김경종
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4절점 사각형 요소
이 요소는 4 Point Gauss 적분을 이용하므로, 적분에 적용되는 자연좌표계에서 적분점 좌표 P_{i} 는 다음 그림과 같습니다.
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N4 η N3 P4 P3 η = 1/√3 ξ P1 P2 η = -1/√3 N1 ξ = -1/√3 ξ = 1/√3 N2 y x P1 = (-1/√3, -1/√3) P2 = (1/√3, -1/√3) P3 = (1/√3, 1/√3) P4 = (-1/√3, 1/√3)
그림 1.3.13 4절점 평면응력요소의 적분점위치
이 요소의 기하학적 형상함수는 다음 식과 같습니다.
N _ {1} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 - \eta), N _ {2} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 - \eta), N _ {3} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 + \eta), N _ {4} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 + \eta)
이 요소의 적분점 좌표인 P_{i} 를 형상함수에 대입하면 전체좌표계에서 적분점의 좌표를 구할 수 있습니다. 예를 들어 첫 번째 적분점 좌표 P_{1} 에 대한 전체좌표계에서 x 좌표를 구하면 다음과 같습니다.
x _ {p 1} = \sum_ {i = 1} ^ {4} N _ {i} x _ {i} = \frac {1}{6} \left[ (2 + \sqrt {3}) x _ {1} + x _ {2} + (2 - \sqrt {3}) x _ {3} + x _ {4} \right]
같은 방법으로 각 적분점에 대해 전체좌표계에서 좌표를 구하면 다음과 같습니다.
x _ {p} = \frac {1}{6} \left[ \begin{array}{c c c c} 2 + \sqrt {3} & 1 & 2 - \sqrt {3} & 1 \\ & 2 + \sqrt {3} & 1 & 2 - \sqrt {3} \\ & & 2 + \sqrt {3} & 1 \\ \text {symmetry} & & & 2 + \sqrt {3} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{c} x _ {1} \\ x _ {2} \\ x _ {3} \\ x _ {4} \end{array} \right\}
y _ {p} = \frac {1}{6} \left[ \begin{array}{c c c c} 2 + \sqrt {3} & 1 & 2 - \sqrt {3} & 1 \\ & 2 + \sqrt {3} & 1 & 2 - \sqrt {3} \\ & & 2 + \sqrt {3} & 1 \\ \text {symmetry} & & & 2 + \sqrt {3} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{c} y _ {1} \\ y _ {2} \\ y _ {3} \\ y _ {4} \end{array} \right\}
3-6-5 응력계산법(Extrapolation)
3절점 삼각형 요소의 경우 1 Point Gauss 적분을 하므로 모든 절점에 대해 적분점에서 계산된 응력을 동일하게 적용합니다.
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ξ = -1 η = 1 ξ = 1 η = 1 t = 1 η = -1 ξ = -1 s = -1 s = 1 ξ = 1 η t = -1 η = -1 ξ = 1
그림 1.3.14 4절점 평면응력요소에 대한 적분점에서 응력에 대한 외삽법
4절점 사각형 요소의 경우 각 적분점은 요소좌표계의 좌표절점과 다음과 같은 관계를 갖습니다.
s = \xi \sqrt {3}, t = \eta \sqrt {3}
요소 내부의 특정 위치에서 응력은 형상함수를 이용하여 구할 수 있습니다.
\sigma_ {N} = \sum N _ {i} \sigma_ {i} \quad i = 1, 2, 3, 4
예를 들어 절점 1에서 응력을 계산하면 다음과 같습니다.
\begin{array}{l} \sigma_ {N 1} = \sum_ {i = 1} ^ {4} N _ {i} \sigma_ {i} = \frac {1}{4} \left[ (1 + \sqrt {3}) (1 + \sqrt {3}) \sigma_ {1} + (1 - \sqrt {3}) (1 + \sqrt {3}) \sigma_ {2} \right. \\ \left. + (1 - \sqrt {3}) (1 - \sqrt {3}) \sigma_ {3} + (1 + \sqrt {3}) (1 - \sqrt {3}) \sigma_ {4} \right] \\ = \frac {1}{4} \left[ (4 + 2 \sqrt {3}) \sigma_ {1} - 2 \sigma_ {2} + (4 - 2 \sqrt {3}) \sigma_ {3} - 2 \sigma_ {4} \right] \\ \end{array}
같은 방법으로 각 절점에서 응력을 구하면 다음과 같습니다.
\left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {N 1} \\ \sigma_ {N 2} \\ \sigma_ {N 3} \\ \sigma_ {N 4} \end{array} \right\} = \frac {1}{2} \left[ \begin{array}{c c c c} 2 + \sqrt {3} & - 1 & 2 - \sqrt {3} & - 1 \\ & 2 + \sqrt {3} & - 1 & 2 - \sqrt {3} \\ & & 2 + \sqrt {3} & - 1 \\ & & & 2 + \sqrt {3} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {1} \\ \sigma_ {2} \\ \sigma_ {3} \\ \sigma_ {4} \end{array} \right\}
3-6-6 요소내력 출력내용
평면응력요소의 요소내력 및 응력은 다음과 같이 출력되며 부호와 방향은 요소좌표계 또는 전체좌표계를 따릅니다. 여기서는 요소좌표계를 기준으로 설명합니다.
■ 연결절점에서의 요소내력 출력
■연결절점과 요소중심에서 요소응력 출력
연결절점에서의 요소내력은 절점에서 산출된 각 성분별 변위와 해당요소 강성성분을 곱한 값으로 출력됩니다. 연결절점과 요소중심에서의 응력은 요소내의 적분점(Gauss Point)에서 연산된 응력을 이용하여 외삽법(Extrapolation)에 의해 산출됩니다.
▪ 요소내력의 출력
요소내력의 출력치에 대한 부호규약은 그림 1.3.15와 같고, 화살표방향이 양 (+)의 방향을 의미합니다.
요소응력의 출력
요소응력의 출력치에 대한 부호규약은 그림 1.3.16과 같고, 화살표방향이 양(+)의 방향을 의미합니다.
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Fx4 Fy4 N4 Fx1 N1 Center of Element z y x N3 Fy3 Fx3 N2 Fx2 Fy2
(a) 사각형요소의 절점내력
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F_{x1} F_{y1} N1 Center of Element F_{x2} F_{y2} N2 F_{y2} N3 F_{y3} F_{x3} F_{y3} (b) 상각현 요소의 적절내력
(b) 삼각형요소의 절점내력
그림 1.3.15 평면응력요소의 연결절점에서의 내력출력치 부호규약
※ 요소응력의 출력은 요소좌표계를 따르며 화살표 방향이 양(+)의 방향을 의미한다.
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σy τxy y x τxy σx τxy τxy σx σy
(a) 축응력 및 전단응력 성분
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σ₂ y 1 2 θ x σ₁ σ₁ σ₂
(b) 주응력 성분
\sigma _ { x } : Axial stress in the ECS x - direction
\sigma _ { x } : Axial stress in the ECS y - direction
\tau _ { x y } : Shear stress in the ECS x - y plane
\sigma _ { I } : Maximum principal stress = \displaystyle \frac { \sigma _ { x } + \sigma _ { y } } { 2 } + \sqrt { \left( \displaystyle \frac { \sigma _ { x } - \sigma _ { y } } { 2 } \right) ^ { 2 } + \tau _ { x y } ^ { 2 } }
\sigma _ { 2 } : Minimum principal stress = \displaystyle \frac { \sigma _ { x } + \sigma _ { y } } { 2 } - \sqrt { \left( \displaystyle \frac { \sigma _ { x } - \sigma _ { y } } { 2 } \right) ^ { 2 } + \tau _ { x y } ^ { 2 } } 2xy+τ
\tau _ { x y } : Maximum shear stress = \sqrt { \left( \frac { \sigma _ { x } - \sigma _ { y } } { 2 } \right) ^ { 2 } + \tau _ { x y } ^ { 2 } } 2 xy+τ
:θ Angle between the x - axis and the principal axis,1
\sigma _ { e f f } : von - Mises Stress = \sqrt { ( { \sigma } _ { I } ^ { 2 } - { \sigma } _ { I } { \sigma } _ { 2 } + { \sigma } _ { 2 } ^ { 2 } ) }
그림 1.3.16 평면응력요소의 응력출력위치 및 출력치의 부호규약
3-7 평면변형요소 (2D Plane Strain Element)
3-7-1 일반사항
이 요소는 댐(Dam) 또는 터널(Tunnel) 등과 같이 일정한 단면을 유지하면서 길이가 긴 구조물의 해석에 사용될 수 있으며, 등매개 평면변형이론(Isoparametric Plane Strain Formulation with Incompatible Modes)을 근거로 개발되었습니다.
이 요소는 다른 종류의 요소와 훈용할 수 없으며 요소의 특성상 선형정적해석에만적용 가능합니다.
midas Civil에서는 요소가 X-Z 평면상에 위치하도록 입력되며 요소의 두께는 그림 1.3.17과 같이 1.0(단위 폭)으로 자동 고려됩니다.
이 요소는 평면변형적 특성을 근거로 하기 때문에 두께방향 변형율성분은 존재하지 않으며, 두께방향의 응력성분은 Poisson Effects에 의해 존재하는 것으로 가정합니다.
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Z Y 1.0(Unit thickness) X Plane strain elements
그림 1.3.17 2차원 평면변형요소의 두께
3-7-2 요소자유도 및 요소좌표계
midas Civil에서 평면변형요소의 요소좌표계는 프로그램 내부에서 요소강성행렬을계산하거나, 후처리 모드(Post-processing Mode)에서 사용자가 요소좌표계를 기준으로 응력성분을 도화처리할 때 사용됩니다.
요소자유도는 전체좌표계를 기준으로 X, Z방향의 변위자유도만을 가지게 됩니다.
요소좌표계는 오른손법칙에 준한 x, y, z축의 직교좌표계를 따르며, 요소좌표계의 방향은 그림 1.3.18과 같이 설정됩니다.
사각형요소의 경우는 연결절점의 입력순서대로 오른손법칙에 따라 회전할 때(N1→N2→N3→N4) 요소중심에서 요소면의 수직방향으로 엄지손가락 방향이 요소좌표계 z축이 됩니다. 그리고 요소좌표계 x축 방향은 N1과 N4를 잇는 선분의 중심에서 N2와N3을 잇는 선분의 중심까지 직선으로 연결할 때 그 직선의 진행방향이 되며, 요소평면상에서 오른손 좌표계를 기준으로 x축과 수직을 이루는 축이 요소좌표계 y축이 됩니다.
삼각형요소의 경우는 면의 중심점에서 N1부터 N2로 진행하는 방향이 요소좌표계의x방향이 되고, 나머지 y, z축 방향은 사각형요소의 경우와 동일합니다.
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ESC y-axis (perpendicular to ESC x-axis in the element plane) F Fx3 N3 Node numbering order for creating the element (N1→N2→N3→N4) ECS x-axis (N1 to N2 direction) Center of Element ECS z-axis (normal to the element surface, out of the paper) Fx1 N1 Fz1 N2 Fx2 Fz2 Z GCS X
(a) 사각형요소
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ECS y-axis (perpendicular ECS x- axis in the element plane Node numbering order for creating the element (N1→N2→N3) ECS z-axis (normal to the element surface, out of the paper) Center of Element ECS x-axis (N1 to N2 direction) Z X
(b) 삼각형요소
그림 1.3.18 평면변형요소의 배치 및 요소좌표계, 절점내력
3-7-3 요소관련 기능
| Create Elements | 요소 입력 |
| Material | 재료적 성질 입력 |
| Pressure Loads | 요소의 변에 수직방향으로 압력하중 입력 |
평면변형요소의 압력하중은 그림 1.3.19와 같이 각 변에 수직방향으로 입력되며, 압력하중의 작용면적은 그림 1.3.17과 같이 단위폭(1.0)만큼 자동 고려됩니다.
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P1 P2 N4 edge number 3 N3 P2 edge number 4 edge number 2 N1 N2 P1 P2 Z GCS X P1 P2
그림 1.3.19 평면변형요소의 압력하중
3-7-4 적분점
3절점 삼각형 요소
이 요소는 1 Point Gauss 적분을 이용하므로, 적분에 적용되는 자연좌표계에서 적분점 좌표는 (1/3, 1/3) 입니다.
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N3 η P = (1/3, 1/3) N1 ξ N2 z x
그림 1.3.20 3절점 평면변형률요소의 적분점위치
이 요소의 기하학적 형상함수는 N_{1}=1-\xi-\eta , N_{2}=\xi , N_{3}=\eta 이므로 요소내 특정 위치에서의 좌표값은 형상함수를 이용하여 다음 식과 같이 구할 수 있습니다.
x _ {p} = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} x _ {i}, z _ {p} = \sum_ {i} ^ {N} N _ {i} z _ {i}
이 요소의 적분점 좌표인 \xi=1/3 , \eta=1/3 을 형상함수에 대입하면 전체좌표계에서 적분점의 좌표를 구할 수 있습니다.
x _ {p} = \sum_ {i = 1} ^ {3} N _ {i} x _ {i} = \left(1 - \frac {1}{3} - \frac {1}{3}\right) x _ {1} + \frac {1}{3} x _ {2} + \frac {1}{3} x _ {3} = \frac {1}{3} \left(x _ {1} + x _ {2} + x _ {3}\right)
z _ {p} = \frac {1}{3} \left(z _ {1} + z _ {2} + z _ {3}\right)