김경종
16 KiB
text_image
Δε^e Δε^p σ A B Δσ/2 O ε Δε/2 C Δε/2 Δσ/2
그림 5.9.3 전형적인 소성변형 발생시의 응력-변형률 선도
- 비선형 이력 해석을 사용한 변형률 계산
변형률-수명방법에서 사용되는 변형률의 이력을 비선형 해석을 통하여 직접 계산하는 경우에, 반복 변형 강도 계수( \kappa' )와 반복 변형률 경화 계수( n' )등이 사용되지 않고 재료비선형 해석을 위한 비선형 재질특성을 입력하고 이를 활용한 비선형 해석 결과를 사용한다. 변형률은 탄성변형률과 소성변형률의 합이며, 각 변형률은 등가변형률의 종류에 따라 (5.9.16)~(5.9.18)와 같이 주변형률( \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3 )을 이용하여 계산할 수 있다. 평균 응력 효과를 계산하기 위한 등가응력 또한 비선형 해석 결과를 사용하고, 응력과 변형률의 변화량의 동시성을 고려하기 위해 여러 성분을 동시에 사용하는 레인플로-집계기법(multi-components rainflow-counting)을 적용한다.
▶ Von mises 등가변형률
\frac {\Delta \varepsilon^ {e}}{2} = \frac {1}{\sqrt {2} (1 + \nu)} \left[ \left(\frac {\Delta \varepsilon_ {1} ^ {e}}{2} - \frac {\Delta \varepsilon_ {2} ^ {e}}{2}\right) ^ {2} + \left(\frac {\Delta \varepsilon_ {2} ^ {e}}{2} - \frac {\Delta \varepsilon_ {3} ^ {e}}{2}\right) ^ {2} + \left(\frac {\Delta \varepsilon_ {3} ^ {e}}{2} - \frac {\Delta \varepsilon_ {1} ^ {e}}{2}\right) ^ {2} \right] ^ {1 / 2} \tag {5.9.16}
\frac {\Delta \varepsilon^ {p}}{2} = \frac {\sqrt {2}}{3} \left[ \left(\frac {\Delta \varepsilon_ {1} ^ {p}}{2} - \frac {\Delta \varepsilon_ {2} ^ {p}}{2}\right) ^ {2} + \left(\frac {\Delta \varepsilon_ {2} ^ {p}}{2} - \frac {\Delta \varepsilon_ {3} ^ {p}}{2}\right) ^ {2} + \left(\frac {\Delta \varepsilon_ {3} ^ {p}}{2} - \frac {\Delta \varepsilon_ {1} ^ {p}}{2}\right) ^ {2} \right] ^ {1 / 2}
▶ 최대 전단변형률
\frac {\Delta \varepsilon^ {e}}{2} = \text { maximum } \left(\frac {\left| \Delta \varepsilon_ {1} ^ {e} - \Delta \varepsilon_ {2} ^ {e} \right|}{2} \text { or } \frac {\left| \Delta \varepsilon_ {2} ^ {e} - \Delta \varepsilon_ {3} ^ {e} \right|}{2} \text { or } \frac {\left| \Delta \varepsilon_ {3} ^ {e} - \Delta \varepsilon_ {1} ^ {e} \right|}{2}\right) \tag {5.9.17}
\frac {\Delta \varepsilon^ {p}}{2} = \text { maximum } \left(\frac {\left| \Delta \varepsilon_ {1} ^ {p} - \Delta \varepsilon_ {2} ^ {p} \right|}{2} \text { or } \frac {\left| \Delta \varepsilon_ {2} ^ {p} - \Delta \varepsilon_ {3} ^ {p} \right|}{2} \text { or } \frac {\left| \Delta \varepsilon_ {3} ^ {p} - \Delta \varepsilon_ {1} ^ {p} \right|}{2}\right)
▶ 최대 주변형률
\frac {\Delta \varepsilon^ {e}}{2} = \frac {\Delta \varepsilon_ {1} ^ {e}}{2} \tag {5.9.18}
\frac {\Delta \varepsilon^ {p}}{2} = \frac {\Delta \varepsilon_ {1} ^ {p}}{2}
- E-N선도
그림 5.9.4 는 (5.9.19)의 변형률과 피로파괴 유발 반복횟수의 관계를 나타내는 E-N 선도이다. 레인플로-집계를 거쳐 추출한 여러 개의 개별 변형률 진폭을 E-N 선도에 적용하여 각각의 반복횟수와 이에 해당하는 개별 손상 정도를 구한다. S-N 기법과 마찬가지로 miner 누적손상이론을 적용하여, 개별 손상정도를 선형누적하여 최종 손상과 수명을 예측한다.
\frac {\Delta \varepsilon}{2} = \frac {\sigma_ {f} ^ {\prime}}{E} (2 N) ^ {b} + \varepsilon_ {f} ^ {\prime} (2 N) ^ {c} \tag {5.9.19}
변형률-수명 방법의 장점 및 단점은 다음과 같다.
▶ 선형탄성 해석 결과를 사용하여 부분적으로 소성 변형이 발생하는 경우에 대한 피로해석에 적용이 가능하다.
▶ 비선형 이력해석 결과를 사용한 계산이 가능하다.
▶ 계산이 복잡하고 해석시간이 길다.
- 평균 응력 효과
구조물의 변형률 변화량이 동일하여도 그림 5.9.1과 같이 평균응력 \sigma_{m} 이 다르면 피로수명도 달라진다. 변형률-수명 방법에서 평균응력의 영향을 고려하기 위
해서 다음과 같은 제안식들이 사용된다.
▶ SWT (Smith-Watson-Topper, 1970)
\sigma_ {\max} \frac {\Delta \varepsilon}{2} = \frac {\left(\sigma_ {f} ^ {\prime}\right) ^ {2}}{E} (2 N) ^ {2 b} + \sigma_ {f} ^ {\prime} \varepsilon_ {f} ^ {\prime} (2 N) ^ {b + c} \tag {5.9.20}
\sigma_ {\max} = \frac {\Delta \sigma}{2} + \sigma_ {m}
▶ Morrow (1968)
\frac {\Delta \varepsilon}{2} = \frac {\left(\sigma_ {f} ^ {\prime} - \sigma_ {m}\right)}{E} (2 N) ^ {b} + \varepsilon_ {f} ^ {\prime} (2 N) ^ {c} \tag {5.9.21}
▶ Manson-Halford (1981)
\frac {\Delta \varepsilon}{2} = \frac {\left(\sigma_ {f} ^ {\prime} - \sigma_ {m}\right)}{E} (2 N) ^ {b} + \varepsilon_ {f} ^ {\prime} \left(\frac {\sigma_ {f} ^ {\prime} - \sigma_ {m}}{\sigma_ {f} ^ {\prime}}\right) ^ {\frac {c}{b}} (2 N) ^ {c} \tag {5.9.22}
line
| Reversals to failure, 2N | Strain amplitude (ε'f) | Strain amplitude (ε'f) | Strain amplitude (σ'f/E) | Strain amplitude (b) | Strain amplitude (c) | | ------------------------ | ------------------------ | ------------------------ | -------------------------- | --------------------- | --------------------- | | 10^0 | 1.0 | 1.0 | 0.001 | 0.001 | 0.01 | | 10^1 | 0.1 | 0.1 | 0.001 | 0.001 | 0.001 | | 10^2 | 0.01 | 0.01 | 0.001 | 0.001 | 0.0001 | | 10^3 | 0.001 | 0.001 | 0.001 | 0.001 | 0.00001 | | 10^4 | 0.0001 | 0.0001 | 0.001 | 0.001 | 0.000001 | | 10^5 | 0.00001 | 0.00001 | 0.001 | 0.001 | 0.0000001 | | 10^6 | 0.000001 | 0.000001 | 0.001 | 0.001 | 0.00000001 | | 10^7 | 0.0000001 | 0.0000001 | 0.001 | 0.001 | 0.000000001 |그림 5.9.4 변형률(Δε)-피로 파괴 유발 반복횟수(N) 관계
- 비선형 이력 해석을 사용한 초탄성재료의 E-N선도
초탄성 재료의 경우 변형률 이력을 그대로 레인플로-집계하여 다음식으로 개별손상정도를 계산하여 누적한다.
\frac {\Delta \varepsilon}{2} = K \left(2 N _ {f}\right) ^ {b} \tag {5.9.23}
SWT 와 Morrow 평균응력에 대한 보정은 각각 다음처럼 변형된 형태를 사용한다.
\mathrm{SWT}: \sigma_ {\max} \frac {\Delta \varepsilon}{2} = \frac {\Delta \sigma}{2} K \left(2 N _ {f}\right) ^ {b} \tag {5.9.24}
\text { Morrow, Manson - Halford }: \frac {\Delta \varepsilon}{2} = \frac {\sigma_ {f} ^ {\prime} - \sigma_ {m}}{E} \left(2 N _ {f}\right) ^ {b} = \left(K - \varepsilon_ {m}\right) \left(2 N _ {f}\right) ^ {b} \tag {5.9.25}
SWT 는 평균응력이 0 일 때 최대응력과 응력진폭의 절반이 동일하다는 것을 이용한다. 하지만 응력진폭은 작고 평균응력이 크면 변형률을 너무 크게 보정하기 때문에, 응력진폭은 평균응력의 \sqrt{2} 배보다 커질 수 없도록 하는 제한을 두었다. Morrow 방법은 기존 식에서 평균응력 대신 평균변형률을 사용하여 보정하는 개념이다.
5.9.3 랜덤 진동 피로해석
피로하중이력이 복잡할수록 데이터의 양이 증가하여 데이터의 처리나 피로해석 시간의 증가로 시간영역에서의 해석은 제약이 있고, 특히 랜덤하중은 시간영역에서의 표현이 힘들다. 따라서 주파수 영역에서 PSD(파워 스펙트럼 밀도) 함수로 정의한 랜덤 하중에 대해 랜덤 응답 해석을 수행하여 응력의
파워스펙트럼 밀도를 계산하고, 이를 사용하여 통계적 방법으로 피로수명을예측 및 평가한다. 이러한 방법을 랜덤 진동 피로해석(random vibration fatigueanalysis)이라고 한다. midas NFX 에서는 랜덤 진동 피로해석 방법으로 협대역근사법, Steinberg 방법, Dirlik 방법을 제공한다.
• Palmgren-Miner 누적손상 이론
랜덤 진동 피로해석 또한 Palmgren-Miner 의 누적손상 이론에 기반하여손상도를 계산한다.
D = \sum_ {i} \frac {n _ {i}}{N (S _ {i})} \tag {5.9.26}
는 피로 손상도, n _ { i } 는 스트레스 레벨 의 작용 횟수, 는 N _ { i } 는 S-N 선도에서산정된 스트레스 에 대한 피로 수명으로 다음과 같다.
N (S) = a S ^ {- m} \tag {5.9.27}
와 은 재료 물성치이다.
• 랜덤하중에 대한 피로손상
랜덤 해석을 통해 얻은 응력 PSD 함수로부터 를 산정하는 방법과 나아가서D _ { t o t a l } \ { \overline { { \overline { { \mathbf { u } } } } } } 계산하는 방법에 따라 여러가지 해석 방법이 제안되고 있다. 응력 PSD함수의 차 모멘트는 다음과 같다.
m _ {n} = \int_ {0} ^ {\infty} f ^ {n} G (f) d f \tag {5.9.28}
f 는 주파수, G f 는 주파수 에 대한 응력 PSD함수이다.
▶ 협대역 근사법
랜덤 피로하중에 의해 누적된 피로손상은 다음과 같다.
D = \sum_ {i} \frac {n _ {i}}{N (S _ {i})} = \frac {E [ P ] T}{a} \int S ^ {m} p (S) d S \tag {5.9.29}
T 는 피로 하중이 작용하는 시간, E[P] 는 응력이력의 1 초 샘플에 대한 최고점의 평균 개수로 다음과 같다.
E [ P ] = \sqrt {\frac {m _ {4}}{m _ {2}}} \tag {5.9.30}
p(S) 는 응력 범위의 확률밀도함수로 협대역 주파수 하중이 작용하는 경우 응력이력 최고점의 확률 밀도 함수가 폭이 좁은 Rayleigh 분포와 경향이 비슷하여 이를 이용해 피로손상을 산정한다.
p (S) _ {N B} = \left[ \frac {S}{4 m _ {0}} e ^ {- \frac {S ^ {2}}{8 m _ {0}}} \right] \tag {5.9.31}
(5.9.31)을 (5.9.29)에 대입하여 정리하면 다음과 같다.
D = \frac {E [ P ] T}{a} \left(\sqrt {2 m _ {0}}\right) ^ {m} \Gamma \left(1 + \frac {m}{2}\right) \tag {5.9.32}
\Gamma() 는 감마 함수이다.
▶ Steinberg 방법
Steinberg 방법으로 계산한 피로 손상도는 다음과 같다.
D = \frac {E [ 0 ] T}{a} \left[ 0. 6 8 3 \left(2 \sqrt {m _ {0}}\right) ^ {m} + 0. 2 7 1 \left(4 \sqrt {m _ {0}}\right) ^ {m} + 0. 0 4 3 \left(6 \sqrt {m _ {0}}\right) ^ {m} \right] \tag {5.9.33}
E[0]는 응력이력의 1 초 샘플에 대한 영점교차의 평균 개수로 다음과 같다.
E [ 0 ] = \sqrt {\frac {m _ {2}}{m _ {0}}} \tag {5.9.34}
▶ Dirlik 방법
랜덤 피로하중에 의해 누적된 피로손상은 다음과 같다.
D = \sum_ {i} \frac {n _ {i}}{N (S _ {i})} = \sum_ {i} \frac {E [ P ] T p (S _ {i}) d S}{N (S _ {i})} \tag {5.9.35}
Dirlic 방법에선 응력 범위의 확률밀도함수 p(S) 를 다음과 같은 경험적인 식으로 계산한다.
p (S) = \frac {\frac {D _ {1}}{Q} e ^ {- \frac {Z}{Q}} + \frac {D _ {2}}{R ^ {2}} e ^ {- \frac {Z ^ {2}}{2}} + D _ {3} Z e ^ {- \frac {Z ^ {2}}{2}}}{2 \sqrt {m _ {0}}} \tag {5.9.36}
Z, D₁, D₂, D₃, R, Q, Xₘ, γ 는 다음과 같이 응력 PSD 함수의 모멘트로 구성된 식이다.
Z = \frac {S}{2 \sqrt {m _ {0}}} \tag {5.9.37}
D _ {1} = \frac {2 \left(X _ {m} - \gamma^ {2}\right)}{1 + \gamma^ {2}} \tag {5.9.38}
D _ {2} = \frac {1 - \gamma - D _ {1} + D _ {1} ^ {2}}{1 - R} \tag {5.9.39}
D _ {3} = 1 - D _ {1} - D _ {2} \tag {5.9.40}
R = \frac {\gamma - X _ {m} - D _ {1} ^ {2}}{1 - \gamma - D _ {1} + D _ {1} ^ {2}} \tag {5.9.41}
Q = \frac {5 \left(\gamma - D _ {1} - D _ {2} R\right)}{4 D _ {1}} \tag {5.9.42}
X _ {m} = \frac {m _ {1}}{m _ {0}} \sqrt {\frac {m _ {2}}{m _ {4}}} \tag {5.9.43}
\gamma = \frac {E [ 0 ]}{E [ P ]} = \frac {m _ {2}}{\sqrt {m _ {0} m _ {4}}} \tag {5.9.44}
5.10 응력의 선형보간
응력의 선형보간(stress linearization)은 복잡한 응력 상태를 등가의 막응력(membrane stress)와 굽힘응력(bending stress)으로 표현하는 계산 과정을 의미한다. 주로 압력 용기(pressure vessel)의 설계에 사용되며 ASME B&PV 코드를기초로 한다.
응력의 선형보간 방법은 유한요소 모델의 응력상태에 따라 다르며, 크게 3차원응력상태와 축대칭(axisymmetric) 응력상태로 구분할 수 있다. Solid 요소와plane strain 요소는 3차원 응력상태로 가정하고, axisymmetric solid 요소는 축대칭 응력상태로 가정하여 계산한다. 선형보간을 적용하는 구간은 사용자가 임의로 결정할 수 있으나, 유한요소 모델에서 두께 방향에 해당하는 구간으로 정의하는 것이 일반적이다.
• 3차원 응력상태
그림 5.10.1과 같이 3차원 모델에 대해 A 점과 B 점을 정의하면 선형보간을 위한 구간과 좌표계를 결정할 수 있다. 점 A에서 점 B를 향하는 방향을 x축으로정의하고, 이 축과 GCS-y 축이 이루는 평면에 y축이 존재하는 것으로 가정한다.막응력은 선형보간 구간에 작용하는 응력의 평균값으로 다음과 같다.
\sigma^ {m} = \frac {1}{t} \int_ {- t / 2} ^ {t / 2} \sigma d x \tag {5.10.1}
구간에 작용하는 응력의 1 차 모멘트와 등가를 이루는 굽힘응력은 다음과 같이계산할 수 있다.
\boldsymbol {\sigma} _ {B} ^ {b} = - \boldsymbol {\sigma} _ {A} ^ {b} = \frac {6}{t ^ {2}} \int_ {- t / 2} ^ {t / 2} x \boldsymbol {\sigma} d x \tag {5.10.2}
text_image
A y x B t
그림 5.10.1 응력 선형보간을 위한 구간 설정과 좌표계 정의 (3 차원 모델)
- 축대칭 응력상태
그림 5.10.2와 같은 축대칭 모델에 대해서는 응력의 각 성분이 서로 다른 방법에 의해 계산된다. 축대칭 모델에서 선형보간을 위한 좌표계는 점 A와 B에 의해 유일하게 결정된다. 축대칭 모델에서의 선형보간은 기본적으로 3차원 모델과 같은 원리를 이용하지만, 중립축이 x=0 인 중심에서 바깥쪽으로 이동해 있다는 점 때문에 응력의 성분별로 조금씩 다른 방법으로 계산한다.
자오선 응력(meridional stress)는 \sigma_{y} 에 해당하며, 다음의 식을 이용하여 막응력과 굽힘응력을 계산한다.
\sigma_ {y} ^ {m} = \frac {1}{R _ {C} t} \int_ {- t / 2} ^ {t / 2} \sigma_ {y} R d x \tag {5.10.3}
\sigma_ {y, \alpha} ^ {b} = \frac {x _ {\alpha} - x _ {f}}{\int_ {- t / 2} ^ {t / 2} (x - x _ {f}) ^ {2} R d x} \int_ {- t / 2} ^ {t / 2} (x - x _ {f}) \sigma_ {y} R d x, \quad \alpha = A, B \tag {5.10.4}
x_{f} : 구간의 중심과 중립면 사이의 거리
원주 응력(hoop stress)는 \sigma_{z} 에 해당하며, 다음의 식을 이용하여 막응력과 굽힘 응력을 계산한다.
\sigma_ {z} ^ {m} = \frac {1}{t} \int_ {- t / 2} ^ {t / 2} \sigma_ {z} (1 + \frac {x}{\rho}) d x \tag {5.10.5}