KOKO\Mimi
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# MITC4 shell 선형 정적 해석
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## 목적과 경계
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4절점 shell의 작은 변형·회전 막·굽힘·횡전단 응답을 해석한다.
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Source `S4`와 `S4R`는 모두 내부 `FESA-MITC4`로 매핑한다.
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`S4R` 이름은 Abaqus reduced integration이나 hourglass 공식을 선택하지 않는다.
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중앙면 기준 일정 두께, 단층 등방 선형탄성이 대상이다.
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Composite·offset·material nonlinearity·mixed beam-shell은 이 기능 범위 밖이다.
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공통 규칙은 [solver-core](../solver-core/README.md), 수식 원문은 [정식화](formulation.md)다.
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## 채택한 수식과 이유
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각 절점의 6 global DOF에서 director 접평면의 5 physical DOF를 분리한다.
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Bilinear geometry와 canonical edge-midpoint tying으로 공변 횡전단장을 보간한다.
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이는 직접 shear interpolation의 locking을 줄이기 위한 MITC 선택이다.
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물리 stiffness는 고정 `2×2×2` 적분을 사용한다.
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Numerical drilling stiffness는 physical stiffness와 별도이며 stress/resultant/physical energy에 넣지 않는다.
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현재 구현의 scale은 physical rotary diagonal 8개의 trace 평균에 `10^-3`을 곱한다.
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이 값은 후속 eigen2에서 채택한 규칙이며 초기 최소 양의 대각 규칙을 현행으로 재사용하지 않는다.
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Centered section은 `N=A*epsilon0`, `M=D*kappa`, `Q=As*gamma0`를 쓴다.
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특히 `D=t^3*Cps/12`이며 막력과 같은 두께 계수로 바꾸지 않는다.
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## 입력과 결과 대응
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`*ELEMENT,TYPE=S4|S4R`, `*SHELL SECTION,ELSET=...,MATERIAL=...`,
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`thickness[,integration_points]`, `*ELASTIC`과 identity-instance 모델을 사용한다.
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Section의 optional integration-point 수는 source metadata이며 실제 적분법을 바꾸지 않는다.
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DOF 1–6의 지정값과 global nodal `*CLOAD`, 단일 linear `*STATIC`을 지원한다.
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Geometry·director·양의 Jacobian을 검사하며 director-parallel aggregate nodal moment는 거부한다.
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그 방향의 artificial stiffness를 physical moment 저항으로 사용하지 않는다.
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Pressure 입력은 [shell pressure](../shell-surface-pressure-load/README.md)가 추가한 별도 계약이다.
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Output 요청 allowlist는 warning no-op이며 mandatory result를 선택하거나 억제하지 못한다.
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결과는 `/steps/Step-1/frames/0`의 global nodal displacement/reaction과 shell recovery다.
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각 element의 4 midsurface Gauss 위치에 local frame, 8 generalized strain/resultant를 보존한다.
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Stress `[S11,S22,S12]`는 각 Gauss 위치의 bottom/middle/top에서 복구한다.
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Nodal averaging, Abaqus extrapolated stress와의 임의 대응, `S33/S13/S23` 출력은 만들지 않는다.
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| Reference | 판정 범위 |
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| `reference/shell/shell.inp`와 `shell displacements.csv` | 49 nodes, 36 S4; global U1–3 blocking, UR1–3 warning-only |
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| 같은 폴더 reactions/stresses CSV | 검토용이며 equality gate 아님 |
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| Optional Abaqus S4R artifacts | 외부 비교에 소비하지 않음 |
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Key는 frame·instance·source node·component이며 row-set·finite·unit/location을 먼저 검사한다.
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공통 family의 reference-only `S`에 대해 near-zero `abs(ref)<=0.01*S`는 error `<=0.01*S`,
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그 밖은 relative error `<=5%`, family `RMS(error)/S<=1%`를 동시에 요구한다.
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`S=0`은 exact zero다. UR 수치 실패는 warning이며 잘못된 identity를 허용하는 의미는 아니다.
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내부 free residual·전역 force/moment balance는 normalized `1e-10` 한계다.
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## 구현과 데이터 흐름
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[Mitc4Shell](../../include/fesa/elements/mitc4_shell.h)의 `Create`, `Stiffness`,
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`StrainDisplacement20`, `RecoverPhysical`가 geometry·수식·물리 복구를 담당한다.
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[실제 kernel](../../src/fesa/elements/mitc4_shell.cpp)은 physical/drilling/stabilized 행렬을 분리한다.
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Domain이 source definition과 초기 frame을 소유하며 AnalysisModel은 Domain보다 짧게 산다.
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DofManager mapping→element-local buffer→결정적 assembly→free solve→full residual 순서다.
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[ShellResultRecovery](../../src/fesa/results/shell_result_recovery.h)는 위치별 typed candidate를 생성한다.
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Procedure는 해석 상태, writer는 serialization을 소유하며 element에 equation·writer를 넣지 않는다.
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## 검증 의미와 한계
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과거 S4 reference는 147 blocking U rows와 평형·대칭·constitutive·physical energy 검사를 통과했다.
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그때 중심 U3는 약 `-2.35504418e-5`, normalized free residual은 약 `1.08e-14`였다.
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이는 당시 실행 evidence이며 이번 문서 정리에 따른 현재 build/test 통과 선언이 아니다.
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Patch·rigid-mode·rank·drilling 분리 검사는 한 개의 외부 plate 사례를 보완한다.
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직접 shell end-action 출력이 없어 GP 값에서 element-end 평형을 추정하지 않는다.
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Distorted/curved membrane locking, 광범위 mesh convergence, pinched cylinder 등은 미특성화다.
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전단 tying을 사용한다는 사실만으로 모든 thin/thick·곡면 정확도가 검증되었다고 말하지 않는다.
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