MultiPhysicsVault/.raw/MidasCivilAnalysisReference/MidasCivilAnalysisReference_026.md

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k_d f ← → f deformation Loading Unloading Time

(a) Elastic Object

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f ← ●─→ f c_d defarmonation Loading → Unloading → Time

(b) Visco Object

chemical

Electrical circuit diagram with springs and capacitors labeled with f and k_d

line

Time	Deformation
Loading	0
Unloading	0

line

Time	deformation
Loading	0
Unloading	1
Unloading	0

(c) Viscoelastic Object(Maxwell Model)

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c_d f ← ●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─ ●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●○─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─○─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●─●○ deformation Loading Unloading Time

(d) Viscoelastic Object(Kelvin Model)
그림 2.8.11 Elastic Object와 Visco Object

midas Civil의 점탄성 감쇠기(Viscoelastic Damper) 요소는 점탄성 감쇠기의 특성을가진 6개의 독립적인 스프링으로 구성됩니다.

점탄성 감쇠기의 대표적인 수학적 모델은 선형스프링과 점성감쇠가 직렬로 연결된Maxwell 모델과, 병렬로 연결된 Kelvin 모델이 있으며, midas Civil의 점탄성 감쇠기는 Maxwell Model, Kelvin Model, 그리고 Kelvin Model에 스프링이 연결된 DamperBrace Assembly Model로 구분됩니다.

점탄성 감쇠기의 Damper Brace Assembly Model의 힘-변형 관계 기본식은 다음과같습니다.

f = k _ {d} d _ {d} + c _ {d} \operatorname{sign} \left(\dot {d} _ {d}\right) \left| \dot {d} _ {d} \right| ^ {s} = k _ {b} d _ {b}

d = d _ {d} + d _ {b}

여기서 f : 점탄성감쇠기의 요소내력

k _ { d } : 점탄성감쇠기 강성

k _ { b } : 연결 부재 강성

c _ { d } : 점탄성감쇠기 감쇠 상수

s : 점탄성감쇠기의 비선형 감쇠 특성을 정의하는 지수(Exponent)

d : 요소의 두 절점 사이의 변형

d _ { d } : 점탄성감쇠기의 변형

d _ { b } : 연결부재의 변형

위 식에서 볼 수 있는 바와 같이 점성감쇠는 변형의 변화율에 비례하는 선형 점성감쇠( s  1.0 ) 뿐만 아니라 변형 변화율의 지수승에 비례하는 비선형 점성감쇠( 0.0 1.0  s )로 모델링 할 수 있습니다. 비선형 감쇠 특성 지수 s 는 0.35~1.00 범위의 값이 일반적으로 사용됩니다. midas Civil에서는 s 값을 0.20~1.00로 제한하고있습니다.

위 식에서 c _ { d } s i g n \big ( \dot { d } _ { d } \big ) \big | \dot { d } _ { d } \big | ^ { s } 항은 감쇠력을 나타내므로, 힘의 단위를 가지게 됩니다.그러나, 비선형 감쇠 특성 지수가 s  1.0 인 경우, 다음 식과 같이 감쇠력, f _ { d } ^ { D } \ \stackrel { \circ } { = }

N \cdot \left( m / s e c \right) ^ { s - 1 } 와 같은 단위위가 되는 문제 가 발생하게 됩됩니다.

\underbrace {c _ {d}} _ {\frac {N}{m / s e c}} \text { sign } \left(\dot {d} _ {d}\right) \underbrace {\left| \dot {d} _ {d} \right| ^ {s}} _ {(m / s e c) ^ {s}} = \underbrace {f _ {d} ^ {D}} _ {N \cdot (m / s e c) ^ {s - 1}}

따라서, mid as Civil에서는 \dot { d } _ { d } 가 무차원량량이 되도록, Reeference Velocitty, \nu _ { 0 } \equivq 채용합니다. \nu _ { 0 } \equivq 채용하면, 감쇠력과 점탄탄성 감쇠기의 힘 -변형 관계는는 다음과 같이표현됩니다.

f = k _ {d} d _ {d} + c _ {d} \operatorname{sign} \left(\dot {d} _ {d}\right) \left| \frac {\dot {d} _ {d}}{v _ {0}} \right| ^ {c e x p} = k _ {b} d _ {b}

여기서, 감쇠쇠 상수 c _ { d } 의 단위는 본래, N / m / s e c 와 같같지만, 속도항이이 \nu _ { 0 } 로 일반화되므로 힘힘의 단위인 N , tonf 등의 단위를 갖게 됩니다. 따라서서, ReferenceVelocity, \nu _ { 0 } 는 일반적으로로 1.0값을 입력 합니다. 단, mi das Civil이 제공공하는 단위계의 변환시에에는 변환된 길 이단위에 따라 \nu _ { 0 } 값이 자동 으로 변환되므 로, 주의할 필요가 있습니니다.

위 식에 기초초하여, 점탄성 감쇠기의 비선선형 물성치의 단단위는 다음과 같습니다.

비선형 속성	단 위
점탄성 감쇠기의 요소내력, $f$	$N$ , $tonf$
점탄성감쇠기의 변형의 변화율, $\dot{d}_{d}$	$m/sec$ , $cm/sec$
Reference Velocity, $v_{0}$	$m/sec$ , $cm/sec$
$\dot{d}_{d}/v_{0}$	무차원량
점탄성감쇠기의 감쇠상수, $c_{d}$	$N$ , $tonf$

표표 2.8.1 점탄성 감쇠쇠기의 비선형 속성 단위

midas Civil에서 단위계 변환시에 점탄성 댐퍼의 비선형 물성치는 다음과 같이 변환됩니다.

1. 초기 설정(단위계는 kN, m로 설정)

점탄성 댐퍼의 비선형속성을 다음과 같이 설정합니다.

-Nonlinear Properties

Damper Stiffness (kd)	: 1000	kN/m
Damping (Cd)	: 1	kN
Reference Velocity (V0)	: 1	m/sec
Damping Exponent (s)	: 1
Bracing Stiffness (kb)	: 1000	kN/m

2. 단위계를 N, cm 로 변환

 Reference Velocity, \nu _ { 0 } \equivq 고려하지 않는 경우

k _ {d} = 1 0, 0 0 0 N / c m

C _ {d} = \frac {1 \cdot 1 0 0 0}{1 0 0} = 1 0 N \cdot \sec / c m

s = 1

k _ {b} = 1 0, 0 0 0 N / c m

 경우Reference Velocity, \nu _ { 0 } 를 고려하는 경우

C _ {d} = 1 k N = 1, 0 0 0 N

v _ {0} = 1 m / \sec = 1 0 0 c m / \sec

Nonlinear Properties

Damper Stiffness (kd)	:	10000	N/cm
Damping (Cd)	:	1000	N
Reference Velocity (V0)	:	100	cm/sec
Damping Exponent (s)	:	1
Bracing Stiffness (kb)	:	10000	N/cm

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d_d f ← ●⋯⋯●—[c_d]—[k_b]—●⋯⋯●→ f N1 d_b N2

(a) Maxwell Model

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d_d f ←●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● N1 k_d N2 f

(b) Kelvin Model

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d_d c_d f ←●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● N1 k_d k_b N2 f

(c) Damper Brace Assembly Model
그림 2.8.12 점탄성 감쇠기

Maxwell Model

Maxwell Model은 그림 2.8.12(a)에 나타낸 것과 같이, 선형스프링과 점성감쇠가 직렬로 연결된 모델로서 Fluid Viscoelastic Device의 해석에 사용됩니다.

Maxwell Model의 힘-변형 관계식은 다음과 같습니다.

f = c _ {d} \operatorname{sign} \left(\dot {d} _ {d}\right) \left| \frac {\dot {d}}{v _ {0}} \right| ^ {s} = k _ {b} d _ {b}

위 식은 상미분방정식의 초기치 문제가 되므로, Runge-Kutta Method를 사용하여,미지수인 점탄성감쇠기의 변형 d _ { d } 를 구합니다.

Kelvin(Voigt) Model

Kelvin Model은 그림 2.8.12(b)에 나타낸 것과 같이, 선형스프링과 점성감쇠가 병렬로 연결된 모델로서 Solid Viscoelastic Device의 해석에 사용됩니다.

Kelvin Model의 힘-변형 관계식은 다음과 같으며, 우변의 모든 항이 기지값이므로,식을 직접 풀어 점탄성 감쇠기에 작용하는 힘을 구할 수 있습니다.

f = k _ {d} d + c _ {d} \operatorname{sign} (\dot {d}) \left| \frac {\dot {d}}{v _ {0}} \right| ^ {s}

Damper Brace Assembly Model

Damper Brace Assembly Model은 Kelvin Model에 스프링이 연결된 모델로서, 그림2.8.12(c)와 같이 제진용 가새 해석시에 사용됩니다.

Damper Brace Assembly Model의 힘-변형 관계식은 다음과 같습니다. 아래 식은 상미분방정식의 초기치 문제가 되므로, Runge-Kutta Method를 사용하여 미지수인 점탄성감쇠기의 변형 dd 를 구합니다.

f = k _ {d} d _ {d} + c _ {d} \operatorname{sign} \left(\dot {d} _ {d}\right) \left| \frac {\dot {d}}{v _ {0}} \right| ^ {s} = k _ {b} d _ {b}

Maxwell Model과 Damper Brace Asssembly Model은 앞서 언급한 바와 같이, 미지수인 점탄성감쇠기의 변형 d _ { d } 을 구하기 위해서 미분방정식의 수치해법인 Runge-Kutta Method을 사용합니다. midas Civil에서는 비선형 감쇠 특성 지수 s 가 1인 선형 점성감쇠( s  1.0 )를 갖는 경우, 해석의 효율성을 높이기 위해서, Runge-KuttaMethod 대신에, 다음과 같은 근사식을 통하여 미지수인 점탄성감쇠기의 변형 d _ { d } 를 구하는 방법을 사용합니다.

d _ {d} (t + \Delta t) = \frac {k _ {b} d (t + \Delta t) + \frac {c _ {d}}{v _ {0}} \frac {1}{\Delta t} d _ {d} (t)}{k _ {d} + k _ {b} + \frac {c _ {d}}{v _ {0}} \frac {1}{\Delta t}}; (s = 1. 0)

단, Maxwell Model : k _ { d } = 0 . 0

점탄성 감쇠기의 정적 비선형 해석

정적 비선형해석시에는 댐퍼의 변형 변화율을 \dot { d } _ { d } = 0 . 0 \subseteq 로 두고, 점탄성 감쇠기의 유효강성 k 을 구하여 계산합니다.

f = k \cdot d

여기서, Maxwell Model : k  0.0

Kelvin Model : k = k _ { d }

Damper Brace Assembly Model : k  k = \frac { k _ { b } \cdot k _ { d } } { k _ { b } + k _ { d } }

8-5-8 갭 (Gap)

갭은 다른 경계요소와 마찬가지로 6개의 성분으로 구성되며, 요소좌표계에서 6개자유도 별로 N1절점에 대한 N2절점의 상대변위가 초기간격보다 큰 절대값의 음수가 되면 해당 성분의 강성이 발현됩니다. 축방향 성분만을 사용하는 경우에는 압축력전담요소가 되며 접촉문제 등을 모델링 하는데 사용될 수 있습니다.

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o d f ←●─| |─●─●─●─→ f N1 k N2

그림 2.8.13 갭(Gap)

6개의 성분은 독립적으로 거동하며 다음과 같은 힘-변형 관계식을 갖습니다.

f = \left\{ \begin{array}{l l} k (d + o) & \text { if } d + o <   0 \\ 0 & \text { otherwise } \end{array} \right.

여기서 k : 강성

o : 초기간격

d : 변형

8-5-9 후크 (Hook)

후크는 다른 경계요소와 마찬가지로 6개의 성분으로 구성되며, 요소좌표계에서 6개 자유도 별로 N1절점에 대한 N2절점의 상대변위가 초기간격보다 큰 절대값의양수가 되면 해당 성분의 강성이 발현됩니다. 축방향 성분만을 사용하면 인장력전담요소가 되며, Wind Brace나 Hook Element 등을 모델링 하는데 사용할 수 있습니다.

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o d f ← ● → f N1 k N2

그림 2.8.14 후크(Hook)

6개의 성분은 독립적으로 거동하며 다음과 같은 힘-변형 관계식을 갖습니다.

f = \left\{ \begin{array}{l l} k (d - o) & \text { if } d - o > 0 \\ 0 & \text { otherwise } \end{array} \right.

여기서 k : 강성

o : 초기간격

d : 변형

8-5-10 이력거동시스템 (Hysteretic System)

이력거동시스템은 1축 소성(Uniaxial Plasticity)의 특성을 가진 6개의 독립적인 성분으로 구성됩니다. 이력거동 시스템은 이력거동을 통한 에너지 소산장치(EnergyDissipation Device)를 모델링 하는데 사용되며 대표적인 것으로는 금속항복형 감쇠기(Metallic Yield Damper)가 있습니다. 금속항복형 감쇠기는 주구조물(PrimaryStructure)보다 상대적으로 큰 강성을 가지면서 낮은 항복강도를 갖도록 제작되어주변 부재보다 먼저 소성변형을 일으킴으로써 주구조물을 보호할 목적으로 사용됩니다. 강재 댐퍼 등과 비교하여 많은 반복에 대하여 안전한 성능을 발휘할 수 있고, 진폭 및 진동수에 의존하지 않기 때문에 일정한 마찰력을 얻을 수 있습니다.

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f ←●─N1 Fy | r·k k d N2 f

그림 2.8.15 이력거동 시스템

이력거동시스템의 성분 별 힘-변형 관계식은 Park, Wen and Ang(1986)에 의해 제안된 다음 식에 의해서 표현됩니다.

f = r \cdot k \cdot d + (1 - r) \cdot F _ {y} \cdot z

여기서 k : 초기 강성

Fy : 항복 강도

r : 항복 후 강성 저하율

d : 두 절점 사이의 변형

z : 이력거동 내부변수

z 는 이력거동을 나타내는 내부변수로서, Wen(1976)에 의해 제안된 다음의 미분방정식에 의해 정의됩니다.

\dot {z} = \frac {k}{F _ {y}} \left[ 1 - | z | ^ {s} \left\{\alpha \operatorname{sgn} (\dot {d} z) + \beta \right\} \right] \dot {d}

여기서

\alpha , \beta \qquad : 0 | \Xi | \Xi \Lambda \vdash 1 \underline { { \circ } } | \bigcirc | \bar { \Xi } \Lambda \vdash \Xi \exists \Xi \mid \Xi \vdash \big \forall \bar { \Xi } \Lambda \vdash \Xi \mid , \ | \alpha | + | \beta | = 1 . 0

s : 항복점의 전이영역(Transition Region)의 크기를 결정하는 상수

d : 두 절점 사이의 변형 변화율

α와 β는 항복후의 거동을 결정하는 상수로서 α+β > 0인 경우에는 SofteningSystem, α+β < 0 인 경우에는 Hardening System을 모델링 할 수 있습니다. 이력거동에 의한 에너지 소산량은 이력곡선에 의한 폐곡선의 면적이 커질수록 증가하며Softening System의 경우에 (β-α)가 작은 값을 가질수록 증가합니다. α와 β의 변화에 따른 이력거동의 변화 예는 그림 2.8.16과 같습니다.

s는 탄성변형과 소성변형사이의 전이구간, 즉 항복 발생 구간의 형상을 결정짓는상수로서 큰 값을 가질수록 항복점이 뚜렷해 지고 이상적인 Bi-linear Elasto-PlasticSystem에 가까워집니다. s 는 30이하의 값을 사용하는 것이 일반적이며, midasCivil에서는 s 값을 1.0~50.0으로 제한하고 있습니다. s에 따른 전이구간의 변화 예는 그림 2.8.17과 같습니다.

line

| d | f (Line 1) | f (Line 2) | f (Line 3) | |------|------------|------------|------------| | -2.0 | -1.0 | -1.0 | -1.0 | | -1.5 | -0.5 | -0.5 | -0.5 | | -1.0 | 0.0 | 0.0 | 0.0 | | -0.5 | 0.5 | 0.5 | 0.5 | | 0.0 | 0.75 | 0.75 | 0.75 | | 0.5 | 0.875 | 0.875 | 0.875 | | 1.0 | 0.9375 | 0.9375 | 0.9375 | | 1.5 | 0.96875 | 0.96875 | 0.96875 | | 2.0 | 1.0 | 1.0 | 1.0 |

\mathrm { ( a ) } ~ \mathrm { a } = 0 . 9 , ~ \beta = 0 . 1

line

d	f (Line 1)	f (Line 2)	f (Line 3)	f (Line 4)	f (Line 5)
-2.0	-1.0	-1.0	-1.0	-1.0	-1.0
-1.5	-0.75	-0.75	-0.75	-0.75	-0.75
-1.0	-0.5	-0.5	-0.5	-0.5	-0.5
-0.5	-0.25	-0.25	-0.25	-0.25	-0.25
0.0	0.0	0.0	0.0	0.0	0.0
0.5	0.25	0.25	0.25	0.25	0.25
1.0	0.5	0.5	0.5	0.5	0.5
1.5	0.75	0.75	0.75	0.75	0.75
2.0	1.0	1.0	1.0	1.0	1.0

(b) α = 0.1, β = 0.9