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4.6 점탄성 재료의 성질

점탄성(visco-elastic) 재료의 대표적인 거동은 일정한 응력에서 변형률이 증가하는 크리프(creep)현상과 일정한 변형률에서 응력이 감소하는 응력이완(stressrelaxation) 현상으로 나타난다. 또한 점성은 재료온도와 변형률 속도(strain rate)에 따라 변화할 수 있다. 점탄성이란 점성(viscosity)과 탄성을 동시에 가지는 성질을 의미한다. midas NFX에는 점탄성 재료로 재령 독립적(age independent) 모델과 재령 종속적(age depedent) 모델이 있다.

4.6.1 재령 독립적 점탄성 재료

일정한 온도와 응력에서 일축인장시험에서 나타나는 점탄성 재료의 거동은 3가지 영역으로 구분된다. 1차 크리프(primary creep)는 시간에 따라 변형률 속도가감소하는 구간이며 2차 크리프(secondary creep)는 변형률 속도가 일정한 구간이고 3차 크리프(tertiary creep)는 변형률 속도가 증가하는 구간이다. 3차 크리프변형은 연성재료를 이용하여 인장시험을 하였을 경우 재료가 파괴되기 전 국부수축을 일으켜 단면이 감소하는 현상(necking)을 나타낸다.

midas NFX에서는 등방성 재료에 대해서 1차 크리프 와 2차 크리프를 사용할 수있다.

line

t	ε
Primary	Low
Secondary	Medium
Tertiary	High

그림 4.6.1 일정한 온도와 응력에서 일축인장시험

만약 크리프 변형이 일어난 이후 작용된 하중이 제거될 경우 탄성변형은 즉시회복되고 크리프 변형은 서서히 회복된다. 이때 2차 크리프 변형은 영구 변형으로 남게 된다.

line

t	ε
Primary recovery	Peak
Secondary not recoverable	Decline
Load removed	Peak

그림 4.6.2 응력변화에 따른 크리프 변형

다음 그림은 재령 독립적 점탄성 재료의 수학적 모델인 Kelvin-Maxwell 모델을나타낸다.

이 모델은 1개의 탄성 스프링과 2개의 점성 댐퍼로 구성되어 있다. Kelvin-Voigt모델인 병렬로 연결된 스피링과 댐퍼가 1차 크리프를 표현하며 Kelvin-Voigt 모델에 직렬로 연결된 댐퍼가 2차 크리프를 표현한다.

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Primary Creep k₁ Secondary Creep k₂ kₚ(σ) cₛ(σ) σ(t) or Δs₁ cₚ(σ)

그림 4.6.3 Kelvin-Maxwell 크리프 모델

일정한 응력상태에서 크리프 변형률 및 시간에 따른 크리프 변형률 증가량은다음과 같다.

\varepsilon_ {\text {total}} ^ {c} = \frac {\sigma}{c _ {s}} t + \varepsilon_ {\text {primary}} ^ {c} \tag {4.6.1}

\varepsilon_ {\text { primary }} ^ {c} = \frac {\sigma}{k _ {p}} \left[ 1 - e ^ {- \left(k _ {p} / c _ {p}\right) t} \right]

midas NFX에서는 크리프 변형률을 다음 식과 같이 두가지 실험식 형태를 사용할 수 있다.

\text { Empirical   law   1:   } \varepsilon_ {t o t a l} ^ {c} = A (\sigma) \left[ 1 - \exp (- R (\sigma) t) \right] + K (\sigma) t

A (\sigma) = a \sigma^ {b} \quad \text { or } \quad a \exp (b \sigma)

R (\sigma) = c \exp (d \sigma) \quad \text { or } \quad c \sigma^ {d} \tag {4.6.2}

K (\sigma) = e \left[ \sinh (f \sigma) \right] ^ {g} \text {   or   } e \exp (f \sigma)

\text { Empirical   law   2:   } \varepsilon_ {t o t a l} ^ {c} = a \sigma^ {b} t ^ {d} + \mathrm{e} \sigma^ {f} t

a, b, c, d, e, f \quad : \text {   재료   상수   }

t \quad : \text {   시간   }

k_{p}, c_{p}, c_{s} 는 실험식 1의 경우 k_{p} = \sigma / A(\sigma), c_{p} = \sigma / (A(\sigma)R(\sigma)), c_{s} = \sigma / K(\sigma) 이며, 실험식 2의 경우는 \varepsilon_{tota}^{c} 에 대한 1차 및 2차 미분 방정식을 이용하여 계산한다.

일축상태의 Kelvin-Maxwell 크리프 모델의 평형방정식은 다음과 같다.

\mathbf {C} \Delta \dot {\mathbf {e}} + \mathbf {k} \Delta \mathbf {e} = \Delta \mathbf {s}

\mathbf {C} = \left[ \begin{array}{c c} c _ {s} & - c _ {s} \\ - c _ {s} & (c _ {p} + c _ {s}) \end{array} \right], \mathbf {k} = \left[ \begin{array}{c c} 0 & 0 \\ 0 & k _ {p} \end{array} \right], \Delta \mathbf {s} ^ {T} = \left\langle \Delta s _ {1} \quad 0 \right\rangle \tag {4.6.3}

중앙 차분법(central difference method)을 이용한 변형률 증가량을 식 (4.6.3)에 대입하여 나타내면 다음 식과 같다.

\left[ \frac {2}{\Delta t} \mathbf {C} + \mathbf {k} \right] \Delta \mathbf {e} = 2 \mathbf {C} \dot {\mathbf {e}} + \Delta \mathbf {s} \tag {4.6.4}

Kelvin-Maxwell 크리프 모델의 1차 크리프 k_{1} 과 2차 크리프의 인자 k_{2} 및 등가의 크리프 강성 k_{c} 는 다음 식과 같이 정의 된다.

k _ {1} = k _ {p} + \frac {2 c _ {p}}{\Delta t}, k _ {2} = \frac {2 c _ {s}}{\Delta t}, k _ {c} = \frac {k _ {1} k _ {2}}{k _ {1} + k _ {2}} \tag {4.6.5}

(4.6.4)과 (4.6.5)를 이용하여 응력이완을 나타내는 가상의 증분 변형률 \Delta \varepsilon' 은 다음 식과 같다.

\Delta \varepsilon^ {\prime} = \frac {\Delta s ^ {\prime}}{k _ {c}} = 2 \left[ \frac {c _ {s}}{k _ {2}} \left(\dot {\varepsilon} _ {\text { total }} ^ {c} - \dot {\varepsilon} _ {\text { primary }} ^ {c}\right) + \frac {c _ {p}}{k _ {1}} \dot {\varepsilon} _ {\text { primary }} ^ {c} \right] \tag {4.6.6}

다축상태의 크리프 변형에서는 유효응력(effective stress)에 대한 \overline{k}_{p} , \overline{c}_{p} , \overline{c}_{s} 를사용하고 이를 이용하여 가상의 증분 변형률을 나타내면 다음 식과 같다.

k _ {1} = \frac {2}{3} \left(\overline {{k}} _ {p} + \frac {2 \overline {{c}} _ {p}}{\Delta t}\right), k _ {2} = \frac {2}{3} \left(\frac {2 \overline {{c}} _ {s}}{\Delta t}\right) \tag {4.6.7}

\boldsymbol {\Delta} \boldsymbol {\varepsilon} ^ {\prime} = \frac {4}{3} \left[ \frac {\overline {{c}} _ {s}}{k _ {2}} \left(\dot {\boldsymbol {\varepsilon}} _ {\text { total }} ^ {c} - \dot {\boldsymbol {\varepsilon}} _ {\text { primary }} ^ {c}\right) + \frac {\overline {{c}} _ {p}}{k _ {1}} \dot {\boldsymbol {\varepsilon}} _ {\text { primary }} ^ {c} \right]

탄성 증분 변형률과 크리프 증분 변형률의 합인 총 증분 변형률로 응력-변형률 관계를 나타내면 다음 식과 같다.

\Delta \boldsymbol {\sigma} = \left[ \mathbf {C} ^ {e l} + \mathbf {C} ^ {c} \right] \left[ \Delta \boldsymbol {\varepsilon} ^ {e l} + \Delta \boldsymbol {\varepsilon} ^ {e c} \right] \tag {4.6.8}

C^{el} : 탄성 강성행렬

C^{c} : 크리프 접선 강성 행렬

탄성 변형률의 증가량과 크리프 변형률의 증가량의 합은 전체 증분 변형률에서

가상의 증분 변형률을 제외한 것과 동일해야 하므로 응력-변형률 관계는 다음과 같다.

\Delta \boldsymbol {\sigma} = \mathbf {C} ^ {e c} \left[ \Delta \boldsymbol {\varepsilon} - \Delta \boldsymbol {\varepsilon} ^ {\prime} \right] \tag {4.6.9}

C^{ec} 는 탄성-크리프 접선강성(elastic-creep tangent matrix)으로 다음과 같다.

\mathbf {C} ^ {e c} = \left[ \begin{array}{c c c c c c} K _ {0} + \frac {2}{3} k _ {e c} & K _ {0} - \frac {1}{3} k _ {e c} & K _ {0} - \frac {1}{3} k _ {e c} & 0 & 0 & 0 \\ & K _ {0} + \frac {2}{3} k _ {e c} & K _ {0} - \frac {1}{3} k _ {e c} & 0 & 0 & 0 \\ & & K _ {0} + \frac {2}{3} k _ {e c} & 0 & 0 & 0 \\ & & & \frac {1}{2} k _ {e c} & 0 & 0 \\ & \text { symmetric } & & & \frac {1}{2} k _ {e c} & 0 \\ & & & & & \frac {1}{2} k _ {e c} \end{array} \right] \tag {4.6.10}

여기서, K_{0} 는 체적 탄성계수이며 \frac{1}{k_{ec}}=\frac{1}{2G}+\frac{1}{k_{c}} 이고 G 는 전단 탄성계수 이다.

다음은 midas NFX에서 사용할 수 있는 재령 독립적 점탄성 재료와 요소간의 관계를 정리한 것이다.

표 4.6.1 요소별 사용 가능한 재령 독립적 점탄성 재료

요소 종류
Rod	Bar	Pipe	Cable	Membrane	Shell	Plane strain	Axisymmetric Solid	Solid	Surface
V			V	V	V	V	V	V	V

4.6.2 재령 종속적 점탄성 재료

콘크리트와 같은 재료는 시간에 따라 재료 물성치가 변화하고 비 역학적 변형인크리프와 건조수축 변형이 발생한다. 또한 크리프 변형은 응력 발생 시점에 따라 시간에 따른 변형량이 달라진다.

시간에 따른 크리프 변형은 콘크리트 시편에 일축 단위응력을 콘크리트 재령에 재하하였을때, t 일에서 발생하는 총 변형률을 의미 하는 크리프 컴플라이언스(creep compliance), 크리프 함수에서 탄성변형을 제외한 특성 크리프(specific creep), 크리프 함수를 탄성변형과의 비율로 나타낸 크리프 계수(creepcoefficient)로 표현할 수 있다. 특정 응력이 작용하는 시간이 다른 경우는 다른형태의 크리프 함수를 사용하여야 한다. 따라서 시간에 따라 응력이 변화하는경우에 각 시간에서의 증감하는 응력은 독자적인 크리프 함수를 필요로 한다.임의의 시점에서의 크리프 변형은 응력이 변화하는 시점에서 증감하는 응력들에의한 변형률을 독자적으로 계산하고 이 값을 중첩하여 산정한다. 이와 같은 중첩법을 사용하기 위해서는 모든 부재에 대한 응력이력을 저장하고, 매 단계마다모든 응력에 대하여 초기 단계 부터 현재의 시점까지의 변형률을 계산할 수 있어야 한다. 따라서 중첩법은 많은 양의 데이터의 저장 및 많은 계산을 필요로한다.

midas NFX에서는 계산의 효율을 높이기 위하여 응력의 전체 이력을 저장하지않고, 크리프의 특성함수를 수식화하여 아래와 같은 적분 방법을 사용한다.

특정시간에서 임의의 시간까지의 전체 크리프 변형량은 각 단계마다 발생하는응력에 의한 크리프의 중첩 적분으로 나타내면 다음 식과 같다.

\varepsilon_ {c} (t) = \int_ {0} ^ {t} C (t, \tau) \frac {\partial \sigma (\tau)}{\partial \tau} d \tau \tag {4.6.11}

: 시간 에서의 크리프 변형률

특성 크리프

T : 하중 재하시점

위 식에서 응력이 각 단계에서 일정하다고 가정하면 다음 식과 같이 전체

변형률을 단계별로 구분된 변형률의 합으로 표현할 수 있다.

\varepsilon_ {c} ^ {n} = \sum_ {j = 1} ^ {n - 1} \Delta \sigma_ {j} C (t _ {n}, \tau_ {j}) \tag {4.6.12}

위 (4.6.12)식을 사용하여 시간 t_{n}-t_{n-1} 에서 발생하는 크리프 변형률의 증분을 정리하여 나타내면 다음 식과 같다.

\Delta \varepsilon_ {c} ^ {n} = \varepsilon_ {c} ^ {n} - \varepsilon_ {c} ^ {n - 1} = \sum_ {j = 1} ^ {n - 1} \Delta \sigma_ {j} C (t _ {n}, \tau_ {j}) - \sum_ {j = 1} ^ {n - 2} \Delta \sigma_ {j} C (t _ {n - 1}, \tau_ {j}) \tag {4.6.13}

특성 크리프를 다음 식과 같이 Dirichlet 급수의 Degenerate Kernel로 표현하면 응력의 전체 이력을 저장할 필요없이 크리프에 의한 증분변형률을 계산할 수 있다.

C (t, \tau) = \sum_ {i = 1} ^ {m} a _ {i} (t) \left[ 1 - e ^ {- (t - \tau) / \Gamma_ {i}} \right] \tag {4.6.14}

a(t) : 하중 재하시간 \tau 에 관련된 특성크리프 형상계수

Γ : 시간의 경과에 따른 특성크리프 곡선의 형상에 관한 값

midas NFX에서는 5개의 Γ 를 사용하여 aging-Kelvin 크리프 모델과 aging-Kelvin 크리프 모델에서 스프링을 제외한 형태인 aging-viscous 크리프 모델을 사용할 수 있다.

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k₁ k₂ k₃ k₄ k₅ η₁ η₂ η₃ η₄ η₅ σ

그림 4.6.4 aging-Kelvin 크리프 모델

특성 크리프 수식을 도입하여 증분 변형률을 다시 정리하면 다음 식과 같다.

\Delta \varepsilon = \Delta \sigma \left(\frac {1}{E} + \sum_ {i = 1} ^ {5} a _ {i} (t) \left(1 - \lambda_ {i}\right)\right) + \sum_ {i = 1} ^ {5} \left(1 - \beta_ {i}\right) \varepsilon_ {c} ^ {n - 1}

\lambda_ {i} = (1 - \beta_ {i}) \Gamma_ {i} / \Delta t \tag {4.6.15}

\beta_ {i} = e ^ {- \Delta t / \Gamma_ {i}}

\varepsilon_{c}^{n-1} : 직전 단계 크리프 변형률

E : 탄성 계수

위 식을 정리 하면 다음과 같다.

\Delta \sigma = \overline {{E}} \left(\Delta \varepsilon - \Delta \varepsilon^ {\prime \prime}\right)

\frac {1}{E} = \frac {1}{E} + \sum_ {i = 1} ^ {5} a _ {i} (t) \left(1 - \lambda_ {i}\right) \tag {4.6.16}

\Delta \varepsilon^ {"} = \sum_ {i = 1} ^ {5} \left(1 - \beta_ {i}\right) \varepsilon_ {c} ^ {n - 1}

최종적으로 건조수축 변형률을 포함하면 다음과 같다.

\Delta \sigma = \overline {{E}} \left(\Delta \varepsilon - \Delta \varepsilon^ {"} - \Delta \varepsilon_ {s h}\right) \tag {4.6.17}

다음은 midas NFX에서 사용할 수 있는 재령 종속적 점탄성 재료와 요소간의 관계를 정리한 것이다.

표 4.6.2 요소별 사용 가능한 재령 종속적 점탄성 재료

요소 종류
Rod	Bar	Pipe	Cable	Membrane	Shell	Plane strain	Axisymmetric Solid	Solid	Surface
v	v		v	v	v	v	v	v	v

4.7 복합재료 적층이론

복합재료 적층이론은 이방성 재료로 이루어진 여러 개의 층(ply or lamina)을 적층했을 경우 발생하는 평균적 재료성질을 계산하는 과정이다. midas NFX에서는layered shell 요소의 내력, 강성 등의 계산에 적층이론을 사용한다.

적층 복합재료(laminated composite)를 구성하는 각각의 층은 서로 다른 재료일뿐만 아니라 재료의 주축 방향 또한 다르다.

text_image

material - axis 2 material - axis 1 material - axis 1 material - axis 2

그림 4.7.1 적층 복합재료의 주축

각각의 층에서 재료의 성질은 섬유(fiber)의 방향, 섬유와 기지(matrix)의 비율 등에 의해 결정되며, 주축(1방향)이 섬유(fiber) 방향과 대체로 일치하는 직교이방성 재료인 경우가 많다. 적층이론의 기본 가정은 다음과 같다.

► 적층판을 구성하는 각각의 층은 서로 완전하게 접착되어 있다.
► 접착부는 두께를 가지지 않으며 층간의 변위는 연속적이기 때문에 접착부의전단변형은 없다.
► 변형률은 두께방향으로 직선적인 분포를 나타낸다.

두께방향 변형률 및 각 층의 면내응력은 다음과 같이 표현된다.