김경종
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위 식에서 사용하는 벌칙계수 k _ { N } 은 주접촉면과 종속절점 간에 탄성 강성을 부여하는 효과를 가지며, 값의 크기에 따라 비관통 조건을 대략적으로 만족시키게된다. 접착조건 또는 미끄러짐 접촉조건에서는 g _ { N } 이 양수일 때에도 접촉력을부여하여 초기에 인접한 접촉면과 종속절점이 떨어지지 않도록 하는 효과를 반영한다. midas NFX에서는 벌칙 계수를 다음 (5.8.5)에 의해 프로그램이 자동으로계산한다.
\text { solid elements }: k _ {i} = \frac {f _ {s} K _ {i}}{h} A _ {s i}
\text { plane / shell elements }: k _ {i} = \frac {f _ {s} M _ {i}}{h} A _ {s i}
h = \frac {\sum_ {i = 1} ^ {n 1} \frac {V _ {m i}}{A _ {m i}} + \sum_ {i = 1} ^ {n 2} A _ {m i} ^ {1 / 2}}{n 1 + n 2} \tag {5.8.5}
f _ {s} \quad : \text { 비례계수 }
K _ {i} \quad : \text { 체적 탄성계수 (bulk modulus) }
M _ {i} \quad : \text { 팽창 탄성계수 }
A _ {m i} \quad : \text { 주접촉면의 면적 }
A _ {s i} \quad : \text { 종속절점이 분담하는 면적 }
V _ {m i} \quad : \text { 주접촉면의 부피 }
n _ {1} \quad : \text { solid 요소의 수 }
n _ {2} \quad : \text { plane / shell 요소의 수 }
위식에서 비례계수 f_{s} 는 접촉조건의 종류 또는 해석 종류에 따라 다르게 결정되며, 사용자는 이를 변경하여 비관통 조건 또는 접착조건을 효과적으로 만족시킬 수 있다. 접착조건의 경우에는 접촉면에 수평 방향으로도 미끄러짐에 저항하는 힘을 부여하게 되는데 그 크기는 다음과 같다.
\mathbf {g} _ {T} = \left\{ \begin{array}{l} \left(\mathbf {u} ^ {B} - \mathbf {u} ^ {A}\right) \cdot \mathbf {t} _ {x} ^ {A} \\ \left(\mathbf {u} ^ {B} - \mathbf {u} ^ {A}\right) \cdot \mathbf {t} _ {y} ^ {A} \end{array} \right\} \tag {5.8.6}
\mathbf {f} ^ {T} = k _ {T} \mathbf {g} _ {T} \tag {5.8.7}
k_{T} : 벌칙계수
t_{x}^{A}, t_{y}^{A} : 주접촉면 상의 점 (A)에서의 수평방향 벡터
접착조건에서는 벌칙계수 k_{T} 를 k_{N} 과 같은 값으로 사용한다.
(5.8.4)와 (5.8.7)과 같이 선형 탄성의 접촉력 또는 미끄러짐에 대한 저항력은 비선형 해석에 사용하는 일반접촉과 거친접촉 조건에 적합하지 않다. 일반접촉과 거친접촉은 갑의 부호에 따라 강성이 0에서 k_{N} 으로 급격히 변화하기 때문에 수렴된 해를 얻기까지 많은 진동(oscillation) 현상이 발생할 수 있다. midas NFX에서는 이를 보완하기 위해 다음과 같이 접촉력을 수정하여 사용한다.
f ^ {C} = 0 \quad \text { if } g _ {N} > d _ {1}
f ^ {C} = \frac {f _ {0}}{(\exp (1) - 1)} \left[ \left(\frac {- g _ {N}}{d _ {1}} + 1\right) \left(\exp \left(\frac {- g _ {N}}{d _ {1}} + 1\right) - 1\right) \right] \quad i f - d _ {2} < g _ {N} < d _ {1} \tag {5.8.8}
f ^ {C} = \frac {f _ {0}}{(\exp (1) - 1)} \left[ \left(\frac {d _ {2}}{d _ {1}} + 1\right) \left(\exp \left(\frac {d _ {2}}{d _ {1}} + 1\right) - 1\right) \right] + k _ {N} \left(- g _ {N} - d _ {2}\right) \quad i f \quad g _ {N} < - d _ {2}
line
| -g_N | f^C |
|---|---|
| -d₁ | 0 |
| d₂ | f^C = exponential |
| >d₂ | f^C = linear |
그림 5.8.5 갭과 수정된 접촉력의 관계
수평 방향으로 미끄러짐에 대해 저항하는 힘은 수직 방향 힘이 작용하는경우에만 발생하기 때문에 더욱 복잡한 비선형성이 존재하게 된다. 이에 따라(5.8.7)을 변형하여 다음과 같이 적용한다.
\mathbf {f} ^ {T} = \frac {k _ {T} f ^ {C}}{k _ {N} d _ {2}} \mathbf {g} _ {T} \tag {5.8.9}
위 식은 수직 방향 접촉력과 수평 방향 힘을 비례하게 함으로써 접촉이 갑자기사라지는 순간에 발생할 수 있는 힘의 불연속성을 최소화 할 수 있다.거친접촉의 경우에는 (5.8.9)를 그대로 이용하며, 일반접촉의 경우에는추가적으로 마찰을 고려할 수 있다. 마찰에 의한 미끄러짐을 반영하기 위해파괴 함수를 다음과 같이 정의한다.
f = \left\| \mathbf {f} ^ {T} \right\| - \mu f ^ {C} \leq 0 \tag {5.8.10}
从 : 마찰계수
위 식을 만족하는 거동은 탄성 운동이 되며, 수평방향 이동이 커져서 위 식을만족하지 않으면 미끄러짐이 발생한다. (5.8.9)와 (5.8.10)을 비교해 보면 일정거리 이내에서의 수평방향 상대 변위는 탄성 운동을 하게 되며, 그 이상의상대 변위는 미끄러짐으로 가정했음을 알 수 있다. 마찰을 고려한 일반접촉은비대칭 강성행렬을 발생시키므로 수치적으로 계산 효율이 현저하게 저해된다.또한 마찰계수가 크거나(0.3~0.4 이상) 수평방향 탄성계수 가 큰 경우 역시수렴성에 문제를 발생시키는 요인이 될 수 있다.
• 분리가능 일체접촉(Breaking-weld)
midas NFX에서 분리가능 일체접촉 기능은 종속절점에 걸리는 접촉력이 파괴함수인 다음 (5.8.11)을 만족할 때까지는 종속절점과 주접촉면의 상대 운동을구속하는 접착 접촉과 같으며 만약 해석 중에 접촉력이 (5.8.11)식을 만족하지않으면 그 이후로는 종속절점과 주접촉면의 상대 구속이 해제되면서 일반접촉과같다.
\left(\frac {\max \left(C F ^ {n} , 0\right)}{F _ {f} ^ {n}}\right) ^ {2} + \left(\frac {C F ^ {s}}{F _ {f} ^ {s}}\right) ^ {2} \leq 1 \tag {5.8.11}
F : 수직 파괴 힘
F : 수평 파괴 힘
CF" : 수직 방향 접촉력
CFs : 수평 방향 접촉력
(5.8.11)에서 수직 방향의 접촉력의 경우 인장력만 고려되며 압축력을 고려하지않는다.
만약 파괴 힘이 수직 혹은 수평 한쪽 방향에 대해서만 주어지면 접촉력 역시 그방향에 대해서만 고려한다. 즉, 만 주어지면 수직 방향을 접촉력만을고려하고 만 주어지면 수평 방향의 접촉력만 고려한다.
5.9 피로 해석
피로파괴는 부재의 항복강도 보다 낮은 하중이 반복하여 작용할 때 부재가 파괴되는 현상을 의미한다. 피로해석을 수행하는 방법은 피로하중의 정의를 시간영역에서 정의 하는 방법과 주파수 영역에서 정의하는 방법으로 크게 두 가지로나뉜다. 시간영역에서 정의한 하중을 사용한 해석은 응력 기반의 응력-수명(stress-life) 방법과 변형률 기반의 변형률-수명(strain-life) 방법이 있으며, 주파수영역에서 정의한 하중을 사용한 해석은 랜덤 진동 피로해석 방법이 있다. 응력-수명 방법은 주로 항복응력에 비해 상대적으로 낮은 응력 수준에서 발생하는 피로해석에 사용되고, 변형률-수명 방법은 소성변형이 발생하는 상대적으로 높은응력 수준에서 발생하는 피로해석에 사용된다. 일반적으로 변형률-수명 방법에서 얻어지는 수명은 응력-수명 방법에서 얻어지는 수명에 비해 상대적으로 더정확하며, 특히 응력 집중부와 같이 응력 수준이 상대적으로 높은 경우에는 변형률-수명 방법을 사용한 피로해석이 타당하다고 할 수 있다. 그리고 랜덤 진동피로해석은 대상 하중이력이 매우 복잡하여 시간영역에서 정의하기 힘든 경우주파수 영역에서 정의하여 효과적으로 해석을 수행한다. 본 매뉴얼에서는 S-N선도(curve)를 이용하는 응력-수명 방법, E-N선도를 이용하는 변형률-수명 방법그리고 랜덤 진동 피로해석 방법에 대하여 정리하였다.
5.9.1 응력-수명 방법
응력-수명 방법은 일정한 하중을 반복적으로 작용하여 파괴가 발생하였을 때의반복횟수(N)와 응력 진폭(S)의 관계를 사용하여 주어진 하중 이력하에서의 피로정도를 예측하는 방법이다. S-N 선도는 구조물에 일정 진폭(constant amplitude)의 반복하중(cyclic loading)이 작용할 때 발생하는 응력진폭(stress amplitude, S)과 해당 진폭의 응력이 반복될 때 파괴에 이르게 하는 반복횟수(cycles to failure,N)의 관계를 나타낸 선도이다. 응력-수명 방법을 사용한 피로해석을 위해서는먼저 구조물에 대한 선형 탄성해석을 수행 한 후, von Mises 응력 또는 주응력등의 등가 응력을 구하고, 이를 S-N 선도에 적용하여 피로파괴가 일어나기 까지소요되는 하중 반복횟수를 예측 한다.
각각의 재료들은 다양한 조건에 따라 서로 다른 S-N 선도를 가지고 있으나 예상되는 모든 경우에 대해서 피로시험을 할 수 없기 때문에 표준 단축 피로시험
을 통하여 얻어진 S-N 선도에 수정계수를 적용하여 사용한다. 또한 일반적으로구조물에는 가변진폭(variable amplitude)의 반복하중이 작용되는데 레인플로-집계(rainflow-counting) 기법을 사용하여 가변진폭의 반복응력으로부터 개별 응력진폭을 추출하여 S-N 선도에 적용한다.
응력-수명 방법의 장점 및 단점은 다음과 같다.
► 비교적 간단한 알고리즘을 통해 피로해석을 수행할 수 있다.
► 계산이 간단하고 해석시간이 짧다.
► 탄성 변형을 다루기 때문에 소성 변형이 큰 경우에 유효하지 않다.
• 반복 하중(Load cycles)
그림 5.9.1과 같이 일정 진폭의 응력이 규칙적으로 작용하는 경우, 응력진폭 \sigma _ { a } 와 평균응력 \sigma _ { m } 은 다음과 같이 계산 할 수 있다.
\sigma_ {a} = \frac {\sigma_ {\max} - \sigma_ {\min}}{2} \tag {5.9.1}
\sigma_ {m} = \frac {\sigma_ {\max} + \sigma_ {\min}}{2} \tag {5.9.2}
line
| t | stress (σₐ) | stress (σₘ) | |-------|-------------|-------------| | 0 | 0 | 0 | | t₁ | σₐ | σₘ | | t₂ | σₘ | σₘ | | t₃ | σₘ | σₘ |그림 5.9.1 반복하중 진폭과 평균 응력
응력-수명 방법에서는 평균응력이 영(zero)인 상태로 일정 진폭의 응력이 규칙적으로 반복되는 경우에 대하여 S-N 선도를 사용하여 피로수명을 계산한다. 일반적으로 S-N 선도는 그림 5.9.2와 같은 모양을 가진다. 이는 두 점 P와 Q를 연결하는 직선임을 알 수 있다. 점 P는 최대허용응력 ( S _ { u } )의 90%에 해당하는 크기의
응력진폭이 작용했을 때 피로파괴가 일어나는 횟수( N _ { 0 } \ \mathrm { ~ . ~ } )를 이용하여 구한다. 점Q는 피로파괴가 일어나지 않는 피로한계응력진폭( )을 이용하거나 106회 반복으로 파괴가 일어나는 응력진폭을 이용하여 계산한다. 그리고 점 R은 점 P와 점Q를 연결한 직선의 연장선에 위치하며, 하중이 1회 작용하였을 때 파괴가 발생하는 파손응력( S _ { f } )을 의미한다. 일반적으로 강철의 경우 N _ { 0 } = 1 0 0 0 \quad \underline { { { \circ } } } \underline { { { \Xi } } } ,로 가정할 수 있다.
line
| Life of failure. N (cycles) | Se/Su |
|---|---|
| 10^0 | 1.0 |
| 10^3 | 0.9 |
| 10^7 | 0.5 |
| 10^8 | 0.5 |
그림 5.9.2 전형적인 S-N 선도의 예
그림 5.9.2와 같은 S-N 선도에서 직선의 기울기를 라고 하면, 특정 응력진폭가 반복하여 작용할 때 피로파괴에 이르게 하는 반복횟수 을 (5.9.4)와 같이계산 할 수 있다.
b = - \frac {\left(\log S - \log S _ {e}\right)}{\log N _ {e} - \log N} \tag {5.9.3}
N = N _ {e} \left(\frac {S}{S _ {e}}\right) ^ {\frac {1}{b}} \tag {5.9.4}
• Miner의 누적손상이론
여러 응력진폭이 존재하는 경우 재료의 손상 정도(damage)는 각 응력진폭에 의한 개별 손상 정도를 누적하여 계산한다. 특정 응력진폭에 해당하는 반복횟수가
n_{i} 이며 피로수명이 N_{i} 인 경우 누적된 손상 정도는 다음의 식으로 계산된다.
\text { Damage } = \sum_ {i} \frac {n _ {i}}{N _ {i}} \tag {5.9.5}
구조물의 피로수명은 손상 정도의 역수이다.
\text { Life } = \frac {1}{\text { Damage }} \tag {5.9.6}
- 평균 응력 효과
응력진폭 \sigma_{a} 가 동일하여도 그림 5.9.1과 같이 평균응력 \sigma_{m} 이 다르면 피로수명도 달라진다. 평균응력의 영향을 고려하기 위해 아래와 같은 방법 ^{9,10} 을 제공한다. 재료의 피로 특성에 따라 적절한 방법을 사용하여야 하며, Goodman과 Gerber 방법이 대중적으로 쓰인다.
▶ Goodman (England, 1899)
\frac {\sigma_ {a}}{S _ {e}} + \frac {\sigma_ {m}}{S _ {u}} = 1 \tag {5.9.7}
▶ Gerber (Germany, 1874)
\frac {\sigma_ {a}}{S _ {e}} + \left(\frac {\sigma_ {m}}{S _ {u}}\right) ^ {2} = 1 \tag {5.9.8}
▶ Soderberg (USA, 1930)
\frac {\sigma_ {a}}{S _ {e}} + \frac {\sigma_ {m}}{S _ {y}} = 1 \tag {5.9.9}
► Morrow (USA, 1960s)
\frac {\sigma_ {a}}{S _ {e}} + \frac {\sigma_ {m}}{S _ {f}} = 1 \tag {5.9.10}
► SWT (Smith-Watson-Topper, 1970)
S _ {e} = \sqrt {\sigma_ {a} \sigma_ {\max}} \tag {5.9.11}
여기서 는 평균응력을 고려하여 수정 된 값이라는 것에 주의하여야 한다. 평균응력에 의하여 수정된 를 사용하여 S-N 선도를 재구성하여 평균응력에 의한 영향을 반영한다.
5.9.2 변형률-수명 방법
응력이 증가하여 소성변형이 발생하게 되고 이로 인해 파괴를 유발하는 반복 횟수는 소성변형이 발생하지 않는 경우에 비해 급격히 작아지게 된다. 이러한 현상을 고려하기 위하여 변형률-수명 관계를 구하여 피로파괴 정도를 파악하게 되는데 이 방법을 변형률-수명 방법이라고 한다. 반복하중 상태에서의 소성변형률을 계산하기 위해서 비선형 해석을 통해서 구한 변형률 이력을 직접 사용할 수도 있고, 선형 탄성해석의 응력결과에 Neuber 법칙11을 적용하여 반복하중 상태에서의 소성 변형률을 구하여 사용할 수도 있다. 계산 비용이 상대적으로 적은선형 탄성해석과 Neuber 법칙을 사용한 변형율 계산 방법이 많이 사용되어 왔으나 보다 정확한 변형률 계산이 가능한 비선형 이력 해석 방법이 최근 들어 선호되고 있다. 응력-수명 방법과 마찬가지로 변형률-수명 방법 역시 구조물 전체에 소성 변형이 발생하는 경우보다는 일부 응력 집중 영역에서 소성이 발생하는경우에 적합하다고 할 수 있다.
- 선형탄성해석과 Neuber 법칙을 사용한 변형률 계산
일정한 하중을 반복적으로 작용하는 경우의 반복되는 변형률의 크기는 (5.9.12)와 같이 탄성변형과 소성변형의 합으로 구한다. 탄성변형( \Delta\varepsilon^{e} )의 크기는 응력변화( \Delta\sigma )와 탄성계수( E )로 계산이 되고 소성변형( \Delta\varepsilon^{p} )의 크기는 응력변화와 반복 변형 강도 계수( \kappa' )와 반복 변형률 경화 계수( n' )를 사용하여 계산한다. 여기에서 사용되는 응력변화 역시 그림 5.9.3에서와 같이 소성변형을 고려한 응력이 기 때문에 (5.9.13)의 Neuber법칙을 사용하여 계산해야 한다. 선형탄성 해석 결과에서 얻어지는 응력은 (5.9.13)의 K_{f}\Delta S 에 해당한다. (5.9.12)에서 변형률의 변화량은 응력 변화량이 변형률의 변화량을 포함하고 있기 때문에 반복적인 방법으로 구하게 된다. 가변진폭의 반복하중에 대한 응력변화량( \Delta S )의 계산은 응력-수명 방법과 동일한 레인플로-집계기법을 적용한다.
\frac {\Delta \varepsilon}{2} = \frac {\Delta \varepsilon^ {e}}{2} + \frac {\Delta \varepsilon^ {p}}{2} = \frac {\Delta \sigma}{2 E} + \left[ \frac {\Delta \sigma}{2 \kappa^ {\prime}} \right] ^ {1 / n ^ {\prime}} \tag {5.9.12}
K _ {f} (\Delta S \Delta e) ^ {\frac {1}{2}} = (\Delta \sigma \Delta \varepsilon) ^ {\frac {1}{2}} \tag {5.9.13}
K_{f} : 응력 집중 계수
ΔS : 명목 응력 변화량(응력 집중효과가 없는 위치에서의 응력 변화량)
Nueber법칙은 적용하려는 등가응력의 종류에 따라 (5.9.14)~(5.9.15)와 같이 탄성응력과 변형률의 관계를 다르게 정의하여 사용한다.
▶ Von mises 등가응력
\Delta e = \frac {\Delta S}{3 G} = \frac {\Delta S}{\left(\frac {3 E}{2 (1 + v)}\right)}, \frac {\left(K _ {f} \Delta S\right) ^ {2}}{3 G} = \Delta \sigma \Delta \varepsilon \tag {5.9.14}
▶ 최대 전단응력 또는 최대 주응력
\Delta e = \frac {\Delta S}{E}, \frac {\left(K _ {f} \Delta S\right) ^ {2}}{E} = \Delta \sigma \Delta \varepsilon \tag {5.9.15}