김경종
18 KiB
이 매우 중요합니다.
질량성분은 절점당 6개의 자유도성분에 따라 일반적으로 이동질량성분(Translational Masses) 3개와 회전질량성분(Rotational Mass Moment of Inertia) 3개로입력됩니다. 여기서 회전질량성분은 회전질량관성에 기인한 것으로 내진설계에서는 지진이 선방향 지진가속도로 가해지기 때문에 동적응답에 직접적인 영향을 미치지는 않으나, 구조물이 비정형일 때(질량중심과 강성중심이 일치하지 않을 때)는모드형상을 일부 변형시킴으로써 동적응답에 간접적인 영향을 미치게 됩니다. 질량성분은 다음과 같이 계산됩니다. (표 2.3.1 참조)
- 이동질량성분
\int d m
- 회전질량관성모멘트
\int r ^ {2} d m
여기서, r은 전체 무게중심에서 해당 미소질량성분 중심까지의 거리
질량의 입력단위계는 중량을 중력가속도로 나눈 단위([중량(시간2 /길이)])와 같으며회전질량관성모멘트의 단위계는 질량에 길이단위의 제곱을 곱한 단위([중량(시간2 /길이)길이2 ])와 같습니다. 예를 들면 MKS 또는 English 단위계를 사용할 경우에는중량에 중력가속도를 나눈 값을 질량으로 입력해야 하며, SI 단위계를 사용할 경우에는 MKS 단위계에서 사용되는 중량치를 그대로 질량으로 입력합니다. 그리고 탄성계수나 하중을 입력할 때는 MKS 단위계에서 사용되는 값에 중력가속도를 곱하여 입력하면 됩니다.
midas Civil에서는 해석작업의 효율성을 고려하여 집중질량(Lumped Mass)을 사용하고 있습니다. 질량데이터는 Main Menu의 Load탭>Load Type그룹>Static Loads>Structure Loads/Masses그룹>Nodal Masses 또는 Loads to Masses 기능을 이용하여 입력됩니다.
midas Civil에서 사용된 고유치 해석방법은 Subspace Iteration Method와 대형 구조물의 해석에 적합한 Lanczos Method가 있습니다.
| Shape | Translation Mass | Rotational Mass Moment of Inertial |
Rectangular Shape | $M = \rho bd$ | $I_m = \rho \left( \frac{bd^3}{12} + \frac{db^3}{12} \right)$ $= \frac{M}{12} \left( b^2 + d^2 \right)$ |
Triangular Shape | $M = \rho \times \text{area of triangle}$ | $I_m = \rho \left( I_x + I_y \right)$ |
Circular Shap | $M = \rho \left( \frac{\pi d^2}{4} \right)$ | $I_m = \rho \left( \frac{\pi d^4}{32} \right)$ |
General Shape | $M = \rho \times \int dA$ | $I_m = \rho \left( I_x + I_y \right)$ |
Linear Shape | $\rho_L = \text{mass per unit length}$ $M = \rho_L \times L$ | $I_m = \rho_L \left( \frac{L^3}{12} \right)$ |
Eccentric Mass | eccentric mass : mM = m | rotational mass moment of inertia about its mass center : $I_o$ $I_m = I_o + mr^2$ |
표 2.3.1 질량데이터의 산정방법
3-2 Ritz벡터 해석
Ritz 벡터 해석은 구조물의 동적 특성을 나타내는 고유진동수와 모드형상을 구하는 방법으로써 이렇게 구해진 고유진동수와 모드형상은 구조물의 동적 특성을 표현하는데 있어서 고유벡터 해석에 의한 것보다 효율적인 것으로 알려져 있습니다. 이 방법은 다자유도 구조물의 모드 형상을 가정하여 단자유도 구조물로 치환한 뒤고유진동수를 구하는 Rayleigh-Ritz 방법을 확장한 것입니다.
먼저 n 자유도의 구조물 운동방정식에서 변위 벡터가 다음과 같이 p개의 Ritz Vector의 조합으로 표현된다고 가정합니다. 이 때 p는 n보다 작거나 같습니다.
M \ddot {u} (t) + C \dot {u} (t) + K u (t) = p (t) \tag {6}
u (t) = \sum_ {i = 1} ^ {p} \psi_ {i} z _ {i} (t) = \Psi z (t) \tag {7}
여기서 M : 구조물의 질량행렬
C : 구조물의 감쇠행렬
K : 구조물의 강성행렬
u(t) : n자유도 구조물의 변위 벡터
z(t) : 일반화 좌표(Generalized Coordinate) 벡터
p(t) : 동적 하중 벡터
\psi_{i} : i번째 Ritz 벡터
z_{i}(t) : i 번째 일반화 좌표
\Psi=\left[\psi_{I}\cdots\psi_{i}\cdots\psi_{p}\right]^{T} : Ritz 벡터 행렬
위 가정에 의해서 n자유도의 운동방정식은 다음과 같이 p자유도의 운동방정식으로 축소됩니다.
\tilde {M} \ddot {z} (t) + \tilde {C} \dot {z} (t) + \tilde {K} z (t) = \tilde {p} (t) \tag {8}
여기서, \tilde{M}=\Psi^{T}M\Psi : 축소된 운동방정식의 질량행렬
\tilde{C}=\Psi^{T}C\Psi : 축소된 운동방정식의 감쇠행렬
\tilde {K} = \Psi^ {T} K \Psi \quad : \text { 축소된 운동방정식의 질량행렬 }
\tilde {p} (t) = \Psi^ {T} p (t) \quad : \text { 축소된 운동방정식의 동적하중 벡터 }
축소된 운동방정식에 대해서 다음과 같은 고유치 문제를 구성하고 해석을 수행합니다.
\tilde {K} \tilde {\varphi} _ {i} = \tilde {\omega} _ {i} ^ {2} \tilde {M} \tilde {\varphi} _ {i} \tag {9}
여기서, \tilde{\varphi}_{i} : 축소된 운동방정식의 모드 형상
\tilde{\omega}_{i} : 축소된 운동방정식의 고유진동수
위 고유치 문제의 해를 이용하면 고전적 감쇠행렬을 가정할 때 축소된 운동방정식을 다음과 같이 각 모드의 단자유도 운동방정식으로 분리할 수 있습니다.
\ddot {q} _ {i} (t) + 2 \xi_ {i} \tilde {\omega} _ {i} \dot {q} _ {i} (t) + \tilde {\omega} _ {i} ^ {2} q (t) = \frac {\Psi^ {T} \tilde {p} _ {i} (t)}{\Psi^ {T} M \Psi} \tag {10}
z (t) = \sum_ {i = 1} ^ {p} \tilde {\varphi} _ {i} q _ {i} (t) \tag {11}
여기서, q_{i}(t) : i번째 모드 좌표
\xi_{i} : i번째 모드 감쇠비
축소된 운동방정식의 고유치 해석해 \tilde{\omega}_{i} 는 원래 운동방정식의 고유진동수에 대한 근사해를 의미합니다.
\omega_ {i} = \tilde {\omega} _ {i} \tag {12}
여기서, \omega_{i} : i번째 모드형상의 근사해
구조물의 모드형상은 운동방정식의 변위벡터와 모드좌표 사이의 사상(寫像; Mapping) 관계를 정의해주는 벡터입니다. 따라서 Ritz 벡터 해석에 의한 근사적 모드 형상은 원래 운동방정식의 변위 벡터 u(t) 와 모드좌표 q_{i}(t) 사이의 관계식에 의해 정의되며 그 식은 다음과 같습니다.
u (t) = \Psi z (t) = \sum_ {i = 1} ^ {p} \left[ \Psi \tilde {\varphi} _ {i} \right] q _ {i} (t) \tag {13}
따라서 i 번째 모드형상의 근사해는 다음과 같이 정의됩니다.
\varphi_ {i} = \Psi \tilde {\varphi} _ {i} \tag {14}
여기서 φi : i번째 모드형상의 근사해
Ritz 벡터 해석에 의한 근사적 모드형상 벡터는 고유치해석에 의한 것과 마찬가지로 원래의 질량 및 강성행렬에 대하여 직교성(Orthogonality)을 갖습니다.
Ritz 벡터 해석에 의한 고유진동수와 모드형상의 근사해는 일반 고유치해석의 해와 마찬가지로 모드기여계수(Modal Participation Factor)와 모드별 유효질량(Effective Modal Mass)의 계산에 사용됩니다.
Ritz 벡터 해석 결과를 기초로 모드중첩법에 의한 시간이력해석을 수행하는 경우에는 상기 모드 운동방정식 (10)을 사용합니다.
구조물의 변형형상을 가정하는 Ritz 벡터는 일반적으로 구조물에 가해지는 하중에대한 변위를 반복적으로 계산하여 생성하게 됩니다.
먼저 사용자가 초기하중벡터(Initial Load Vector)를 선정합니다. 여기서 기본가정은동적하중이 시간에 따라 변화하지만 각 자유도별 분포는 사용자가 지정한 초기하중벡터를 따른다는 것입니다. 다음으로는 선정된 초기하중벡터에 대해서 일차적으로 정적 해석을 수행하여 첫번째 Ritz 벡터를 구합니다.
K \psi^ {(1)} = r ^ {(1)}
\psi^ {(1)} = K ^ {- 1} r ^ {(1)}
여기서, K : 구조물의 강성행렬
(1) ψ : 첫번째 Ritz 벡터
(1) r : 사용자 지정 초기하중벡터
이렇게 해서 얻어진 첫번째 Ritz 벡터를 구조물의 변위로 가정합니다. 그러나 위의정적해석은 구조물의 동적 응답에 의해서 발생하는 관성력의 영향을 무시하고 있습니다. 따라서 추가적인 반복계산을 통해 관성력에 의한 변위를 계산하게 됩니다.먼저 구조물의 가속도 분포는 앞서 계산된 변위벡터, 즉 첫번째 Ritz 벡터를 따른다고 가정합니다. 따라서 가속도에 의해 발생하는 관성력은 질량벡터를 곱해서 계산되며, 이 관성력이 구조물에 추가적인 변위를 발생시키는 하중으로 작용한다고가정하여 다시 정적해석을 수행합니다.
K \psi^ {(2)} = M \psi^ {(1)}
\psi^ {(2)} = K ^ {- 1} M \psi^ {(1)}
여기서, M : 구조물의 질량행렬
( 2 ) ψ : 두번째 Ritz 벡터
이렇게 해서 얻어진 두번째 Ritz 벡터 역시 정적평형(Static Equilibrium)만을 나타내는 위 식에서 고려되지 못한 가속도 분포를 나타낸다고 가정하여 상기 과정을 반복하면서 사용자가 지정한 개수만큼의 Ritz 벡터를 계산합니다.
사용자는 복수의 초기하중벡터를 지정할 수 있으며 각각에 대해서 생성할 Ritz 벡터의 개수를 개별적으로 지정할 수 있습니다. 단, 생성할 Ritz 벡터의 전체 개수는구조물 운동방정식에 존재하는 실제 모드 개수를 넘을 수 없습니다. 또한 반복과정에서 이미 생성된 Ritz 벡터에 대해서 선형종속(Linearly Dependent)인 Ritz 벡터가 계산되면 이를 삭제하게 됩니다. 이 때문에 더 이상 선형독립(LinearlyIndependent)인 Ritz벡터가 계산될 수 없으면 반복과정을 종료하게 되고, 이는 사용자가 지정한 초기하중벡터만으로는 지정한 개수만큼의 모드를 구할 수 없음을의미합니다.
midas Civil에서 사용자가 선정할 수 있는 초기하중벡터는 전체좌표계 X, Y 및 Z
방향 지반가속도에 의한 관성력, 사용자가 입력한 모든 정적하중 조건(Static LoadCase), 비선형 연결요소의 부재력 벡터(Nonlinear Link Force Vector)입니다.
전체좌표계 X, Y 및 Z 방향 지반가속도에 의한 관성력은 주로 해당 방향의 지반가속도에 발생하는 변위에 관련된 Ritz 벡터를 구하기 위해 사용됩니다.
사용자 입력 정적하중 조건은 특정한 분포를 갖는 동적하중에 대한 Ritz 벡터를구하고자 할 때에 사용합니다. 통상적인 정적하중 조건(고정하중, 적재하중, 풍하중등)을 사용하거나 Ritz 벡터 생성을 위한 목적으로 인위적인 정적하중 조건을 만들어 사용할 수 있습니다.
비선형 연결요소의 부재력 벡터는 각 비선형 연결요소에서 발생하는 부재력의 구조물에 대한 영향을 반영하는 Ritz 벡터를 생성하기 위한 것입니다. 요소가 가진6개의 변위 자유도 가운데 사용자가 체크한 것에 대해서만 개별적으로 단위 힘을갖는 초기하중벡터를 구성하여 Ritz 벡터 생성에 이용합니다. (그러나 비선형 연결요소를 포함한 구조물의 해석에 있어서 반드시 이를 이용해야 하는 것은 아니며,사용자의 판단에 따라 주어진 해석조건 하의 구조물 변형형상을 충분히 반영할 수있는 초기하중벡터를 선정합니다.)
고유치해석과 비교할 때에 Ritz 벡터 해석의 장점은 다음과 같습니다.
Ritz 벡터는 적은 수의 모드를 계산하더라도 실제 하중에 대한 정적해석 해에 기초하기 때문에 그 안에 고차모드의 영향이 자동적으로 반영되어 있습니다. 예를들어서 Ritz 벡터 해석에 의해 구해진 1차 모드의 모드형상과 고유치해석에 의해구해진 1차 모드의 모드형상의 차이는 전자에 반영된 고차모드의 성분을 의미한다고 할 수 있습니다. 또한 구조물에 작용하는 하중에 의해 가진 되는 모드형상만이구해지므로 불필요한 모드의 계산이 배제됩니다.
이상과 같은 원리로 Ritz 벡터 해석은 정확한 해석 결과를 얻기 위해 필요한 모드의 개수를 줄여줍니다. 예를 들면, 특정한 모드별 유효질량의 합계를 확보하기 위해 필요로 하는 모드의 개수는 일반적으로 Ritz 벡터 해석의 경우가 고유치해석의경우보다 적은 것으로 알려져 있습니다.
Chapter 4. 감쇠의 고려
4-1 감쇠의 개요
동적해석에서 구조물의 감쇠는 크게 다음과 같이 분류할 수 있습니다.
▪ 비례 감쇠
질량비례형
강성비례형
Rayleigh 형
Caughey 형
■ 비비례 감쇠
에너지 비례형
■ 요소별 감쇠
점성감쇠 (Voigt 형태, Maxwell 형태)
이력형감쇠
마찰감쇠
내부마찰 감쇠(재료감쇠)
외부마찰 감쇠
미끌림 마찰감쇠
일산감쇠
동적해석에서 구조물의 감쇠는 운동 방정식을 구성하는 감쇠행렬을 강성과 질량의 비율로 표현할 수 있는지의 여부에 따라서, 크게 비례 감쇠(Proportional Damping)와 비비례 감쇠(Non-proportional Damping)로 분류할 수 있습니다.
비비례 감쇠는 구조물의 부분별로 서로 다른 감쇠특성을 갖는 재질을 사용하거나
부가적인 감쇠장치가 도입된 경우에 구조물을 구성하는 각각의 감쇠기구를 별개로평가하여 각 부분의 감쇠모델로부터 감쇠행렬을 구성하는 방법입니다. 그러나, 실제 구조물에 있어서 감쇠문제는 매우 복잡하여 세부적인 감쇠 매카니즘을 파악하기 곤란한 경우가 많습니다.
따라서, 진동해석에서는 고유진동해석으로부터 얻어진 주요한 모드성분의 감쇠 성질을 적절히 표현하여 얻어진 비례감쇠로 감쇠행렬을 가정하는 경우가 일반적입니다. 비례감쇠는 ‘고전적감쇠(Classical Damping)’라고도 불리우며, 고유모드행렬을감쇠행렬 좌우에 곱하였을 때 대각성분만을 갖는 행렬을 구할 수 있으므로 모드별로 감쇠비를 분리할 수 있습니다.
한편, 비비례 감쇠 특성을 고려하는 경우, 모드별로 감쇠비를 분리할 수 없으므로구조물의 고유치 해석을 통해 얻어지는 모드 형상에 기초하여 변형율 에너지 개념을 도입하여 모드별 감쇠비를 구할 수 있습니다.
midas Civil에서 감쇠방법은 응답 스펙트럼 해석에서는 Response Spectrum LoadCases에서 설정하며, 시간이력 해석에서는 Time History Load Cases에서 설정합니다. 동적해석의 해석방법에 따라서, 설정가능한 감쇠방법은 다음과 같습니다.
응답 스펙트럼 해석 및 모드중첩법에 의한 시간이력해석의 감쇠설정
Modal
Mass & Stiffness Proportional (질량비례형, 강성비례형, Rayleigh형 감쇠)
Strain Energy Proportional
직접 적분법에 의한 시간이력해석의 감쇠설정
Modal
Mass & Stiffness Proportional (질량비례형, 강성비례형, Rayleigh형 감쇠)
Strain Energy Proportional
Element Mass & Stiffness Proportional (Rayleigh형 감쇠)
또한, 범용연결요소에 선형점성 감쇠인 Damping 혹은 Effective Damping을 설정하여 구조물에 부가적으로 설치되는 선형감쇠기(Kelvin Model)의 모델링도 가능합니다. 단, 범용연결요소의 선형 점성감쇠는 응답 스펙트럼 해석 및 모드중첩법에 의한 해석인 경우, 감쇠방법을 Strain Energy Proportional로 선택한 경우만 모드별 감쇠비에 반영되어 간접적으로 적용됩니다. 직접적분법에 의한 시간이력해석인 경우,감쇠방법을 Mass & Stiffness Proportional 혹은 Element Mass & StiffnessProportional로 설정한 경우에 요소감쇠행렬을 통해서 해석에 직접적으로 반영되며,Strain Energy Proportional인 경우는 모드별 감쇠비에 반영되어 간접적으로 적용됩니다.
다음은 모드중첩법과 직접적분법에서의 감쇠의 고려방법에 대해 설명합니다. 구조물의 운동방정식은 다음과 같이 구성됩니다.
M \ddot {u} (t) + C \dot {u} (t) + K u (t) = p (t) \tag {1}
여기서, M : 질량행렬
C : 감쇠행렬
K : 강성행렬
u t( ) , u t ( ) , u t ( ) : 절점의 변위, 속도, 가속도
p ( )t : 동적하중
응답 스펙트럼 해석 및 모드중첩법에 의한 진동해석의 개념은 식 (1)을 모드의 직교성을 이용하여 모드 분해하여 식(2)와 같이 모드 분해된 각 모드의 운동 방정식의 해를 중첩하여 해석합니다. 따라서, 고유치해석이 필수적으로 선행되어야 합니다.
\ddot {q} _ {i} (t) + 2 \xi_ {i} \omega_ {i} \dot {q} _ {i} (t) + \omega_ {i} ^ {2} q (t) = \frac {\phi_ {i} ^ {T} p (t)}{\phi_ {i} ^ {T} M \phi_ {i}} \tag {2}
여기서, i : i-번째 모드의 모드형상 벡터
i : i -번째 모드의 감쇠비