MultiPhysicsVault/.raw/MidasFEAAnalysisManual/MidasFEAAnalysisManual_027.md

30개의 좌표를 입력할 수 있으며, 최초 좌표는 0.d0 이어야 한다. (그림 2.6.1(e)).[조건 < 0.d0 , 변형률은 단조 감소의 값을 입력하여야 한다.]

포화 모델

본 모델을 사용하기 위해 입력해야 하는 물성치들은 다음과 같다. (그림 2.6.1(f)).

초기압축강도(initial compressive strength) : fco  0.0

극한압축강도(ultimate compressive strength) : fc  0.0

불변경화계수(constant hardening modulus) : Ehar  0.0

붕괴 계수(decaying factor) :   0.0

포물선 모델

포물선(parabolic) 모델은 Feenstra5 가 제안한 모델로서 파괴 에너지에 근거하여유도되었다. 본 곡선은 아래 그림과 같이 세 개의 특성 값으로 표현될 수 있다.(그림 2.6.1(g)).

압축강도(compressive strength) : fc  0.0

압축파괴에너지(compressive fracture energy) : Gc  0.0

특성요소길이(characteristic element length) : h  0.0

5 FEENSTRA, P. H., “Computational Aspects of Biaxial Stress in Plain and Reinforced Concrete”, PhD thesis, Delft University of Technology, 1993.

line

Point	f	Gc/h
αu	-	-
αc	-	-
αc/3	-	-
fc/3	-	-

그림 2.6.3 포물선 압축곡선

최대 압축강도 f_{c} 의 1/3 에 도달하는 지점의 변형률은 다음과 같다.

\alpha_ {c / 3} = \frac {1}{3} \frac {f _ {c}}{E} \tag {2.6.3}

최대 압축 강도에 해당하는 변형률은 다음과 같다.

\alpha_ {c} = - \frac {4}{3} \frac {f _ {c}}{E} = 4 \alpha_ {c / 3} \tag {2.6.4}

위 값들은 요소 크기나 압축 파괴 에너지와는 무관하게 결정됨을 알 수 있다. 끝으로 압축부에서 연화가 완료된 상태를 의미하는 극한 변형률은 다음과 같다.

\alpha_ {u} = \alpha_ {c} - \frac {3}{2} \frac {G _ {c}}{h f _ {c}} \tag {2.6.5}

이상의 변수들을 바탕으로 아래와 같은 곡선 관계식을 얻을 수 있다.

f = \left\{ \begin{array}{l l} - f _ {c} \frac {1}{3} \frac {\alpha_ {j}}{\alpha_ {c / 3}} & \text { if } \quad 0 \leq \alpha_ {j} <   \alpha_ {c / 3} \\ - f _ {c} \frac {1}{3} \left(1 + 4 \left(\frac {\alpha_ {j} - \alpha_ {c / 3}}{\alpha_ {c} - \alpha_ {c / 3}}\right) - 2 \left(\frac {\alpha_ {j} - \alpha_ {c / 3}}{\alpha_ {c} - \alpha_ {c / 3}}\right) ^ {2}\right) & \text { if } \quad \alpha_ {c / 3} \leq \alpha_ {j} <   \alpha_ {c} \\ - f _ {c} \left(1 - \left(\frac {\alpha_ {j} - \alpha_ {c}}{\alpha_ {u} - \alpha_ {c}}\right) ^ {2}\right) & \text { if } \quad \alpha_ {c} \leq \alpha_ {j} <   \alpha_ {u} \\ 0 & \text { if } \quad \alpha_ {u} \leq \alpha_ {j} \end{array} \right. \tag {2.6.6}

한편, 파괴에너지 Gc 와 특성요소길이 h 가 연화부분에서 지배적임을 다음과 같이유도할 수 있다.

\int_ {\alpha_ {c}} ^ {\alpha_ {u}} f d \alpha_ {j} = f _ {c} \left(\alpha_ {j} - \frac {1}{3} \left(\frac {\alpha_ {j} - \alpha_ {c}}{\alpha_ {u} - \alpha_ {c}}\right) ^ {3}\right) \Bigg | _ {\alpha_ {c}} ^ {\alpha_ {u}} = \frac {G _ {c}}{h} \tag {2.6.7}

2-7인장 모델

2.7.1 인장연화에 대한 배경이론

균열의 수직방향 응력과 변형률 사이의 관계는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\sigma_ {n n} ^ {c r} (\mathcal {E} _ {n n} ^ {c r}) = f _ {t} \cdot y \left(\frac {\mathcal {E} _ {n n} ^ {c r}}{\mathcal {E} _ {n n . u l t} ^ {c r}}\right) \tag {2.7.1}

여기서 f_{t} 는 인장강도를 의미하고, \varepsilon_{nn.ult}^{cr} 는 극한균열변형률을 의미한다.

함수 y(\cdot) 는 다양한 연화 도식(softening diagram)을 모사하게 된다.

응력과 변형률 관계에 있어서 연화 거동이 균열폭(crack bandwidth) h 를 통해 Mode-I 파괴에너지, G_{f}^{I} 와 연관이 있다고 보면, 아래와 같은 관계식을 얻을 수 있다.

G _ {f} ^ {I} = h \int_ {\varepsilon_ {n n} ^ {c r} = 0} ^ {\varepsilon_ {n n} ^ {c r} = \infty} \sigma_ {n n} ^ {c r} (\varepsilon_ {n n} ^ {c r}) d \varepsilon_ {n n} ^ {c r} \tag {2.7.2}

식 (2.45)을 식 (2.46)에 대입하면,

G _ {f} ^ {I} = h f _ {t} \int_ {\varepsilon_ {n n} ^ {c r} = 0} ^ {\varepsilon_ {n n} ^ {c r} = \infty} y \left(\frac {\varepsilon_ {n n} ^ {c r}}{\varepsilon_ {n n . u l t} ^ {c r}}\right) d \varepsilon_ {n n} ^ {c r} \tag {2.7.3}

여기서 f_{t} 는 상수라고 보았다.

식 (2.7.4)와 같이 치환을 하고 \varepsilon_{nn.ult}^{cr} 을 유한하다고 가정하면, 식 (2.7.5) 를 얻을 수 있다.

x = \frac {\varepsilon_ {n n} ^ {c r}}{\varepsilon_ {n n . u l t} ^ {c r}} \tag {2.7.4}

G _ {f} ^ {I} = h f _ {t} \left(\int_ {x = 0} ^ {x = \infty} y (x) d x\right) \varepsilon_ {n n. u l t} ^ {c r} \tag {2.7.5}

이상의 과정을 통해 최종적인 극한균열변형률, \varepsilon_{nn.ult}^{cr} 을 식 (2.7.6)과 같이 얻을 수 있다.

이 값은 해석 수행 도중에는 일정하다고 보며, 식 (2.7.6) 에 나타난 바와 같이 요소의 물성치와 인장강도, 파괴에너지, 균열폭을 고려하여 계산된다.

\varepsilon_ {n n. u l t} ^ {c r} = \frac {1}{\alpha} \times \frac {G _ {f} ^ {I}}{h f _ {t}} \tag {2.7.6}

\alpha = \int_ {x = 0} ^ {x = \infty} y (x) d x \tag {2.7.7}

인장강도가 초과되거나 변형이 특정요소에 집중되는 경우 Mode-I 파괴에너지는소산되게 된다. 이러한 해석 기법에서는 유한 요소 망의 정밀도(mesh refinement)와 해석결과는 밀접한 관계를 가지게 된다. 경우에 따라 요소 분할이 너무 크게 되어 구성모델상에서 스냅백(snap-back) 문제가 야기될 수 있다. 결과적으로 본해석기법에서 가정된 객관적인 파괴에너지 개념이 만족되지 않을 수 있다.

구성 모델에서의 스냅백 문제는 연화 도식(softening diagram)의 초기 기울기가영 계수보다 절대값으로 클 경우 발생할 수 있다. 여기서 전제로 된 가정은 인장연화 도식(tension softening diagram)의 초기 접선 기울기가 가장 큰 절대값을 가진다고 본 것이다. 이러한 조건을 수식으로 표현해 보면 아래와 같다.

\left. \frac {d \sigma_ {n n} ^ {c r}}{d \varepsilon_ {n n} ^ {c r}} \right| _ {\varepsilon_ {n n} ^ {c r} = 0} \geq - E \tag {2.7.8}

위 식은 식 (2.7.9) 와 같이 다시 표현될 수 있다.

식 (2.7.9)에 식 (2.7.6)의 극한균열변형률을 대입하고, 다시 정리하면 식 (2.7.10)을 얻을 수 있다.

\left. \frac {f _ {t}}{\varepsilon_ {n n . u l t} ^ {c r}} \frac {d y}{d x} \right| _ {x = 0} \geq - E \tag {2.7.9}

\varepsilon_ {n n. u l t} ^ {c r} \geq - \frac {f _ {t}}{E} \left. \frac {d y}{d x} \right| _ {x = 0} = \varepsilon_ {n n. u l t. \min} ^ {c r} \tag {2.7.10}

만약 식 (2.7.10)의 조건이 만족되지 못할 경우, 이를 해결하기 위한 몇 가지 대안이 있다.

먼저 균열폭을 줄이는 방법이다. 그러나 이 값은 요소의 고유한 값이며 일정하게유지되어야 한다. 다음으로는 파괴에너지, I Gf 를 증가시키는 방법이 있다. 이것은

결국 재료의 연성을 증가시키는 역할을 하게 된다. 마지막으로는 인장 강도 tf 를감소시키는 방법이 있다. 이는 파괴에너지는 일정하게 하면서 재료의 연성을 증가시키는 역할을 하게 된다.

이상 제시된 방안들 중 가장 효율적인 방법은 물리적인 의미를 고려할 때, 인장강도를 감소시키는 방법이다. 고려되는 영역이 클수록 인장강도가 감소될 확률은 높아진다. 이는 곳 요소가 큰 요소의 경우 적절히 인장강도가 감소되어야 함을 의미한다. 왜냐하면 이렇게 큰 요소의 경우에는 응력집중이 나타나기 힘들기 때문이다.따라서 만약 식 (2.7.10) 이 만족되지 않는 경우 다음과 같이 인장강도는 감소되어야 한다.

f _ {t, r e d} ^ {2} = - \frac {G _ {f} ^ {\prime} E}{\alpha h \frac {d y}{d x} \Big | _ {x = 0}} \tag {2.7.11}

다른 대안으로는 균열폭이 아래와 같은 값을 갖도록 요소 크기를 줄여주는 방법도있다.

h _ {\max} = - \frac {G _ {f} ^ {I} E}{\left. \alpha f _ {t} ^ {2} \frac {d y}{d x} \right| _ {x = 0}} \tag {2.7.12}

2.7.2 전변형률 균열모델의 인장 모델

전변형률 균열모델에서 제공하는 인장 거동 모델은 탄성(elastic), 불변(constant),취성(brittle), 선형(linear), 지수(exponential), Hordijk, 다중선형(multi-linear)이다.이들은 다음과 같이 이론적 차이를 바탕으로 구분할 수 있다.

전변형률 균열모델에서는 파괴에너지에 근거한 연화 함수들을 구현하고 있다. 이연화함수들을 바탕으로 모델을 구분해보면, 선형 연화 곡선(linear softeningcurve), 지수 연화 곡선(exponential softening curve), 비선형 연화 곡선(nonlinear softening curve - Hordijk6 )이 있다. 이들 모델들은 분산균열모델에서와 마찬가지로 균열폭과 연관을 가진다.

다음으로, 파괴에너지에 직접적으로 상관관계가 없는 인장 거동이 있다. 이들은 전변형률 개념 안에서 적절히 모사될 수 있다. 이들은 불변, 다중선형, 취성 거동들이다.

text_image

σ ε

(a) elastic

text_image

σ fₜ

(b) constant

line

ε	σ
0	0
0.5	1
1	0

(c) brittle

text_image

σ fₜ Gₙ/h ε

(d) linear

line

f_t	σ
0	0
Peak	1
1	0
2	0

(e) exponential

line

ε	σ
0	0
G_f^I / h	Peak
(σ₀, ε₀)	(σ₀, ε₀)

(f) Hordijk

line

ε	σ
(ε₁, σ₁)
(ε₂, σ₂)
(εₙ, σₙ)

(g) multi-linear
그림 2.7.1 인장 모델

탄성 모델

일반적인 탄성 모델로서 영 계수를 사용한다. (그림 2.7.1(a)).

불변 모델

인장강도를 초과 하면 더 이상 인장응력 증가가 없는 모델이다. (그림 2.7.1(b)).

인장강도 : ft  0.0 의 값을 입력한다.

취성 모델

인장강도를 초과 하면 더 이상 인장응력 증가가 없고, 저항 응력이 0 이 되는 모델이다. (그림 2.7.1(c)).

인장강도 : ft  0.0 의 값을 입력한다.

그림 2.7.2 에서 알 수 있듯이 파괴 에너지 소산과 피크 변형률, peaknn  의 관계는다음 식과 같다.

G _ {f} = \frac {1}{2} f _ {t} \varepsilon_ {n n} ^ {\text { peak }} h \tag {2.7.13}

line

| ε_nn | σ_nn | |------|------| | 0 | 0 | | peak | 1 |

그림 2.7.2 취성 균열거동

- 선형연화 모델

인장강도를 초과 하면 선형 연화(linear softening)가 일어난다고 본 모델이다. (그림 2.7.1(d)).

입력한 파괴에너지와 균열폭을 바탕으로 연화의 기울기가 결정된다.

인장강도: f_{t} > 0.0 의 값을 입력한다.

인장 파괴에너지: G_{f}^{I} > 0.0

균열폭: h > 0.0

line

ε_cr_nn	σ_cr_nn
f_t	σ_cr_nn
ε_cr_nn, ult	σ_cr_nn, G_f^I / h

그림 2.7.3 선형 인장연화

균열응력(crack stress)의 관계식과 α 은 아래와 같이 주어진다.

\frac {\sigma_ {n n} ^ {c r} \left(\varepsilon_ {n n} ^ {c r}\right)}{f _ {t}} = \left\{ \begin{array}{l l} 1 - \frac {\varepsilon_ {n n} ^ {c r}}{\varepsilon_ {n n . u l t} ^ {c r}} & \left(i f \quad 0 <   \varepsilon_ {n n} ^ {c r} <   \varepsilon_ {n n. u l t} ^ {c r}\right) \\ 0 & \left(i f \quad \varepsilon_ {n n. u l t} ^ {c r} <   \varepsilon_ {n n} ^ {c r} <   \infty\right) \end{array} \right. \tag {2.7.14}

\alpha = \int_ {0} ^ {\infty} y (x) d x = \int_ {0} ^ {1} y (x) d x + \int_ {0} ^ {\infty} 0 d x = \int_ {0} ^ {1} (1 - x) d x = \frac {1}{2} \tag {2.7.15}

이상의 유도 과정을 통해 극한균열변형률을 다음과 같이 얻을 수 있다.

\varepsilon_ {n n. u l t} ^ {c r} = 2 \frac {G _ {f} ^ {I}}{h f _ {t}} \tag {2.7.16}

여기서 간단히 식 (2.7.17) 을 유도할 수 있으며, 이를 통해 극한균열변형률의 최소값을 식 (2.7.18) 과 같이 얻을 수 있다. 또한 감소된 인장 강도도 식 (2.7.19) 와같이 얻을 수 있다.

\left. \frac {d y}{d x} \right| _ {x = 0} = - 1 \tag {2.7.17}

\varepsilon_ {\mathrm{nn.ult.min}} ^ {c r} = \frac {f _ {t}}{E} \tag {2.7.18}

f _ {t} = \sqrt {2 \frac {G _ {f} ^ {I} E}{h}} \tag {2.7.19}

지수연화 모델

인장강도를 초과하면 지수연화(exponential softening)가 일어난다고 본 모델이다.(그림 2.7.1(e)).

입력한 파괴에너지와 균열폭을 바탕으로 연화의 기울기가 결정된다.

인장강도 : ft  0.0 의 값을 입력한다.

인장 파괴에너지 : 0.0 I Gf 

균열폭 : h  0.0

Hordijk 모델

인장강도를 초과하면 Hordijk이 제안한 연화가 일어난다고 본 모델이다. (그림2.7.1(f)).

입력한 파괴에너지와 균열폭을 바탕으로 연화의 기울기가 결정된다.

인장강도 : ft  0.0 의 값을 입력하면 된다.