Response Surface Methodology

핵심 아이디어

Response Surface Methodology(RSM)는 입력 변수와 응답 사이의 관계를 낮은 차수 다항식으로 근사한다. 구조해석 surrogate에서는 물리 응답이 충분히 매끄럽고 입력 범위가 좁을 때 강력한 기준선이 된다.

기본 2차 response surface는 다음 형태다.

y = beta_0 + sum beta_i x_i + sum beta_ii x_i^2 + sum beta_ij x_i x_j + epsilon

x_i: scaling된 설계변수.
beta: 회귀 계수.
x_i x_j: 변수 상호작용.
epsilon: 모델이 설명하지 못한 잔차.

FEM surrogate에서의 의미

Beam 문제에서는 I = b h^3 / 12 때문에 응답이 입력 변수에 대해 비선형이다. 낮은 차수 다항식은 이 관계를 완벽히 재현하지 못할 수 있지만, 다음 장점이 있다.

빠르다.
계수 해석이 가능하다.
적은 데이터에서도 안정적이다.
복잡한 모델의 baseline으로 적합하다.

RSM은 특히 설계변수 범위가 좁고 응답이 단조롭고 매끄러울 때 유용하다.

구현 선택

이 튜토리얼에서는 scikit-learn의 PolynomialFeatures와 Ridge를 조합한다.

StandardScaler
  -> PolynomialFeatures(degree=2, include_bias=False)
  -> Ridge(alpha=...)

PolynomialFeatures는 입력 변수의 다항 조합을 만들고, Ridge는 L2 regularization으로 계수 크기를 제어한다. 일반 선형회귀 대신 Ridge를 쓰는 이유는 다항 feature가 늘어나면 feature 간 상관성이 커지고 계수가 불안정해질 수 있기 때문이다.

Notebook 실습 포인트

notebooks/01_response_surface_surrogate.ipynb는 다음을 보여준다.

동일 FEM dataset 로드.
target tip_uy_m 선택.
degree 1, 2, 3 비교.
Ridge alpha 변화에 따른 train/test error 비교.
parity plot과 residual plot.
다항 feature 이름과 계수 크기 해석.

장점

학습과 예측이 매우 빠르다.
작은 데이터에서 baseline으로 좋다.
변수 간 interaction을 명시적으로 볼 수 있다.
extrapolation이 tree model보다 연속적이다.

한계와 실패 모드

실제 응답이 강하게 비선형이면 낮은 차수 다항식으로 부족하다.
높은 차수는 과적합과 수치 불안정을 만든다.
입력 scaling 없이 다항 feature를 만들면 큰 단위의 변수가 학습을 지배할 수 있다.
설계공간 경계 밖에서는 다항식이 물리적으로 말이 안 되는 큰 값을 낼 수 있다.

구조해석 해석 기준

RSM이 좋은 선택인 경우:

설계변수 수가 적다.
입력 범위가 좁다.
응답이 매끄럽고 단조적이다.
설명 가능한 surrogate가 중요하다.

RSM을 피해야 하는 경우:

응답에 threshold, discontinuity, contact-like behavior가 있다.
입력 범위가 넓고 상호작용이 복잡하다.
국소 응력 peak처럼 고차 비선형성이 크다.

References

Box, G. E. P. and Wilson, K. B. (1951), "On the Experimental Attainment of Optimum Conditions", Journal of the Royal Statistical Society Series B. https://doi.org/10.1111/j.2517-6161.1951.tb00067.x
scikit-learn PolynomialFeatures documentation. https://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.preprocessing.PolynomialFeatures.html
scikit-learn Ridge documentation. https://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.linear_model.Ridge.html

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