager 항복면 형상

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σ₁ θ r r₀ σ₂ σ₃

(a) π 평면에서의 항복면 형상

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θ = - π/6 √6α 1 r₀ = √2βc hydrostatic axis βc/√3α r₀ = √2βc θ = π/6 √6α 1

(b) 메리디안 평면에서의 항복면 형상
그림 1.2.12 π 평면과 메리디안 평면에서의 Drucker-Prager 항복면 형상

■ 경화거동

Drucker-Prager 모델에서 소성변형률은 다음과 같다.

\boldsymbol {\varepsilon} ^ {\mathrm{p}} = \lambda \mathbf {m} = \lambda \left(\frac {1}{2 \sigma_ {e}} \left\{ \begin{array}{l l l} 2 \sigma_ {1} & - \sigma_ {2} & - \sigma_ {3} \\ - \sigma_ {1} & + 2 \sigma_ {2} & - \sigma_ {3} \\ - \sigma_ {1} & - \sigma_ {2} & + 2 \sigma_ {3} \end{array} \right\} + \gamma \left\{ \begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right\}\right) \tag {1.2.44}

여기서,

\sigma_ {e} = \sqrt {\frac {1}{2} \boldsymbol {\sigma} ^ {T} \mathbf {P} \boldsymbol {\sigma}}

\boldsymbol {\sigma} = \left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {x x} \\ \sigma_ {y y} \\ \sigma_ {z z} \\ \tau_ {x y} \\ \tau_ {y z} \\ \tau_ {z x} \end{array} \right\}, \quad \mathbf {P} = \left[ \begin{array}{c c c c c c} 2 & - 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & - 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \end{array} \right]

위의 식 (1.2.44)를 식 (1.1.8)에 대입하면, 경화를 정의하기 위한 소성승수 λ와 경화변수 κ 의 관계는 다음과 같이 정의된다.

\kappa = \lambda \sqrt {1 + 2 \gamma^ {2}} \tag {1.2.45}

midas FEA에서는 Drucker-Prager 모델에 대해 점착력 c , 내부마찰각 φ , 팽창각 ψ 에 대한 경화거동을 지원하며, 각 경화거동은 다중선형함수를 사용하여 정의할 수 있다.