MultiPhysicsVault/.raw/MidasCivilAnalysisReference/MidasCivilAnalysisReference_036.md

Procedure-B

ATC-40에서 성능점을 산정하는 두 번째 방법은 먼저 변위연성비를 가정한 후에이에 대한 구조물의 유효주기를 산정하고 유효주기 직선과 5% 탄성 설계응답스펙트럼과의 교차점을 초기 성능점으로 가정합니다. 가정한 변위연성비에 대한 방사선 형태의 유효주기와 비탄성 설계응답스펙트럼과의 교차점들은 궤적을 형성하게되며, 이 궤적선과 구조물의 능력스펙트럼과의 교차점이 최종적인 성능점으로 설정됩니다. Procedure-B 방법을 이용한 성능점 산정의 원리는 그림 2.8.69와 같습니다.

line

Spectral Displacement, inches	Spectral Acceleration, g
d_y	a'_y
d'_*	a'_*

그림 2.8.69 Procedure-B 방법을 이용한 성능점 산정 (ATC-40)

이 방법의 경우에는 변위연성비를 먼저 가정하여 순차적으로 유효감쇠계수를 산정하기 때문에 교차점에서 발생하는 응답 오차에 대하여 발산할 수 있는 확률이 적습니다. 앞서 설명한 Procedure-A의 경우에는 성능점을 찾는 과정에서 수렴성이떨어질 수 있다는 단점이 있는 반면에 Procedure-B는 수렴성이 좋고 탄성 응답스펙트럼을 감쇠비의 변화에 따라서 여러번 작성할 필요없이 변화된 감쇠비와 진동주기에 따른 응답스펙트럼 값의 궤적만을 구하면 되므로 보다 간단한 방법이라고할 수 있습니다.

midas Civil에서 제공하는 두가지 방법에 의한 성능점 산정 과정은 그림 2.8.70,2.8.71과 같습니다.

line

Metric	Value
Spectral Acceleration (Sa)	0.24
Spectral Displacement (Sd)	0.52
Description for Printed Output	0.24
Evaluation of Performance point by CSM Procedure-A (ATC-40)	0.24
Performance Point	0.24
Displ. Control Node: 11 Dir.: DX	0.24
Load Pattern: Acceleration	0.24
V.D.	0.24
Sa.Sd	0.24
Teff.Deff	0.24
Black	0.24
White	0.24
Graph Display Option Background Color	0.24
Change Graph Title	0.24
Change Graph Range	0.24
Save Window As *.bmp	0.24
Text Output	0.24
Draw	0.24
Show Ref. Line	0.24
Show Symbol	0.24
Close	0.24

그림 2.8.70 Procedure-A 방법에 의한 성능점 평가 (midas Civil)

line

Spectral Displacement(Sd)	Spectral Acceleration(Ga)
0.00	0.00
0.04	0.14
0.08	0.20
0.12	0.22
0.16	0.22
0.20	0.22
0.24	0.22
0.28	0.22
0.32	0.22
0.36	0.22
0.40	0.22
0.44	0.22
0.48	0.22
0.52	0.22

그림 2.8.71 Procedure-B 방법에 의한 성능점 평가 (midas Civil)

8-7-11 성능평가

구조물의 변위가 목표성능의 범위내에 포함되는 것이 확인되면, 계속해서 각 개별부재의 성능을 평가합니다. 이때 midas Civil에서는 FEMA-273이나 ATC-40에서 권장하는 방법과 유사한 방법으로 부재의 성능을 평가할 수 있도록 하였습니다. 이들 보고서에서는 성능상태를 그림 2.8.72와 같은 세가지의 단계로 분류하고 있습니다.

line

Point	Displacement	Force
A	A	0
B	~0.5	~1.0
C	~1.0	~1.2
D	~1.5	~0.5
E	~2.0	~0.0

IO = 즉시사용 한계상태 (Immediate Occupancy)
LS = 안전 한계상태 (Life Safety)
CP = 붕괴방지 한계상태 (Collapse Prevention)
그림 2.8.72 부재의 성능평가

8-7-12 Pushover 해석과정

1. 정적해석 및 부재설계 완료

지진하중에 대한 구조물의 보유성능을 검토하기 위해 Pushover해석을 수행하는 경우, 우선 해석모델에 대한 정적해석과 부재설계를 완료합니다.

2. Pushover해석 제어용 데이터 입력

Pushover탭>Global Control그룹>Pushover Global Control 대화상자를 호출하여 초기하중, 각 step별 내부반복 최대 계산회수 및 수렴조건을 지정합니다.

3. Pushover Load Case 입력

Pushover탭>Load Case그룹>Pushover Load Cases 대화상자를 호출하여Pushover해석의 최대 계산회수, 증분방법, 초기상태 하중의 사용여부와Pushover 하중조건을 입력합니다.

먼저 하중제어(Load Control)와 변위제어(Displacement Control)를 선택합니다. 그리고 초기상태하중을 고려하기 위해 자중을 입력하고, Pushover 하중조건으로는 Static Load Case, Uniform Acceleration 및 Mode Shape 등을 선택할 수 있으며, 각 하중형태는 조합이 가능합니다.

4. Hinge Data 정의

Pushover탭>Assign그룹>Assign Hinge Properties>Define Pushover HingeProperties 대화상자를 호출하여 비선형요소의 종류,비선형성을 고려할 성분과 성분별 골격곡선을 정의합니다.

5. 부재에 Hinge Data 지정

Pushover탭>Assign그룹>Assign Hinge Properties>Assign Pushover HingeProperties 대화상자를 호출하여 정의된 힌지 데이터를 각 부재에 할당합니다. 일반적으로 보에는 모멘트 힌지, 기둥에는 축력과 모멘트 힌지를 할당합니다.

6. Pushover해석 수행

Pushover탭>Perform그룹>Perform Pushover Analysis를 클릭하여Pushover해석을 수행합니다.

7. 해석결과 확인

해석이 성공적으로 완료되면, Pushover탭>Pushover Results그룹>PushoverCurve를 클릭하여 Pushover곡선을 출력하고, 각종 Design Spectrum에 대한 구조물의 성능정도를 검토합니다. 또한, Pushover탭>Pushover Results그룹>Deformations>Deformed Shape 대화상자에서 Pushover 하중조건을 선택하여 단계별 변형형상 및 힌지발생상태를 확인합니다. 이때 Animate기능을 이용하면 힌지 발생과정을 동영상으로 확인할 수 있습니다.

Chapter 9. 비선형 시간이력해석

9-1 개요

구조물에 지진동이 작용할때, 변형이 작은 범위에서 구조물은 탄성거동 합니다. 그러나, 외력의 증가에 의해 구조물의 변형이 커지면, 부재응력은 탄성한계를 넘게 되고, 균열, 항복 등의 현상이 발생합니다. 이때 복원력과 변형의 관계는 이력곡선을 그리며, 이와 같은 복원력특성은 탄소성 복원력특성이라 합니다. 구조물이 대지진을 받을 때, 골조가 항복하여 소성역에 들어가는 것은 피할 수 없으므로, 대지진에 대한 구조물의 안전성을 확보하기 위하여 구조물의 소성변형능력과 이력에너지 흡수능력은 매우 중요한 인자가 됩니다. 비선형 시간이력 해석(Nonlinear Time History Analysis)은 구조부재의 비선형 복원력특성을 단순화한 이력모델을 통하여 구조물의 비선형 거동을 파악하는 시간이력 해석방법입니다. 대상 구조물은 해석의 효율성을 고려하여 주요 부분에 비선형 요소를 사용하고 나머지 부분은 탄성인 것으로 가정합니다.

9-1-1 비선형 운동방정식

비선형 요소가 포함된 구조물의 운동방정식은 다음과 같이 구성되며, 요소의 비선 형성은 접선 강성법에 의해 정식화 됩니다. 단, 비선형 연결요소는 Element Type 범용 연결요소의 Spring에 Inelastic Hinge Properties를 부여한 요소입니다.

M \ddot {u} + C \dot {u} + K _ {S} u + f _ {I} + f _ {N} = p \tag {1}

여기서 M: 질량행렬

C: 감쇠행렬

K_{S} : 비탄성 요소 및 비선형 연결요소를 제외한 나머지 탄성 부재들의 강성행렬

u, ù, ù : 절점에 대한 변위, 속도 및 가속도 응답

p: 절점에 대한 동적하중

f_{1} : 비탄성 요소의 전체좌표계 절점내력

f_{N} : 비선형 연결요소에 포함된 비선형 스프링의 전체좌표계 절점내력 비선형 시간이력 해석은 선형 시간이력 해석과 달리 중첩의 원리가 적용될 수 없습니다. 따라서, 수치적분법에 의해 해석되어야만 하며, 비선형 동적운동방정식의 시간이력 수치적분법은 직접적분법에 의해 수행됩니다. 직접적분법에 의한 응답해석은 임의의 외력에 의한 강제진동 운동방정식을 직접 수치적분하여 2계의 연립미분방정식의 해를 구하여, 미지수인 변위, 속도 및 가속도 응답을 구하는 방법입니다. midas Civil에서는 Newmark-β 법에 의한 직접적분법으로 해석을 수행합니다. Newmark-β 법은 각 시간증분에서의 변위의 증분을 구하여 누적하는 방식으로 처리됩니다. 각 시간증분에서 발생하는 불평형력은 Newton-Raphson법에 의한 반복해석을 통해 해소합니다.

Newmark-β의 기본 가정에 의해 시각 t 에서의 가속도와 변위를 이용하면, t + \Delta t 에서의 속도와 변위는 다음과 같이 나타냅니다.

\dot {u} _ {t + \Delta t} = \dot {u} _ {t} + (1 - \gamma) \Delta t \ddot {u} _ {t} + \gamma \Delta t \ddot {u} _ {t + \Delta t} \tag {2}

u _ {t + \Delta t} = u _ {t} + \Delta t \dot {u} _ {t} + \left(\frac {1}{2} - \beta\right) \Delta t ^ {2} \ddot {u} _ {t} + \beta \Delta t ^ {2} \ddot {u} _ {t + \Delta t} \tag {3}

위의 식을 변위로 정리하면 다음 식으로 나타낼 수 있습니다.

\dot {u} _ {t + \Delta t} = \frac {\gamma}{\beta \Delta t} \Delta u _ {t + \Delta t} + \left(1 - \frac {\gamma}{\beta}\right) \dot {u} _ {t} + \left(1 - \frac {\gamma}{2 \beta}\right) \Delta t \ddot {u} _ {t} \tag {4}

\ddot {u} _ {t + \Delta t} = \frac {1}{\beta \Delta t ^ {2}} \left(\Delta u _ {t + \Delta t} - \Delta t \dot {u} _ {t} + \left(\frac {1}{2} - \beta\right) \Delta t ^ {2} \ddot {u} _ {t}\right) \tag {5}

변위, 속도, 가속도 증분은 다음과 같이 표현됩니다.

\Delta u _ {t + \Delta t} = u _ {t + \Delta t} - u _ {t} \tag {6}

\Delta \dot {u} _ {t + \Delta t} = \frac {\gamma}{\beta \Delta t} \Delta u _ {t + \Delta t} - \frac {\gamma}{\beta} \dot {u} _ {t} + \left(1 - \frac {\gamma}{2 \beta}\right) \Delta t \ddot {u} _ {t} \tag {7}

\Delta \ddot {u} _ {t + \Delta t} = \frac {1}{\beta \Delta t ^ {2}} \Delta u _ {t + \Delta t} - \frac {1}{\beta \Delta t} \dot {u} _ {t} - \frac {1}{2 \beta} \ddot {u} _ {t} \tag {8}

Newton-Raphson법에 의한 반복계산시의 증분응답은 다음과 같이 표현됩니다.

\delta \dot {u} ^ {(i)} = \Delta \dot {u} ^ {(i)} - \Delta \dot {u} ^ {(i - 1)} = \frac {\gamma}{\beta \Delta t} \delta u ^ {(i)} \tag {9}

\delta \ddot {u} ^ {(i)} = \Delta \dot {u} ^ {(i)} - \Delta \dot {u} ^ {(i - 1)} = \frac {1}{\beta (\Delta t) ^ {2}} \delta u ^ {(i)} \tag {10}

따라서, 시각 t + \Delta t 에서의 (i)번째 반복해석시의 변위, 속도, 가속도는 다음과 같이 표현됩니다.

u _ {t + \Delta t} ^ {(i)} = u _ {t + \Delta t} ^ {(i - 1)} + \delta u ^ {(i)} \tag {11}

\dot {u} _ {t + \Delta t} ^ {(i)} = \dot {u} _ {t + \Delta t} ^ {(i - 1)} + \delta \dot {u} ^ {(i)} = \dot {u} _ {t + \Delta t} ^ {(i - 1)} + \frac {\gamma}{\beta \Delta t} \delta u ^ {(i)} \tag {12}

\ddot {u} _ {t + \Delta t} ^ {(i)} = \ddot {u} _ {t + \Delta t} ^ {(i - 1)} + \delta \ddot {u} ^ {(i)} = \ddot {u} _ {t + \Delta t} ^ {(i - 1)} + \frac {1}{\beta (\Delta t) ^ {2}} \delta u ^ {(i)} \tag {13}

시각 t + \Delta t 에서의 (i)번째 반복해석시의 비선형 운동 방정식은 다음과 같습니다.

M \ddot {u} _ {t + \Delta t} ^ {(i)} + C \dot {u} _ {t + \Delta t} ^ {(i)} + f (u) _ {t + \Delta t} ^ {(i)} = p _ {t + \Delta t} \tag {14}

식(14)에 식(12), (13)을 대입하면, 증분변위 \delta u^{(i)} 에 관한 평형방정식은 다음과 같이 표현됩니다.

K _ {E f f} ^ {(i)} \cdot \delta u ^ {(i)} = \Delta p _ {E f f} ^ {(i)} \tag {15}

여기서, K_{Eff} : 유효강성행렬, K_{Eff} = \frac{1}{\beta (\Delta t)^{2}} M + \frac{1}{\beta \Delta t} C + K_{t + \Delta t}^{(i)}

\Delta p_{Eff} : 각 반복해석 단계에서의 유효하중벡터

\Delta p _ {E f f} = p _ {t + \Delta t} - \left(M \ddot {u} _ {t + \Delta t} ^ {(i - 1)} + C \dot {u} _ {t + \Delta t} ^ {(i - 1)} + f _ {t + \Delta t} ^ {(i - 1)}\right)

( )i Kt t   : 비탄성 요소를 포함한 접선강성행렬

( )i  u : 각 반복해석 단계에서의 변위증분벡터

β：Newmark-β 蛭 よ

9-1-2 비선형 정적해석

비선형 시간이력해석에서 질량과 감쇠의 효과를 배제함으로써 비선형 정적해석을수행할 수 있습니다. Time History Load Cases의 Nonlinear Static은 이와 같은 해석기능입니다. 비선형 정적해석은 중력하중에 의한 초기조건을 생성하거나Pushover 해석을 수행하는데 사용할 수 있습니다. 중력하중에 의한 초기조건 생성에 있어서 비선형 정적해석을 수행하면 이 과정에서 발생할 수 있는 비선형 거동을 비선형 시간이력 해석에 반영할 수 있게 됩니다. 따라서 비선형 요소의 상태를판정하는데 있어서 연속적으로 수행되는 하중조건 사이의 정합성을 확보할 수 있습니다. Pushover 해석은 항복이후의 극한내력과 한계상태를 매우 효과적으로 파악할 수 있는 간편한 해석방법입니다. 특히 최근에 지진공학과 내진설계 분야에서많은 연구와 실무 적용이 이루어지고 있는, 성능에 기초한 내진설계(Performance-Based Seismic Design, PBSD)에서 대표적인 해석방법으로 적용되고 있습니다. 이해석은 고차모드의 동적특성의 영향을 받지않는 구조물에 주로 사용할수 있습니다.

비선형 정적해석에서 사용되는 해석방법은 Newton-Raphson법을 기본으로 하며,하중제어 및 변위제어법을 모두 지원합니다. 하중제어는 사용자가 부과한 정적하중을 재하 스텝 수(Increment Steps)로 나누어 재하합니다. 변위제어는 사용자가구조물에서 발생할 수 있는 목표변위를 미리 설정하고 목표변위가 달성될 때까지하중을 증가시키는 방법입니다. 목표변위는 크게 Global Control과 Master NodeControl로 설정할 수 있습니다. Global Control은 구조물에서 발생하는 최대변위가사용자가 입력한 목표변위를 만족할 때까지 하중을 증가시키는 방법입니다. 이 방법은 하중의 방향성과 무관합니다. Master Node Control은 사용자가 특정한 절점을지정하고 그 절점에서 사용자가 지정한 방향에 대한 목표변위를 만족하도록 하중을 증가시키는 방법입니다. 성능에 기초한 내진설계에서는 대부분 최대변위가 발생할 가능성이 있는 절점과 방향을 고려하여 목표변위를 설정합니다.

비선형 정적해석에서는 서로 다른 제어 방법을 가진 하중조건의 연속해석도 가능합니다. 단, 1) 하중제어에 의한 하중조건을 연속으로 해석할 경우와, 2) 변위제어에의한 하중조건 후에, 하중제어에 의한 해석을 수행할 경우, 부적한 결과를 얻을 수있으므로 주의할 필요가 있습니다. 연속해석에 대한 하중조건을 정리하면 다음과같습니다.

 하중 제어  변위 제어 (O)
 하중 제어  하중 제어 (X)
 변위 제어  변위 제어 (O)
 변위 제어  하중 제어 (X)

하중은 시간변동 정적하중(Time Varying Static Load)을 통해 재하되며, 이때 하중함수는 Time History Functions에서 Time Function Data Type을 Normal로 입력합니다. 해석과정에서 하중제어의 경우, 하중계수는 0부터 1까지 선형증가합니다. 변위제어의 경우에는 변위 증분에 따른 하중계수를 자동 계산합니다. 비선형 정적해석에서 하중계수의 시간이력은 저장 및 출력이 가능합니다.

9-1-3 비선형 시간이력해석에서의 초기 단면력의 고려

midas Civil의 비선형 직접적분법에 의한 시간이력해석에서 중력하중에 의한 정적해석 결과를 동적해석의 초기조건으로 반영하는 방법은, 1) 중력하중에 대해 비선형 정적해석을 수행하고 연속해서 시간이력해석을 수행하는 방법과, 2) 중력하중에대한 정적해석 결과를 초기단면력으로 입력하여 시간이력해석 결과에 반영시키는방법이 있습니다.

정적해석 결과를 초기단면력으로 입력하는 경우, 선형해석에서는 입력된 초기단면력을 단순히 시간이력 해석결과와 조합하여 처리 가능합니다. 하지만, 비선형 시간이력해석에서는 입력된 초기단면력을 비선형 요소의 상태판정에 고려하지 않으면,연속적으로 수행되는 하중조건 사이의 정합성을 확보할 수 없습니다. 또한, 부재에발생하는 단면력은 가해지는 외력에 의해 발생하므로, 입력된 초기단면력을 부재내력으로 평형방정식에 그대로 반영하면, 평형조건이 성립되지 않습니다.

midas Civil은 입력된 초기단면력에 대해 가상의 변형을 구하여, 비선형 부재의 상태판정시에 고려하는 방법으로 비선형 시간이력해석을 수행합니다. 단, 동적평형방정식을 구성할 때는 초기단면력은 무시되며, 상세한 해석방법은 다음과 같습니다.(그림 2.9.1 참조)

1. 시간이력해석의 초기증분에 들어가기 전에, 초기강성 K _ { 0 } 를 이용하여, 입력된 초기 단면력에 대해 비탄성 힌지의 가상의 변형 D _ { i n i } 을 구합니다.
   a) 구해진 D _ { i n i } 이 항복변형 이내에 있으면(탄성범위), 입력된 초기 단면력을 그대로 해석에 반영합니다.
   b) 구해진 D _ { i n i } 이 항복변형을 초과한 경우, 이력루틴에서 변형 D _ { i n i } 에 대한 복원력 P _ { i n i } 를 구하여 해석에 반영합니다. 단, D _ { i n i } 와 P _ { i n i } \equiv \bar { \pounds } \supset 증분에서 1회만 구합니다.
2. 동적평형방정식을 풀어, 증분변위 \delta u _ { t + \Delta t } \equivq 구합니다. 단, 초기 단면력은 내력으로 입력되므로, 동적평형방적식을 구성할때는 무시됩니다.
3. 증분변위 \delta u _ { { t + \Delta t } } 을 이용하여, 수치적분법으로 \ddot { u } _ { t + \Delta t } , \dot { u } _ { t + \Delta t } , u _ { t + \Delta t } 을 산출합니다. 변위를 이용하여 비선형 힌지의 변형 D 와 복원력 P 를 구합니다.
4. 비선형 부재의 상태판정을 위해 이력루틴에 들어갑니다. 단, 이력루틴에 들어가기전에 비탄형 힌지의 변형과 부재력은 초기 단면력을 고려하여 다음과 같이 수정됩니다. { \boldsymbol { D } } ^ { * } = { \boldsymbol { D } } \ + \boldsymbol { D _ { i n i } } \ , \ { \boldsymbol { P } } ^ { * } = { \boldsymbol { P } } \ + \boldsymbol { P _ { i n i } } i
5. 이력루틴에서 변형 D ^ { * } 에 의해 강성과 복원력 \overline { P } ^ { * } 을 계산합니다.
6. 비탄성 힌지의 해석결과를 출력합니다.
7. 동적평형방정식을 구성하기 위해서, 변형과 복원력을 다음과 같이 수정합니다. \textit { D } = \boldsymbol { D } ^ { * } - D _ { i n i } , \ \overline { { \boldsymbol { P } } } \ = \overline { { \boldsymbol { P } } } ^ { * } - P _ { i n i }
8. 동적평형방정식을 구성하고, 2.로 돌아가 마직막 시간증분까지 이와 같은해석을 반복합니다.