김경종
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Newmark 방법에 의한 시간 차분식을 도입하면, 시간스텝 n, n+1 에서의 속도, 변위 및 가속도는 다음과 같은 관계식으로 표현된다.
\begin{array}{l} \mathbf {v} ^ {n + 1} = \mathbf {v} ^ {n} + \Delta t \left[ \gamma \mathbf {a} ^ {n + 1} + (1 - \gamma) \mathbf {a} ^ {n} \right] \\ \mathbf {u} ^ {n + 1} = \mathbf {u} ^ {n} + \Delta t \mathbf {v} ^ {n} + \frac {1}{2} \Delta t ^ {2} \left[ 2 \beta \mathbf {a} ^ {n + 1} + (1 - 2 \beta) \mathbf {a} ^ {n} \right] \tag {5.4.3} \\ \end{array}
(5.4.2), (5.4.3)을 이용하여 평형방정식 (5.4.1)을 재구성하면, 시간 n+1 에 변위를 미지수로 하는 연립방정식 형태로 다음과 같이 정리할 수 있다.
\begin{array}{l} \mathbf {K} ^ {e f f} \mathbf {u} _ {n + 1} = \mathbf {f} ^ {e f f} \\ \mathbf {K} ^ {e f f} = \frac {1}{\beta \Delta t ^ {2}} \mathbf {M} + \frac {(1 + \alpha_ {H}) \gamma}{\beta \Delta t} \mathbf {C} + (1 + \alpha_ {H}) \mathbf {K}, \\ \mathbf {f} ^ {\text { eff }} = - \mathbf {f} ^ {\text { int }, 0} + (1 + \alpha_ {H}) \left[ \mathbf {f} ^ {\text { ext }, n + 1} + \mathbf {f} ^ {\text { nonmech }, n + 1} \right] - \alpha_ {H} \left[ \mathbf {f} ^ {\text { ext }, n} + \mathbf {f} ^ {\text { nonmech }, n} \right] + \tag {5.4.4} \\ \mathbf {M} \left[ \frac {1}{\beta \Delta t ^ {2}} \mathbf {u} ^ {n} + \frac {1}{\beta \Delta t} \mathbf {v} ^ {n} + \left(\frac {1}{2 \beta} - 1\right) \mathbf {a} ^ {n} \right] + \\ \mathbf {C} \left[ \frac {(1 + \alpha_ {H}) \gamma}{\beta \Delta t} \mathbf {u} ^ {n} + \left\{\frac {(1 + \alpha_ {H}) \gamma}{\beta} - 1 \right\} \mathbf {v} ^ {n} + \Delta t (1 + \alpha_ {H}) \left(\frac {\gamma}{2 \beta} - 1\right) \mathbf {a} ^ {n} \right] + \alpha_ {H} \mathbf {K} \mathbf {u} ^ {n} \\ \end{array}
(5.4.4)에서 우변 f^{eff} 은 외력 및 시간스텝 n 에서 이미 계산된 변위, 속도, 가속도에 의하여 결정된다. 우변이 결정되면 앞 절에서 설명된 연립방정식 해법을 이용하여 n+1 에서의 변위 벡터 u_{n+1} 을 계산할 수 있으며, 계산된 변위를 Newmark 차분식 (5.4.3)에 대입하여 n+1 에서의 속도와 가속도를 얻을 수 있다. 구조물의 과도응답은 이러한 일련의 과정을 반복하는 시간적분 과정을 통해서 이루어진다.
(5.4.4) 좌변의 유효강성 행렬( K^{eff} )은 시간스텝이 일정하게 유지되는 경우 한번 분해된 행렬을 재활용하여 전후진 대입과정만을 반복함으로써 효과적인 해석이 가능하다.
HHT- \alpha 시간적분법은 \gamma=(1-2\alpha_{H})/2 , \beta=(1-\alpha_{H})^{2}/4 의 경우 무조건적 안정성 (unconditional stability)을 갖으며, \alpha_{H}=0 인 경우 평균 가속도(average acceleration)를 사용하는 Newmark 방법으로 특수화된다. midas NFX 에서는 \alpha_{H}=-0.05 를 기본값으로 사용한다.
• 내연적 직접 시간적분법에서의 자동 시간스텝 제어
직접 시간적분법에 의한 선형 과도응답해석에서는 일반적으로 고정된 시간스텝을 사용한다. 이는 시간스텝의 변화에 따른 강성행렬의 재분해에 의한 계산비용의 증가 그리고, 급격한 시간스텝 변화에 따른 노이즈의 발생을 피하기 위해서이다. 이러한 측면에서 고정 시간스텝의 결정은 해석 이전에 이루어지는 것이보다 적당하고, midas NFX에서는 사용자의 편이를 위하여 최저차 유연 진동모드(또는 최장 유연 주기)를 기준으로, 주기내에 시간스텝의 개수를 사용자가 지정할 수 있도록 하는 방법을 제공한다. 또한, 급격한 하중의 변화에 의해 발생된노이즈의 효과적인 제어를 위하여 중간스텝 잔여력(half-step residual)을 기반으로 한 자동 시간스텝 제어방법을 포함한다.
• 감쇠(Damping) 효과
midas NFX에서는 고려하는 감쇠의 종류로는 질량비례감쇠(mass-proportionaldamping), 강성비례감쇠(stiffness-proportional damping) 및 구조감쇠(structuraldamping)가 있다. 그리고 5.3.2절에서 언급된 바와 같이 모드 중첩법의 경우에만 적용되는 모드 감쇠가 있다. 선형 동적응답 해석에서 감쇠의 효과는 다음과같은 형태로 감쇠행렬 에 적용되게 된다.
\mathbf {C} = \alpha_ {j} ^ {e} \mathbf {M} _ {j} ^ {e} + \beta_ {j} ^ {e} \mathbf {K} _ {j} ^ {e} + \frac {\eta}{\omega_ {d}} \mathbf {K} + \frac {1}{\omega_ {d} ^ {e}} \eta_ {j} ^ {e} \mathbf {K} _ {j} ^ {e} + \mathbf {B} \tag {5.4.5}
- a : j 번째 요소에 대한 요소 질량비례 감쇠계수
-
j번째 요소에 대한 요소 강성비례 감쇠계수
M : j번째 요소의 요소질량행렬
K : j번째 요소의 요소강성행렬
n,@d : 전역 구조감쇠 계수 및 전역 구조감쇠 지배주파수
- n : j 번째 요소의 요소 구조감쇠
-
요소 구조감쇠 지배주파수
B : 감쇠 요소(Damper, Bush 등)로 인한 감쇠행렬
• 모드 중첩법의 적용
모드 중첩법을 이용한 시간적분을 사용하기 위해 모드 평형방정식 (5.3.6)의 질량을 1로 맞춤으로써 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
\ddot {\xi} _ {i} (t) + \overline {{{C}}} _ {i j} \dot {\xi} _ {j} (t) + \omega_ {i} ^ {2} \xi_ {i} (t) = p _ {i} (t) = p _ {i} (t - \Delta t) + \frac {\Delta p _ {i}}{\Delta t} t \tag {5.4.6}
\overline {{\boldsymbol {C}}} _ {i j} = [ \overline {{\boldsymbol {C}}} ] _ {i j} = [ \boldsymbol {\Phi} ^ {T} \boldsymbol {\mathbf {C}} \boldsymbol {\Phi} ] _ {i j}
모드 중첩법을 이용한 시간적분은 모드 감쇠행렬 \overline{C}_{ij} 의 연성 상태에 따라 다음과 같이 두 가지로 구분되어 적용된다.
① 비연성 감쇠계 (uncoupled system)
모드 감쇠행렬 \overline{C}_{ij} 이 대각화되어 연성이 제거되면 응답이 모드마다 독립적으로 해석되며, 각 시간스텝에서의 변위와 속도는 이전 시간스텝에서의 변위와 속도에 의해 다음 식과 같이 결정된다. i 번째 모드에 대한 모드별 적분계수 a_{\alpha\beta}^{i} , b_{\alpha\beta}^{i} 는 (5.4.6)의 특이해(particular solution)와 일반해(homogeneous solution)를 구하여 초기조건(이전 시간스텝에서의 변위와 속도)을 적용하면 얻을 수 있다.
\left[ \begin{array}{l} \xi_ {i} ^ {n + 1} \\ \dot {\xi} _ {i} ^ {n + 1} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l l} a _ {1 1} ^ {i} & a _ {1 2} ^ {i} \\ a _ {2 1} ^ {i} & a _ {2 2} ^ {i} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} \xi_ {i} ^ {n} \\ \dot {\xi} _ {i} ^ {n} \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l l} b _ {1 1} ^ {i} & b _ {1 2} ^ {i} \\ b _ {2 1} ^ {i} & b _ {2 2} ^ {i} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} p _ {i} ^ {n} \\ p _ {i} ^ {n + 1} \end{array} \right] \tag {5.4.7}
② 연성감쇠계 (coupled system)
모드 감쇠행렬의 연성이 제거되지 않는 경우 모드 간 연성을 고려해야 하므로 앞에서처럼 모드마다 독립적으로 해석할 수가 없다. 이런 경우 midas NFX에서는 모드 감쇠행렬을 다음과 같이 대각 성분( \overline{\mathbf{C}}_{diag} )과 비대각 성분( \overline{\mathbf{C}}_{off} )으로 나누어서 비대각 성분으로 인한 감쇠력을 외부 하중으로 취급하여 해석한다.
\overline {{{\mathbf {C}}}} = \overline {{{\mathbf {C}}}} _ {\text { diag }} + \overline {{{\mathbf {C}}}} _ {\text { off }} \tag {5.4.8}
이 경우에는 모드 변위는 독립이고 모드 속도는 연성되어 다음과 같이 연립방정식이 구성되며 시간스텝이 고정이면 직접 시간적분법과 마찬가지로 행렬 재분해를 하지 않고 풀 수 있다.
\begin{array}{l} \left[ \begin{array}{c c} \mathbf {I} & \mathbf {B} _ {1 2} \overline {{\mathbf {C}}} _ {\text {off}} ^ {T} \\ 0 & \mathbf {I} + \mathbf {B} _ {2 2} \overline {{\mathbf {C}}} _ {\text {off}} ^ {T} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \boldsymbol {\xi} ^ {n + 1} \\ \dot {\boldsymbol {\xi}} ^ {n + 1} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} \mathbf {A} _ {1 1} & \mathbf {A} _ {1 2} \\ \mathbf {A} _ {2 1} & \mathbf {A} _ {2 2} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \boldsymbol {\xi} ^ {n} \\ \dot {\boldsymbol {\xi}} ^ {n} \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c c} \mathbf {B} _ {1 1} & \mathbf {B} _ {1 2} \\ \mathbf {B} _ {2 1} & \mathbf {B} _ {2 2} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \mathbf {p} ^ {n} - \overline {{\mathbf {C}}} _ {\text {off}} ^ {T} \dot {\boldsymbol {\xi}} ^ {n} \\ \mathbf {p} ^ {n + 1} \end{array} \right] \\ \mathbf {A} _ {\alpha \beta} = \operatorname{diag} \left(a _ {\alpha \beta} ^ {i}\right) \tag {5.4.9} \\ \end{array}
\mathbf {B} _ {\alpha \beta} = d i a g (b _ {\alpha \beta} ^ {i})
- 모드 중첩법에서의 초기조건 (Initial condition)
초기 변위와 초기 속도가 주어졌을 때 모드 좌표계에서의 초기 변위 \xi_{i}^{0} 와 초기 속도 \dot{\xi}_{i}^{0} 는 다음과 같이 정의된다. 모든 모드를 사용하면 등식이 성립하며 모드의 일부가 사용되면 근사 관계식이 된다.
\xi_ {i} ^ {0} = \frac {1}{m _ {i}} \phi_ {i} ^ {T} \mathbf {M} \mathbf {u} _ {0} \tag {5.4.10}
\dot {\xi} _ {i} ^ {0} = \frac {1}{m _ {i}} \phi_ {i} ^ {T} \mathbf {M} \mathbf {v} _ {0}
\phi_{i} : i 번째 고유모드 형상
u_{0} : 초기 변위
v_{0} : 초기 속도
5.4.2 주파수 응답
주파수 응답 해석은 일정한 주파수로 진동하는 하중에 대한 구조물의 응답을 계산하는 방법이다. 주파수 응답 해석에서 모든 하중은 주파수 영역에서 정의되며 가진 주파수에 따른 함수로 표현된다. 즉, 회전 가진 주파수(angular excitation frequency)가 ω 일 때 주파수 응답 해석에서의 하중은 다음과 같이 복소 조화함수를 이용해 나타낼 수 있으며
\mathbf {f} (t) = \mathbf {f} (\omega) e ^ {i \omega t} \tag {5.4.11}
그에 따른 응답 역시 같은 형태로 표현할 수 있다.
\mathbf {u} (t) = \mathbf {u} (\omega) e ^ {i \omega t} \tag {5.4.12}
이를 이용하면 운동방정식은 다음과 같은 형태로 표현이 된다.
\left[ - \omega^ {2} \mathbf {M} + i \omega \mathbf {C} + \mathbf {K} \right] \mathbf {u} (\omega) = \mathbf {f} (\omega) \tag {5.4.13}
여기서 하중과 변위는 모두 복소수로 표현이 되는데 midas NFX에서는 복소수 데이터를 크기(magnitude)/위상각(phase angle) 또는 실수부(real component)/허수부(imaginary component)의 두 가지 형태로 출력할 수 있다. 복소수 값을 크기/위상각으로 표현하는 경우 크기값은 해당 하중 또는 변위의 진동주기 내에서의 최대값을 나타내고 위상각은 진동주기 내에서 최대값이 나타나는 위치(각)를 나타내게 된다. 반면 실수부/허수부로 복소수 값을 표현하는 경우 실수부는 진동주기 시작점에서의 해당 하중 또는 변위의 크기가 되며 허수부는 1/4 주기 ( \pi/2 )가 지났을 때의 하중 또는 변위가 되어 진동주기에 따라 그 값이 변화하게 되는 것을 나타낸다. 크기/위상각과 실수부/허수부의 관계를 식으로 나타내면 다음과 같다.
u = \sqrt {u _ {r} ^ {2} + u _ {i} ^ {2}} \quad : \exists \text { 7 } | (\text { magnitude })
\theta = \tan^ {- 1} \left(u _ {i} / u _ {r}\right): \text { 위상각 (phase angle) }
u _ {r} = u \cos \theta \quad : \text { 실수부(real component) }
u _ {i} = u \sin \theta \quad : \text { 허수부(imaginary component) }
- 직접법에 의한 주파수 응답 해석 (Direct frequency response analysis)
주파수 응답 해석을 위해 직접법을 이용하는 경우 (5.4.13)을 그대로 연립방정식으로 풀면 주파수 응답 \mathbf{u}(\omega) 을 구할 수 있다. 감쇠가 없는 경우 (5.4.13)은 실수 연립방정식이 되지만 감쇠가 있는 경우에는 복소수 연립방정식을 풀어야 한다. 직접법을 사용하는 경우 해는 정확하게 구할 수 있지만 매 가진 주파수마다 연립방정식을 다시 구성해서 풀어야 하므로 문제가 조금 크거나 가진 주파수가 많은 경우에는 계산이 매우 비효율적이 된다.
• 모드 중첩법에 의한 주파수 응답 해석 (Modal frequency response analysis)주파수 응답 해석에 모드 중첩법을 적용하기 위해 모드 평형방정식 (5.3.6)에(5.4.11)과 (5.4.12)를 대입하면 다음과 같이 표현된다.
\left[ - \omega^ {2} \boldsymbol {\Phi} ^ {T} \mathbf {M} \boldsymbol {\Phi} + i \omega \boldsymbol {\Phi} ^ {T} \mathbf {C} \boldsymbol {\Phi} + \boldsymbol {\Phi} ^ {T} \mathbf {K} \boldsymbol {\Phi} \right] \boldsymbol {\xi} (\omega) = \boldsymbol {\Phi} ^ {T} \mathbf {f} (\omega) = \mathbf {p} (\omega) \tag {5.4.14}
여기서 모드 감쇠행렬 이 0이거나 대각화되어 연성(coupling)이 제거되면(5.3.8)과 마찬가지로 (5.4.14)도 모드별로 완전히 분리되어 다음과 같이 i번째 모드 변위 를 간단하게 구할 수 있다.
\xi_ {i} (\omega) = \frac {p _ {i} (\omega)}{- \omega^ {2} m _ {i} + i \omega b _ {i} + k _ {i}} \tag {5.4.15}
이와 같이 모드 중첩법에 의해 모드 감쇠행렬의 연성이 제거되는 경우 한 번의고유치해석만 수행되고 나면 매 가진 주파수 별 계산은 매우 효율적으로 진행될수 있으므로 문제가 상대적으로 크고 주파수의 개수가 많은 경우 직접법에 비하여 정확도는 다소 떨어지지만 매우 효율적으로 계산이 될 수 있다. 그러나 모드감쇠행렬의 연성이 남아있는 경우에는 고유모드 수 개수로 축소된 연립방정식을매 가진 주파수마다 다시 풀어야 하므로 효율성이 상대적으로 크게 떨어지게 된다.
5.4.3 랜덤 응답
가진원(loading source)으로부터 불규칙하게 변동하는 랜덤 하중을 받는 물체는시간에 따라 매우 복잡한 응답을 나타내며 랜덤 응답의 크기는 평균, 표준 편차,확률 등의 통계적인 특성값을 통해서 설명된다. 랜덤 응답 해석(randomresponse analysis)의 예로는 지진에 의한 지반 운동, 바람에 의한 높은 건물들의흔들림 등이 있으며 이런 운동은 주로 파워 스펙트럼 밀도(power spectraldensity)를 통해서 기술된다.
line
| Time Point | Value |
|---|---|
| 1 | 0.1 |
| 2 | 0.3 |
| 3 | 0.2 |
| 4 | 0.4 |
| 5 | 0.1 |
| 6 | 0.5 |
| 7 | 0.3 |
| 8 | 0.2 |
| 9 | 0.4 |
| 10 | 0.1 |
| 11 | 0.6 |
| 12 | 0.3 |
| 13 | 0.2 |
| 14 | 0.5 |
| 15 | 0.4 |
| 16 | 0.1 |
| 17 | 0.7 |
| 18 | 0.3 |
| 19 | 0.2 |
| 20 | 0.4 |
| 21 | 0.1 |
| 22 | 0.6 |
| 23 | 0.3 |
| 24 | 0.2 |
| 25 | 0.5 |
| 26 | 0.4 |
| 27 | 0.1 |
| 28 | 0.8 |
| 29 | 0.3 |
| 30 | 0.2 |
| 31 | 0.4 |
| 32 | 0.1 |
| 33 | 0.7 |
| 34 | 0.3 |
| 35 | 0.2 |
| 36 | 0.5 |
| 37 | 0.4 |
| 38 | 0.1 |
| 39 | 0.6 |
| 40 | 0.3 |
| 41 | 0.2 |
| 42 | 0.4 |
| 43 | 0.1 |
| 44 | 0.8 |
| 45 | 0.3 |
| 46 | 0.2 |
| 47 | 0.5 |
| 48 | 0.4 |
| 49 | 0.1 |
| 50 | 0.7 |
| 51 | 0.3 |
| 52 | 0.2 |
| 53 | 0.4 |
| 54 | 0.1 |
| 55 | 0.6 |
| 56 | 0.3 |
| 57 | 0.2 |
| 58 | 0.5 |
| 59 | 0.4 |
| 60 | 0.1 |
| 61 | 0.8 |
| 62 | 0.3 |
| 63 | 0.2 |
| 64 | 0.4 |
| 65 | 0.1 |
| 66 | 0.7 |
| 67 | 0.3 |
| 68 | 0.2 |
| 69 | 0.5 |
| 70 | 0.4 |
| 71 | 0.1 |
| 72 | 0.6 |
| 73 | 0.3 |
| 74 | 0.2 |
| 75 | 0.4 |
| 76 | 0.1 |
| 77 | 0.8 |
| 78 | 0.3 |
| 79 | 0.2 |
| 80 | 0.2 |
| 81 | 0.5 |
| 82 | 0.4 |
| 83 | 0.1 |
| 84 | 0.7 |
| 85 | 0.3 |
| 86 | 0.2 |
| 87 | 0.4 |
| 88 | 0.1 |
| 89 | 0.6 |
| 90 | 0.3 |
| 91 | 0.2 |
| 92 | 0.5 |
| 93 | 0.4 |
| 94 | 0.1 |
| 95 | 0.8 |
| 96 | 0.3 |
| 97 | 0.2 |
| 98 | 0.4 |
| 99 | 0.1 |
| 100 | 0.7 |
그림 5.4.1 랜덤 하중
midas NFX에서 랜덤 응답 해석은 주파수 응답 해석의 결과를 후처리하는 과정이다. 먼저 입력에 대한 출력의 비율인 전달 함수(transfer function)를 단위 하중조건에 대한 주파수 응답으로서 계산하고 여기에 가진원의 파워 스펙트럼 밀도를 곱하여 응답의 파워 스펙트럼 밀도를 얻는다. 하중 조건이 여러 개이면 이들의 주파수 응답을 공통의 주파수 영역에서 동시에 해석한다. 주파수 응답 해석에 사용되는 각각의 하중은 서로 구별되는 랜덤 가진원을 나타내며 여러 절점또는 요소에 작용할 수 있다. 랜덤 응답 해석 결과로는 응답의 파워 스펙트럼밀도 외에 RMS(root mean square)와 제로크로싱(number of positive zerocrossing)이 있다.
• 랜덤 응답의 통계적 특성값
두 절점 와 에서의 물리량 u _ { i } 와 u _ { j } 의 상호 상관 함수(cross-correlationfunction) R _ { i j } ( \tau ) \frac { \underline { { \alpha } } } { \equiv } (5.4.16)과 같이 정의한다. 특별히 동일한 두 절점에서의 값을자기 상관 함수(autocorrelation function) R _ { j } ( \tau ) 라고 한다. 여기서 R _ { j } ( 0 ) \equiv ~ u _ { j } ^ { 2 } \ : \underline { { \circ } } | 시간 평균값으로서 구조물의 파손 해석에 사용된다.
R _ {i j} (\tau) = \lim _ {T \rightarrow \infty} \frac {1}{T} \int_ {0} ^ {T} u _ {i} (t) u _ {j} (t - \tau) d \tau \tag {5.4.16}
R _ {j} (\tau) = \lim _ {T \rightarrow \infty} \frac {1}{T} \int_ {0} ^ {T} u _ {j} (t) u _ {j} (t - \tau) d t
두 절점 와 에서의 물리량 u _ { j } 와 \boldsymbol { u } _ { k } 의 상호 스펙트럼 밀도(cross spectraldensity) S _ { j k } ( \omega ) 와 물리량 u _ { j } 의 파워 스펙트럼 밀도 S _ { j } ( \omega ) \overset { \smile } { = } ( 5 . 4 . 1 7 ) \underline { { \beth } } \vdash 같이 정
의된다.
S _ {j k} (\omega) = \lim _ {T \rightarrow \infty} \frac {2}{T} \int_ {0} ^ {T} e ^ {- i \omega t} u _ {j} (t) d t \int_ {0} ^ {T} e ^ {i \omega t} u _ {k} (t) d t \tag {5.4.17}
S _ {j} (\omega) = \lim _ {T \rightarrow \infty} \frac {2}{T} \left| \int_ {0} ^ {T} e ^ {- i \omega t} u _ {j} (t) d t \right| ^ {2}
푸리에 적분(Fourier integral)을 사용하면 자기 상관 함수와 파워 스펙트럼 밀도가 푸리에 변환쌍(Fourier transform pair)인 것을 보여줄 수 있다.
R _ {j} (\tau) = \frac {1}{2 \pi} \int_ {0} ^ {\infty} S _ {j} (\omega) \cos (\omega t) d \omega \tag {5.4.18}
- 랜덤 응답의 계산
전달 함수 H_{ja}(\omega) 는 절점 a 에 가진원 Q_{a}(\omega) 가 작용할 때 절점 j 에서 응답 u_{j}(\omega) 을 결정하는 구조물의 특성이다.
u _ {j} (\omega) = H _ {j a} (\omega) Q _ {a} (\omega) \quad \text {(no summation)} \tag {5.4.19}
u_{j}(\omega) : 물리량 u_{j}(t) 의 푸리에 변환(Fourier transform)
Q_{a}(\omega) : 가진원 Q_{a}(t) 의 푸리에 변환
응답의 파워 스펙트럼 밀도 S_{j}(\omega) 는 가진원의 파워 스펙트럼 밀도 S_{a}(\omega) 와 (5.4.20)의 관계가 있다. 만약 여러 가진원들이 통계적으로 독립이어서 상관 관계가 없으면 전체 응답의 파워 스펙트럼 밀도는 각각의 독립적인 가진원들의 응답의 파워 스펙트럼 밀도들의 단순합과 같다.
S _ {j} (\omega) = \left| H _ {j a} (\omega) \right| ^ {2} S _ {a} (\omega) \tag {5.4.20}
만약 여러 가진원들이 통계적으로 상관 관계를 가지고 있으면 그 강도는 상호스펙트럼 밀도에 의해서 표현되고 응답의 파워 스펙트럼 밀도는 (5.4.21)과 같이 구할 수 있다.
S _ {j} (\omega) = \sum_ {a} \sum_ {b} H _ {j a} (\omega) H _ {j b} ^ {*} (\omega) S _ {a b} (\omega) \tag {5.4.21}
H_{jb}^{*}(\omega) : 전달함수 H_{jb}(\omega) 의 컬레 복소수(complex conjugate)
랜덤 응답 해석을 할 때 가진원이 반드시 하나의 절점에서의 힘일 필요는 없다. 여러 작용 힘들이 완전히 연성되어 있어도 그들을 모두 몽친 것을 하나의 가진원으로 취급할 수도 있다. 그리고 그 응답은 내력, 응력, 변위, 속도, 가속도 등의 임의의 물리량이 될 수 있다.
- RMS와 제로크로싱
평균이 영인 정규 분포를 따르는 랜덤 응답의 RMS는 1σ의 표준 편차를 나타내는데 응답 시간의 68.27% 동안 응답의 크기가 RMS 이내의 값이라고 평가할 수 있다. 크기가 RMS의 2배 또는 3배에 해당하는 응답들은 정규 분포의 2σ 또는 3σ의 표준 편차 영역에 포함되며 각각 응답 시간의 95.45%, 99.73% 동안 응답의 크기가 RMS 이내의 값이라고 평가할 수 있다. 제로크로싱은 단위 시간당 zero축을 음의 값에서 양의 값으로 넘어가는 수로서 응답의 파워스펙트럼 밀도의 총합이 작용하는 대표 주파수에 해당한다. RMS와 제로크로싱의 크기는 로그-로그 보간에 의한 적분을 사용하여 각각 (5.4.22)와 (5.4.23)에 의해 계산된다.
S _ {R M S} = R _ {j} (0) ^ {1 / 2} = \left(\frac {1}{2 \pi} \int_ {0} ^ {\infty} S _ {j} (\omega) d \omega\right) ^ {1 / 2} \tag {5.4.22}
N _ {0} = \left(\frac {\int_ {0} ^ {\infty} \omega^ {2} S _ {j} (\omega) d \omega}{\int_ {0} ^ {\infty} S _ {j} (\omega) d \omega}\right) ^ {1 / 2} \tag {5.4.23}
line
| Time | Sxx | von Mises |
|---|---|---|
| 0 | 0.0 | 0.0 |
| 1 | 0.5 | 0.7 |
| 2 | 0.0 | 0.0 |
| 3 | -0.5 | -0.7 |
| 4 | 0.0 | 0.0 |
| 5 | 0.5 | 0.7 |
| 6 | 0.0 | 0.0 |
| 7 | -0.5 | -0.7 |
| 8 | 0.0 | 0.0 |
| 9 | 0.5 | 0.7 |
| 10 | 0.0 | 0.0 |
| 11 | -0.5 | -0.7 |
| 12 | 0.0 | 0.0 |
| 13 | 0.5 | 0.7 |
| 14 | 0.0 | 0.0 |
| 15 | -0.5 | -0.7 |
| 16 | 0.0 | 0.0 |
| 17 | 0.5 | 0.7 |
| 18 | 0.0 | 0.0 |
| 19 | -0.5 | -0.7 |
| 20 | 0.0 | 0.0 |
그림 5.4.2 동적 해석의 von Mises 응력
• von Mises 응력
그림 5.4.2와 같이 동적 하중을 받는 구조물의 von Mises 응력의 확률 분포는다른 응답과는 달리 정규 분포도 아니고 평균값이 영인 것도 아니므로 vonMises 응력의 파워 스펙트럼 밀도는 응력 성분의 파워 스펙트럼 밀도를 사용해서 계산할 수 없다. midas NFX에서는 랜덤 응답 해석에서 von Mises 응력의 파워 스펙트럼 밀도를 계산하기 위해 Segalman7 등이 제시한 방법을 사용한다.이 방법은 위상 정보를 필요로 하며 복소수 응력에서만 사용할 수 있다.
S _ {\sigma \nu M} (\omega_ {i}) = \operatorname{trace} ([ A ] \cdot [ S _ {\sigma \sigma} (\omega_ {i}) ])
S _ {\sigma \sigma} (f _ {m}) = \overline {{s}} s ^ {T} \tag {5.4.24}
s ^ {T} = \left\lfloor H _ {s _ {x}} \quad H _ {s _ {y}} \quad H _ {s _ {z}} \quad H _ {s _ {x y}} \quad H _ {s _ {x z}} \quad H _ {s _ {y z}} \right\rfloor
- : 복소수 응력 성분
-
켤레 복소수 응력 성분
3차원 응력 상태일 때 행렬 는 (5.4.25)과 같다.