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# Hex8 계산 정밀도와 검증에서 확인한 점

현재 완료 여부는 [PRD](PRD.md)의 checklist가 소유한다. 아래 기록은
[정식화](formulation.md)와 [수치 기준](numeric-controls.md)을 바꾸지 않고
계산 정밀도를 개선한 근거다. 내부 검사 통과와 원본 동적 모델의 수렴은 구분한다.

## 작은 변형률에서 단위행렬을 빼지 않는다

`E=(F^T F-I)/2`를 그대로 계산하면 작은 변형률에서 유효 숫자를 잃는다.
`H=grad(u)`로부터 `E=sym(H)+H^T H/2`를 계산하면 같은 Green 변형률을
단위행렬 차감 없이 구한다. StVK 재료식, 에너지, Cauchy 응력과 접선은 유지한다.

탄성계수 `2.1e11`, Poisson 비 `0.3`인 직육면체의 signed affine stretch
`±1e-10`, `±1e-8`에서 독립 응력·에너지·면 traction 적분으로 기존 오류를
재현했다. 수정 `7d191036`은 요소 검사 27개와 독립 수치 검토를 통과했다.
비선형 동적 원본의 첫 증분 잔차 비율은 약 `1.42e-5`에서 `6.02e-10`으로
줄었지만, 승인된 `1e-10` 기준은 여전히 충족하지 못했다.

## 곱셈, 합산, 변위 차감의 오차를 각각 보존한다

강체 병진을 제거한 상대변위로 내력을 계산해도 큰 항들이 상쇄되는 행에서는
계산 순서의 영향이 남는다. 원본 선형 동적 사례의 두 요소 행에서 local 곱의
절댓값 합은 각각 약 `3.63e6`이었고, FMA 곱셈 잔여와 보상 합산으로 복구한
내력 차이의 합은 `8.20e-10`이었다. 당시 전체 잔차 `9.06e-10`과 같은 크기였다.

수정 `c50e68e`는 캐시된 K0를 그대로 두고 상대변위와의 곱셈·합산을 보상한다.
수정 `8153796`은 절점 변위 기울기 및 비선형 `sum(w*P*G)`에도 같은 보상을
적용한다. 각각 관련 검사 60개와 독립 수치 검토를 통과했으나 동적 원본은 실패했다.
기울기·내력·에너지·접선은 같은 trial의 물리식을 사용한다.

작은 절점 변위의 갱신은 입력 double에서 표현 가능해도, 더 큰 기준 절점 변위를
뺀 상대변위에서는 소실될 수 있다. 수정 `8ccd1b2`는 TwoDiff로 차감의 잔여를
보존하고, 상대변위의 두 부분을 내력·기울기·선형 에너지 계산에 함께 사용한다.
독립 정확 유리수 검산의 유한 차이 125,039쌍에서 불일치가 없었고, 관련 native
검사 60개와 독립 수치 검토도 통과했다. 이 검산은 native solver 검증을 대체하지
않으며, 입력 자체의 반올림으로 잃은 값을 복원한다는 의미도 아니다.

## 수렴 정체와 허용치 변경을 구분한다

위 수정 후 선형 동적 원본은 첫 증분을 5회 solve, 잔차 비율 `9.54e-11`로
수용했다. 두 번째 증분은 100회에서 `1.01993e-10`으로 실패했다. 실패 좌표의
직전 적용 보정량은 약 `-0.496 ULP`여서 저장된 변위를 바꾸지 못했다.
100회 종료 지점에서는 다음 solve를 하지 않으므로 이 값으로 다음 Newton 갱신을 추론하지 않는다.
비선형 원본도 첫 증분에서 약 `1.35e-10`으로 실패했다.

이는 전체 원본 검증 완료의 근거가 아니다. 물리 잔차의 component별 원래 Si,
correction, update 및 max100 기준을 유지하면서 표현 가능한 변위에서 추가
정제가 가능한지 확인해야 한다. 예측 잔차는 trial 선택에만 사용할 수 있고,
수용은 실제 rates·형상·내력·복구·모든 free 성분의 원래 판정으로 수행해야 한다.
원본·허용치를 보정하거나 실패한 candidate를 accepted history에 넣지 않는다.

## 잔차 점수만으로 Newton 갱신의 정체를 판단하지 않는다

각 trial의 `abs(r_i)/Si`는 최종 수렴 판정에 사용하지만, 그 최대값이 증가했다고
갱신이 정체된 것은 아니다. 작은 강체 운동 사례에서 한 성분의 잔차는 약
`9.88e-24`에서 `3.17e-25`로 줄었으나 Si가 더 빠르게 줄어 비율은 증가했다.
이 갱신을 한 좌표의 ULP 정제로 대체한 구현은 기존 축·하중 크기 회귀에서 실패했다.
현재 failing 성분의 Si를 고정한 별도 점수도 다른 축의 유효한 갱신을 가로막았다.

완전한 변위가 반복되더라도 다음 반복의 정제 대상 자유도가 바뀌면 계산은 더
진행될 수 있다. 따라서 정체의 근거에는 실제 변위와 정제 대상의 변화가 모두
필요하며, 잔차 점수의 왕복만으로 전체 상태의 반복을 추론하지 않는다.
최종 수용에서는 여전히 실제 모든 free 성분의 원래 Si와 수렴 기준을 검사한다.
변위와 직전 solve mask만 비교한 수정 `1063abc`는 관련74개 검사를 통과했지만
두 동적 원본은 세 번째 증분100회에서 실패했다. 선형 잔차 비율은 `2.10874e-8`,
비선형은 `9.99819e-8`이었다. 이 실패 행의 전체 내력 보상 합산 차이는0이고,
관성력 보상 차이는 약 `1e-17`이므로 해당 실패를 합산 오차만으로 설명하지 못한다.

동일 구현에 동작을 바꾸지 않는 계측을 추가하고 실제 반복 상태를 저장했다.
선형은 다음 반복14의 상태가 진입11과, 비선형은20이18과 정확히 같았다.
전체 변위1326개·진입 시 holding mask1275개·incoming correction metric4개의
유한 값이 모두 일치했고 그 구간의 실제 ULP 이동은0건이었다. 기존 두 상태
판별은 false였으며 prospective physical gate도 FAIL이었다. 독립 검토가 계측과
원시 배열을 대조했고, 독립 Python 검산은 exit0이었다. 진단 실행 두 건은 각각
native exit1로 자연 종료했으며 원본 solver PASS의 증거가 아니다.

고정 증분에서 이전 accepted state·M·하중·predictor가 고정되고 fresh solve와
탄성 local recovery가 결정적일 때, 재현되는 반복 상태는 전체 변위·reactivation 전
holding mask·incoming correction4개다. 다음 상태는 실제 fresh Newton 변위·freeze 후
mask·fresh correction4개로 비교해야 한다. History는 증분 시작과 실제 ULP 적용 후
초기화하고, physical FAIL 및 finite correction PASS 진입만 보관한다. Prospective
physical PASS는 정상 Newton 경로를 유지한다. 이 한정된 판별 수정 `b394ae7`은 관련75개
검사와 독립 코드 검토를 통과했다. 7개 판별 조건을 각각 제거한 behavior mutation도
native build0/CTest8로 실패를 검출했다. 기존 수렴 기준·100회 제한·최종 수용은 유지한다.

동일 immutable binary의 두 원본 실행은 여전히 세 번째 증분100회에서 native exit1로
실패했다. 선형은419.360초, 잔차 비율 `7.21125e-9`, 비선형은431.045초,
`1.27770e-8`이었다. 선형95번째 반복의 ULP 이동은 실제 점수를 `7.21125e-9`에서
`4.66385e-9`로 낮췄으나 뒤의 정상 Newton 갱신에서 다시 증가했다. 이는 각 정제의
국소 감소가 전체 갱신 과정의 진전을 보장하지 않는다는 증거이며, 전체 변위가 같은
상태로 복귀했다는 증거는 아니다. 비선형의 잔차 점수 왕복도 전체 상태 반복의 증거가 아니다.

Incoming correction4개의 실제 수치는 정상 Newton의 rates·tangent·rhs에 사용하지 않으며,
유한 값과 PASS 여부가 수용에 쓰인다. 추가 계측에서 선형 진입20→다음23, 비선형72→80은
각각 같은 순수 Newton 구간의 전체1326개 변위·1275개 mask가 정확히 같았으나 correction
숫자4개는 달랐다. 모두 finite/PASS이고 prospective physical FAIL이었으며 기존 판별은
false였다. 선형 진입23→다음30은 실제 ULP 이동을 사이에 두고 변위·mask·correction
숫자까지 같았지만 history 초기화로 판별하지 못해 정상 Newton이 적용되는 경로였다.
독립 검토와 원시 배열 Python 검산 exit0으로 두 조건의 영향을 확인했다. 비선형에서
ULP를 사이에 둔 복귀는 입증하지 않았으며 전체 혼합 알고리즘의 주기 반복도 주장하지 않는다.

수정 `f661864`는 고정 증분 전체의 적격 실패 진입을 유지하고, 실제 변위·mask와 각각의
finite correction PASS로 동등성을 판별한다. Correction 숫자의 차이는 진단으로 유지한다.
관련76개 검사는 native build/CTest0이며 독립 검토를 통과했다. 실제 Hex8 사례의
history 초기화 재삽입은 두 번째 증분100회 실패를 만들었다. 숫자 일치 재삽입은
두 helper 검사의 assertion 실패를 만들었다. 올바른 원본을 복원하고 실제 object를
재컴파일한 뒤 최종 회귀를 수행했다.
이 재현은 질량이 지배적인 작은 문제의 제어흐름 검사이며 원본 conditioning 해결의 증거가
아니다. 원래 gates·100회 제한은 유지한다.

동일 immutable binary의 원본101개 endpoint 검사 두 건은 다시 세 번째 증분100회에서
native exit1로 자연 종료했다. 선형408.202초의 잔차 비율은 `1.7773871030665027e-8`,
비선형416.052초는 `8.7357210799572219e-9`다. 최신 실패 행의 전체 내력 보상 합산 차이는
0이고 관성력 차이는 약 `1e-17`이다. 최종 다섯 반복에서 전체 변위와 mask는 계속 바뀌므로
잔차 점수만으로 정확한 전체 상태 반복을 추론하지 않는다. 새 판별의 내부 검증과 실제 원본
수렴은 구분해야 하며, 원본 conditioning·local 계산 또는 결합 좌표의 표현 가능성을 더
분석해야 한다. 실패한 state를 통합 완료나 reference PASS로 표시하지 않는다.

추가 원시 proof와 검산은 로컬 `.harness/hex8-evidence/t6-independent-semantic/`에,
수정·mutation·최종 회귀 로그는 별도 구현의
`.harness/build-ninja-msvc-debug/hex8-evidence/t6/`에 보존한다. 선형 진단은 닫힌 proof 검토
후 명시적으로 중단했고 비선형 진단은 native exit1로 자연 종료했다. 둘 다 solver PASS가 아니다.

재현 가능한 원시 tuple 검산과 SHA256은 로컬 evidence
`.harness/hex8-evidence/t6-independent-tuple/check-v3.py` 및 `v3-check-result.json`에
보존했다. 원시 진단과 native 실패 로그는 별도 구현의
`.harness/build-ninja-msvc-debug/hex8-evidence/t6/tuple-trace3/`에 있다.

명령·native exit·실패 로그는 해당 source와 함께 보존한다. 최종 통합 및 외부 비교
결과는 이후 verification 기록에서 이 개발 중 실패와 구분한다.

## 고정한 실패 상태에서 산술 오차와 갱신 소실을 구분한다

`f661864`의 terminal 상태를 관찰하는 별도 실행은 원래 계산식을 그대로 두고 각300개
reference cache·native response와 전체 state/M/Kt를 저장했다. 두 실행은 native exit1로
자연 종료했으며 원래 출력한 수치 trace와 일치했다. 계측은 byte 단위로 복원하고 재빌드했다.
원래 실행은 full terminal 변위를 저장하지 않았으므로 두 실행의 전체 변위 일치를 주장하지
않는다. 수집한 local 변위/scatter·전역 내력·M*a/M*A·r/Si는 모두 정확히 재조립됐고,
독립 Fraction 검산 두 건은 Python exit0이며 다른 검토자가 원시 계수로 재계산했다.

이 검산은 관찰한 binary64 계수를 고정한 정확한 다항식 계산이다. 이상적인 geometry나
원본 solver 동등성, 표현 가능한 해의 존재/부재를 증명하지 않는다. 선형 cached K dot의
실행 오차는 `+5.82e-13`으로 해당 행의 허용 잔차 `1.49e-11`보다 작았다. Cached G로
operator를 다시 구성하면 내력이 `-3.78e-10` 달라지지만 잔차는 여전히 `2.27e-9`다.
비선형의 고정밀 내력은 `+5.52e-11` 달라져 잔차를 `4.11e-10`에서 `4.66e-10`으로
키웠다. H의 high/low collapse 오차는 존재하지만 이 실패를 산술 정밀도만으로 해결할
근거는 없다. Operator 형성 차이와 runtime dot 오차를 혼동해 force만 교체하지 않는다.

저장한 PRE holding mask를 현재 물리 기준으로 reactivate한 뒤, 같은 순서의 rounded
Keff와 old residual을 포함한 weighted RHS를 별도 SuperLU로 풀었다. 정확한 방정식 잔차
비율은 두 건 모두 약 `2e-16`이다. 선형102개 active 보정은 모두 저장된 변위를 바꾸지
못했고, 비선형81개에서는9개 변위가 바뀌고 실패 좌표71개 보정이 소실됐다. 이는 독립
backsolve의 관측이며 production PARDISO의 현재 fresh 방향이나 actual trial PASS가 아니다.
직전 적용 보정량과 이번 fresh 방향을 구분해야 한다.

Weighted R=0의 physical target은 `alpha*r_old/(1+alpha)`다. 비선형 실패 행에서 이 값의
크기 `2.60e-11`은 현재 허용 잔차 `4.70e-12`보다 크다. 현재 최종 조건은 weighted R=0을
요구하지 않으므로 이것만으로 계약 충돌이나 수치적 불가능성을 선언하지 않는다. Old residual을
버리거나 물리 가속도를 다른 정의로 바꾸는 근거도 아니다. 다음 후보는 실제 native
rates·geometry·모든 원래 Si·update·weighted identity로 검증해야 한다.

같은 고정 상태의 native replay는 실제 Hex8 kernel·rates·하중과 저장 CSR을 사용했다.
먼저17자리 십진 문자열로 저장한 값을 Float64로 복원하고, 재계산한 전체 변위·속도·
두 가속도 배열 및 predictor·하중·내력·관성력·r/Si·최대 점수가 저장 값과 정확히
일치하는지 확인했다. 저장 CSR의 재생이며 독립적인 M/Kt 재조립 검증은 아니다.
RF는 저장되지 않았으므로 constrained residual/free0의 파생 identity만 확인했다.
TEMP 검사는 원래 파일과 byte 단위로 복원하고 실제 object를 재컴파일했다.

Native PARDISO의 현재 fresh solve도 선형102개 보정이 모두 변위를 바꾸지 못했다.
비선형은81개 active 좌표에서9개 변위가 바뀌고71개 실패 좌표의 보정이 소실됐으며,
최대 잔차 비율은 `8.73572e-9`에서 `1.27770e-8`로 커졌다. 정확 산술로 예측한 상위8개
단일 ULP 후보를 각각 실제 계산한 최선 비율은 선형 `4.75888e-9`, 비선형 `6.73857e-9`다.
두 fresh Newton 및16개 ULP trial 모두 원래 physical limit `1e-10`에 실패했다.
다른 update·weighted identity·correction·geometry 검사는 통과했다. Native exit0인 두
replay 검사는 관측 재현 검사의 성공이며 원본 수렴이나 accepted history의 성공이 아니다.
단일 이웃의 실패만으로 여러 좌표를 함께 움직이는 해의 부재를 추론하지 않는다.

원시 capture·정확 산술·backsolve·이웃 예측·native replay의 재현 자료와 독립 raw 검산은
로컬 `.harness/hex8-evidence/t6-independent-frozen/`에 보존한다. 기능 checklist는
그대로 미완료다.