MultiPhysicsVault/.raw/MidasFEAAnalysisManual/MidasFEAAnalysisManual_017.md

근바의 편심거리와 같은 의미를 가진다. 그림 2.8.6에서 2, 3번 판요소에 삽입된철근격자세그먼트의 위치절점은 같은 편심거리를 가진다. 1번 판요소에 삽입된철근격자세그먼트의 위치절점들은 각각 0.2에서 0.6사이의 편심거리를 가지고있다.

2-9 철근의 프리스트레스

2-9-1 개요

철근바의 세부타입으로 철근과 텐던(tendon)이 있다. 철근은 구조물에 사용되는철근을 표현하기 위한 것이고, 텐던은 프리스트레스(prestress)가 가해진 텐던을표현하기 위한 것이다. 적용할 수 있는 프리스트레스의 형태는 두 가지이다. 하나는 일정한 긴프리스트레스가 텐던 전체에 가해지는 균일 프리스트레스(uniform prestress)형태이고, 다른 하나는 곡률(curvature)에 의한 마찰(friction)과 파상(wobble)에 의한 마찰손실과 정착장치(anchorage device)의 이동(penetration)에 의한 손실(prestress loss)을 고려할 수 있는 포스트텐션(posttension) 형태이다.

2-9-2 철근의 균일 프리스트레스

균일 프리스트레스는 일정한 프리스트레스를 텐던타입의 철근에 작용시키는 것이다. 이때 철근격자는 2개의 축방향으로 각각 다른 프리스트레스를 적용할 수있고, 철근바는 한 개의 축방향으로 일정 크기의 프리스트레스를 적용할 수 있다.

2-9-3 철근의 포스트텐션 프리스트레스

(1) 프리스트레스의 손실

일반적으로 텐던의 프리스트레스는 텐던의 양단에 가해지는 초기 긴장력(jacking force)에 의해 발생된다. 그러나 텐던에 가해지는 긴장력에 의한 프리스트레스는 프리스트레스의 손실로 인해서 감소하게 된다. 이러한 프리스트레스의 손실은 몇 가지 요인에 의해 발생된다.

곡선형태로 배치된 텐던은 텐던의 곡률에 의한 영향으로 프리스트레스는 손실되게 되며, 이러한 프리스트레스의 손실을 곡률에 의한 마찰 손실이라 한다. 그리고 곡률에 의한 손실 외에도 파상효과에 의한 손실이 있다. 또한 텐던의 긴장이완료되고 마찰에 의한 손실이 발생한 후에도 정착장치의 이동에 의해서 손실이발생할 수 있다.

midas FEA 에서는 이러한 손실의 예측은 콘크리트와 텐던의 모델링을 통해서구할 수 있다.

(2) 마찰손실

text_image

1/k P p P

그림 2.9.1 텐던의 곡률에 의한 압력

프리스트레스의 손실은 텐던과 이를 둘러 싼 재료와의 마찰에 의해서 발생하게된다. 이 마찰은 텐던의 곡률에 의해서 생기는 곡률마찰(curvature friction)과텐던의 길이에 의해서 생기는 파상마찰(wobble friction)로 구성된다. midasFEA에서는 두 가지 CEB-FIP 과 Korean Standard(KS) 두 가지의 설계기준을사용할 수 있다.

곡면에 의한 마찰은 다음과 같이 구할 수 있다. 곡선 형태를 가지는 텐던의 형상을텐던의 축방향 좌표축 r 에 대해서 x(r) 로 나타낼 수 있다. 이때 외력 P 가 텐던의양단에 가해질 때 다음과 같은 압력 p 가 곡률에 의해서 생기게 된다.

p = \kappa P \tag {2.9.1}

곡률 κ 는 다음과 같이 산정된다.

\kappa = \left| \frac {\partial^ {2} x}{\partial r ^ {2}} \right| \tag {2.9.2}

압력 p 에 의한 단위 길이당 프리스트레스의 감소는 마찰계수 µ (/radian)을 사용하여 구할 수 있다.

\frac {\partial P}{\partial r} = \mu p \tag {2.9.3}

부분적인 불규칙성에 의해서 마찰이 생기는 현상을 나타내기 위해 파상효과(wobble effect)를 고려하여 해석을 수행한다. 파상효과를 고려하기 위해 CEB-FIP와 KS는 서로 다른 식을 사용한다.

< CEB-FIP >

가상의 곡률 φ1 을 도입하고, 이 보조변수를 파상계수(wobble parameter)라고 한다.

\frac {\partial P}{\partial r} = - \mu \phi_ {1} P \tag {2.9.4}

특정위치에서의 프리스트레스의 손실은 프리스트레스가 가해지는 정착구로부터시작하여 축방향으로 적분을 하여 얻어 진다.

\Delta P = \int \frac {\partial P}{\partial r} d r \tag {2.9.5}

텐던이 일정한 곡률 κ 를 가지고 있고 정착구 에서 가해지는 힘을 P0 라고 하면,∆r 길이 만큼 시작점에서 떨어진 위치에서의 프리스트레스는 다음과 같이 얻어진다.

P (\Delta r) = P _ {0} e ^ {- \mu (\kappa + \phi_ {1}) \Delta r} \tag {2.9.6}

그리고 곡률과 파상에 의한 손실이 고려된 식 (2.9.6)을 다음과 같이 쓸 수 있다.

P (\Delta r) = P _ {0} e ^ {- \mu \Delta \phi} \tag {2.9.7}

여기서 ∆φ 는 시작 점에서의 축방향 벡터와 ∆r 떨어진 위치에서의 접선 벡터의 회전각을 의미한다.

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Δr ∂x/∂r(r) ∂x/∂r(r + Δr)

그림 2.9.2 텐던의 회전각 변화

식 (2.9.7)에서 사용된 ∆φ 는 다음과 같다.

\Delta \phi = \Delta r \left(\phi_ {1} + \kappa\right) = \Delta r \phi_ {1} + \left| \Delta \frac {\partial x}{\partial r} \right| \tag {2.9.8}

< Korean Standard >

파상마찰계수(wobble friction coefficient) K 를 도입하여 파상효과에 의한 단위길이당 파상에 의한 손실을 나타내면 다음과 같다.

\frac {\partial P}{\partial r} = - K P \tag {2.9.9}

CEB-FIP와 같이 일정한 곡률 κ 를 가지고 있는 텐던에서 정착구에 가해지는 힘을P0 라고 하면, 시작점에서 ∆r 길이 만큼 떨어진 위치에서의 곡률과 파상에 의한 손실이 고려된 프리스트레스는 다음과 같다.

P (\Delta r) = P _ {0} e ^ {- (\mu \kappa + K) \Delta r} \tag {2.9.10}

여기서 ∆φ는 시작 점에서의 축방향 벡터와 ∆r 떨어진 위치에서의 접선 벡터의 회전각을 의미하며 ∆φ는 다음과 같다.

\Delta \phi = \Delta r \kappa = \left| \Delta \frac {\partial x}{\partial r} \right| \tag {2.9.11}

midas FEA 에서는 정착구 위치에서의 힘 P0 와 텐던의 물성치를 이용하여 각 기준에따른 손실을 고려한 프리스트레스를 각 철근세그먼트의 적분점에서 찾는다.

(3) 정착장치의 이동

텐던은 단부 정착구 에서의 쐐기에 의해서 정착이 된다. 그러므로 프리스트레스에 의해서 쐐기는 정착한 위치에서 안쪽으로 이동이 발생하게 된다. 이렇게 이동하여 들어간 길이를 ∆l 이라고 할 때, 정착구가 밀려들어가면서 텐던의 프리스트레스에 영향을주게 된다. 쐐기의 이동에 의해 텐던의 프리스트레스가 영향을 받는 길이를 ∆x 라고한다면, 다음과 같은 힘 평형식을 유도할 수 있다.

\int_ {\Delta x} \Delta P (r) d r = \Delta l E A \tag {2.9.12}

text_image

P before penetration ΔP ΔI ×EA after penetration Δx anchor tendon x

그림 2.9.3 정착되어 있는 텐던에서의 프리스트레스 손실

그리고 정착구로부터 시작하여 식 (2.9.13)를 만족하는 텐던의 프리스트레스를찾게 된다.

\int_ {L} \Delta P (x) d r \geq \Delta l E A \tag {2.9.13}

식 (2.9.13)의 적분은 사다리꼴 공식(trapezoidal rule)을 사용해 수행하며, 식

(2.9.13)의 조건을 만족하는 적분점을 우선 찾아내게 된다. 만약 식 (2.9.13)의조건을 만족시키는 점이 텐던 내에 존재하지 않으면, 텐던의 손실을 구하는 과정은 정상적으로 수행되지 않는다.

텐던의 양쪽 끝에서 동시에 긴장하게 되는 경우는 두 단계에 걸쳐서 텐던의 응력을 구하게 된다. 이 때의 프리스트레스 손실에 의한 영향은 양단에 대해서 각각 계산된다. 그림 2.9.4는 양단에서 정착구의 이동에 의한 프리스트레스 손실을보이고 있다.

line

penetration level	tendon	tensioning	penetration at 1	penetration at 2	penetration at 3
limited penetration	2	P	P	P	P
limited penetration	1	P	P	P	P
large penetration	2	P	P	P	P
large penetration	1	P	P	P	P
excessive penetration	2	P	P	P	P

그림 2.9.4 정착장치의 이동에 따른 프리스트레스의 손실

그림 2.9.4 1번 위치의 정착구로부터 시작한 프리스트레스와 2번 위치의 정착구로부터 시작한 프리스트레스를 각각 구한다. 이 때 구해진 프리스트레스는 정착구의 이동에 의한 손실을 반영하지 않은 프리스트레스다.

양단의 정착구의 이동에 의한 손실을 각각 계산한 다음, 양단의 프리스트레스분포를 조합하여 최종적인 프리스트레스 분포를 구하게 된다.

Part 1 Element Library

Chapter 3. Interface Elements

3-1 개요

계면요소(interface element)는 동질재료에서의 균열면 또는 이질재료간의 경계면 활동을 해석하기 위한 요소이다. 계면요소는 콘크리트 균열을 묘사하는 이산균열(discrete-cracking), 철근과 콘크리트 사이의 부착슬립(bond-slip), 철근과콘크리트의 접합면이나 조적조의 접합면 등과 같은 구조물의 접합부를 해석하는데 주로 사용된다.

계면요소는 일반적인 유한요소 정식화과정을 사용하지만, 요소의 두께는 0으로 가정한다. 두께가 0인 계면요소를 수치 해석적으로 정의하기 위해서 벌칙강성(penaltystiffness)을 적용한다. 만약 벌칙강성이 너무 크게 되면 수치적인 문제가 야기되고,너무 적은 경우에도 계면요소 상대변위의 정확한 결과값을 얻을 수가 없다. 그러므로사용자는 적절한 벌칙강성값을 입력하여야 한다. midas FEA에서는 벌칙강성을k E d = × × 1000 와 같이 추천한다. 이때 E 의 값은 모델의 요소 중 가장 큰 영 계수이고, d 는 대표되는 요소 크기이다.

수치해석을 수행하기 위하여 벌칙방법에 근거하여, 상대변위(relative displacement)∆u 와 계면력(traction) t 의 관계는 식 (3.1.1)과 같은 구성방정식으로 정의된다.

\mathbf {t} = \mathbf {D} \cdot \Delta \mathbf {u} \tag {3.1.1}

2차원의 경우 t , D , ∆u 값은 식 (3.1.2)와 같으며, 경계면상에 존재하는 적분점에서의 상대변위와 계면력을 그림 3.1.1과 같이 나타낼 수 있다.

\mathbf {t} = \left\{ \begin{array}{l} t _ {n} \\ t _ {t} \end{array} \right\}, \quad \mathbf {D} = \left[ \begin{array}{c c} k _ {n} & 0 \\ 0 & k _ {t} \end{array} \right], \quad \Delta \mathbf {u} = \left\{ \begin{array}{l} \Delta u _ {n} \\ \Delta u _ {t} \end{array} \right\} \tag {3.1.2}

(a) 상대변위

text_image

t_n t_t

(b) 계면력
그림 3.1.1 2차원 계면요소에서 상대변위와 계면력

그리고 3차원인 경우는 각 성분들을 식 (3.1.3)과 그림 3.1.2와 같이 나타낼 수있다.

\mathbf {t} = \left\{ \begin{array}{l} t _ {n} \\ t _ {s} \\ t _ {t} \end{array} \right\}, \mathbf {D} = \left[ \begin{array}{c c c} k _ {n} & 0 & 0 \\ 0 & k _ {s} & 0 \\ 0 & 0 & k _ {t} \end{array} \right], \quad \Delta \mathbf {u} = \left\{ \begin{array}{l} \Delta u _ {n} \\ \Delta u _ {s} \\ \Delta u _ {t} \end{array} \right\} \tag {3.1.3}

text_image

t_n t_t t_s

(a) 상대변위

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Δuₙ Δuₜ Δu

(b) 계면력
그림 3.1.2 3차원 계면요소에서 상대변위와 계면력

여기서,

점선 : 경계면

t _ { n } : 법선 계면력

t _ { s } , t _ { t } : 접선 계면력

\Delta u _ { { _ n } } : 법선 상대변위

\Delta u _ { s } , \Delta u _ { \iota } : 접선 상대변위`

(3.1.2)와 (3.1.3)의 선형 구성방정식에서 상대변위와 계면력은 각 방향에 대해서상관관계를 가지지 않는다. 즉 법선방향의 계면력은 접선방향의 강성에 아무런영향을 미치지 않는다.