김경종
18 KiB
※ 요소응력의 출력은 요소좌표계를 따르며 화살표 방향이 양(+)의 방향을 의미한다.
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Center of Element
: Output locations of the element stresses (at each connecting node and the center at top/bottom surfaces)
(a) 응력출력 위치
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σy τxy σx ← τxy τxy ← σx τxy σy τxy x y
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σ₂ y 1 θ x 2 σ₁ σ₂
\sigma _ { x } : Axial stress in the ECS x - direction
\sigma _ { x } : Axial stress in the ECS y - direction
\tau _ { x y } : Shear stress in the ECS x - y plane
\sigma_ {l}: \text { Maximum principal stress } = \frac {\sigma_ {x} + \sigma_ {y}}{2} + \sqrt {\left(\frac {\sigma_ {x} - \sigma_ {y}}{2}\right) ^ {2} + \tau_ {x y} ^ {2}}
\sigma_ {2}: \text { Minimum principal stress } = \frac {\sigma_ {x} + \sigma_ {y}}{2} - \sqrt {\left(\frac {\sigma_ {x} - \sigma_ {y}}{2}\right) ^ {2} + \tau_ {x y} ^ {2}}
\tau_ {x y}: \text { Maximum shear stress } = \sqrt {\left(\frac {\sigma_ {x} - \sigma_ {y}}{2}\right) ^ {2} + \tau_ {x y} ^ {2}}
:θ Angle between the x - axis and the principal axis,1
\sigma_ {e f f}: \text { von - Mises Stress } = \sqrt {\left(\sigma_ {1} ^ {2} - \sigma_ {1} \sigma_ {2} + \sigma_ {2} ^ {2}\right)}
(b) 응력 출력치의 부호규약
그림 1.3.36 판요소의 응력출력위치 및 출력치의 부호규약
| PLATE ELEMENT FORCES (LOCAL) DEFAULT PRINTOUT Unit System : lbf , in | ||||||||||
| ELEM | MAT | SEC | LC | NODE | Fx | Fy | Fz | Mx | My | Mz |
| 1 | 1 | 1 | LCOMB1 | 1 | 6.66 | -0.13 | 1.66 | -0.0 | -1.1 | -0.0 |
| 10 | -7.51 | 0.12 | 0.25 | -0.0 | 0.6 | -0.0 | ||||
| 11 | 0.61 | 0.57 | 0.21 | 0.8 | 0.5 | -0.0 | ||||
| 2 | 0.25 | -0.56 | -0.33 | 0.8 | -0.8 | -0.0 | ||||
| PLATE ELEMENT FORCES (LOCAL, UNIT LENGTH) PRINTOUT Unit System : lbf , in | ||||||||||
| ELEM | MAT | SEC | LC | NODE | Fxx | Fyy | Fxy | Fmax | Fmin | ANGLE |
| 1 | 1 | 1 | LCOMB1 | Cent | -4.4 | 0.0 | 0.4 | 0.0 | -4.5 | 84.41 |
| 1 | -18.3 | -0.7 | 0.5 | -0.6 | -18.3 | 88.44 | ||||
| 10 | -18.3 | 0.7 | 0.4 | 0.7 | -18.3 | 88.80 | ||||
| 11 | 9.5 | 0.7 | 0.5 | 9.5 | 0.7 | 3.11 | ||||
| 2 | 9.5 | -0.7 | 0.4 | 9.5 | -0.7 | 2.24 | ||||
| NODE | Mxx | Myy | Mxy | Mmax | Mmin | ANGLE | ||||
| Cent | -1.0 | 0.4 | 0.2 | 0.5 | -1.0 | 80.73 | ||||
| 1 | -1.7 | -0.0 | 0.2 | -0.0 | -1.7 | 84.30 | ||||
| 10 | -0.8 | 0.0 | 0.3 | 0.1 | -0.9 | 70.89 | ||||
| 11 | -0.6 | 0.8 | 0.3 | 0.9 | -0.6 | 79.31 | ||||
| 2 | -0.8 | 0.9 | 0.1 | 0.9 | -0.8 | 85.99 | ||||
| NODE | Vxx | Vyy | ||||||||
| Cent | -0.3 | -0.5 | ||||||||
| 1 | -0.5 | -0.4 | ||||||||
| 10 | -0.5 | -0.5 | ||||||||
| 11 | -0.1 | -0.5 | ||||||||
| 2 | -0.1 | -0.4 | ||||||||
| PLATE ELEMENT STRESSES(LOCAL) DEFAULT PRINTOUT Unit System : lbf , in | ||||||||||
| ELEM | SEC | LC | NODE | Sig-xx | Sig-yy | Sig-xy | Sig-MAX | Sig-MIN | ANGLE | Sig-EFF |
| 1 | 1 | LCOMB1 | Cent T | 3.5e+003 | -1.5e+003 | -847.4250 | 3.6e+003 | -1.7e+003 | -9.35 | 4.7e+003 |
| B | -3.7e+003 | 1.5e+003 | 869.3237 | 1.7e+003 | -3.8e+003 | 80.81 | 4.9e+003 | |||
| 1 T | 5.8e+003 | 52.3091 | -613.6626 | 5.9e+003 | -12.2579 | -6.01 | 5.9e+003 | |||
| B | -6.7e+003 | -85.1531 | 637.6313 | -24.5580 | -6.8e+003 | 84.57 | 6.8e+003 | |||
| 10 T | 2.5e+003 | -43.3576 | -1.2e+003 | 3.0e+003 | -511.7862 | -21.37 | 3.3e+003 | |||
| B | -3.5e+003 | 77.5279 | 1.2e+003 | 455.6133 | -3.8e+003 | 72.74 | 4.1e+003 | |||
| 11 T | 2.4e+003 | -3.0e+003 | -990.5796 | 2.5e+003 | -3.2e+003 | -10.17 | 4.9e+003 | |||
| B | -1.9e+003 | 3.0e+003 | 1.0e+003 | 3.2e+003 | -2.1e+003 | 78.76 | 4.6e+003 | |||
| 2 T | 3.1e+003 | -3.2e+003 | -418.5579 | 3.1e+003 | -3.3e+003 | -3.76 | 5.5e+003 | |||
| B | -2.6e+003 | 3.2e+003 | 438.4212 | 3.2e+003 | -2.7e+003 | 85.72 | 5.1e+003 | |||
그림 1.3.37 판요소의 요소내력 및 요소응력 출력 예
3-10 입체요소 (Solid Element)
3-10-1 일반사항
이 요소는 임의 3차원 공간상에 위치한 4개, 6개 또는 8개의 절점으로 정의되는 3차원 입체요소(3D Solid Element)로서, Solid Structure 또는 Thick Shell 등의 모델링에 주로 사용됩니다.
이 요소는 삼각뿔(Tetrahedron) 또는 삼각기둥(Wedge), 육면체(Hexahedron) 등의 입체 형상을 가질 수 있고, 절점당 3방향의 이동변위 자유도를 가집니다.
midas Civil에서 이 요소는 비적합모드를 가진 등매개 정식화이론(Isoparametric Formulation with Incompatible Modes)을 사용하여 정식화 되었습니다.
3-10-2 요소자유도, 요소좌표계, 요소의 종류
midas Civil에서 3차원 입체요소의 요소좌표계는 프로그램 내부에서 요소강성행렬을 계산하거나, 후처리 모드(Post-processing Mode)에서 사용자가 요소좌표계를 기준으로 응력성분을 도화처리할 때 사용됩니다.
요소자유도는 전체좌표계를 기준으로 X, Y, Z 방향의 이동변위자유도를 가집니다.
요소좌표계는 오른손 법칙에 준한 x, y, z축의 직교좌표계를 따르며, 원점은 요소의 중심이고, 좌표축의 방향은 면번호 1번의 형상과 동일한 판요소의 요소좌표축 방향과 같습니다.
요소의 종류는 그림 1.3.38에서와 같이 요소 형상에 따라 8절점요소, 6절점요소 그리고 4절점요소 세 가지가 있으며, 각 요소 종류별로 절점번호의 부여 순서는 N1부터 마지막 번호까지 해당 위치의 절점번호를 순차적으로 입력합니다.
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N8 Plane no. 2 N5 Plane no. 6 N7 N4 Plane no. 5 N6 Plane no. 4 N3 N1 Plane no. 3 N2 Plane no. 1
(a) 8절점요소 (Hexahedron)
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N6 N4 Plane no. 2 (triangular plane defined by nodes N4, N5 and N6) N5 Plane no. 4 Plane no. 5 Plane no. 3 N3 N1 N2 Plane no. 1 (triangular plane defined by nodes N1, N2 and N3)
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(b) 6절점요소 (Wedge) N4 Plane no. 4 N3 N1 Plane no. 2 Plane no. 3 N2 Plane no. 1
(c) 4절점요소 (Tetrahedron)
그림 1.3.38 3차원 입체요소의 형상별요소 종류 및 절점번호 부여 순서
3-10-3 요소관련 명령어
| Create Elements | 요소 입력 |
| Material | 재료적 성질 입력 |
| Pressure Loads | 요소의 면에 수직방향으로 압력하중 입력 |
요소하중은 압력형태로 그림 1.3.39와 같이 요소의 각 면에 입력됩니다
※ 화살표 방향이 양(+)의 방향을 의미한다.
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Pressure loads acting on the plane no. 2 Pressure loads acting on the plane no. 6 Pressure loads acting on the plane no. 5 Pressure loads acting on the plane no. 4 Pressure loads acting on the plane no. 3 Pressure loads acting on the plane no. 1
그림 1.3.39 3차원 입체요소의 면에 작용하는 압력하중
3-10-4 적분점
4절점 사면체 요소
이 요소는 1 Point Gauss 적분을 이용하며, 적분에 적용되는 자연좌표계에서 적분점 좌표는 (1/4, 1/4, 1/4) 입니다.
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N1 = 1 - ξ - η - ζ N2 = ξ N3 = η N4 = ζ P N1 N2 ξ z y x P = (1/4, 1/4, 1/4)
그림 1.3.40 4절점 4면체 Solid요소의 적분점
적분점 좌표 P 에 대한 전체좌표계에서 좌표를 구하면 다음과 같습니다.
x _ {p} = \sum_ {i = 1} ^ {4} N _ {i} x _ {i} = \left(1 - \frac {1}{4} - \frac {1}{4} - \frac {1}{4}\right) x _ {1} + \frac {1}{4} x _ {2} + \frac {1}{4} x _ {3} + \frac {1}{4} x _ {4} = \frac {1}{4} \left(x _ {1} + x _ {2} + x _ {3} + x _ {4}\right)
y _ {p} = \sum_ {i = 1} ^ {4} N _ {i} y _ {i} = \frac {1}{4} \left(y _ {1} + y _ {2} + y _ {3} + y _ {4}\right)
6절점 5면체 요소
이 요소는 6 Point Gauss 적분을 이용하며, 적분에 적용되는 자연좌표계에서 적분점 좌표 P_{i} 는 다음 그림과 같습니다.
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ζ N4 ζ = 1/√3 N5 P4 x P5 x P6 x N6 z x y P1 x P2 x N1 P3 x N2 ζ = -1/√3
P _ {1} = \left(\frac {1}{6}, \frac {1}{6}, - \frac {1}{\sqrt {3}}\right)
P _ {2} = \left(\frac {2}{3}, \frac {1}{6}, - \frac {1}{\sqrt {3}}\right)
P _ {3} = \left(\frac {1}{6}, \frac {2}{3}, - \frac {1}{\sqrt {3}}\right)
P _ {4} = \left(\frac {1}{6}, \frac {1}{6}, \frac {1}{\sqrt {3}}\right)
P _ {5} = \left(\frac {2}{3}, \frac {1}{6}, \frac {1}{\sqrt {3}}\right)
P _ {6} = \left(\frac {1}{6}, \frac {2}{3}, \frac {1}{\sqrt {3}}\right)
그림 1.3.41 6절점 5면체 Solid요소의 적분점
이 요소의 기하학적 형상함수는 다음 식과 같습니다.
\lambda = 1 - \xi - \eta
N _ {1} = \frac {\lambda}{2} (1 - \zeta) \quad N _ {2} = \frac {\xi}{2} (1 - \zeta) \quad N _ {3} = \frac {\eta}{2} (1 - \zeta)
N _ {4} = \frac {\lambda}{2} (1 + \zeta) \quad N _ {5} = \frac {\xi}{2} (1 + \zeta) \quad N _ {6} = \frac {\eta}{2} (1 + \zeta)
적분점 좌표 P_{1} 에 대한 전체좌표계에서 좌표를 구하면 다음과 같습니다.
x _ {p 1} = \sum_ {i = 1} ^ {6} N _ {i} x _ {i} = \frac {1}{3 6} \left[ (1 2 + 4 \sqrt {3}) x _ {1} + (3 + \sqrt {3}) x _ {2} + (3 + \sqrt {3}) x _ {3} \right.
\left. + (1 2 - 4 \sqrt {3}) x _ {4} + (3 - \sqrt {3}) x _ {5} + (3 - \sqrt {3}) x _ {6} \right]
같은 방법으로 각 적분점에 대한 전체좌표계에서 좌표를 구하면 다음과 같습니다.
x _ {p} = \frac {1}{3 6} \left[ \begin{array}{c c c c c c} 1 2 + 4 \sqrt {3} & 3 + \sqrt {3} & 3 + \sqrt {3} & 1 2 - 4 \sqrt {3} & 3 - \sqrt {3} & 3 - \sqrt {3} \\ & 1 2 + 4 \sqrt {3} & 3 + \sqrt {3} & 3 - \sqrt {3} & 1 2 - 4 \sqrt {3} & 3 - \sqrt {3} \\ & & 1 2 + 4 \sqrt {3} & 3 - \sqrt {3} & 3 - \sqrt {3} & 1 2 - 4 \sqrt {3} \\ & & & 1 2 + 4 \sqrt {3} & 3 + \sqrt {3} & 3 + \sqrt {3} \\ & & & & 1 2 + 4 \sqrt {3} & 3 + \sqrt {3} \\ & & & & & 1 2 + 4 \sqrt {3} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} x _ {1} \\ x _ {2} \\ x _ {3} \\ x _ {4} \\ x _ {5} \\ x _ {6} \end{array} \right\}
8절점 6면체 요소
이 요소는 8 Point Gauss 적분을 이용하며, 적분에 적용되는 자연좌표계에서 적분점 좌표 P_{i} 는 그림과 같습니다.
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3D geometric diagram with labeled points and coordinate axes, including mathematical expressions for P and ζ.
그림 1.3.42 8절점 6면체 Solid요소의 적분점
이 요소의 기하학적 형상함수는 다음 식과 같습니다.
\begin{array}{l} N _ {1} = \frac {1}{8} (1 - \xi) (1 - \eta) (1 - \zeta) \quad N _ {2} = \frac {1}{8} (1 + \xi) (1 - \eta) (1 - \zeta) \\ N _ {3} = \frac {1}{8} (1 + \xi) (1 + \eta) (1 - \zeta) \quad N _ {4} = \frac {1}{8} (1 - \xi) (1 + \eta) (1 - \zeta) \\ N _ {5} = \frac {1}{8} (1 - \xi) (1 - \eta) (1 + \zeta) \quad N _ {6} = \frac {1}{8} (1 + \xi) (1 - \eta) (1 + \zeta) \\ N _ {7} = \frac {1}{8} (1 + \xi) (1 + \eta) (1 + \zeta) \quad N _ {8} = \frac {1}{8} (1 - \xi) (1 + \eta) (1 + \zeta) \\ \end{array}
적분점 좌표 P_{1} 에 대한 전체좌표계에서 좌표를 구하면 다음과 같습니다.
\begin{array}{l} x _ {p 1} = \sum_ {i = 1} ^ {8} N _ {i} x _ {i} = \frac {1}{3 6} \left[ (9 + 5 \sqrt {3}) x _ {1} + (3 + \sqrt {3}) x _ {2} + (3 - \sqrt {3}) x _ {3} + (3 + \sqrt {3}) x _ {4} \right. \\ \left. + \left(3 + \sqrt {3}\right) x _ {5} + \left(3 - \sqrt {3}\right) x _ {6} + \left(9 - 5 \sqrt {3}\right) x _ {7} + \left(3 - \sqrt {3}\right) x _ {8} \right] \\ \end{array}
같은 방법으로 각 적분점에 대한 전체좌표계에서 좌표를 구하면 다음과 같습니다.
x _ {p} = \frac {1}{3 6} \left[ \begin{array}{c c c c c c c c} 9 + 5 \sqrt {3} & 3 + \sqrt {3} & 3 - \sqrt {3} & 3 + \sqrt {3} & 3 + \sqrt {3} & 3 - \sqrt {3} & 9 - 5 \sqrt {3} & 3 - \sqrt {3} \\ & 9 + 5 \sqrt {3} & 3 + \sqrt {3} & 3 + \sqrt {3} & 3 - \sqrt {3} & 3 + \sqrt {3} & 3 - \sqrt {3} & 9 - 5 \sqrt {3} \\ & & 9 + 5 \sqrt {3} & 3 + \sqrt {3} & 9 - 5 \sqrt {3} & 3 - \sqrt {3} & 3 + \sqrt {3} & 3 - \sqrt {3} \\ & & & 9 + 5 \sqrt {3} & 3 - \sqrt {3} & 9 - 5 \sqrt {3} & 3 - \sqrt {3} & 3 + \sqrt {3} \\ & & & & 9 + 5 \sqrt {3} & 3 + \sqrt {3} & 3 - \sqrt {3} & 3 + \sqrt {3} \\ & & & & & 9 + 5 \sqrt {3} & 3 + \sqrt {3} & 3 + \sqrt {3} \\ & & & & & & 9 + 5 \sqrt {3} & 3 + \sqrt {3} \\ & & & & & & & 9 + 5 \sqrt {3} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} x _ {1} \\ x _ {2} \\ x _ {3} \\ x _ {4} \\ x _ {5} \\ x _ {6} \\ x _ {7} \\ x _ {8} \end{array} \right\}
3-10-5 응력계산법(Extrapolation)
4절점 4면체 요소의 경우 1 point gauss 적분을 하므로 모든 절점에 대해 적분점에서 계산된 응력을 동일하게 적용합니다.
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ξ = -\frac{1}{\sqrt{3}} u P1 P2 P3 s t η
그림 1.3.43 6절점 5면체요소에 대한 적분점에서 응력에 대한 외삽법
6절점 5면체 요소의 경우 각 적분점은 요소좌표계의 좌표절점과 다음 식과 같은 관계를 갖습니다.
\lambda = 2 \left(1 - \xi - \eta - \frac {1}{6}\right), s = 2 \left(\xi - \frac {1}{6}\right), t = 2 \left(\eta - \frac {1}{6}\right), u = \zeta \sqrt {3}
요소 내부의 특정 위치에서의 응력은 형상함수를 이용하여 구할 수 있습니다.
\sigma_ {N} = \sum_ {i = 1} ^ {6} N _ {i} \sigma_ {i}
예를 들어 절점 1에서 응력을 계산하면 다음과 같습니다.
\sigma_ {N 1} = \sum_ {i = 1} ^ {6} N _ {i} \sigma_ {i} = \frac {1}{6} \left[ 5 (1 + \sqrt {3}) \sigma_ {1} - (1 + \sqrt {3}) \sigma_ {2} - (1 + \sqrt {3}) \sigma_ {3} \right.
\left. + 5 (1 - \sqrt {3}) \sigma_ {4} - (1 - \sqrt {3}) \sigma_ {5} - (1 - \sqrt {3}) \sigma_ {6} \right]