김경종
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8-6 재료비선형 해석 (Material Nonlinear Analysis)
탄성과 소성 재료거동을 비교하면, 일반적으로 탄성 거동시에는 구조물에 영구 변형이 발생하지 않는 반면, 소성 거동에서는 영구적 혹은 비가역적 변형이 발생할 수 있습니다.
8-6-1 소성이론
정적 소성 변형율의 성분은 다음 가정에 따라 구성됩니다.
▪ 구성 응답(Constitution Response)은 변형의 속도와 무관합니다.
▪ 탄성 응답(Elastic Response)은 소성 변형의 영향을 받지 않습니다.
▪ 총 변형율은 다음과 같이 정의합니다.
\underset {\sim} {\varepsilon} = \underset {\sim} {\varepsilon} ^ {e} + \underset {\sim} {\varepsilon} ^ {p} \tag {4}
여기서 ε̃ : 총 변형율
\varepsilon^{e} : 탄성 변형율
\varepsilon^{p} : 소성 변형율
그리고 수식 구성을 위하여 다음과 같은 기본 개념들이 사용됩니다.
▪ 소성 변형의 시작을 규정하기 위한 항복 조건 (Yield Criteria)
■ 소성 변형을 정의하기 위한 흐름 법칙 (Flow Rule)
■ 소성 변형시의 항복면의 변화를 정의하는 경화 법칙 (Hardening Rule)
항복조건
탄성 응답(Elastic Response)의 영역에 대한 경계를 정의하는 항복함수 (혹은 재하함수) F는 다음과 같습니다.(그림 2.8.23 참조)
F \left(\underset {\sim} {\sigma}, \underset {\sim} {\varepsilon} ^ {p}, \kappa\right) = \sigma_ {e} \left(\underset {\sim} {\sigma}, \underset {\sim} {\varepsilon} ^ {p}\right) - \kappa \left(\varepsilon_ {p}\right) \leq 0 \tag {5}
여기서 σ̃ : 현재의 응력
\sigma_{e} : 등가(Equivalent) 혹은 유효(Effective) 응력
\kappa : \varepsilon_{p} 의 함수인 경화인자
\varepsilon_{p} : 등가(Equivalent) 소성 변형율
소성 이론에서 항복 함수의 값이 양이 되는 응력 상태는 존재할 수 없습니다. 항복이 발생하면, 응력 상태는 항복 함수가 0으로 감소될 때까지 소성 변형율을 축적 함으로써 수정되어야 하며, 이 과정을 소성 보정(Plastic Corrector) 단계 혹은 회귀 사상(Return Mapping) 이라고 합니다.
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d\u03c0^p = \u03c0 \frac{\u03c0 f}{\u03c0 \u03c0} Smooth a \u03c0^a Plastic potential g(\u03c0) = f(\u03c0) = const. \u03c0^d d Corner d\u03c0^p
그림 2.8.23 연속 흐름 법칙과 특이점
흐름법칙
흐름법칙은 소성변형을 정의하고 다음 식과 같습니다.(그림 2.8.23)
d \underset {\sim} {\varepsilon} ^ {p} = d \lambda \frac {\partial g}{\partial \underset {\sim} {\sigma}} = d \lambda \underset {\sim} {\mathbf {b}} \tag {6}
여기서 g : 소성 변형의 방향 \frac { \partial g } { \partial \underset { \mathcal { \alpha } } { \sigma } }
d: 소성 변형의 크기를 정의하는 소성계수
함수 g는 ‘소성 위치에너지(Plastic Potential)’ 함수라 하고, 일반적으로 응력불변량(Stress Invariant)의 항으로 정의됩니다. 그리고 g=F면 ‘연속 흐름(Associated Flow)법칙’이라 하고, g≠F면 ‘비관련 흐름 (Non-associated Flow) 법칙’이라고 합니다.
midas Civil의 모든 모델은 연속 흐름 법칙을 사용합니다. 즉, 소성 변형율 벡터의방향은 항복면에 수직이므로, 위의 식 (6)은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
d \underset {\sim} {\varepsilon} ^ {p} = d \lambda \frac {\partial F}{\partial \sigma} = d \lambda \underset {\sim} {\mathbf {a}} \tag {7}
그림 2.8.23의 모서리나 평평한 면은 소성 흐름의 방향을 단일하게 결정할 수 없는 특이점(Singular Point)을 나타내며, 이 점들에 대해서는 특별한 고려가 필요합니다.
경화 법칙 (Hardening Rule)
경화 법칙은 재료가 항복할 때 소성 변형에 따른 항복면의 변화를 정의하는 것입니다.
경화 법칙은 유효 소성 변형율을 정의하는 방법에 따라 ‘변형율 경화(StrainHardening)’와 ‘일 경화 (Work Hardening)’로 나눠집니다. 변형율 경화는 소성 비압축성(Plastic Incompressibility)의 가정에 따라 정의되므로, 정수압의 영향을 받지 않는 재료 모델에 적합합니다. 따라서, 소성 일의 정의에 의한 일 경화가 더 일반적
인 개념입니다.
또한, 경화 법칙은 항복면의 변화 형식에 따라, ‘등방성 경화 (Isotropic Hardening)’, ‘운동형 경화 (Kinematic Hardening)’, 그리고 ‘훈합형 경화 (Mixed Hardening)’로 나눠집니다(그림 2.8.24).
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Initial Yield Surface F(σ̃) = κ² σ₁ σ₂ Translation and Expansion F(α̃ - α̃) = κ₁² > κ² Translation only F̃(σ̃ - α̃) = κ²
그림 2.8.24 운동형 경화와 혼합형 경화
8-6-2 구성 행렬 (Constitutive Matrix)
표준 소성 구성행렬을 구성하는 방법은 다음과 같습니다.
응력은 변형율 변화율 벡터의 탄성 부분에 의해 결정됩니다. 즉,
d \underline {{\sigma}} = \mathbf {D} ^ {e} \left(d \underline {{\varepsilon}} - d \underline {{\varepsilon}} ^ {p}\right) = \mathbf {D} ^ {e} \left(d \underline {{\varepsilon}} - d \lambda \underline {{\mathbf {a}}}\right) \tag {8}
여기서, D ^{e} 는 탄성 구성 행렬입니다.
응력은 항상 항복면 상에 있어야 하므로 다음의 일관성 조건(Consistence Condition)을 만족해야 합니다.
d F = \frac {\partial F}{\partial \widetilde {\sigma}} ^ {T} d \widetilde {\sigma} + \frac {\partial F}{\partial \widetilde {\varepsilon} ^ {p}} d \widetilde {\varepsilon} ^ {p} + \frac {\partial F}{\partial \kappa} d \kappa = \widetilde {\mathbf {a}} ^ {T} \widetilde {\mathbf {D}} ^ {e} d \widetilde {\varepsilon} - \left(\widetilde {\mathbf {a}} ^ {T} \widetilde {\mathbf {D}} ^ {e} \widetilde {\mathbf {a}} + h\right) d \lambda = 0 \tag {9}
여기서, h는 소성 경화 계수입니다. 따라서, 미소 응력 변화율은 다음과 같이 구할 수 있습니다.
d \underline {{\sigma}} = \left(\underline {{\mathbf {D}}} ^ {e} - \frac {\mathbf {D} ^ {e} \underline {{\mathbf {a}}} \underline {{\mathbf {a}}} ^ {T} \mathbf {D} ^ {e T}}{\underline {{\mathbf {a}}} ^ {T} \underline {{\mathbf {D}}} ^ {e} \underline {{\mathbf {a}}} + h}\right) d \underline {{\varepsilon}} \tag {10}
완전한 Newton-Raphson 반복 과정이 사용될 때는 일관성(Consistent) 구성 행렬을 사용하면, Newton-Raphson 반복 과정의 이차 수렴 특성으로 인해 더 빠른 수렴을 얻을 수 있습니다.
d \underline {{\sigma}} = \left(\underline {{\mathbf {R}}} - \frac {\underline {{\mathbf {R}}} \underline {{\mathbf {a}}} \underline {{\mathbf {a}}} ^ {T} \underline {{\mathbf {R}}} ^ {T}}{\underline {{\mathbf {a}}} ^ {T} \underline {{\mathbf {R}}} \underline {{\mathbf {a}}} + h}\right) d \underline {{\varepsilon}} \tag {11}
여기서, \mathbf{R}=\left(\mathbf{I}+d\lambda\mathbf{D}^{e}\frac{\partial\mathbf{a}}{\partial\sigma}\right)^{-1}\mathbf{D}^{e}=\left(\mathbf{I}+d\lambda\mathbf{D}^{e}\mathbf{A}\right)^{-1}\mathbf{D}^{e} 입니다.
8-6-3 응력 적분
응력의 적분을 위해서는 다음의 두 가지 방법이 사용될 수 있습니다.
부증분을 갖는 명시적 전방 오일러 방법(Explicit forward Euler algorithmwith sub-incrementation) (그림 2.8.25, 그림 2.8.26)
암시적 후방 오일러 방법 (Implicit backward Euler algorithm) (그림 2.8.27)
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Δσₑ B A X σ X : 이전단계의 최종 stress 상태 A : 응력 증분과 항복면의 교차점 B : 탄성 응력 증분이 고려된 시험응력 상태
(a) 교차 점 A의 위치
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Δσₑ B -ΔλCₑ C X σ C : 보정 후의 응력 상태 D : 인위적 회귀 방법을 적용한 후의 응력 상태
(b) A에서 접선방향으로 C로 이동한 후 D위치로 보정
그림 2.8.25 명시적 전방오일러 방법
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A, B, C, D E : 인위적
D : 각 부 증분에 의한 응력 보정 이후의응력 상태
회귀 방법을 적용한 후의 응력 상태
그림 2.8.26 부 증분
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σ₁ σₓ σc X : 이전단계 B : 탄성 응력 C : 미지의 최
의 최종 stress 상태
력 증분이 고려된 시험응력 상태
최종 응력 상태
그림 2.8.27 암시적 후방 오일러
명시적 방법에서 경화 자료와 소성 흐름의 방향은 ‘교차 점’ 즉, 탄성 응력 증분이항복 면을 지나는 점(그림 2.8.25의 A)에서 계산됩니다. 반면, 암시적 방법에서는최종 응력 지점(그림 2.8.27의 B)에서 계산됩니다.
명시적 방법은 상대적으로 단순하고, 응력을 직접적으로 적분합니다. 즉, 가우스
점(Gauss Point)에서 반복과정이 필요하지 않으나, 이 방법은 다음과 같은 단점이 있습니다.
▪ 조건에 따라서만 안정적입니다.
■ 허용 가능한 정확도를 얻기 위해 응력 보정 중에 부-증분이 필요합니다.
▪ 항복 면으로부터 떨어진 정도를 보정하기 위해 인위적인 회귀 방법이 필요합니다.
또한,이 방법으로는 일관성 접선 계수 행렬을 구성할 수가 없습니다.
암시적 방법은 부-증분이나 인위적 회귀 없이도 충분히 정확한 결과를 도출하고, 조건에 관계없이 안정적입니다. 그러나, 일반적인 항복 기준에 대해, 가우스 점에서 반복과정이 필요합니다. 이 방법을 사용하면 일관성 있는 접선 행렬을 구성할 수 있으므로, Newton-Raphson 반복 과정을 사용하면 가우스 점에서 반복 과정을 수행해도 계산적으로 더 효율적입니다.
명시적 방법 (전방 오일러)
- 변형율 증분을 계산합니다.
d \underset {\sim} {\varepsilon} = \underset {\sim} {\mathbf {B}} d \underset {\sim} {\mathbf {u}} \tag {12}
여기서 B: 변형율-변위 관계 행렬
d_{u} : 변위의 변화량
- 탄성 시험 응력 상태를 계산합니다.
\begin{array}{l} d \underline {{{\sigma}}} = \underline {{{\mathbf {D}}}} ^ {e} d \underline {{{\varepsilon}}} \\ \underline {{{\tau}}} = \underline {{{\tau}}} + d \underline {{{\tau}}} \end{array} \tag {13}
\widetilde {\sigma} _ {B} = \widetilde {\sigma} _ {X} + d \widetilde {\sigma}
위 식과 아래식에서의 첨자는 그림 2.8.25를 참조합니다.
-
시험 응력이 항복면 내에 있으면 응력 보정은 완료되며, 항복면 밖에 있으면 소성 변형에 의해 항복면으로 돌아와야 합니다.
-
다음으로 교차 응력이 계산됩니다. 시험 탄성 응력 증분은 허용 가능한 응력 증분과 허용 불가능한 응력 증분으로 나눠고, 교차 응력은 다음 식을 이용하여 계산됩니다.
\begin{array}{l} F \left(\underset {\sim} {\sigma} _ {X} + (1 - r) d \underset {\sim} {\sigma}\right) = 0 \\ r = \frac {F _ {B}}{F _ {B} - F _ {X}} \tag {14} \\ \end{array}
- 물리적으로, 추가적인 변형은 응력 지점이 항복면 상에서 이동하도록 합니다. 이는 허용될 수 없는 응력 증분 rdσ̃을 m개의 작은 응력 증분으로 나누어 근사됩니다 (그림 2.8.26). 부 증분의 개수는 오차의 크기에 직접적으로 관계되고, 다음과 같이 계산됩니다.
m = \operatorname{INT} \left(8 \left(\sigma_ {e B} - \sigma_ {e A}\right) / \sigma_ {e A}\right) + 1 \tag {15}
- 최종 응력 상태가 항복면 상에 있지 않으면, 다음의 인위적 회귀 방법에 의해 항복면 상에 옮겨져야 합니다.
\delta \lambda_ {C} = \frac {F _ {C}}{\underset {\sim C} {\mathbf {a}} ^ {T} \underset {\sim C} {\mathbf {D}} ^ {e} \underset {\sim C} {\mathbf {a}} + h} \tag {16}
\boldsymbol {\sigma} _ {D} = \boldsymbol {\sigma} _ {C} - \delta \lambda_ {C} \mathbf {D} ^ {e} \mathbf {a} _ {C}
▪ 항복면의 형상은 각 부-증분의 끝에서 경화 법칙을 사용하여 보정됩니다.
■ Unloading은 탄성으로 가정됩니다.
암시적 후방 오일러
암시적 방법에서는 다음 식에 의해 최종 응력을 계산합니다.
\underline {{{\sigma}}} _ {C} = \underline {{{\sigma}}} _ {B} - d \lambda \underline {{{\mathbf {D}}}} ^ {e} \underline {{{\mathbf {a}}}} _ {C} \tag {17}
여기서 첨자는 그림 2.8.27을 참조합니다.
C점에서 식 (17)의 값은 알고 있지 않으므로, Newton 반복과정을 사용하여 미지수를 푸는 방법이 사용됩니다. 따라서 어떤 벡터 r이 현재의 응력과 후방 오일러 응력 간의 차이를 나타내기 위해 설정됩니다.
\underset {\sim} {\mathbf {r}} = \underset {\sim} {\boldsymbol {\sigma}} _ {C} - \left(\underset {\sim} {\boldsymbol {\sigma}} _ {B} - d \lambda \underset {\sim} {\mathbf {D}} ^ {e} \underset {\sim} {\mathbf {a}} _ {C}\right) \tag {18}
이제 반복과정은 r을 0으로 감소하기 위해 도입되며, 최종 응력은 항복 기준을 만족해야 합니다. 고정된 시험 탄성 응력을 사용하여 다음과 같이 새로운 잔류량을 만들기 위해 Taylor 전개를 적용합니다.
\mathbf {r} _ {n} = \mathbf {r} _ {o} + \dot {\sigma} + \dot {\lambda} \mathbf {D} ^ {e} \mathbf {a} \tag {19}
여기서 \dot{\sigma}:\sigma 의 변화량
\dot{\lambda}:d\lambda 의 변화량
위 식의 값을 0으로 두고 \dot{\sigma} 에 대해 풀면 다음과 같습니다.
\dot {\tilde {\sigma}} = - \mathbf {r} _ {o} - \dot {\lambda} \mathbf {D} ^ {e} \mathbf {a} \tag {20}
또한 항복 함수에 대해 Taylor 전개를 적용하면, 다음과 같습니다.