김경종
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8-5 경계비선형 시간이력해석 (Boundary Nonlinear Time History Analysis)
8-5-1 해석 모델 구성
해석 대상 구조물은 비선형연결요소를 포함하는 구조물로서 비선형연결요소를 제외한 나머지 부재들은 모두 선형 탄성인 것으로 가정합니다. 비선형연결요소는 구조물의 두 절점 사이를 연결하거나 구조물과 지지점을 연결할 수 있습니다.
하나의 비선형연결요소는 총 6개의 스프링 (1개의 부재 축방향 스프링, 2개의 전단 스프링, 1개의 비틀림 변형 스프링, 2개의 휨 변형 스프링)으로 구성되며, 이 가운데 일부의 스프링만을 선택하여 이용할 수 있습니다.
각각의 스프링은 기본적으로 선형 속성을 가지며 사용자의 선택에 의해 비선형 속성을 가지도록 할 수 있습니다. 선형 속성만을 가지는 스프링은 실제 물리적으로 선형 탄성인 스프링입니다. (이하 선형 스프링으로 표기합니다.) 비선형 속성을 가지는 스프링은 실제 물리적으로 비선형성을 갖는 스프링을 표현하며 이 스프링이 갖는 선형 속성은 해석 알고리줌 상의 필요에 의해서만 요구되는 속성입니다. (이하 비선형 스프링으로 표기합니다.)
선형 속성은 요소를 구성하는 각 스프링의 유효강성으로서 비선형연결요소의 요소 강성행렬과 전체 구조물의 강성행렬을 구성하는데 사용됩니다. 비선형연결요소를 포함한 구조물의 선형 및 비선형 정적해석과 선형 동적해석에서는 이 유효강성만 으로 해석을 수행합니다.
비선형 속성은 비선형 스프링의 동적특성을 나타내는 파라미터로서 midas Civil 에서는 6가지 타입(Visco-elastic Damper, Gap, Hook, Hysteretic System, Lead Rubber Bearing Isolator, Friction Pendulum System Isolator)의 비선형 속성이 제공됩니다.
8-5-2 경계비선형 시간이력해석의 개요
경계비선형 시간이력해석은 구조물의 일부분에 비선형성이 국한된 경우에 적용할수 있는 비선형 시간이력해석 방법으로, 면진 및 제진장치가 설치된 구조물의 비선형 거동 특성을 파악하기 위한 해석기능입니다. 면진 및 제진장치는 설계하중에대한 구조물의 소성변형을 방지하거나 최소화 시켜주므로 구조부재들은 탄성거동하고, 구조물의 비선형 거동은 주로 면진 및 제진장치에서 발생한다고 볼 수 있습니다. midas Civil의 경계비선형 해석에서는 이러한 점에 근거하여 면진 및 제진장치를 비선형 경계요소로서, 비선형연결요소(Force Type General Link)를 통해 모델링 되고, 나머지 부분은 선형 탄성 구조물로 가정됩니다. 편의상 전자를 비선형계,후자를 선형계라고 칭합니다. 경계비선형 시간이력 해석은 비선형계에서 발생하는부재력을 선형계에 가해지는 외부 동적하중으로 치환하는 방법으로 해석을 수행합니다.
flowchart
graph TD
A["p"] --> B["●"]
B --> C["●"]
C --> D["●"]
D --> E["f_N"]
E --> F["×"]
F --> G["→"]
G --> H["p"]
H --> I["●"]
I --> J["●"]
J --> K["●"]
K --> L["f_N"]
L --> M["×"]
M --> N["f_L"]
N --> O["→"]
O --> P["f_L"]
P --> Q["→"]
fN : Nonlinear spring & force
fL : Effective Stiffness & force
그림 2.8.8 경계비선형 해석의 해석방법
midas Civil의 경계비선형 해석은 비선형 모드 중첩법(Nonlinear Modal Time HistoryAnalysis)과 비선형 직접적분법(Nonlinear Direct Integration)에 의해 수행됩니다. 경계비선형 해석에 사용되는 면진 및 제진 장치는, 각 요소특성이 상미분방정식으로표현되며, 상미분방정식의 수치해법인 Runge-Kutta Method에 의해 계산됩니다. 구해진 결과는 유효하중으로 반영하여, 미지수를 구하는 방법으로 계산을 수행합니다.
비선형 모드 중첩법은 면진 및 제진장치를 제외한 모든 구조부재가 탄성영역에 있다는 전제하에 수행되며, 고유치 해석이 반드시 선행되어야 합니다. 또한, 선형 시간이력 해석과 같이 중첩의 원리에 의해 해석하기 때문에 모든 시간증분마다 전체구조물에 대한 평형방정식을 풀게 되는 직접적분법에 비해 해석속도가 빠르다는장점이 있습니다.
한편, 구조부재의 비탄성거동까지를 해석할 경우에는 구조부재도 비탄성 요소로보고 구조물 전체를 비선형 해석할 필요가 있습니다. 비선형 직접적분법은 비선형경계요소뿐만 아니라, 구조부재에 비선형 거동까지 고려 할 수 있습니다. 또한, 구조부재의 비탄성 거동은 비선형 이력모델에 의해서 산정됩니다.
8-5-3 모드 중첩법에 의한 경계비선형 시간이력해석
모드 중첩법에 의한 경계비선형 시간이력해석의 개요
Force Type 범용연결요소가 포함된 구조물의 운동방정식은 다음과 같이 구성됩니다.
M \ddot {u} (t) + C \dot {u} (t) + \left(K _ {S} + K _ {N}\right) u (t) = B _ {P} p (t) + B _ {N} \left(f _ {L} (t) - f _ {N} (t)\right)
여기서 M : 질량행렬
C : 감쇠행렬
K _ { s } : Force Type 범용연결요소를 제외한 나머지 탄성강성
K _ { \scriptscriptstyle { N } } : Force Type 범용연결요소의 유효강성
B _ { { } _ { P } } , B _ { \scriptscriptstyle { N } } : 변환행렬
u t( ) , u t ( ) , u t ( ) : 절점의 변위, 속도, 가속도
p ( t ) : 동적하중
f _ { L } ( t ) : Force Type 범용연결요소에 포함된 비선형 성분의 유효강성에의한 내력
f _ { _ { N } } ( t ) : Force Type 범용연결요소에 포함된 비선형 성분의 실제 내력
우변의 ( ) Lf t 는 좌변의 KN 에 의해 발생하는 절점력 가운데 Force Type 범용연결요소의 비선형 성분에 해당되는 것과 상쇄되며 ( ) Nf t 만이 동적 거동에 영향을 주게 됩니다. 유효강성행렬 KN 을 사용하는 이유는 Force Type 범용연결요소의 연결위치에 따라서 원래 구조물의 강성행렬 KS 만으로는 불안정 구조물이 될 수 있기때문입니다.
질량행렬과 강성행렬에 대한 모드 형상(Mode Shape)과 고유진동수(NaturalFrequency)는 고유치 해석(Eigenvalue Analysis), 또는 Ritz벡터 해석을 통해 계산할수 있습니다. 감쇠는 모드감쇠비를 통해 고려됩니다.
모드의 직교성을 이용하여 위의 운동방정식은 다음과 같이 모드좌표계(ModalCoordinate)의 운동방정식으로 변환됩니다.
\ddot {q} _ {i} (t) + 2 \xi_ {i} \omega_ {i} \dot {q} _ {i} (t) + \omega_ {i} ^ {2} q (t) = \frac {\phi_ {i} ^ {T} B _ {P} p (t)}{\phi_ {i} ^ {T} M \phi_ {i}} + \frac {\phi_ {i} ^ {T} B _ {N} f _ {L} (t)}{\phi_ {i} ^ {T} M \phi_ {i}} + \frac {\phi_ {i} ^ {T} B _ {N} f _ {N} (t)}{\phi_ {i} ^ {T} M \phi_ {i}}
여기서 : i-번째 모드의 모드형상 벡터
: i-번째 모드의 감쇠비
@：-
( ) q t , ( ) q t , ( ) q t : i-번째 모드의 일반화 변위, 속도, 가속도
우변의 ( ) f t 와 ( ) f t 는 해당 Force Type 범용연결요소의 요소좌표계에서의 실제변형 및 변형의 변화율에 의해 결정됩니다. 그러나 요소의 실제 변형은 특정 모드가 아닌 전체 모드의 성분을 모두 포함하고 있습니다. 따라서 상기의 모드좌표계운동방정식은 모드별로 독립적이라고 할 수 없습니다. 모드해석의 장점을 이용하기 위해서 각 해석시간 단계에서의 ( ) Nf t 와 ( ) Lf t 를 가정하게 되면 독립적인 모드좌표계 운동방정식이 됩니다.
먼저 이전 단계의 해석결과로부터 현재 단계에서의 모드 일반화 변위와 속도를 가정하고 이를 기초로 현재단계에서의 ( ) f t 와 ( ) f t 를 계산합니다. 이로부터 현재단계에서의 모드 일반화 변위 및 속도를 조합해서 Force Type 범용연결요소의 변형 및 변형 변화율을 계산합니다. ( ) f t 와 ( ) f t 의 계산과 그에 따르는 모드 일반
화 변위 및 속도의 계산 과정을 다음 수렴오차가 허용치 이내로 들어올 때까지 계속 반복합니다.
\varepsilon_ {q} = \max _ {i} \left\{\frac {q _ {i} ^ {(j + 1)} (n \Delta t) - q _ {i} ^ {(j)} (n \Delta t)}{q _ {i} ^ {(j + 1)} (n \Delta t)} \right\}
\varepsilon_ {\dot {q}} = \max _ {i} \left\{\frac {\dot {q} _ {i} ^ {(j + 1)} (n \Delta t) - \dot {q} _ {i} ^ {(j)} (n \Delta t)}{\dot {q} _ {i} ^ {(j + 1)} (n \Delta t)} \right\}
\varepsilon_ {f _ {M}} = \max _ {i} \left\{\frac {f _ {M , i} ^ {(j + 1)} (n \Delta t) - f _ {M , i} ^ {(j)} (n \Delta t)}{f _ {M , i} ^ {(j + 1)} (n \Delta t)} \right\}
여기서 f_{M,i}^{(j)}(n\Delta t)=\frac{\phi_{i}^{T}B_{N}f_{N}^{(j)}(n\Delta t)}{\phi_{i}^{T}M\phi_{i}}
Δt : 타임스텝 크기
n : 타임스텝
j : 반복계산 스텝
i : 모드 차수
이상의 과정을 각 해석시간 단계별로 반복하며 최대반복회수 및 수렴 허용오차는 Time History Load Cases에서 사용자가 직접 입력합니다. 만약 수렴하지 않으면 자동적으로 해석시간 간격 \Delta t 를 세분하여 다시 해석하게 됩니다.
Force Type 범용연결요소의 비선형 특성은 미분방정식으로 표현되며 각 반복과정에서 비선형 성분에 해당되는 내력을 산정하기 위해서는 이 미분방정식의 수치해석 해가 필요하게 됩니다. midas Civil에서는 수치해석 방법으로서 Runge-Kutta Method를 사용하고 있으며 이 방법은 미분방정식의 수치해석에 가장 널리 사용되는 방법으로서 빠른 해석 속도와 정확성을 가집니다.
고유치 해석시 유의점
비선형 모드 중첩법에 의한 경계비선형 시간이력 해석은 모드해석을 기반으로 하기 때문에 구조물의 응답을 표현하기에 충분한 수의 모드를 사용할 필요가 있습니다. 특히 Force Type 범용연결요소의 변형을 표현하기에 충분한 수의 모드를 필요로 합니다.
대표적인 경우로 마찰진자형 면진장치의 지진응답해석을 들 수 있습니다. 마찰진자형 면진장치는 요소의 축방향 성분 내력이 전단방향 성분의 거동을 결정하는 중요한 인자입니다. 따라서 일반적인 지진응답 해석과는 달리 연직방향 모드의 중요성이 매우 크며, 연직방향 모드질량의 합계가 전체질량에 가깝도록 충분한 모드수를 확보할 필요가 있습니다.
고유치해석 방법을 사용할 경우 이와 같은 목표를 달성하기 위해서는 매우 많은수의 모드를 필요로 할 수 있으므로 해석 시간이 길어질 수 있습니다. Ritz 벡터해석을 사용하면 각 자유도에 대한 동적하중의 분포를 고려한 모드형상과 고유진동수를 구해주며, 적은 수의 모드로 고차모드의 영향까지 포함시킬 수 있습니다.
예를 들면 마찰진자형 면진장치의 경우에 Ritz벡터 해석을 위한 입력 대화상자에서 구조물의 Z방향(중력방향) 가속도나 구조물의 자중에 관계된 정적하중의 단위하중조건을 선택하면 주로 구조물의 연직방향 거동에 관계되는 고유진동수와 모드형상을 구할 수 있습니다. 많은 경우에 있어서 Ritz 벡터해석을 이용하는 것이 고유치해석을 이용하는 것 보다 적은 수의 모드로 더 정확한 해석결과를 산출해 주는 것으로 알려져 있습니다.
정적하중과 동적하중의 조합
비선형 모드중첩법에 의한 시간이력 해석은 선형 시간이력 해석과는 달리 중첩의원리가 적용될 수 없습니다. 즉, 정적하중에 대한 해석결과와 동적하중에 대한 해석 결과를 단순히 합하여 두 하중이 동시에 작용한 결과로 사용할 수 없습니다.따라서 정적하중과 동적하중의 영향을 동시에 고려하기 위해서는 정적하중을 동적하중 형태로 입력하여 경계비선형 시간이력해석을 수행해야 합니다.
이를 위해 midas Civil에서는 Time Varying Static Loads 기능을 통해 정적하중을 동적하중 형태로 입력할 수 있도록 지원합니다.
먼저, Time Forcing Function에 Time Function Data Type이 Normal인 Ramp 함수를입력합니다. 다음으로 Time Varying Static Load에서 연직방향 정적하중의 StaticLoad 및 이미 지정된 Function Name을 입력합니다. Ramp 함수의 형상은 지반가
속도의 도달시간(Arrival Time) 이전에 정적하중의 재하가 완료되고 이로 인한 진동이 충분히 감쇠될 수 있도록 지정합니다. 이와 관련하여 정적하중 재하로 인한 진동의 감쇠에 소요되는 시간을 줄이기 위해 Time History Load Cases에서 해석 초기에 사용자가 지정한 시간동안 99%의 감쇠율을 적용하는 옵션을 선택할 수 있습니다. 또한 지반가속도가 작용하는 동안에도 정적하중이 계속 지속되도록 합니다.
Dynamic Load (t0<t<t1) = Gravity Load
Dynamic Load (t1<t<t2) = Gravity Load + Earthquake
그림 2.8.9 정적하중과 동적하중의 조합
8-5-4 직접 적분법에 의한 경계비선형 시간이력해석
직접 적분법에 의한 경계비선형 해석의 해석방법은 비선형계에서 발생하는 비선형부재력을 선형계에 가해지는 외부 동적하중으로 치환하는 모드 중첩법에 의한 해석방법과 동일합니다.
직접 적분법에 의한 경계비선형 해석은 모드 중첩법과 달리, 수치적분법에 의해해석되어야만 합니다. midas Civil에서는 Newmark-β 법에 의한 직접적분법에 의해해석을 수행합니다.
직접 적분법에 의한 경계비선형 시간이력해석에서 Force Type 범용연결요소가 포함된 구조물의 운동방정식은 다음과 같이 구성됩니다.
M \ddot {u} (t) + C \dot {u} (t) + K _ {N} u (t) = p (t) + \left(f _ {L} (t) - f _ {N} (t)\right)
여기서 M : 질량행렬
C : 감쇠행렬
K_{N} : Force Type 범용연결요소의 유효강성
u(t) , \dot{u}(t) , \ddot{u}(t) : 절점의 변위, 속도, 가속도
p(t) : 동적하중
f_{L}(t) : Force Type 범용연결요소의 유효강성에 의한 내력
f_{N}(t) : Force Type 범용연결요소의 실제 내력
Newmark-β 법에 의해, 증분변위 \delta u 에 관한 평형방정식은 다음과 같이 표현됩니다.
K _ {E f f} \cdot \delta u = \Delta p _ {E f f}
여기서 K_{Eff} : 유효강성행렬
K _ {E f f} = \frac {1}{\beta (\Delta t) ^ {2}} M + \frac {1}{\beta \Delta t} C + K _ {N}
\Delta p_{Eff} : 각 반복해석 단계에서의 유효하중벡터
\Delta p _ {E f f} = p (t) - \left\{M \ddot {u} (t) + C \dot {u} (t) + \left(f _ {L} (t) - f _ {N} (t)\right) \right\}
\delta u : 각 반복해석 단계에서의 변위증분벡터
β : Newmark-β 법 관련 파라미터
8-5-5 유효강성
경계비선형 시간이력 해석은 전체 구조물을 선형계와 비선형계로 나누며, 비선형계에서 발생하는 비선형 부재력을 선형계에 가해지는 외부 동적하중으로 치환하여해석합니다. 여기서 비선형계를 구성하는 Force Type 범용연결요소의 위치에 따라선형계 만으로는 불안정 구조가 될 수 있으므로 유효강성을 사용하여 안정한 구조물로 만든 뒤 시간이력해석을 수행합니다.
만약 Force Type 범용연결요소를 제거할 경우에 구조물이 불안정해진다면, 고유진동수와 모드형상이 실제의 비선형 거동과 유사하도록 적절한 유효강성을 입력할필요가 있습니다. 이 경우에 적절한 유효강성은 일반적으로 0보다 크고 비선형 특성상의 초기강성 보다 작거나 같은 값을 사용합니다. 초기강성은 뒤에서 설명할요소의 종류별 동적특성에서 Viscoelastic Damper 의 bk , Gap, Hook 및 HystereticSystem의 k , Lead Rubber Bearing Isolator와 Friction Pendulum System의 k _ { y } , k _ { b } 가 이에 해당됩니다.
비선형 거동 이전의 응답을 계산하기 위한 선형정적해석 또는 선형동적해석을 수행하려면 초기강성을 유효강성으로 입력합니다. 근사적인 선형동적해석을 수행하려면 비선형 연결요소가 비선형 해석시와 유사한 거동을 하도록, 다음 그림과 같이 예상되는 최대 변형을 기준으로 적절한 할선강성(Secant Stiffness)을 유효강성으로 입력합니다. 만약 해석결과가 수렴하지 않는 경우에 유효강성 값을 조정하면수렴하는 결과를 얻을 수도 있습니다.
text_image
Force F+ k_eff Δ- Δ+ Displacement F-
그림 2.8.10 경계비선형 요소의 유효강성
8-5-6 Force Type 범용연결요소의 동적특성
midas Civil의 경계 비선형 시간이력 해석기능에서 제공되는 Force Type 범용연결요소는 점탄성감쇠기(Viscoelastic Damper), 갭(Gap), 후크(Hook), 이력거동 시스템(Hysteretic System), 납삽입 고무베어링형 면진장치(Lead Rubber Bearing Isolator),마찰진자형 면진장치(Friction Pendulum System Isolator)의 6가지이며 각각의 동적특성은 다음과 같습니다.
8-5-7 점탄성감쇠기 (Visco-Elastic Damper)
점탄성 감쇠기는 변형에 비례해서 힘이 발생하는 탄성, 그리고 변형의 속도에 비례해서 힘이 발생하는 점성을 동시에 갖습니다. 점탄성 감쇠기는 구조물의 감쇠능력을 증대시켜 지진, 바람 등에 의해 발생하는 동적 응답을 감소시켜 구조물의 안전성과 사용성을 확보하기 위한 목적으로 사용됩니다.
탄성체는 그림 2.8.11(a)에 나타낸 것과 같이 힘을 가해면 가한 힘에 비례하여 늘어나고, 가해진 힘을 제거하면 완전히 원래의 형태로 돌아오는 물체를 말하며, 고무 또는 Spring이 여기에 해당합니다. 점성체는 힘을 가하면 점점 변형하여, 힘이없어져도 변형된 형태를 유지하는 성질을 가집니다. 그림 2.8.11(b)는 점성체(Dashpot) 모델과 그 특성을 나타내며, 점토 등이 여기에 해당합니다. 점탄성체는탄성과 점성 양쪽의 성질을 갖는 물체로서, 그림 2.8.11(c),(d)와 같이 힘을 가하면변형이 점점 증가하고, 어느 순간 힘을 빼면, 순간적으로 변형이 줄어드는 특징을가집니다. 점탄성 댐퍼는 점탄성체의 이러한 성질을 이용한 감쇠장치입니다.