김경종
10 KiB
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| Category | f |
|---|---|
| unconfined | 0.0 |
| low lateral confinement | 0.0 |
| medium lateral confinement | 0.0 |
| triaxial loading | 0.0 |
그림 2.9.1 응력-변형률 곡선의 횡방향 구속영향
구속 콘크리트 연성의 증가는 아래 식과 같이 Thorenfeldt 곡선의 하강 지점을 선형 보간하여 표현하게 된다.
f _ {j} = - f _ {p} \left(1 - (1 - r) \frac {\alpha_ {j} - \alpha_ {p}}{\alpha_ {u} - \alpha_ {p}}\right) \leq - r f _ {p} \tag {2.9.18}
text_image
α_u α_p f α rf_p f_p
그림 2.9.2 횡 향 구속하의 압축거동
여기서 계수 r은 재료의 잔존 강도(residual strength)를 표현하기 위한 값이다. 압축부에서 극한 변형률은 피크 변형률에 다음과 같은 피크 강도와 압축 강도의 비를 곱하여 결정한다.
\alpha_ {u} = \left(\frac {f _ {p}}{f _ {c c}}\right) ^ {\gamma} \alpha_ {p} \tag {2.9.19}
숫자 γ 는 따로 결정되어야 하지만 여기서는 ‘3’으로 가정되었다. 잔존 강도 또한 피크 강도와 압축 강도의 비에 다음과 같이 영향을 받는다.
r = \left(\frac {f _ {p}}{f _ {c c}}\right) ^ {\gamma} r _ {0} \tag {2.9.20}
잔존강도의 초기 값인 r₀는 여기서 '0.1'로 가정되었다.
만약 피크강도가 압축 강도에 비해 현저히 큰 경우(fp / fcc > 1.05), 선형 압축-연화(compression-softening) 관계식은 Thorenfeldt 곡선에만 적용될 수 있다. 횡 압축과 횡 균열로 인하여 fp / fcc < 1.05 가 되게 되면, 재료의 연성은 증가하지 않는다.
2.9.3 횡방향 균열과 압축거동
균열이 발생한 콘크리트에서 주 압축 방향에 수직으로 발생한 큰 인장 변형률은 콘크리트의 압축 강도를 감소시킨다. 결과적으로 압축 강도 f_{p} 는 내부 변수 \alpha_{j} 의 함수일 뿐만 아니라 횡방향으로 인장 손상(tensile damage)를 야기하게 되는 내부 변수들인 \alpha_{1,1} \alpha_{1,2} 의 함수이기도 하다. 횡 균열에 의한 감소 계수들은 다음과 같다.
\beta_ {\varepsilon c r} = \beta_ {\varepsilon c r} (\alpha_ {l a t}), \quad \beta_ {\sigma c r} = \beta_ {\sigma c r} (\alpha_ {l a t}) \tag {2.9.21}
여기서 평균 횡방향 손상 변수 \alpha_{lat} 는 다음과 같다.
\alpha_ {l a t} = \sqrt {\alpha_ {l , 1} ^ {2} + \alpha_ {l , 2} ^ {2}} \tag {2.9.22}
횡 균열에 의한 감소 관계식은 Vecchio와 Collins ^{12} 가 제안한 다음의 모델을 채용한다.
\beta_ {\sigma c r} = \frac {1}{1 + K _ {c}} \leq 1 \tag {2.9.23}
여기서 K_{c}=0.27\left(-\frac{\alpha_{lat}}{\varepsilon_{0}}-0.37\right) 이며, \beta_{\varepsilon cr}=1 로 본다.
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| x | y | |---|------| | 0 | 1.0 | | 1 | 0.85 | | 2 | 0.75 | | 3 | 0.65 | | 4 | 0.55 | | 5 | 0.45 | | 6 | 0.35 | | 7 | 0.3 | | 8 | 0.25 |그림 2.9.3 횡방향 균열에 의한 감소계수
Part 2 Material Library
Chapter 3. Interface Nonlinearities
3-1 개요
midas FEA에서는 그림 3.1.1과 같이 점요소, 선요소, 면요소 3가지 계면요소(interface element)를 제공한다. 이 때 점요소를 제외한 선요소와 면요소는 고차와 저차요소로 사용이 가능하다.
그림 3.1.1 midas FEA 계면요소
본 매뉴얼에서는 이해의 편의성을 위해 2차원 해석에 대한 수식 전개를 기본으로한다. 또한 첨자 n 은 법선방향을 정의하며, t , s 는 접선방향을 정의한다.계면요소에 발생하는 계면력 벡터(traction vector)는 법선과 접선방향으로 나누어
식 (3.1.1)과 같이 정의된다. 이때 계면력의 단위는 “힘/면적”이며 응력 단위와 같다.
\boldsymbol {t} = \left\{ \begin{array}{l} t _ {n} \\ t _ {t} \end{array} \right\} \tag {3.1.1}
계면요소에 발생하는 상대변위(relative displacement)는 다음과 같으며 단위는 길이이다.
\Delta u = \left\{ \begin{array}{c} \Delta u _ {n} \\ d t \end{array} \right\} \tag {3.1.2}
여기서, 계면력 벡터와 상대변위와의 관계를 선형구성관계로 정의할 때 다음과 같이 나타낼 수 있다.
\left\{ \begin{array}{l} t _ {n} \\ t _ {t} \end{array} \right\} = \left[ \begin{array}{c c} k _ {n} & 0 \\ 0 & k _ {t} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \Delta u _ {n} \\ d t \end{array} \right\} \tag {3.1.3}
여기서,
k _ {n} \quad : \text { 법선방향 벌칙강성(penalty stiffness) } (\text { 단위 }: N / m ^ {3})
k _ {t} \quad : \text { 접선방향 벌칙강성(단위 : } N / m ^ {3})
계면요소에서 비선형 조건은 절점에 적용되므로 가우스 적분법을 사용하면 정확한거동을 표현할 수 없으며 결과값이 계면을 따라 진동하게 된다. midas FEA에서는이를 극복하기 위해 뉴튼-코츠(Newton-Cotes) 적분법을 사용하였다.
위의 초기 연속체 선형구성관계에 의한 계면력 벡터와 상대변위 관계식을 증분형태로 나타내면 다음과 같다.
\boldsymbol {t} = \boldsymbol {D} \Delta \boldsymbol {u} \tag {3.1.4}
여기서,
t : 계면력 벡터
∆u : 상대변위의 증분량
이 때 구성행렬 D 는 식 (3.1.5)와 같다.
\boldsymbol {D} = \left[ \begin{array}{l l} D _ {1 1} & D _ {1 2} \\ D _ {2 1} & D _ {2 2} \end{array} \right] \tag {3.1.5}
3-2 이산균열
text_image
f_n f_t k_n Δu_n
그림 3.2.1 이산균열에서 상대변위와 계면력의 관계
이산균열(discrete cracking)의 구성방정식은 전체 변위를 사용하여 계면력을 정의하는 총 변형이론(total deformation theory)을 기초로 한다. 총 변형이론은 법선 방향과 접선 방향의 비선형 거동을 모두 정의할 수 있으며 이는 식 (3.2.1)과같이 비선형 함수로 정의한다.
t _ {n} = f _ {n} \left(\Delta u _ {n}\right) \tag {3.2.1}
t _ {t} = f _ {t} (d t)
위의 식은 결국 다음과 같이 접선강성계수들을 사용하여 식 (3.2.2)와 같이 정의할수 있다.
\left[ \begin{array}{c c} D _ {1 1} = \frac {\partial f _ {n}}{\partial \Delta u _ {n}} & D _ {1 2} = 0 \\ D _ {2 1} = 0 & D _ {2 2} = \frac {\partial f _ {t}}{\partial d t} \end{array} \right] \tag {3.2.2}
일반적으로 법선 방향 계면력 nt 은 모드-I형식의 균열을 유발하며, 주로 인장 연화관계식에 의해 지배된다. midas FEA에서는 다음과 같이 세 가지 형태의 인장연화 모델을 지원하고 있습니다.
- 취성 균열모델 (brittle cracking model)
- 선형 인장연화모델 (linear tension softening model)
- 비선형 인장연화모델 (nonlinear tension softening model)
3-2-1 취성 균열모델
취성 균열모델은 일반적인 완전취성모델을 사용하였으며 최대응력점 이후 거동을그림 3.2.2와 같이 정의한다.
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tₙ fₜ Δuₙ
그림 3.2.2 취성 균열 거동
\frac {f _ {n} \left(\Delta u _ {n}\right)}{f _ {t}} = \left\{ \begin{array}{l l} 1 & \text { if } \quad \Delta u _ {n} \leq 0 \\ 0 & \text { if } \quad 0 < \Delta u _ {n} < \infty \end{array} \right. \tag {3.2.3}
3-2-2 선형 인장연화모델
선형 인장연화모델은 법선 방향의 균열 응력과 변위와의 관계는 그림 3.2.3과 같이 표현된다.
text_image
t_n f_t G_f^I Δu_n,ult Δu_n
그림 3.2.3 선형 인장 연화 거동
\frac {f _ {n} \left(\Delta u _ {n}\right)}{f _ {t}} = \left\{ \begin{array}{c c} 1 - \frac {\Delta u _ {n}}{\Delta u _ {n , u l t}} & \text { if } 0 < \Delta u _ {n} < \Delta u _ {n, u l t} \\ 0 & \text { if } \Delta u _ {n, u l t} < \Delta u _ {n} < \infty \end{array} \right. \tag {3.2.4}
여기서,
\Delta u _ {n, u l t} \quad := 2 \frac {G _ {f} ^ {I}}{f _ {t}}
G _ {f} ^ {I} \quad : \text { 모드 - 1 파괴 에너지 }
f _ {t} \quad : \text { 인장강도 }
선형 연화모델에서 제하와 재하는 할선접근방법(secant approach)과 탄성접근방법(elastic approach)의 두가지 모델을 제공한다. 할선접근방법은 제하시 원점을지나는 직선의 강성으로 제하되며 원점을 지나서는 초기강성이 복원되는 것으로
가정하는 방법이다. 탄성접근방법은 제하시 바로 초기강성값으로 제하되는 것을가정하는 방법이다.
3-2-3 비선형 인장연화모델
Hordijk, Cornelissen과 Reinhardt는 콘크리트 연화거동을 그림 3.2.4와 같이 지수함수 형태로 나타내었다.
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| Δuₙ | tₙ |
|---|---|
| 0 | fₜ |
| Δuₙ,ult | 0 |
그림 3.2.4 비선형 인장 연화 거동
\frac {f _ {n} \left(\Delta u _ {n}\right)}{f _ {t}} = \left\{ \begin{array}{l l} \left(1 + \left(c _ {1} \frac {\Delta u _ {n}}{\Delta u _ {n , u l t}}\right) ^ {3}\right) \exp \left(- c _ {2} \frac {\Delta u _ {n}}{\Delta u _ {n , u l t}}\right) \\ - \frac {\Delta u _ {n}}{\Delta u _ {n , u l t}} \left(1 + c _ {1} ^ {3}\right) \exp \left(- c _ {2}\right) & \text { if } 0 < \Delta u _ {n} < \Delta u _ {n, u l t} \\ 0 & \text { if } \Delta u _ {n, u l t} < \Delta u _ {n} < \infty \end{array} \right. \tag {3.2.5}