김경종
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\mathbf {t} = \binom {t _ {n}} {t _ {t}} = \binom {\sigma} {\tau}, \quad \Delta \mathbf {u} = \binom {\Delta u _ {n}} {d t} \tag {3.6.1}
여기서,
nt , un : 계면 법선방향의 응력과 상대변위
tt , dt : 접선방향의 전단력과 상대변위
text_image
compression cap mode coulomb friction mode |τ| θ tension mode intermediate yield surface residual yield surface initial yield surface σ
그림 3.6.2 2 차원 계면 모델
탄성영역에서 구성방정식은 다음과 같다.
\mathbf {t} = \mathbf {D} \Delta \mathbf {u} \tag {3.6.2}
여기서, 강성 행렬의 대각행렬은 다음과 같이 구성된다.
\mathbf {D} = \operatorname{diag} \left[ \begin{array}{l l} k _ {n} & k _ {s} \end{array} \right] \tag {3.6.3}
전단 슬립
초기 쿨롱 마찰항복한계(coulomb friction yield criterion)는 다음과 같다.
f = \left| t _ {t} \right| + t _ {n} \Phi - c \tag {3.6.4}
여기서,
tt : 접선방향의 전단슬립응력
nt : 경계면에 수직방향의 법선 응력
Φ = tanφ : 마찰각
c : 점착력
쿨롱 마찰항복한계에서 연화거동은 내부변수 κ 를 사용하여 점착력 c 와 마찰계수Φ 값을 감소시킴으로써 나타내며 다음과 같이 수식화한다.
c \left(t _ {n}, \kappa\right) = c _ {0} e ^ {- \frac {c _ {0}}{G _ {f} ^ {l l}} \kappa}, \quad \Phi \left(t _ {n}, \kappa\right) = \Phi_ {0} + \left(\Phi_ {r} - \Phi_ {0}\right) \frac {c _ {0} - c}{c _ {0}} \tag {3.6.5}
여기서,
c _ { 0 } : 초기 점착력
G _ { f } ^ { I I } : 모드-II 형식의 전단슬립 파괴에너지
\Phi _ { 0 } Φ : 초기 마찰계수
\Phi _ { r } : 잔류 마찰계수
여기서, 파괴에너지는 법선방향의 구속 응력과 선형관계가 있으며, 둘 사이의 관계는 다음과 같다.
G _ {f} ^ {I I} = \left\{ \begin{array}{c c} a t _ {n} + b & \text { if } t _ {n} < 0 \\ b & \text { if } t _ {n} \geq 0 \end{array} \right. \tag {3.6.6}
여기서, a , b 는 실험 데이터를 바탕으로 선형 회기 분석에 의해 결정된다.
팽창
소성상대변위 p ∆u 는 식 (3.5.4)와 같이 포텐셜 함수로 나타낼 수 있다.
\Delta \dot {\mathbf {u}} ^ {p} = \dot {\lambda} \frac {\partial g}{\partial \mathbf {t}} \tag {3.6.7}
그리고 포텐셜 함수는 식 (3.6.8)과 같다.
\frac {\partial g}{\partial t _ {n}} = \left\{ \begin{array}{c} \Psi \\ \text { sign } (t _ {t}) \end{array} \right\} \tag {3.6.8}
위 식 (3.6.7)과 (3.6.8)을 이용하여 팽창 계수(ψ = tanϕ )를 나타내면 식 (3.6.9)와같다.
\psi = \frac {\Delta \dot {u} _ {n} ^ {p}}{\Delta \dot {u} _ {t} ^ {p}} \text { sign } (t _ {t}) \tag {3.6.9}
실험에 의해 팽창 계수가 구속응력과 전단 슬립에 의한 함수임이 입증되었으며,식 (3.6.10)과 같이 나타낼 수 있다.
\psi = \psi_ {1} (\Delta \dot {u} _ {n} ^ {p}) \psi_ {2} (t _ {t} ^ {p}) \tag {3.6.10}
따라서 포텐셜 함수는 다음과 같이 나타난다.
g = \int \left(\frac {\partial g}{\partial t _ {n}}\right) ^ {T} d \mathbf {t} = \left| t _ {t} \right| + \psi_ {2} \left(\Delta \dot {u} _ {t} ^ {p}\right) \int \psi_ {1} \left(t _ {n}\right) d t _ {n} \tag {3.6.11}
접선 슬립에 의한 법선 방향의 상대 변위는 다음과 같다.
\Delta \dot {\mathbf {u}} ^ {p} = \left\{ \begin{array}{c c} 0 & \text { if } t _ {n} < \sigma_ {u} \\ \frac {\psi_ {0}}{\delta} \left(1 - \frac {t _ {n}}{\sigma_ {u}}\right) \left(1 - e ^ {- \delta \Delta u _ {t} ^ {p}}\right) & \text { if } \sigma_ {u} \leq t _ {n} < 0 \\ \frac {\psi_ {0}}{\delta} \left(1 - e ^ {- \delta \Delta u _ {t} ^ {p}}\right) & \text { if } t _ {n} \geq 0 \end{array} \right. \tag {3.6.12}
그리고 미분 이후 팽창 계수는 다음과 같이 유도된다.
\psi = \left\{ \begin{array}{c c} 0 & \text { if } t _ {n} < \sigma_ {u} \\ \psi_ {0} \left(1 - \frac {t _ {n}}{\sigma_ {u}}\right) \left(1 - e ^ {- \delta \Delta \dot {u} _ {t} ^ {p}}\right) & \text { if } \sigma_ {u} \leq t _ {n} < 0 \\ \psi_ {0} \left(1 - e ^ {- \delta \Delta \dot {u} _ {t} ^ {p}}\right) & \text { if } t _ {n} \geq 0 \end{array} \right. \tag {3.6.13}
여기서,
\psi _ { 0 } 초기 팽창 계수
\sigma _ { u } O ：
\delta
연화거동
변형연화가정을 따르며 전단슬립에 의해 정의되는 연화는 다음과 같다.
\Delta \kappa = \left| \Delta \dot {u} _ {t} ^ {p} \right| = \Delta \lambda \tag {3.6.14}
소성 변형률 증가( ∆κ, ∆λ)는 뉴튼 랩슨법에 의해 산정된다.
인장 한계 거동
인장 한계에 대한 파괴규준은 다음과 같이 랭킨 기준(Rankine criterion)을 사용한다.
f _ {2} = t _ {n} - \sigma_ {t} \tag {3.6.15}
여기서, \sigma _ { t } 는 벽돌 모르타르 부착강도(brick-mortar bond strength)이며 다음과같다.
\sigma_ {t} = f _ {t} e ^ {- \frac {f _ {t}}{G _ {f} ^ {I}} \kappa_ {2}} \tag {3.6.16}
여기서,
f _ {t} \quad : \text { 부착 강도 }
G _ {f} ^ {I} \quad : \text { 모드-1 파괴 에너지 }
이때 내부변수 κ 2 는 다음과 같다.
\Delta \kappa_ {2} = \left| \Delta u _ {p} \right| \tag {3.6.17}
상관소성흐름법칙을 적용하면 다음과 같다.
\Delta u _ {p} = \Delta \lambda_ {2} \frac {\partial f _ {2}}{\partial t} \tag {3.6.18}
그러므로 결과적으로 다음의 결론을 도출한다.
\Delta \kappa = \Delta \lambda_ {2} \tag {3.6.19}
압축 캡거동
압축 캡에 대한 파괴규준은 다음과 같다.
f _ {3} = t _ {n} ^ {2} + C _ {s} t _ {t} ^ {2} - \sigma_ {c} ^ {2} \tag {3.6.20}
여기서,
C _ {s} \quad : \text { 파괴시 전단응력 분포를 나타내는 계수 }
\sigma_ {c} \quad : \text { 압축강도 }
압축 캡거동에 사용되는 내부변수 κ 3는 다음과 같다.
\Delta \kappa_ {3} = \sqrt {\Delta u _ {p} ^ {T} \Delta u _ {p}} \tag {3.6.21}
여기서,
\Delta \dot {u} _ {n} ^ {p} = \Delta \lambda_ {3} \frac {\partial f _ {3}}{\partial t _ {n}}
그러므로
\Delta \kappa_ {3} = 2 \Delta \lambda_ {3} \sqrt {t _ {n} ^ {2} + \left(C _ {s} t _ {t}\right) ^ {2}} \tag {3.6.22}
line
| Point | K3 | σc | |-------|----|----| | σ₁ | Kp | f_c | | σ₂ | Km | σ_m | | σ₃ | Km | σ_r | | σ_i | Kp | σ_i |그림 3.6.3 계면의 압축 캡에서 경화-연화 법칙
캡모델은 그림 3.6.3에서와 같이 최대 강도( f )까지는 경화거동을 하며, 그 이후부터는 연화거동을 한다.
위 그림과 같이 3가지 영역에 따라 내부변수에 따른 응력은 식 (3.6.23)과 같다.
\overline {{{{\sigma_ {1}}}}} \left(\kappa_ {3}\right) = \overline {{{{\sigma_ {i}}}}} + \left(f _ {c} - \overline {{{{\sigma_ {i}}}}}\right) \sqrt {\frac {2 \kappa_ {3}}{\kappa_ {p}} - \frac {\kappa_ {3} ^ {2}}{\kappa_ {p} ^ {2}}}
\overline {{{\sigma_ {2}}}} \left(\kappa_ {3}\right) = f _ {c} + \left(\overline {{{\sigma_ {m}}}} - f _ {c}\right) \left(\frac {\kappa_ {3} - \kappa_ {p}}{\kappa_ {m} - \kappa_ {p}}\right) ^ {2} \tag {3.6.23}
\overline {{\sigma_ {3}}} \left(\kappa_ {3}\right) = \overline {{\sigma_ {r}}} + \left(\overline {{\sigma_ {m}}} - \overline {{\sigma_ {r}}}\right) \exp \left(2 \left(\frac {\overline {{\sigma_ {m}}} - f _ {c}}{\kappa_ {m} - \kappa_ {p}}\right) \left(\frac {\kappa_ {3} - \kappa_ {m}}{\overline {{\sigma_ {m}}} - \overline {{\sigma_ {r}}}}\right)\right)
식 (3.54)에서 \overline { { \sigma _ { i } } } = \frac { 1 } { 3 } f _ { c } , \overline { { \sigma _ { m } } } = \frac { 1 } { 2 } f _ { c } , \overline { { \sigma _ { r } } } = \frac { 1 } { 1 0 } f _ { c } 이다.
교차점(Corner) 거동
쿨롱 마찰한계과 인장한계 또는 압축 캡과의 교차지점에서 소성 변위 증가율은 식(3.6.24)와 같다.
\Delta \dot {u} _ {n} ^ {p} = \Delta \lambda_ {1} \frac {\partial g _ {1}}{\partial t _ {n}} + \Delta \lambda_ {i} \frac {\partial g _ {i}}{\partial t _ {n}} \tag {3.6.24}
여기서,,
아래 첨자 1 : 전단 한계
i가 2인 경우 : 인장한계
i가 3인 경우 : 압축 캡
3-6-2 3차원 계면모델
3차원 문제에 있어서 midas FEA에는 인장한계모델만이 고려되며 압축 캡모델은고려하지 않는다. 삼차원문제는 단순히 2차원 문제의 확장으로써 다음과 같이 나타낸다.
\boldsymbol {t} = \left\{ \begin{array}{l} t _ {n} \\ t _ {s} \\ t _ {t} \end{array} \right\}, \quad \boldsymbol {u} = \left\{ \begin{array}{l} \Delta u _ {n} \\ \Delta u _ {s} \\ \Delta u _ {t} \end{array} \right\}, \quad \boldsymbol {D} = \left[ \begin{array}{c c c} k _ {n} & 0 & 0 \\ 0 & k _ {s} & 0 \\ 0 & 0 & k _ {t} \end{array} \right] \tag {3.6.25}
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τs C0 τt ← C0
text_image
τs ft σ τt
그림 3.6.4 3차원 계면 항복 함수
파괴함수는 다음과 같다.
f = \sqrt {t _ {s} ^ {2} + t _ {t} ^ {2}} + t _ {n} \Phi - c \tag {3.6.26}
\Delta \dot {\boldsymbol {u}} ^ {p} = \Delta \lambda \frac {\partial g}{\partial \boldsymbol {t}} = \Delta \lambda \left[ \begin{array}{c} \varphi \\ \frac {t _ {s}}{\sqrt {t _ {s} ^ {2} + t _ {t} ^ {2}}} \\ \frac {t _ {t}}{\sqrt {t _ {s} ^ {2} + t _ {t} ^ {2}}} \end{array} \right] \tag {3.6.27}
위 식 (3.6.28)에서 ϕ 는 비상관 팽창각이며 ∆κ은 내부변수 증가량으로써 다음과같다.
\Delta \kappa = \sqrt {\left(\Delta \dot {u} _ {s} ^ {p}\right) ^ {2} + \left(\Delta \dot {u} _ {t} ^ {p}\right) ^ {2}} = \Delta \lambda \tag {3.6.28}
Analysis and Algorithm Manual
Part 3 General Algorithms
Chapter 1. Load and Boundary
Chapter 2. Equation Solver
Chapter 3. Iteration Methods