김경종
14 KiB
\mathbf {B} _ {a} = \left[ \begin{array}{c c c} \frac {\partial P _ {1}}{\partial x} & 0 & 0 \\ 0 & \frac {\partial P _ {1}}{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & \frac {\partial P _ {1}}{\partial z} \\ \frac {\partial P _ {1}}{\partial y} & \frac {\partial P _ {1}}{\partial x} & 0 \\ 0 & \frac {\partial P _ {1}}{\partial z} & \frac {\partial P _ {1}}{\partial y} \\ \frac {\partial P _ {1}}{\partial z} & 0 & \frac {\partial P _ {1}}{\partial x} \end{array} \right] \tag {1.8.16}
8절점 6면체
\mathbf {u} _ {a} = \left\{a _ {1} \quad b _ {1} \quad c _ {1} \quad a _ {2} \quad b _ {2} \quad c _ {2} \quad a _ {3} \quad b _ {3} \quad c _ {3} \right\} ^ {T} \tag {1.8.17}
u = \sum_ {i = 1} ^ {8} N _ {i} u _ {i} + a _ {1} P _ {1} + a _ {2} P _ {2} + a _ {3} P _ {3} \quad v = \sum_ {i = 1} ^ {8} N _ {i} v _ {i} + b _ {1} P _ {1} + b _ {2} P _ {2} + b _ {3} P _ {3},
w = \sum_ {i = 1} ^ {8} N _ {i} w _ {i} + c _ {1} P _ {1} + c _ {2} P _ {2} + c _ {3} P _ {3} \tag {1.8.18}
P _ {1} = 1 - \xi^ {2}, P _ {2} = 1 - \eta^ {2}, P _ {3} = 1 - \zeta^ {2} \tag {1.8.19}
\mathbf {B} _ {a} = \left[ \begin{array}{c c c c c c c c c} \frac {\partial P _ {1}}{\partial x} & 0 & 0 & \frac {\partial P _ {2}}{\partial x} & 0 & 0 & \frac {\partial P _ {3}}{\partial x} & 0 & 0 \\ 0 & \frac {\partial P _ {1}}{\partial y} & 0 & 0 & \frac {\partial P _ {2}}{\partial y} & 0 & 0 & \frac {\partial P _ {3}}{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & \frac {\partial P _ {1}}{\partial z} & 0 & 0 & \frac {\partial P _ {2}}{\partial z} & 0 & 0 & \frac {\partial P _ {3}}{\partial z} \\ \frac {\partial P _ {1}}{\partial y} & \frac {\partial P _ {1}}{\partial x} & 0 & \frac {\partial P _ {2}}{\partial y} & \frac {\partial P _ {2}}{\partial x} & 0 & \frac {\partial P _ {3}}{\partial y} & \frac {\partial P _ {3}}{\partial x} & 0 \\ 0 & \frac {\partial P _ {1}}{\partial z} & \frac {\partial P _ {1}}{\partial y} & 0 & \frac {\partial P _ {2}}{\partial z} & \frac {\partial P _ {2}}{\partial y} & 0 & \frac {\partial P _ {3}}{\partial z} & \frac {\partial P _ {3}}{\partial y} \\ \frac {\partial P _ {1}}{\partial z} & 0 & \frac {\partial P _ {1}}{\partial x} & \frac {\partial P _ {2}}{\partial z} & 0 & \frac {\partial P _ {2}}{\partial x} & \frac {\partial P _ {3}}{\partial z} & 0 & \frac {\partial P _ {3}}{\partial x} \end{array} \right] \tag {1.8.20}
1-8-3 하중과 질량
입체요소에 적용되는 하중은 체적력(body force), 압력하중(pressure load), 온도하중(thermal load), 프리스트레스하중(prestress load) 등이 있다. 체적력은 요소의 자중이나 관성력을 표현하고자 하는 하중이고, 압력하중은 요소의 면에 가해지는 분포하중이다. 온도하중에는 절점온도, 요소온도 하중이 있다.
- 체적력
\mathbf {F} _ {i} = \int_ {V _ {e}} N _ {i} \left\{ \begin{array}{l} \omega_ {x} \\ \omega_ {y} \\ \omega_ {z} \end{array} \right\} d V \tag {1.8.21}
여기서,
\omega_ {x}, \omega_ {y}, \omega_ {z} \quad : \text { 단위 체적당 자중(방향별) }
- 압력하중
\mathbf {F} _ {i} = \int_ {A _ {e}} N _ {i} \left\{ \begin{array}{l} P _ {x} \\ P _ {y} \\ P _ {z} \end{array} \right\} d A \tag {1.8,22}
여기서,
P _ {x}, P _ {y}, P _ {z} \quad : \text { 단위 면적당 하중(방향별) }
- 온도하중
\mathbf {F} _ {i} = \int_ {V _ {e}} \mathbf {B} _ {i} ^ {T} \mathbf {D} \left\{ \begin{array}{l} \alpha_ {x} \\ \alpha_ {y} \\ \alpha_ {z} \end{array} \right\} \Delta T d V \tag {1.8,23}
여기서,
\alpha_ {x}, \alpha_ {y}, \alpha_ {z} \quad : \text { 열팽창 계수(방향별) }
입체요소의 질량은 집중질량(lumped mass)과 분포질량(consistent mass)을 반영할 수 있으며, x,y,z 방향의 이동변위만을 반영한다.
- 분포질량
\mathbf {M} _ {i j} = \rho \int_ {V _ {e}} N _ {i} N _ {j} d V \tag {1.8.24}
- 집중질량
집중질량은 요소 전체질량( \rho V_{e} )을 분포질량의 대각 항 비율로 분배하여 사용한다.
1-8-4 요소결과
입체요소의 해석 결과로는 절점에서의 응력과 변형률을 출력하며, 부호와 방향은 전체좌표계를 따른다. 전체좌표계를 기준으로 출력된 결과는 요소좌표계 또는 출력좌표계로 변환하여 볼 수 있다. 입체요소에서 출력되는 응력과 변형률의 종류는 다음과 같다.
• 응력 성분 \sigma_{XX}, \sigma_{YY}, \sigma_{ZZ}, \tau_{XY}, \tau_{YZ}, \tau_{ZX}
- Von-Mises 응력 \sqrt{\left(P_{1}^{2}+P_{2}^{2}+P_{3}^{2}-P_{1}P_{2}-P_{2}P_{3}-P_{3}P_{1}\right)}
• 최대 전단응력 \frac{\max(\left|P_{1}-P_{2}\right|,\left|P_{2}-P_{3}\right|,\left|P_{3}-P_{1}\right|)}{2}
• 주응력 P_{1}, P_{2}, P_{3}
\operatorname{det}\left[\begin{array}{ccc}\sigma_{XX}-P_{i}&\tau_{XY}&\tau_{ZX}\\ \tau_{XY}&\sigma_{YY}-P_{i}&\tau_{YZ}\\ \tau_{ZX}&\tau_{YZ}&\sigma_{ZZ}-P_{i}\end{array}\right]=0 의 해 중 큰 값부터 P_{1},P_{2},P_{3} 이다.
- 변형률 성분 \varepsilon_{XX}, \varepsilon_{YY}, \varepsilon_{ZZ}, \gamma_{XY}, \gamma_{YZ}, \gamma_{ZX}
- Von-Mises 변형률 \frac{2}{3}\sqrt{\left(E_{1}^{2}+E_{2}^{2}+E_{3}^{2}-E_{1}E_{2}-E_{2}E_{3}-E_{3}E_{1}\right)}
• 체적(volumetric) 변형률 E_{1} + E_{2} + E_{3}
- 주변형률 E_{1}, E_{2}, E_{3}
\operatorname{det}\left[\begin{array}{ccc}\varepsilon_{XX}-E_{i}&\gamma_{XY}/2&\gamma_{ZX}/2\\\gamma_{XY}/2&\varepsilon_{YY}-E_{i}&\gamma_{YZ}/2\\\gamma_{ZX}/2&\gamma_{YZ}/2&\varepsilon_{ZZ}-E_{i}\end{array}\right]=0 의 해 중 큰 값부터 E_{1},E_{2},E_{3} 이다.
절점에서의 응력과 변형률은 요소 내의 적분점에서 계산된 결과를 이용하여 외삽법 (extrapolation)에 의해 산출된다. 입체요소의 적분점은 다음과 같다.
• 4절점 4면체 : 1 점 가우스 적분
• 6절점 5면체 : 6 점 가우스 적분
• 8절점 6면체 : 8 점 가우스 적분
• 10절점 4면체 : 4 점 가우스 적분
• 15절점 5면체 : 9 점 가우스 적분
• 20절점 6면체 : 27 점 가우스 적분
응력과 변형률에 대한 부호규약은 그림 1.8.3과 같고, 화살표 방향이 ‘+’ 부호를 의미한다.
text_image
σ_zz, ε_z τ_yz, γ_yz τ_zx, γ_zx τ_zx, γ_zx τ_xy, γ_xy σ_xx, ε_xx σ_yy, ε_yy τ_yz, γ_yz Z Y GCS X
그림 1.8.3. 입체요소의 결과 성분과 방향
1-9 스프링
1-9-1 탄성연결요소(elastic link)
탄성연결요소는 두 절점을 사용자가 입력한 강성으로 연결하는 기능이며, 강성을 제외한 구조적 특성은 가지고 있지 않다. 탄성연결요소의 좌표계 방향은 그림 1.9.1과같다. 탄성연결요소는 인장전담(tension-only)이나 압축전담(compression-only) 특성을 부여할 수 있는데, 이러한 경우에는 요소좌표계 x 방향으로만 강성을 입력할수 있다. 탄성연결요소의 입력은 각각 3방향의 이동(translation) 및 회전(rotation)강성으로 구성되어 있다. 탄성연결요소의 강성 크기는 이동 방향은 단위길이당 힘,회전방향은 단위각도(radian)당 모멘트로 입력한다.
탄성연결요소는 교량구조물의 상부와 하부 교각부를 연결해주는 탄성받침이나, 압축전담 특성을 갖는 지반 경계조건에 적절하게 사용할 수 있다. 또한 강체 연결기능을선택하면 rigid link와 같이 두 절점을 강체로 연결할 수도 있다.
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z Ref. x y 1 2
그림 1.9.1 탄성연결요소의 좌표계
1-9-2 절점 스프링(spring)/감쇄(damping)
절점스프링은 모델의 경계부분에 위치한 인접구조물 또는 지반경계조건 등의 탄성강성을 고려할 때, 혹은 자유도가 부족한 요소(트러스, 평면응력요소 등)가 상호 접합될 경우에 발생할 수 있는 특이성 오류(singular error)를 방지하고자 할 때 사용된다.
절점스프링은 절점당 전체좌표계 기준의 6개 자유도(이동방향 3개 성분, 회전방향 3개 성분)에 대해 입력이 가능하다. 이동방향 강성은 단위길이당 힘으로 입력하고, 회전방향 강성은 단위각도(radian)당 모멘트로 입력한다. 지반을 모델링할 때는 지반반력계수(modulus of subgrade reaction)에 해당절점의 유효면적(effective area)을곱한 강성값을 사용한다.
절점감쇄는 절점의 감쇠 스프링을 입력하는데 사용된다. 지반의 점성 경계조건 모델링에 많이 사용되며, 절점당 6개의 자유도(이동방향 3개 성분, 회전방향 3개 성분)에대해 입력이 가능하다. 절점 감쇠는 특성상 일반 정적해석에는 반영되지 않고 동해석의 경우에만 적용된다.
절점 스프링과 절점 감쇠의 좌표축은 기본적으로는 전체좌표계를 따르지만 절점좌표계가 선언되어 있는 경우에는 절점좌표계를 기준으로 한다.
text_image
SRY SY SX Nodal Point SZ SRX SRZ Z Y X
그림 1.9.2 절점 스프링/감쇄의 좌표계
1-9-3 행렬스프링(matrix spring)
행렬스프링은 자유도 방향으로만 강성이 입력되는 절점스프링을 보완하기 위해 사용된다. 탄성 경계조건을 정밀하게 모델링 하고자 할 경우에는 자유도별 강성뿐만 아니라 자유도사이의 연관(coupled)되는 강성까지 고려하는 것이 필요하다. 즉 이동변위가 발생할 때 동시에 발생되는 회전변위 등을 고려하기 위해서는 연관된 강성의 사용이 필요하다. 행렬스프링은 이와 같은 탄성 경계조건을 모델링하기에 적합한 요소이다.
예를 들어 구조물의 기초에 사용되는 파일(pile)을 경계스프링으로 모델링하고자 할경우에 각 방향별 강성 이외에 자유도 상호간의 연관된 강성을 입력하여 보다 정밀한 해석을 수행할 수 있다. 행렬스프링 값은 사용자가 임의 값을 입력할 수는 있지만,전체 행렬이 양의 정부호(positive definite) 이어야 한다. 그렇지 않을 경우에는 적절한 해를 구할 수 없게 된다. 행렬스프링의 값은 대칭이 되도록 상부 삼각행렬만 입력하도록 되어 있다.
행렬스프링의 좌표축은 기본적으로는 전체좌표계를 따르지만, 절점좌표계가 선언되어있는 경우에는 절점좌표계를 기준으로 한다.
1-10 강체연결(rigid link)
강체연결요소는 구조물의 기하학적(geometric) 상대거동을 상호 구속하는 기능이다.기하학적 상대거동의 구속은 임의 절점의 자유도에 한 개 또는 그 이상의 절점의 자유도를 종속시킴으로써 이루어진다. 여기서 임의 절점을 주절점(master node)이라하고 자유도가 종속되는 절점을 종속절점(slave node)이라 한다. 강체연결요소에 의한 주절점과 종속절점의 상호구속방정식은 식 (1.10.1)과 같다.
U _ {X s} = U _ {X m} + R _ {Y m} \Delta Z - R _ {Z m} \Delta Y
U _ {Y s} = U _ {Y m} + R _ {Z m} \Delta X - R _ {X m} \Delta Z
U _ {Z s} = U _ {Z m} + R _ {X m} \Delta Y - R _ {Y m} \Delta X \tag {1.10.1}
R _ {X s} = R _ {X m}
R _ {Y s} = R _ {Y m}
R _ {Z s} = R _ {Z m}
\Delta X = X _ {m} - X _ {s}
\Delta Y = Y _ {m} - Y _ {s}
\Delta Z = Z _ {m} - Z _ {s}
U _ { _ { X s } } , U _ { _ { Y s } } , U _ { _ { Z s } } : 종속절점의 전체좌표계 X , , Y Z 방향 이동변위
U _ { \chi m } \ , \ U _ { Y m } \ , \ U _ { Z m } : 주절점의 전체좌표계 X , , Y Z 방향 이동변위
R _ { \chi _ { s } } ~ , ~ R _ { \gamma _ { s } } ~ , ~ R _ { Z s } : 종속절점의 전체좌표계 X , , Y Z 방향 회전변위
R _ { \chi _ { s } } ~ , ~ R _ { \gamma _ { s } } ~ , ~ R _ { Z s } : 주절점의 전체좌표계 X , , Y Z 방향 회전변위
X _ { s } ~ , ~ Y _ { s } ~ , ~ Z _ { s } : 종속절점의 전체좌표계 X , , Y Z 방향 좌표
X _ { m } \ , \ Y _ { m } \ , \ Z _ { m } : 주절점의 전체좌표계 X , , Y Z 방향 좌표
강체연결요소는 강성이 타 구조부재보다 훨씬 커서 변형효과를 무시할 수 있는 부재의 모델링이나, 보강판에서의 판과 보강재을 상호 연결하는데 활용할 수 있다.
강체연결요소는 6개 자유도에서 사용자가 임의대로 선택하여 입력할 수 있고, 입력한 자유도에 대해서만 식 (1.10.1)을 사용하여 상호구속 방정식을 구성한다. 예를 들어 전체좌표계 특정 평면에 대한 강체연결요소의 상호구속 방정식 고려해 보자. 주절점과 종속절점이 X Y− 평면상에서 평면강체(rigid plane connection)로 상호거동이구속되는 경우의 상호구속 방정식은 다음과 같다.
U _ {X s} = U _ {X m} - R _ {Z m} \Delta Y
U _ {Y s} = U _ {Y m} + R _ {Z m} \Delta X \tag {1.10.2}
R _ {Z s} = R _ {Z m}
그림 1.10.1은 구조물 바닥판(floor)의 모델에 평면강체 기능을 적용한 예를 나타낸것이다. 일반적으로 구조물이 수평력을 받을 때 바닥판 내의 모든 위치에서의 수평방향 상대변위는 다른 구조부재(수직부재, 대각부재)의 상대변위에 비해 거의 무시할만큼 작다. 이와 같은 바닥판의 강막작용(rigid diaphragm action)은 바닥판 내의 모든 면내거동을 상호 구속함으로써 고려될 수 있다. 이때 면내거동은 바닥판의 면내이동변위 2개의 성분과 면의 수직방향에 대한 회전변위 성분을 의미한다.
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floor diaphragm torsional moment Y φ4 4 3 φ3 φ1 1 2 X φ2 Z 1 2 Y X
그림 1.10.1 바닥판이 있는 구조물이 수직축에 대해 비틀림 거동을 하는 경우
그림 1.10.1의 예에서 바닥판이 있는 구조물이 비틀림 거동을 할때, 바닥판의 면내강