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1-2 항복기준(Yield Criteria)

일반적으로 사용되는 다축상태의 응력성분으로 항복함수를 나타내는 데에는 기하학적이나 물리학적으로 많은 어려움이 따른다. 따라서 응력좌표축에 독립적인 성분을 사용하여 항복함수를 나타내는 것이 일반적이며, 다음과 같이 주응력을 사용하여 항복조건을 정의한다.

f \left(\sigma_ {1}, \sigma_ {2}, \sigma_ {3}\right) = 0 \tag {1.2.1}

항복함수를 표현하는 하나의 편리한 방법은 응력불변량을 사용하는 것이다.

1-2-1 응력 불변량(stress invariants)

■ 응력 불변량

재료 내 임의의 점에 발생하는 응력은 응력텐서 σ ij 를 사용하여 나타내며, 주응력방향을 정의하는 방향벡터 jn 를 사용하면 다음의 식이 성립된다.

\left(\sigma_ {i j} - \sigma \delta_ {i j}\right) n _ {j} = 0 \tag {1.2.2}

여기서, ij δ 은 크로네커 델타(Kronecker delta)이다.

위의 식 (1.2.2)에서 0 jn ≠ 이며, 식 (1.2.2)를 만족하기 위한 필요충분조건은 다음과 같다.

\left| \sigma_ {i j} - \sigma \delta_ {i j} \right| = 0 \tag {1.2.3}

행렬식 (1.2.3)는 주응력에 대한 3차방정식으로 나타낼 수 있으며 다음과 같다.

\sigma^ {3} - I _ {1} \sigma^ {2} + I _ {2} \sigma - I _ {3} = 0 \tag {1.2.4}

여기서,

I _ {1} = \sigma_ {x} + \sigma_ {y} + \sigma_ {z} = \sigma_ {i i}

I _ {2} = \left(\sigma_ {x} \sigma_ {y} + \sigma_ {y} \sigma_ {z} + \sigma_ {z} \sigma_ {x}\right) - \left(\tau_ {x y} ^ {2} + \tau_ {y z} ^ {2} + \tau_ {z x} ^ {2}\right) = \frac {1}{2} \left(I _ {1} ^ {2} - \sigma_ {i j} \sigma_ {j i}\right) \tag {1.2.5}

I _ {3} = \left| \begin{array}{c c c} \sigma_ {x} & \tau_ {x y} & \tau_ {x z} \\ \tau_ {y x} & \sigma_ {y} & \tau_ {y z} \\ \tau_ {z x} & \tau_ {z y} & \sigma_ {z} \end{array} \right| = \frac {1}{3} \sigma_ {i j} \sigma_ {j k} \sigma_ {k i} - \frac {1}{2} I _ {1} \sigma_ {i j} \sigma_ {j i} + \frac {1}{6} I _ {1} ^ {3}

1I , 2I , 3I 를 주응력 σ1 , σ 2 , σ 3 을 사용하여 나타내면 다음과 같다.

I _ {1} = \sigma_ {1} + \sigma_ {2} + \sigma_ {3}

I _ {2} = \sigma_ {1} \sigma_ {2} + \sigma_ {2} \sigma_ {3} + \sigma_ {3} \sigma_ {1} \tag {1.2.6}

I _ {3} = \sigma_ {1} \sigma_ {2} \sigma_ {3}

■ 편차응력 불변량

응력텐서 \sigma _ { i j } 는 정수압과 편차응력성분으로 나누어 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\sigma_ {i j} = s _ {i j} + \sigma_ {m} \delta_ {i j} \tag {1.2.7}

여기서, \sigma _ { { } _ { m } } = \left( \sigma _ { { } _ { x } } + \sigma _ { { } _ { y } } + \sigma _ { { } _ { z } } \right) / 3 = I _ { 1 } / 3 이며, 평균응력을 의미한다. 그리고s _ { i j } = \sigma _ { i j } - \sigma _ { m } \delta _ { i j } 는 편차응력이라 하며, 순수전단상태를 나타낸다.

식 (1.2.3)에서 주응력에 대한 불변량을 계산한 것처럼, 편차응력에 대한 불변량을계산하기 위해서는 다음과 같은 수식을 풀어야 한다.

\left| s _ {i j} - s \delta_ {i j} \right| = 0 \tag {1.2.8}

식 (1.2.8)를 방정식형태로 나타내면 다음과 같다.

s ^ {3} - J _ {1} s ^ {2} + J _ {2} s - J _ {3} = 0 \tag {1.2.9}

여기서,

\begin{array}{l} J _ {1} = s _ {i i} = s _ {x} + s _ {y} + s _ {z} = 0 \\ J _ {2} = \frac {1}{2} s _ {i j} s _ {j i} \\ = \frac {1}{6} \left[ \left(\sigma_ {x} - \sigma_ {y}\right) ^ {2} + \left(\sigma_ {y} - \sigma_ {z}\right) ^ {2} + \left(\sigma_ {z} - \sigma_ {x}\right) ^ {2} \right] + \tau_ {x y} ^ {2} + \tau_ {y z} ^ {2} + \tau_ {z x} ^ {2} \tag {1.2.10} \\ \end{array}

J _ {3} = \frac {1}{3} S _ {i j} S _ {j k} S _ {k i} = \left| \begin{array}{c c c} s _ {x} & \tau_ {x y} & \tau_ {x z} \\ \tau_ {y x} & s _ {y} & \tau_ {y z} \\ \tau_ {z x} & \tau_ {z y} & s _ {z} \end{array} \right|

1J , 2J , 3J 를 편차주응력 s _ { 1 } , s _ { 2 } , s _ { 3 } 로 나타내면 다음과 같다.

\begin{array}{l} J _ {1} = s _ {1} + s _ {2} + s _ {3} = 0 \\ J _ {2} = \frac {1}{2} \left(s _ {1} ^ {2} + s _ {2} ^ {2} + s _ {3} ^ {2}\right) = \frac {1}{6} \left[ \left(\sigma_ {1} - \sigma_ {2}\right) ^ {2} + \left(\sigma_ {2} - \sigma_ {3}\right) ^ {2} + \left(\sigma_ {3} - \sigma_ {1}\right) ^ {2} \right] \tag {1.2.11} \\ \end{array}

J _ {3} = \frac {1}{3} \left(s _ {1} ^ {3} + s _ {2} ^ {3} + s _ {3} ^ {3}\right) = s _ {1} s _ {2} s _ {3}

1I , 2I , 3I , 1J , 2J , 3J 는 모두 스칼라로 표현되는 불변량으로써 좌표축에 독립적인 특성을 갖는다. 이중 항복함수를 기하학적으로 편리하게 나타내기 위하여 I _ { 1 } ,$J _ { 2 \mathrm { ~ , ~ } } J _ { 3 }$ 의 세 불변량을 주로 사용하며 I _ { 1 } \equiv 1 \bar { \pi } \mathsf { k } 불변량, J _ { 2 } 는 2차 불변량, J _ { 3 } 는3차 불변량이라 한다.

■ 세 응력 불변량이 가지는 기하학적 의미

대부분의 재료모델들에서 항복은 편차응력에 의해 주로 지배된다. 따라서 항복함수를 정수압성분과 편차응력성분으로 나누어 나타내는 것은 항복함수의 기하학적형상을 정의하는데 매우 편리하게 사용된다.

다음은 임의의 응력상태를 나타내는 한 점 \mathbf { P } \left( \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } , \sigma _ { 3 } \right) \mathbf { \equiv } 등압축과 편차축 성분으로 나누어 표현하는 방법에 대해 설명한다.

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σ₁ P(σ₁, σ₂, σ₃) θ₀ r ξ N σ₁ = σ₂ = σ₃ e O σ₃ σ₂

그림 1.2.1 주응력공간에서의 응력상태 정의

그림 1.2.1에서와 같이 주응력 공간상에 임의의 응력상태로 표현되는 점P ( \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } , \sigma _ { 3 } ) 가 정의되는 경우 벡터 OP 를 정의할 수 있다. 벡터 OP 는 정수압축을 따르는 벡터 ON 과 정수압축에 수직인 편차평면상에 존재하는 벡터 NP 로나누어 질 수 있으며, 그 크기는 다음과 같다.

\left| \mathbf {O N} \right| = \xi = \frac {1}{\sqrt {3}} I _ {1} \tag {1.2.12}

\left| \mathbf {N P} \right| = r = \sqrt {2 J _ {2}}

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σ₁ P(σ₁, σ₂, σ₃) θ₀ r N σ₂ σ₃

그림 1.2.2 편차평면상에서의 응력상태 정의

그림 1.2.2는 등압축에 수직인 평면인 편차평면을 나타낸다. 앞에서 정의된 벡터NP 는 편차편차평면 상에서 점 P 를 정의하기 위해 \sigma _ { 1 } \bar { \Xi } \underline { { { Q } } } 로부터 \theta _ { 0 } 만큼 회전되어야 한다. 이때 \theta _ { 0 } \equiv 상이각(similarity angle)이라 하며 다음과 같다.

\theta_ {0} = \frac {1}{3} \cos^ {- 1} \left(\frac {3 \sqrt {3}}{2} \frac {J _ {3}}{J _ {2} ^ {3 / 2}}\right) \tag {1.2.13}

이때 \theta _ { 0 } \cong \mathtt { L } | \frac { \circ } { \boxtimes } \frac { \circ } { } 범위를 갖는다.

0 \leq \theta_ {0} \leq \frac {\pi}{3} \tag {1.2.14}

수치해석을 위해서는 \theta _ { 0 } 보다는 로데의 각(Lode’s angle) θ 를 사용하는 것이 편리하며 다음과 같이 정의한다.

\theta = \frac {1}{3} \sin^ {- 1} \left(- \frac {3 \sqrt {3}}{2} \frac {J _ {3}}{J _ {2} ^ {3 / 2}}\right) \tag {1.2.15}

이때 \theta = \theta _ { 0 } - \frac { \pi } { 6 }

- \frac {\pi}{6} \leq \theta \leq \frac {\pi}{6} \tag {1.2.16}

재료의 항복함수를 정의하는데에는 종종 주응력을 응력불변수로 나타내는 것이 편리할 때가 있으며 로데의 각을 사용하여 이를 정리하면 다음과 같다.

\left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {1} \\ \sigma_ {2} \\ \sigma_ {3} \end{array} \right\} = \frac {2 \sqrt {J _ {2}}}{\sqrt {3}} \left\{ \begin{array}{l} \sin \left(\theta + \frac {2}{3} \pi\right) \\ \sin (\theta) \\ \sin \left(\theta + \frac {4}{3} \pi\right) \end{array} \right\} + \frac {I _ {1}}{3} \left\{ \begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right\} \tag {1.2.17}

1-2-2 Rankine 모델

Rankine 모델은 취성재료의 인장거동을 정의하는데 사용되는 모델로서 토목분야에서는 주로 암석의 인장에 의한 파괴거동이나 콘크리트의 인장균열 또는 고체요소의 압축전담거동을 정의할 때 사용된다. Rankine 모델은 외력에 의한 최대 주응력(maximum principal stress) σ1 과 실험을 통해 정의된 인장강도(tensilestrength) σ t 를 사용하여 재료의 항복을 정의하는 모델로서 최대 주응력 항복기준(maximum principal stress criterion)이라고도 하며 최대 주응력이 인장강도를 초과하는 경우 항복이 진행된다고 가정하여 항복함수를 다음과 같이 나타낸다.

f (\boldsymbol {\sigma}, \kappa) = \sigma_ {1} - \sigma_ {t} (\kappa) = 0 \tag {1.2.18}

Rankine 모델은 주로 인장절단(tension cutoff)거동을 묘사하는데 사용되며, 뒤에서 거론될 전단거동을 정의하는 Mohr-Coulomb이나 Drucker-Prager 모델과 함께 복합항복모델로 사용되는 것이 일반적이다.

식 (1. 2.18)을 불변량 1 2I J , , θ 및 경화변수 κ 를 사용하여 나타내면 다음과 같다.

f \left(I _ {1}, J _ {2}, \theta , \kappa\right) = \frac {2}{\sqrt {3}} \sqrt {J _ {2}} \left(\sin \left(\theta + \frac {2}{3} \pi\right)\right) + \frac {I _ {1}}{3} - \sigma_ {t} (\kappa) = 0 \tag {1.2.19}

또한 식 (1.2.18)을 ξ, , , r θ κ 의 항으로 나타내면 다음과 같다.

f (\xi , r, \theta , \kappa) = \frac {2}{\sqrt {6}} r \left(\sin \left(\theta + \frac {2}{3} \pi\right)\right) + \frac {\xi}{\sqrt {3}} - \sigma_ {t} (\kappa) = 0 \tag {1.2.20}

그림 1.2.3은 응력 공간상에서 Rankine 모델의 3차원 형상을 보여준다. 그림 1.2.4에서와 같이 π 평면 상에서의 형상은 정삼각형 형상이며, 메리디안 평면(meridianplane)상에서는 등압축(hydrostatic axis)에 대한 선형함수로 정의할 수 있다.

■ 경화거동

Rankine 모델의 경화거동을 정의하기 위한 등가소성변형률의 계산에 사용되는 주소성변형률은 다음과 같다.

\boldsymbol {\varepsilon} ^ {\mathrm{p}} = \lambda \mathbf {m} = \lambda \left\{ \begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right\} \tag {1.2.21}

식 (1.2.21)을 식 (1.1.8)에 대입하여 정리하면 다음과 같이 경화변수와 소성승수의관계를 구할 수 있다.

\kappa = \sqrt {\frac {2}{3}} \lambda \tag {1.2.22}

midas FEA에서는 Rankine 모델에 대해 인장응력 σ t 에 대한 경화거동을 지원하며, 경화거동은 다중선형함수를 사용하여 정의할 수 있다.

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-σ₁ -σ₃ -σ₂

그림 1.2.3 주응력공간에서의 Rankine 항복면 형상

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σ₁ θ r rₜ r꜀ σ₂ σ₃

(a) π 평면에서의 항복면 형상

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θ = -π/6 1 √2 r_t = √(3/2) f_t' √3 f_t' hydrostatic axis θ = π/6 1 √2 r_c = √6 f_t'

(b) \theta = - { \frac { \pi } { 6 } }
그림 1.2.4 π 평면과 메리디안 평면에서의 Rankine 항복면 형상

1-2-3 Tresca 모델

Tresca 모델은 연성재료인 금속재료의 탄-소성 비선형 거동을 묘사하기 위해서개발되었으며, 지반에서는 연약지반의 전단강도를 정의하기 위한 φ = 0 해석에도사용된다. Tresca는 외력에 의해 물체의 한 점에서 발생하는 최대 전단응력이 재료의 전단강도 τ (κ ) 에 도달하였을 때 항복이 발생되는 것으로 간주하여 항복함수를 다음과 같이 정의한다.

f (\sigma , \kappa) = \frac {1}{2} \left| \sigma_ {1} - \sigma_ {3} \right| - \tau_ {y} (\kappa) = 0 \tag {1.2.23}

여기서, \sigma _ { 1 } \geq \sigma _ { 2 } \geq \sigma _ { 3 } 이다. 식 (1.2.23)의 양변에 2를 곱하여 응력불변량 J _ { 2 } , \theta 의항으로 나타내면 다음과 같다.

f \left(J _ {2}, \theta\right) = \frac {2}{\sqrt {3}} \sqrt {J _ {2}} \left[ \sin \left(\theta + \frac {2}{3} \pi\right) - \sin \left(\theta + \frac {4}{3} \pi\right) \right] - 2 \tau_ {y} (\kappa) \tag {1.2.24}

= 2 \sqrt {J _ {2}} \cos \theta - \sigma_ {y} (\kappa) = 0

여기서, \sigma _ { y } ( \kappa ) = 2 \tau _ { y } \left( \kappa \right) 이며, 일축항복응력을 나타낸다.

또한 식 (1.2.23)을 불변량 r, θ 로 나타내면 다음과 같다.

f (r, \theta) = \sqrt {2} r \cos \theta - \sigma_ {y} (\kappa) = 0 \tag {1.2.25}

Tresca 모델에서는 항복면에 작용하는 정수압의 영향을 고려하지 않으므로, 식(1.2.24)에서와 같이 정수압을 정의하는 응력 불변수 I 에 무관하며, 그림 1.2.6(a)와 같이 편차평면 상에서 로데의 각 θ에 따라 편차응력 r 의 크기가 달라지는 형태를 가지게 된다. 정수압에 무관하다는 의미는 등방적으로 동일한 하중이 작용되는 경우 즉, 삼축 등인장이나 삼축 등압축이 작용하는 경우에는 하중의 크기가 무한대로 커진다고 할지라도 재료가 항복하지 않는다는 것을 뜻한다. 이는 정수압축과 항복면이 만나지 않는다는 것을 뜻하며, 이에 따라 Tresca 항복기준은 그림1.2.5와 같이 주응력 공간에서 정수압축에 평행한 정육면체 기둥이 되고, 편차평면에서는 정육각형으로 묘사된다. 그림 1.2.6은 π 평면과 메리디안 평면에서의 항복면 형상을 보여준다.

■ 경화거동

Tresca 모델에서 소성변형률은 다음과 같다.

\boldsymbol {\varepsilon} ^ {\mathrm{p}} = \lambda \mathbf {m} = \lambda \left\{ \begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array} \right\} \tag {1.2.26}

위의 식 (1.2.26)을 식 (1.1.8)에 대입하면, 경화를 정의하기 위한 소성승수 λ와 경화변수 κ 의 관계는 다음과 같이 정의할 수 있다.

\kappa = \frac {2}{\sqrt {3}} \lambda \tag {1.2.27}

midas FEA에서는 Tresca 모델에 대해 항복응력 σ y 에 대한 경화거동을 지원하며,경화거동은 다중선형함수를 사용하여 정의할 수 있다.

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-σ₁ hydrostatic axis -σ₂ -σ₃

그림 1.2.5 주응력공간에서의 Tresca 항복면 형상

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σ₁ θ r_c r_t σ₂ σ₃

(a) π 평면에서의 항복면 형상

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deviatoric axis r_c θ = -π/6 hydrostatic axis r_t θ = π/6

(b) \theta = - { \frac { \pi } { 6 } }
그림 1.2.6 π 평면과 메리디안 평면에서의 Tresca 항복면 형상