FESADev/docs/mitc4-shell-feast-eigen2/formulation.md

# MITC4 질량·공변 stabilization·FEAST 정식화

- Feature: `mitc4-shell-feast-eigen2`; Owner: `formulation-agent`; 정식화 revision: `r1`.
- 입력: [requirements r1](requirements.md), [근거](requirements-evidence.md), [Feature ADR](ADR.md).
- 기준: [프로젝트 지침](../../AGENTS.md), [PRD](../PRD.md), [ADR-028](../ADR.md#adr-028), [ARCHITECTURE](../ARCHITECTURE.md).
- 상태: 독립 numerical review에 인계하는 수학 계약. 구현·runtime·reference 통과 선언이 아니다.

## 선택과 적용 범위

원형상·무응력 단일 무감쇠 선형 고유진동을 `K phi = lambda M_L phi`로 정의한다.
실제 질량은 consistent scalar moments에서 유도한 nodal block lumped mass다.
3 병진·2 director 접평면 회전의 관성을 유지하고 numerical drilling에 인공 질량을 넣지 않는다.
실제 global 동차 BC를 먼저 적용한 뒤 analytic mass null과 free space의 정확한 교집합만
제거한다. 양의 nodal mass를 whitening한 identity second matrix도 같은 lumped 문제다.

기존 MITC4 물리 strain·constitutive·integration·source `S4`/`S4R` 의미를 유지한다.
Numerical scale은 초기 physical rotary diagonal 8개 trace 평균의 `10^-3`으로 선택한다.
기존 최소 양의 대각 선정과 그 식 자체의 검사를 대체한다. 개선 전 complete K와의
동일성, consistent/lumped spectrum 동일성 또는 Abaqus 내부 절차의 동등성은 요구하지 않는다.
개선된 **실제 constrained pencil의 모든 finite spectrum 보존**은 요구한다.

| 상세 계약 | 정의하는 내용 | 요구 번호 접미사 |
| --- | --- | --- |
| [질량·stabilization](formulation-mass-stabilization.md) | 운동학, 27점 적분, moment→lumping, 관성 불변식, scale·비선형 lifecycle, partial-BC 반례 | 002–008, 014, 024, 026–027 |
| [축소·FEAST·복구](formulation-eigen.md) | 실제 BC, analytic null, whitening, lowest N, 실패, modal residual·state | 001, 007–014, 018–019 |

## 기존 유도의 명시 채택 경계

이전 Feature는 읽기 전용 유도 근거다. 아래 채택은 새 요구와의 대조 결과이며 과거
검토의 pass, control 값, schema, execution evidence 또는 제외 portfolio의 승계가 아니다.

| 이전 자료 | 이번 채택 | 이번에 채택하지 않는 부분 |
| --- | --- | --- |
| [mass M1–M10](../mitc4-shell-feast-eigen/formulation-mass.md) | 동일 geometry·H 보간, moments, 27점 정확성, block lumping 및 Jensen identity; 새 상세에 재기재 | 이전 revision·readiness 진술 |
| [stabilization S1–S6](../mitc4-shell-feast-eigen/formulation-stabilization.md) | trace 평균 후보를 이번 식으로 선택; 공변성, frozen objective potential, 반례 exact target | S7의 옛 reference portfolio 및 과거 해소 판정 |
| [eigen E1–E5/E8](../mitc4-shell-feast-eigen/formulation-eigen.md) | constraint-first analytic split, nodal whitening, global recovery 원리 | E6/E7의 빈 count 성공 가정·기존 수치 controls 자동 승계 |
| [verification V1–V5](../mitc4-shell-feast-eigen/formulation-verification.md) | 같은 단위의 residual/Gram·energy·covariance·density 측정량 | 기존 tolerance 값·test 수·gate·실행 portfolio |

질량 및 trace 평균은 FESA 운동학에서 유도한 선택이다. 외부 source가 이 lumping/scale을
지정한다고 주장하지 않는다. 최신 API 근거와 검토 한계는 [research](research.md)와
[research evidence](research-evidence.md)에 연결한다. FEAST count의 `fpm[49]=1`과
residual stopping의 `fpm[5]=0`은 C-index다. 종료 제어는 [ADR-011](ADR.md#mfe2-adr-011--feast-residual-stopping과-s3-후속-분리)과
[controls C5](numerical-review-controls.md#c5-fixed-lower-enclosure와-bounded-upper-search)의 승인된 변경을 적용한다.
빈 count interval의 `info=0,m0=0`과 작은
scratch 허용은 보장된 vendor 계약으로 채택하지 않는다.

## 검증 의무와 미해결 항목

두 질량의 독립 적분 oracle, 총 병진 질량·first moment·tangent inertia·drill null,
여섯 physical rigid modes, density scaling 및 full original-free residual/Gram을 검증한다.
`NR-MFE-001`의 `k_d=19/4800`, `lambda=10369/450`는 새 식의 exact target이며
독립 NR가 재계산해야 한다. 좌표 변환 후 geometry·director·frame·**complete K를 재계산**하고,
같은 물리 partial BC 및 admissible tangent moment를 사용하는 정적 대응도 검사한다.
Nonlinear scale immutability·objective energy·일관 residual/Hessian·선형극한을 재검증한다.

외부 portfolio는 오직 새 [requirements의 지정 범위](requirements.md)를 따른다.
`shell`, `shellNL`, `shellNL-eigen-meshfine`의 retained 의무와 synthetic 내부 검사를 유지한다.
제외된 네 예제는 원본·복사본·cache·과거 결과로 재사용하지 않는다. Eigen 외부 비교는
원본 TXT의 `Value`이며 [공통 tolerance](../TOLERANCE.md)를 변경하지 않는다.

NR가 내부 수치 기준, FEAST control·endpoint separation·bounded call budget·seed를
독립 검토하여 고정해야 한다. 실제 설치 runtime의 count/solve·zero/cluster/full-capacity
동작과 memory는 후속 실행 evidence다. Numerical review 전 수학적 correctness를
스스로 승인하지 않는다. I/O owner는 입력 allowlist, result schema·identity 및 실패 진단을
정의한다. 이 문서는 신규 physical scope 또는 영속 layout을 추가하지 않는다.

문서 작업에는 build/test를 실행하지 않는다. 링크·식·소스 경계의 정적 대조를 수행하며
실제 solver·reference 검증은 미실행으로 남긴다.