FESADev/docs/nonlinear-static-newton-raphson/research.md

# Nonlinear Static Newton–Raphson 연구 브리프

## 1. Metadata

- feature_id: `nonlinear-static-newton-raphson`
- source_requirement: `docs/nonlinear-static-newton-raphson/requirements.md`
- source_requirement_status: `approved`
- source_requirement_approval_date: `2026-08-23`
- status: `passed`
- owner_agent: `research-agent`
- date: `2026-08-23`
- research_scope: materially linear, geometrically nonlinear Total Lagrangian
  `S4/S4R -> FESA-MITC4`, finite rotation, Full Newton, fixed proportional path,
  state/output integrity, and verification evidence
- evidence_boundary: 이 문서는 정식화, 수치 허용오차, C++ API, I/O schema 또는
  reference artifact를 확정하지 않는다. 외부 solver의 공개 결과는 후보 수치 evidence일
  뿐 내부 알고리즘 동등성 evidence가 아니다.

이 문서의 주장은 다음 네 가지 표지를 사용한다.

- **Verified fact**: 인용한 원문·공식 문서가 직접 뒷받침한다.
- **Project decision**: 승인된 요구조건 또는 프로젝트 전역 계약이 고정한다.
- **Inference**: verified fact와 project decision에서 도출한 연구 해석이며 downstream
  재검토가 필요하다.
- **Open issue**: evidence 또는 downstream 결정이 아직 없다.

## 2. Research Questions

승인된 `FESA-REQ-NSNR-003`, `FESA-REQ-NSNR-041`, `FESA-REQ-NSNR-074`,
`FESA-REQ-NSNR-006`, `FESA-REQ-NSNR-048`, `FESA-REQ-NSNR-018`,
`FESA-REQ-NSNR-063`, `FESA-REQ-NSNR-011`, `FESA-REQ-NSNR-019`,
`FESA-REQ-NSNR-030`, `FESA-REQ-NSNR-034`의 specialist gap에서 다음 질문을 도출했다.

1. 고정 초기 참조면을 쓰는 Total Lagrangian 4-node Reissner–Mindlin/MITC4 shell에서
   materially linear response를 표현할 때 어떤 strain/stress/virtual-work 근거가 필요한가?
2. committed/trial triad와 director를 multiplicative finite-rotation update로 갱신할 때
   orthonormality뿐 아니라 objectivity, path independence, singularity avoidance와 consistent
   linearization을 어떻게 별도로 입증해야 하는가?
3. 기존 linear MITC4의 `24 global -> 20 physical + 4 numerical drill` 경계를 finite rotation에
   확장할 때 global map의 1·2차 미분, rotation chart/recentering, objective drilling potential과
   nodal-moment work 중 무엇이 아직 미해결인가?
4. Full Newton에서 residual, algorithmic tangent, factorization과 correction이 같은 trial
   state를 가리킨다는 것을 어떤 수학적·실행 순서 evidence로 확인할 수 있는가?
5. fixed-global dead `CLOAD`와 absolute prescribed `BOUNDARY`를 하나의 scalar factor로
   진행할 때 translation, finite rotation, reaction과 external work의 의미는 무엇인가?
6. original MITC4의 shear/membrane locking, distorted geometry, drilling, quadrature와
   conditioning 위험을 nonlinear large-rotation 상태에서 어떻게 제한하고 특성화할 것인가?
7. small-displacement limit, tangent consistency, equilibrium/reaction, rigid-body/objectivity,
   symmetry, deterministic commit/rollback을 서로 독립적으로 검증할 benchmark/patch/MES/MMS
   portfolio는 무엇인가?
8. 공개 benchmark와 기존 저장 artifact 중 정확히 어떤 입력·target quantity가 현재
   사용 가능하며, 무엇이 nonlinear acceptance artifact로는 아직 비어 있는가?

| research question | requirement_ids | research gap |
| --- | --- | --- |
| RQ-1 | `FESA-REQ-NSNR-003`, `FESA-REQ-NSNR-041` | TL materially-linear MITC4 theory boundary |
| RQ-2 | `FESA-REQ-NSNR-074` | multiplicative triad/director update, objectivity and derivatives |
| RQ-3 | `FESA-REQ-NSNR-003`, `FESA-REQ-NSNR-074` | nonlinear global/physical/drill map and finite nodal-moment work |
| RQ-4 | `FESA-REQ-NSNR-006` | same-trial Full Newton consistency evidence |
| RQ-5 | `FESA-REQ-NSNR-048`, `FESA-REQ-NSNR-018`, `FESA-REQ-NSNR-063` | proportional dead-load/prescribed finite path |
| RQ-6 | `FESA-REQ-NSNR-003` | locking, drilling, quadrature and conditioning limits |
| RQ-7 | `FESA-REQ-NSNR-011`, `FESA-REQ-NSNR-019`, `FESA-REQ-NSNR-030` | physics, tangent, objectivity and transactional verification portfolio |
| RQ-8 | `FESA-REQ-NSNR-034` | exact stored/public nonlinear artifact and target readiness |

## 3. Source Inventory

### 3.1 Project contracts and local evidence

Project contract는 외부 reliability tier와 혼합하지 않고 `Project`로 표시한다.

| id | source_type | title/path | reliability_tier | 사용 범위와 한계 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| P1 | approved requirement | `docs/nonlinear-static-newton-raphson/requirements.md` | Project | 승인 scope, load path, Newton/state/output/verification 계약. 정식 방정식·내부 tolerance·exact reference artifact는 고정하지 않음 |
| P2 | project governance | `AGENTS.md`, `docs/SOLVER_AGENT_DESIGN.md`, `docs/PRD.md` | Project | 독립 solver 정체성, 8-stage gate, research ownership과 external-reference 경계 |
| P3 | architecture/decision | `docs/ARCHITECTURE.md`, `docs/ADR.md` (`ADR-016`, `ADR-017`, `ADR-022`) | Project | 별도 nonlinear procedure, deterministic assembly, candidate-before-commit, full residual/reaction 및 공통 comparison 정책. nonlinear shell 방정식은 없음 |
| P4 | tolerance policy | `docs/TOLERANCE.md` | Project | 저장 reference row precheck와 family-scale row/RMS gate. tangent/objectivity/orthonormality/iteration tolerance를 제공하지 않음 |
| P5 | existing linear MITC4 evidence | `docs/linear-static-mitc4-shell/{research,formulation,numerical-review,reference-model}.md` | Project | 승인된 linear MITC4 물리/적분/결과 경계와 기존 test inventory. `formulation.md` §15는 future-only gap inventory이며 nonlinear 정식화 evidence가 아님 |
| P6 | local tests/artifacts | `tests/unit/elements/mitc4_shell_test.cpp`, `tests/unit/model/shell_geometry_test.cpp`, `tests/reference/mitc4_reference_cases_test.cpp`, `tests/reference/mitc4_reference_comparison_test.cpp`, `reference/shell/`, `reference/shellR/` | Project | linear rigid/patch/geometry/reference 회귀의 exact local identity. 두 `.inp` 모두 `nlgeom=NO`; nonlinear acceptance-ready가 아님 |

### 3.2 External sources

- access_date: `2026-08-23` (`S1`–`S17` 공통)
- tier_policy: Tier 1은 공식 표준·기관·solver manual, Tier 2는 peer-reviewed 원 논문·교과서,
  Tier 3는 탐색용 synthesis를 뜻한다.

| id | source_type | title | author_or_org | URL_or_DOI | reliability_tier | 제공 evidence / 접근·적용 한계 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| S1 | peer-reviewed original paper | *A Continuum Mechanics Based Four-Node Shell Element for General Non-linear Analysis* | E. N. Dvorkin, K.-J. Bathe | [MIT author PDF](https://web.mit.edu/kjb/www/Publications_Prior_to_1998/A_Continuum_Mechanics_Based_Four-Node_Shell_Element_for_General_Nonlinear_Analysis.pdf), DOI [`10.1108/eb023562`](https://doi.org/10.1108/eb023562) | Tier 2 | original four-node continuum-based shell, Total Lagrangian nonlinear equations, assumed transverse shear, examples, `2x2x2` elastic integration. 1984 five-physical-DOF update이며 FESA global 24-DOF/drill 계약은 없음; PDF는 공개 author copy이나 저작권 자료 |
| S2 | peer-reviewed original paper | *On a Stress Resultant Geometrically Exact Shell Model. Part III: Computational Aspects of the Nonlinear Theory* | J. C. Simo, D. D. Fox, M. S. Rifai | [publisher record](https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0045782590900943), DOI [`10.1016/0045-7825(90)90094-3`](https://doi.org/10.1016/0045-7825(90)90094-3) | Tier 2 | singularity-free exact director update, finite-deformation mixed fields, exact discrete-equilibrium linearization, nonlinear examples. stress-resultant shell model이므로 FESA 식의 직접 근거가 아니며 publisher full text 접근 제한 가능 |
| S3 | peer-reviewed original paper | *On the Choice of Finite Rotation Parameters* | A. Ibrahimbegović | [publisher record](https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0045782597000595), DOI [`10.1016/S0045-7825(97)00059-5`](https://doi.org/10.1016/S0045-7825(97)00059-5) | Tier 2 | finite-rotation parametrization과 incremental rotation/Newton 구현 선택의 영향. 일반 구조 rotation 논문이며 MITC4/drilling 특화가 아님 |
| S4 | peer-reviewed original paper | *Multiplicative Updating of the Rotation Tensor in the Finite Element Analysis of Rods and Shells—A Path Independent Approach* | C. Sansour, W. Wagner | [institutional record](https://digital.library.adelaide.edu.au/items/e3451786-5c76-498e-a1cd-662e73db573f), DOI [`10.1007/s00466-002-0401-4`](https://doi.org/10.1007/s00466-002-0401-4) | Tier 2 | multiplicative update의 path-dependence 문제와 path-independent 접근. Cosserat-type rod/shell이며 FESA의 numerical drill potential을 정의하지 않음 |
| S5 | peer-reviewed open-access review/original formulation | *A Consistent Finite Element Formulation of the Geometrically Non-linear Reissner–Mindlin Shell Model* | A. Müller, M. Bischoff | [Springer open access](https://doi.org/10.1007/s11831-021-09702-7); corrections [`10.1007/s11831-022-09725-8`](https://doi.org/10.1007/s11831-022-09725-8), [`10.1007/s11831-022-09832-6`](https://doi.org/10.1007/s11831-022-09832-6) | Tier 2 | director가 사는 nonlinear manifold, objective/path-independent interpolation, potential의 correct gradient/Hessian 필요성. CC BY 4.0; projection-based higher-order formulation은 FESA MITC4와 다름 |
| S6 | peer-reviewed original paper | *The MITC4+ Shell Element in Geometric Nonlinear Analysis* | Y. Ko, P.-S. Lee, K.-J. Bathe | [MIT author PDF](https://web.mit.edu/kjb/www/Principal_Publications/The_MITC4%2B_shell_element_in_geometric_nonlinear_analysis.pdf), DOI [`10.1016/j.compstruc.2017.01.015`](https://doi.org/10.1016/j.compstruc.2017.01.015) | Tier 2 | TL/Green–Lagrange nonlinear MITC4+, quaternion triad update, `2x2x2` integration, analytical/FE benchmarks, distorted-mesh locking evidence. MITC4+는 assumed membrane field를 추가한 다른 element이며 graph-only target이 많음 |
| S7 | official solver theory manual | [Nonlinear Solution Methods in Abaqus/Standard](https://docs.software.vt.edu/abaqusv2024/English/SIMACAETHERefMap/simathe-c-nonlinearsol.htm) | Dassault Systèmes | official 2024 documentation | Tier 1 | Newton Jacobian/residual/correction의 same-state 관계, full/modified/quasi-Newton 구분, residual+correction checks. Abaqus adaptive controls와 approximations는 P1이 배제하며 내부 동등성 근거가 아님 |
| S8 | official solver benchmark | [3DNLG-1: Elastic Large Deflection Response of a Z-Shaped Cantilever Under an End Load](https://docs.software.vt.edu/abaqusv2025/English/SIMACAEBMKRefMap/simabmk-c-3dnlg1.htm) | Dassault Systèmes / NAFEMS attribution | official 2025 documentation; NAFEMS R0024 | Tier 1 | 공개 S4/S4R input 이름, 재료/BC/load, 세 load level의 tip displacement와 moment-at-A 표. 페이지가 NAFEMS 권고 문제를 재현하지만 source independence와 FESA subset 적합성은 별도 확인 필요 |
| S9 | official solver benchmark | [3DNLG-9: Large Elastic Deflection of a Pinched Hemispherical Shell](https://docs.software.vt.edu/abaqusv2024/English/SIMACAEBMKRefMap/simabmk-c-3dnlg9.htm) | Dassault Systèmes / NAFEMS attribution | official 2024 documentation; NAFEMS R0024 | Tier 1 | 공개 S4/S4R input 이름, point-load/symmetry 조건, 세 load level의 A/B radial displacement 표. 공식 페이지가 NAFEMS 공개값이 Abaqus로 얻어졌음을 명시하므로 Abaqus와 NAFEMS 표의 비교는 독립 검증이 아님 |
| S10 | official benchmark catalog | [Geometric Non-linearity benchmark catalog](https://www.nafems.org/publications/glossaryofbenchmarks/nonlinear/geometric/), [R0029 record](https://www.nafems.org/publications/resource_center/r0029/) | NAFEMS | publication `R0029` / summary `R0024` | Tier 1 | 3D beam/shell geometric-nonlinear benchmark inventory와 목적. exact R0029 report는 유료여서 이번 연구에서 전체 원문·독립 source tables를 확인하지 못함 |
| S11 | official standard | *V&V 10-2019 (R2025), Standard for Verification and Validation in Computational Solid Mechanics* | ASME | [official record](https://www.asme.org/codes-standards/find-codes-standards/standard-for-verification-and-validation-in-computational-solid-mechanics) | Tier 1 | V&V/VVUQ 공통 framework와 용어. 유료 full standard 미열람이므로 분류 수준으로만 사용하고 세부 acceptance를 귀속하지 않음 |
| S12 | government report | *Code Verification by the Method of Manufactured Solutions* | K. Salari, P. K. Knupp, Sandia National Laboratories | [Sandia record](https://www.sandia.gov/research/publications/details/code-verification-by-the-method-of-manufactured-solutions-2000-06-01/), DOI [`10.2172/759450`](https://doi.org/10.2172/759450), `SAND2000-1444` | Tier 1 | MMS가 order-of-accuracy에 영향을 주는 coding error를 탐지할 수 있다는 방법론과 blind tests. 예제는 주로 CFD이며 shell input/target을 제공하지 않음 |
| S13 | peer-reviewed paper + reproducible artifact | *Method of Manufactured Solutions Code Verification of Elastostatic Solid Mechanics Problems in a Commercial Finite Element Solver* | K. I. Aycock, N. Rebelo, B. A. Craven | [publisher record](https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0045794919301968), DOI [`10.1016/j.compstruc.2019.106175`](https://doi.org/10.1016/j.compstruc.2019.106175), artifact DOI [`10.6084/m9.figshare.7726352.v2`](https://doi.org/10.6084/m9.figshare.7726352.v2) | Tier 2 | elastostatic small/finite-strain MMS source-generation notebook와 input artifact. 3-D solid/body-source 및 다른 constitutive cases라 현재 MITC4/CLOAD/BOUNDARY subset에 직접 실행 불가 |
| S14 | official solver verification guidance | [About Element Verification](https://docs.software.vt.edu/abaqusv2024/English/SIMACAEVERRefMap/simaver-c-basicelemover.htm) | Dassault Systèmes | official 2024 documentation | Tier 1 | patch test만으로 shell을 충분히 검증할 수 없고 geometric-nonlinear element에 constant-strain/rigid-rotation checks가 필요하다는 vendor verification 관행. FESA acceptance 수치나 내부 등가성은 제공하지 않음 |
| S15 | configured FEM wiki navigation | `Nonlinear Finite Element Analysis`, `MITC4 Shell Element`, `MITC Shell Kinematics`, `Green-Lagrange Strain Linearization`, `Shell Locking Phenomenon`, `Shell Element Benchmark Testing`, `Scordelis-Lo Shell Benchmark` | MultiPhysicsVault | local `C:\git\MultiPhysicsVault\wiki\` | Tier 3 | source 탐색과 용어 연결에만 사용. 핵심 주장은 P1–P6 또는 S1–S14/S16–S17 원문으로 추적함 |
| S16 | peer-reviewed benchmark paper + institutional postprint | *Popular Benchmark Problems for Geometric Nonlinear Analysis of Shells* | K. Y. Sze, X. H. Liu, S. H. Lo | [HKU institutional record and postprint](https://hub.hku.hk/handle/10722/54269), DOI [`10.1016/j.finel.2003.11.001`](https://doi.org/10.1016/j.finel.2003.11.001) | Tier 2 | eight benchmark sets의 geometry/load와 dense tabulated load–deflection data, mesh refinement 및 equal-increment difficulty evidence. CC BY-NC-ND institutional postprint; 값은 Abaqus S4R 계산이고 vendor Updated-Lagrangian/reduced-integration/hourglass/drill 및 automatic-control 결과이므로 FESA formulation이나 독립 reference와 동일시할 수 없음 |
| S17 | official solver verification example | [Rigid Body Motion Output Variables](https://docs.software.vt.edu/abaqusv2024/English/SIMACAEVERRefMap/simaver-c-rigidbodymotoutput.htm) | Dassault Systèmes | official 2024 documentation | Tier 1 | `xrbmshel.inp`가 shell elements에 imposed 90-degree z-axis rigid rotation을 가하고 rigid-body output을 확인함. direct-integration implicit dynamics와 vendor whole-set output test라 FESA nonlinear-static strain/internal-force objectivity artifact가 아님 |

## 4. Extracted Facts and Theory Summary

### 4.1 Total Lagrangian four-node shell boundary

- **Verified fact — S1/S6:** Dvorkin–Bathe 계열의 continuum-based four-node shell은
  midsurface translation과 nodal director rotation으로 shell continuum를 나타내며,
  Total Lagrangian 기술에서 초기 configuration에 대한 Green–Lagrange strain 계열과 그에
  work-conjugate한 stress를 사용해 internal virtual work를 구성한다. S6는 이 계열을
  geometric nonlinear MITC4+로 전개하고 incremental Green–Lagrange strain을 residual/tangent
  계산에 사용한다.
- **Project decision — P1:** FESA는 하나의 고정 초기 reference를 유지하고 homogeneous
  isotropic materially linear law만 허용한다. 따라서 material state/history 없이 geometry와
  rotation에서만 비선형성이 생겨야 한다.
- **Inference:** Formulation은 동일 trial state에서 initial-reference geometry, current
  midsurface, current director/triad, strain, materially linear stress와 internal virtual work가
  연결되는 한 계통을 제시해야 한다. 정확한 strain components, plane-stress reduction,
  thickness assumption, stress/resultant recovery는 이 연구가 확정하지 않는다.
- **Verified fact — S1/S6:** original MITC4의 assumed covariant transverse-shear interpolation은
  thin-shell shear locking을 줄이기 위한 핵심이다. S6의 nonlinear 계산은 네 node shell에
  `2 x 2 x 2` Gauss integration을 사용한다.
- **Project decision — P5:** 기존 승인 linear FESA-MITC4도 source `S4/S4R` 모두 하나의
  `2 x 2` midsurface × two-point-thickness 경로와 동일 MITC shear tying을 쓴다. source label은
  Abaqus S4/S4R integration 선택자가 아니다.
- **Inference:** 기존 rule을 nonlinear trial geometry에 그대로 “호출”하는 것만으로 consistent
  TL element가 되지 않는다. 각 quadrature/tying 위치의 reference/current frame, strain variation,
  stress-resultant와 geometry/map Hessian을 재유도해야 한다. `P5` §15는 이 필요사항의 목록이지
  승인된 해답이 아니다.
- **Applicability fact — S1/S6:** 이 shell family의 large displacement/rotation 사용은 thin-to-thick
  Reissner–Mindlin-type kinematics와 small elastic strain 가정 안에서 해석해야 한다. materially
  linear law를 큰 material strain의 물리 모델로 일반화할 evidence는 없다.

### 4.2 Finite rotations, director and objectivity

- **Verified fact — S2/S3/S5:** finite rotation은 additive Euclidean vector가 아니며,
  configuration update, interpolation과 linearization은 rotation/director가 놓인 nonlinear
  manifold를 반영해야 한다. S2는 magnitude와 무관한 singularity-free director update와 exact
  discrete linearization을, S5는 objective/path-independent director interpolation과 correct
  potential gradient/Hessian의 필요성을 제시한다.
- **Verified fact — S4:** rotation tensor를 단순히 multiplicative하게 누적한다는 사실만으로
  path independence가 자동 보장되지 않는다. update의 interpolation/parameterization과 state
  정의를 함께 검토해야 한다.
- **Project decision — P1:** 각 node에는 committed/trial orthonormal right-handed triad `Q`가
  있고 director는 세 번째 축이다. correction은 dimensionless이며 update는 multiplicative다.
- **Inference:** 적절한 proper-orthogonal incremental rotation을 곱하면 한 번의 연산은 triad의
  orthonormality와 handedness를 보존할 수 있다. 그러나 left/right multiplication, spatial/body
  increment convention, exponential/quaternion map, small-angle branch, accumulated chart의
  recentering과 derivative를 고정하지 않으면 residual/tangent/BC/moment가 유일해지지 않는다.
- **Open issue O-ROT-01:** Formulation이 `Q_trial` update의 multiplication side, increment frame,
  retraction과 first/second directional derivative를 정해야 한다. 이것은 approved “multiplicative”
  의미를 구체화하되 global DOF/public input 의미를 바꾸어서는 안 된다.
- **Open issue O-ROT-02:** nodal director/triad에서 Gauss/tying point director와 frame을 만드는
  objective interpolation, normalization derivative 및 degenerate/opposed director의 fail-closed
  조건이 아직 없다. S5의 특정 projection-based interpolation을 FESA가 채택한다고 추론하지 않는다.
- **Inference:** objectivity는 단지 최종 `Q^T Q=I`, `det(Q)=+1` 검사와 다르다. initial/current
  geometry와 모든 triad에 같은 finite rigid motion을 superpose했을 때 physical strain/stress,
  internal energy와 equilibrium law가 적절히 invariant/covariant해야 한다.

### 4.3 Global 24 DOFs, drilling and nodal moments

- **Verified fact — S1:** original continuum-based four-node shell은 node당 두 director rotation을
  쓰는 five-physical-DOF element로 제시된다. director 축 주위 rotation은 original physical
  shell strain이 아니다.
- **Project decision — P1/P5:** FESA public/global field는 node당 세 `UR`을 유지하고, 기존
  linear element는 director-tangent physical pair와 director-parallel numerical drill coordinate를
  분리한다. fixed small diagonal drill stabilization은 linear 계약에서만 승인되었다.
- **Inference:** finite rotation에서 current director에 대한 “parallel/tangent” projection 자체가
  state-dependent하다. 그러므로 physical 20-coordinate residual을 global 24-coordinate correction에
  옮기는 map의 첫 미분뿐 아니라 map의 변화가 만드는 second-derivative/geometric term까지
  consistent tangent에 필요하다.
- **Open issue O-DRILL-01:** objective nonlinear drilling potential, rotating reference, stiffness
  scale의 committed/trial 의존성, residual과 exact Hessian이 없다. linear diagonal을 current
  coordinates에 그대로 더하면 large rigid rotation에 artificial energy를 만들 수 있다는 것은
  **inference**이며, Formulation/Numerical Review가 potential 수준에서 판정해야 한다.
- **Verified boundary — S4/S5:** path-independent/objective shell formulations 또는 physical
  Cosserat drilling rotation은 존재하지만, 그것은 FESA의 numerical drill regularization과 다른
  물리 모델이다. 이를 근거로 FESA drill을 physical strain/load channel로 바꿀 수 없다.
- **Open issue O-MOM-01:** fixed-global dead nodal moment의 components는 P1이 고정하지만,
  multiplicative rotation correction과 work-conjugate generalized moment, virtual work, consistent
  derivative는 아직 없다. “follower-load tangent 없음”이 “rotation-map derivative도 없음”을
  뜻한다고 추론해서는 안 된다.
- **Open issue O-DRILL-02:** current director와 평행한 applied moment의 거부/허용 projection이
  finite state에서 어떻게 평가되는지, physical moment work와 numerical drill을 어떻게 완전히
  분리하는지 downstream 계약이 필요하다.

### 4.4 Full Newton and same-trial consistent tangent

- **Verified fact — S7:** Newton linearization은 현재 iterate에서 평가한 equilibrium residual과
  그 residual의 Jacobian을 같은 state에서 사용한다. full Newton은 매 iteration Jacobian을 다시
  형성하고 푸는 방법이며, residual과 correction을 함께 작게 확인하는 것이 일반적이다.
- **Project decision — P1:** FESA는 residual과 algorithmically consistent tangent를 같은 trial
  identity에서 평가하고, entered iteration마다 fresh factorization/solve를 하며, correction을
  변경 없이 적용한다. iteration `1..100`, fixed increments, no line search/damping/cutback/retry다.
- **Inference:** “material tangent + geometric stiffness”라는 이름의 합만으로 consistency가
  입증되지 않는다. 선택한 rotation retraction 아래에서 physical internal force, state-dependent
  24/20 map, drilling potential, prescribed-DOF elimination과 external work를 모두 방향미분한 결과가
  assembled residual의 Jacobian과 일치해야 한다.
- **Inference:** fixed-global translational dead force의 magnitude/direction은 displacement와 무관하므로
  translation virtual-work 표현이 additive global translation이면 그 load contribution은 configuration
  derivative를 만들지 않는다. 이 결론은 nodal moment나 prescribed finite rotation에 자동 확장되지
  않는다.
- **Inference / verification consequence — S7/P1:** deterministic directional-derivative test에서 동일 trial state와 동일
  rotation retraction을 사용해 `K p`를 centered residual difference와 비교해야 한다. perturbation을
  한 값으로 고정해 우연한 cancellation을 통과시키지 말고 truncation/roundoff plateau를 확인하되,
  perturbation grid와 tolerance는 Numerical Review가 정한다.
- **Inference / symmetry boundary — S5/P1:** materially linear conservative internal potential과 conservative numerical
  drilling potential을 정확히 두 번 미분한 적절한 coordinate Hessian은 symmetry 후보가 된다.
  그러나 nodal moment work, rotation coordinate choice와 constraint reduction이 미정이므로 complete
  global tangent symmetry를 이 연구에서 요구사항 이상으로 확정하지 않는다.

### 4.5 Proportional loads and prescribed paths

- **Project decision — P1:** 모든 approved `CLOAD`와 nonzero `BOUNDARY`는 step-start에서 factor-one
  target까지 같은 scalar factor를 쓰고, factor는 fixed positive increment와 마지막 shortening만으로
  정확히 1에 도달한다. `CLOAD` force/moment는 global direction이 고정된 dead load다.
- **Project decision — P1:** prescribed value는 factor-one absolute global-DOF target이며 Newton
  correction과 다르다. constrained component는 convergence norm에서 빠지지만 complete assembled
  residual의 constrained entry는 reaction 의미를 가진다.
- **Open issue O-BC-01:** finite rotational `BOUNDARY` target을 `Q_start`에 상대적인 rotation vector로
  해석하는지, `Q(lambda)`를 어떤 retraction/side로 구성하는지, constrained correction과 target
  mismatch를 어떤 coordinate에서 계산하는지 Formulation이 정해야 한다.
- **Inference:** Cartesian nodal positions를 `X + lambda (R-I)X`로 선형 보간하는 prescribed path는
  일반적으로 중간 `lambda`에서 exact rigid rotation 궤적이 아니다. 따라서 finite rigid-body
  objectivity test를 단순 proportional displacement BC로 만들면 중간 상태에 strain이 생길 수 있다.
  operator-level superposition test 또는 처음부터 rigidly transformed 된 두 독립 모델의 covariance
  비교가 더 직접적인 후보이며, exact rigid prescribed path를 새 public 의미로 추가하면 scope change다.
- **Inference / applicability consequence — P1:** limit point, snap-through/post-buckling branch, follower pressure와
  non-proportional control이 필요한 benchmark는 첫 release의 acceptance 후보가 아니다. fixed-load
  increment가 Newton attraction radius 밖이면 deterministic failure가 맞으며, automatic cutback을
  기대할 수 없다.

### 4.6 Locking, integration and geometry risks

- **Verified fact — S6:** original MITC4는 transverse shear를 MITC 방식으로 처리하지만 membrane
  strain을 MITC4+처럼 보강하지 않는다. curved 또는 response 중 distorted mesh에서는 membrane
  locking으로 load–displacement accuracy가 크게 저하될 수 있다.
- **Project decision — P5:** FESA `S4`와 `S4R`는 같은 original-style MITC4 path다. Abaqus S4/S4R의
  full/reduced integration, hourglass, membrane enhancement 또는 stabilization 차이를 상속하지 않는다.
- **Inference:** `2x2x2` common rule은 S1/S6 및 linear FESA와 연결되는 강한 candidate지만,
  nonlinear strain/tangent의 각 항을 어느 위치에서 적분할지는 Formulation이 source 식으로
  확인해야 한다. one-point reduction/hourglass control을 source `S4R` 때문에 도입할 근거는 없다.
- **Verified risk / inference — S6/P5:** thin/slender geometry, curved/distorted quads, nearly degenerate positive Jacobian과 작은
  drill scale은 locking 또는 conditioning을 악화할 수 있다. current trial geometry가 심하게
  변형되어도 TL reference mapping과 current frame/director 모두 각 required Gauss/tying/recovery
  위치에서 finite/valid해야 한다.
- **Inference / verification consequence — S6/P1:** regular/distorted, thickness/radius 또는 thickness/length sequence를
  함께 보고, 단일 point response가 맞는 것만으로 locking-free를 주장하지 않는다. MITC4+
  convergence를 original FESA-MITC4 acceptance target으로 사용하지 않는다.

### 4.7 Equilibrium, reactions and transactional state

- **Project decision — P1/P3:** full assembled equilibrium at a trial/accepted state gives free-DOF
  residual and constrained reaction. stable source/component identity와 deterministic assembly/reduction
  order를 보존해야 한다.
- **Inference:** accepted state 검증은 free residual norm만이 아니라 fixed-global resultant force와
  moment balance를 함께 확인해야 한다. global moment balance는 한 fixed origin에 대한 nodal-force
  moment, nodal couple와 reactions를 모두 포함해야 하며 exact sign/identity는 Formulation/Numerical
  Review가 정한다.
- **Project decision — P1/P3:** trial state와 output candidate는 완전히 검증된 뒤 atomic commit된다.
  failure는 prior committed state와 prior authoritative HDF5를 보존하고 current-run live log는 남긴다.
- **Inference / verification consequence — P1/P3:** nonconvergence, nonfinite state/recovery, factorization/solve failure와
  output-finalization failure를 서로 다른 injected failure point로 시험해야 한다. 성공 increment만
  frame과 일대일이어야 하며 trial rotation/director가 committed state를 alias하면 안 된다.

## 5. Candidate Benchmarks and Artifact Readiness

후보 우선순위는 `A`(required portfolio의 직접 후보), `B`(외부 solution/reference candidate),
`C`(known-limit characterization 또는 future method)이다. 아래 수치나 source table은 아직 FESA
acceptance target/tolerance로 승인된 것이 아니다.

### B-01 — Small-displacement linear limit (`A`)

- **Exact candidate artifact:** 현재 read-only `reference/shell/shell.inp`,
  `reference/shell/shell displacements.csv`, `shell reactions.csv`, `shell stresses.csv`; 별도로
  `reference/shellR/shellR.inp`와 대응 CSV가 존재한다. 두 input 모두 `*Step, nlgeom=NO`다.
- **Artifact gap:** 동일 source identity와 supported four-value nonlinear `STATIC`을 사용하는
  approved `nlgeom=YES` input 및 nonlinear accepted-frame CSV는 없다. 기존 pair를 rename/rewrite하거나
  nonlinear reference라고 재분류해서는 안 된다.
- **Target quantities:** 충분히 작은 response에서 accepted factor-one global `U`, physical rotation/director,
  reaction, physical strain/stress/resultant의 linear procedure/baseline 접근; geometric part가 사라지는
  tangent limit; source-row identity.
- **Cannot verify:** finite rotation, nonlinear load–displacement path, nonlinear convergence, objective
  drilling, rollback 또는 Abaqus nonlinear agreement.
- **Assumptions/limits:** existing center deflection scale이 geometry에 비해 작은지는 model length와
  dimensionless ratio로 다시 확인해야 한다. `shellR` artifact 존재는 FESA reduced integration 또는
  nonlinear readiness 근거가 아니다.
- **Numerical Review questions:** nonlinear variant를 test-owned input으로 승인할지; 어느 linear
  HDF5/CSV quantities를 baseline으로 삼을지; geometric perturbation 크기와 case-specific limit
  tolerance는 무엇인지; external comparison이 아니라 cross-procedure regression으로 분류할지.

### B-02 — Element patch and constant-state continuation (`A`)

- **Exact candidate artifact/gap:** 기존 exact linear unit-test concepts는
  `tests/unit/elements/mitc4_shell_test.cpp`의 membrane/bending/shear/twist/rigid tests다. finite-state
  patch input/expected data artifact는 없음.
- **Target quantities:** constant membrane/bending/shear states의 nodal residual, strain/stress/resultant,
  patch interface equilibrium; zero-increment state에서 linear test로의 reduction; regular/rotated/distorted
  mesh에서 component/sign covariance.
- **Cannot verify:** global Newton lifecycle, full large-deflection accuracy, curved-shell membrane locking,
  external reference agreement.
- **Assumptions/limits:** analytical state가 chosen nonlinear shell kinematics에 정확히 representable한지
  Formulation derivation 후 확인해야 한다. all-constrained manufactured state는 solver convergence를
  exercise하지 않는다.
- **Numerical Review questions:** 어떤 exact states가 admissible한지, drill coordinate를 어떻게 zero로
  유지할지, element vs assembly blocking 분할과 invariant tolerance.

### B-03 — Tangent directional derivative (`A`)

- **Exact candidate artifact/gap:** external artifact 없음. Formulation이 정한 retraction을 쓰는
  deterministic generated trial-state test가 필요하다.
- **Target quantities:** 여러 regular/distorted elements와 assembled patch에서 translation/rotation
  direction `p`에 대한 complete residual difference와 `K_T p`; material, geometric, 24/20-map,
  drilling, load-work contribution을 선택적으로 isolate한 error trend.
- **Cannot verify:** 물리 solution accuracy, mesh convergence 또는 benchmark response.
- **Assumptions/limits:** centered difference의 두 perturbed states가 같은 committed base와 load factor를
  공유해야 한다. finite-difference noise 때문에 한 epsilon의 absolute comparison은 부적절하다.
- **Numerical Review questions:** perturbation schedule, norm/scaling, expected asymptotic region과 blocking
  tolerance; constrained DOF와 nodal-moment case 포함 여부; complete tangent symmetry의 expected status.

### B-04 — Finite rigid superposition/objectivity and triad invariants (`A`)

- **Exact candidate artifact/gap:** S17 public Abaqus verification에는 shell rigid-body-motion input
  `xrbmshel.inp`가 있으나 local stored artifact가 없고 FESA subset/목적이 일치하지 않는다.
  S17은 direct-integration implicit-dynamic rigid-body output test이지 nonlinear-static physical
  strain/internal-force objectivity test가 아니다.
  FESA operator-level superposition case도 아직 없음.
- **Target quantities:** arbitrary proper rigid rotation과 translation을 initial/current geometry 및 nodal
  triads에 superpose하기 전후 physical strain/stress/energy invariance, internal force/tangent covariance,
  `Q^T Q`, `det(Q)`, director-third-axis identity; rigid state의 zero physical residual.
- **Cannot verify:** deformational accuracy, nonlinear load path, reaction sign 또는 external solver agreement.
- **Assumptions/limits:** proportional Cartesian BC는 exact rigid intermediate path가 아니므로 사용하지
  않는다. numerical drill이 physical rigid motion에 energy를 만들지 않는 map이 먼저 정의되어야 한다.
- **Numerical Review questions:** state-level 또는 solved-model covariance 중 무엇을 blocking할지;
  rotation magnitudes/axes, force/tangent transform와 invariant tolerances; drill residual을 physical
  residual과 어떻게 분리할지.

### B-05 — Equilibrium/reaction and symmetry pair (`A`)

- **Exact candidate artifact/gap:** exact local nonlinear input/expected rows 없음. one-element/patch와
  mirrored multi-element model을 새 test-owned candidate로 정의해야 한다.
- **Target quantities:** accepted free residual, constrained reaction, global resultant force/moment balance;
  mirrored node/source mapping 아래 displacement, triad/director, reactions와 physical output의 parity;
  deterministic row/order identity.
- **Cannot verify:** absolute large-deflection accuracy 또는 tangent consistency 단독.
- **Assumptions/limits:** mirror는 orientation/connectivity와 pseudovector moment/rotation 변환을 올바르게
  다뤄야 한다. 단순 component equality가 아니라 signed mapped equality가 필요하다.
- **Numerical Review questions:** fixed balance origin, nodal couple 포함식, blocking quantities/tolerances,
  mirror connectivity rule, symmetry와 objectivity 중 요구조건의 최소 blocking 조합.

### B-06 — Commit/rollback and deterministic event sequence (`A`)

- **Exact candidate artifact/gap:** external physics artifact는 필요하지 않다. repository에는 nonlinear
  transactional-state failure harness가 아직 없다.
- **Target quantities:** success 시 committed state/load factor/frame의 bijection; iteration-100 pass/fail
  boundary; nonconvergence, nonfinite residual/tangent/correction/recovery, factorization/solve 및 HDF5
  finalization failure 후 prior displacement/triad/director/reaction/recovery/final HDF5 보존; live log의
  entered-iteration cardinality; repeated/thread configurations의 stable event/order.
- **Cannot verify:** shell physical accuracy나 external reference agreement.
- **Assumptions/limits:** failure injection은 production semantics를 바꾸지 않는 test seam이어야 한다.
- **Numerical Review questions:** floating reproducibility 수준, state snapshot 비교량, output failure를
  commit 전 어느 validation boundary에 둘지, incomplete current increment가 log에 남길 최소 evidence.

### B-07F — End-shear cantilever with dense tabulated path (`A/B`)

- **Exact candidate artifact:** S16 §3.1/Table 2a/Fig. 2의 public institutional postprint.
  `E=1.2e6`, `nu=0`, `L=10`, `b=1`, `h=0.1`, `P0=EI/L^2=1`, `Pmax=4P0`와
  `16 x 1` S4R model의 40 equal increments에서 horizontal/vertical tip deflections를
  `P/Pmax=0.05..1.00`에 tabulate한다.
- **Artifact gap:** machine-readable nodes/elements, exact nodal force distribution, `.inp`와 stored
  FESA/reference CSV가 없다.
- **Target quantities:** Table 2a의 signed `Utip/Wtip` path, tip force factor, root reactions,
  current geometry/director와 Newton iteration identity. Point dead force라 O-MOM-01을 기다리지 않는
  large-rotation global-solve 후보다.
- **Cannot verify:** curved-shell membrane locking, nodal moment work, tangent derivative, objectivity 또는
  rollback 단독. S16 값은 Abaqus S4R 결과이며 독립 analytical solution이 아니다.
- **Assumptions/limits:** paper의 S4R는 FESA와 다른 Updated-Lagrangian/reduced-integration/hourglass/drill
  model이다. equality는 오직 동일 physical quantity의 external numerical comparison 후보이며 internal
  compatibility를 뜻하지 않는다. 논문의 default automatic NINC/NITER가 아니라 Table 2a 생성에 쓴
  equal `NINC*=40` path만 first-release fixed-step 후보와 가까운 evidence다.
- **Numerical Review questions:** postprint geometry에서 exact mesh/connectivity/load distribution을
  재구성해도 benchmark identity를 보존하는가; Table 2a 어느 rows/components를 blocking할지;
  FESA fixed Full Newton/no-line-search에서 40 increments가 traversable한지; stored artifact provenance와
  `docs/TOLERANCE.md` family를 어떻게 정할지.

### B-07M — Pure-moment cantilever to a circular arc/full circle, MES (`A/B`)

- **Exact candidate artifact:** S6 §3.1/Fig. 5–7/Eq. (27)의 `16 x 1` MITC4/MITC4+ cantilever와
  analytical circular-arc solution. S16 §3.2/Table 3a/Fig. 3은 `E=1.2e6`, `nu=0`, `L=12`,
  `b=1`, `h=0.1`, `Mmax=2*pi*EI/L`과 `M/Mmax=0.05..1.00`의 analytical 및 S4R tip
  deflections를 tabulate한다.
- **Artifact gap:** machine-readable node/element/input, exact nodal moment distribution과 stored CSV가
  없다. FESA-approved CLOAD nodal-moment work가 아직 미정이다.
- **Target quantities:** published analytical tip-displacement functions, final circular geometry/director,
  load-factor path, root reactions, Newton iterations, objectivity under a superposed rigid transform.
- **Cannot verify:** point-force behavior, curved initial geometry, membrane-locking performance,
  Abaqus agreement, numerical drilling accuracy.
- **Assumptions/limits:** thin strip가 beam analytical assumptions에 충분히 접근하는 mesh/thickness가
  필요하고, tip moment를 node들에 배분하면 analytical end resultant와 work-equivalent해야 한다.
  S16의 dense S4R columns는 analytical columns의 보조 convergence evidence이지 FESA internal-equivalence
  target이 아니다. S16은 equal `NINC*=80`을 썼으며 default automatic increment counts는 FESA
  fixed-step behavior의 acceptance evidence가 아니다.
- **Numerical Review questions:** finite-rotation nodal-moment work가 확정되기 전 blocking 가능한가;
  exact geometry/mesh/section/load distribution과 analytical quantity projection; full-circle state를
  fixed-step/no-cutback Full Newton으로 안전하게 도달시킬 increment와 tolerance.

### B-08 — NAFEMS 3DNLG-1 Z-shaped cantilever (`B`)

- **Exact public candidate artifact:** S8의 `n3g1x33x_s4.inp`와 `n3g1x33x_s4r.inp`.
  페이지는 `t=1.7`, `E=2.0e5`, `nu=0.3`, built-in end, concentrated `P=4000`, `1 x 72`
  S4/S4R mesh와 source tables를 명시한다. local stored artifact/CSV는 없음.
- **Target quantities:** load `104.5`, `1263.0`, `4000.0`에서 tip displacement 및 section A moment;
  accepted path, root reactions, mesh/source identity.
- **Cannot verify:** curved-shell or distorted-mesh membrane locking, pure rigid objectivity, tangent derivative,
  rollback. source S4 result 일치는 formulation/integration/stabilization equivalence를 뜻하지 않는다.
- **Assumptions/limits:** public input의 keyword, node/element orientation, output/moment definition을 FESA
  subset과 대조해야 한다. NAFEMS original R0029의 independent-source details는 paywall gap이다.
- **Numerical Review questions:** exact public input을 그대로 지원할 수 있는지 또는 adaptation이
  필요한지; moment-at-A를 FESA authoritative output에서 동일 quantity/frame으로 얻을 수 있는지;
  source table 중 independent target을 식별할 수 있는지; 어떤 quantities가 blocking/warning인지.

### B-09 — NAFEMS 3DNLG-9 pinched hemisphere (`B`)

- **Exact public candidate artifact:** S9의 S4 `n3g9xe4x.inp`, S4R `n3g9xf4x.inp`.
  page는 `E=6.825e7`, `nu=0.3`, symmetry constraints, diametrical inward/outward point load
  `P=100`과 source tables를 제공한다. S16 §3.4/Table 5a는 closely related hemisphere의
  `P/Pmax=0.05..1.00` dense A/B displacement table을 제공한다. local stored artifact/CSV는 없음.
- **Target quantities:** `P=40,60,100`에서 points A/B radial displacement, load–displacement path,
  symmetry, reactions와 curved-shell mesh trend.
- **Cannot verify:** independent Abaqus verification—S9 자체가 NAFEMS published values가 Abaqus로
  얻어졌다고 경고한다—또는 tangent/rollback/pure moment work.
- **Assumptions/limits:** symmetry shorthand, spherical geometry/directors, exact node identity와 radial
  projection이 supported subset에 맞아야 한다. original MITC4의 membrane-locking 위험 때문에
  MITC4+ 또는 higher-order 결과 수준을 기대해서는 안 된다. S16 dense values 역시 Abaqus S4R로
  계산되었으므로 independent-source gap을 닫지 않는다.
- **Numerical Review questions:** R0029의 other-source 결과를 합법적으로 확인할 수 있는지;
  exact public deck subset compatibility; regular/distorted/mesh sequence와 target rows; known-locking
  limitation을 acceptance와 characterization 중 어디에 둘지.

### B-10 — Original-MITC4 locking/distortion characterization (`C`)

- **Exact candidate artifact:** S6 Fig. 14–16의 cylindrical shell bending geometry와
  `a/R=1/100, 1/1000, 1/10000`, regular/distorted `12 x 12` meshes; Fig. 17–20의 hemispherical
  shell, regular/distorted `8 x 8`, `12 x 12` meshes. 논문 PDF의 geometry/material/load 설명은 공개다.
- **Artifact gap:** machine-readable inputs/curves가 없고 fine MITC9 reference는 논문 graph뿐이다.
  cylindrical case의 distributed edge moment는 현재 input scope와 맞지 않는다.
- **Target quantities:** thickness와 distortion에 따른 displacement-curve trend, rank/conditioning,
  original MITC4와 reference curve의 qualitative separation.
- **Cannot verify:** exact blocking reference comparison, FESA MITC4+ behavior, current input-path acceptance.
- **Assumptions/limits:** characterization-only. S6는 original MITC4가 thin distorted cases와 일부
  large-response meshes에서 membrane lock함을 보여 주므로 실패 경향을 숨기지 않는다.
- **Numerical Review questions:** point-load-compatible hemisphere만 optional study로 남길지; graph
  digitization을 금지하고 qualitative known limitation으로만 쓸지; performance adequacy의 최소 범위.

### B-11 — Shell MMS / exact-solution expansion (`C`)

- **Exact public candidate artifact:** S13의 Figshare source-term notebook와 solid-mechanics examples.
- **Artifact gap:** FESA TL MITC4 shell kinematics에 대한 manufactured midsurface/director field,
  compatible nodal CLOAD/BOUNDARY-only source, analytical resultants와 convergence data가 없다.
- **Target quantities:** 향후 shell-specific MMS를 만들 경우 spatial order, residual/source balance,
  strain/stress/resultant error norms와 mesh refinement rate. 현재는 B-07M analytical circle을 MES
  (method of exact solutions) 후보로 우선한다.
- **Cannot verify:** current feature를 그대로 실행할 수 없음; S13의 3-D body source와 material cases는
  current input/material scope 밖이다.
- **Assumptions/limits:** shell MMS를 위해 distributed/body source 또는 새로운 BC meaning을 추가하면
  approved scope change다. all-boundary prescribed manufactured state는 global nonlinear solve를 충분히
  exercise하지 않는다.
- **Numerical Review questions:** current release에서 MMS를 nonblocking gap으로 둘지; nodal-load-only
  admissible exact state를 유도할 수 있는지; spatial convergence study가 acceptance에 필요한지.

## 6. Verification Relevance

| evidence class | candidates | 검증하는 것 | 검증하지 못하는 것 |
| --- | --- | --- | --- |
| code verification | B-01, B-02, B-03, B-04, B-05, B-06 | linearization, coordinate map, objectivity/covariance, equilibrium/reaction, state lifecycle, deterministic order | 실제 구조물의 물리 validity 전부 |
| exact/MES comparison | B-07M | large-rotation kinematics, moment work, analytical response path | general curved shell, point force, drilling accuracy |
| solution verification / benchmark comparison | B-07F, B-08, B-09 | assembled nonlinear response, path, curvature, nodal dead load, mesh behavior | 내부 formulation equivalence, tangent consistency, rollback |
| known-limit characterization | B-10 | original MITC4 membrane-locking/distortion sensitivity를 드러냄 | blocking exact target 또는 MITC4+ 성능 |
| MMS method candidate | B-11 | 향후 equation/source implementation과 spatial order | current input scope에서 즉시 실행 가능한 gate |
| reference comparison | Stage-4에서 승인할 stored nonlinear input/CSV | stable source/component mapping과 `docs/TOLERANCE.md` gate | formulation identity, objectivity, state integrity |
| validation | 현재 exact candidate 없음 | — | experimental reality agreement. 이번 release gate를 verification과 validation으로 혼동하지 않음 |

한 benchmark의 nodal displacement 일치로 전체 기능을 승인해서는 안 된다. 최소 blocking portfolio는
B-01~B-06의 독립 invariant/software checks와, point-dead-load B-07F 또는 exact subset이 확인된
B-08/B-09 중 적어도 하나의 large-response problem을 조합하는 방향이 타당하다. O-MOM-01 해소
후 analytical B-07M을 추가하면 finite-moment work evidence가 강화된다. 이는
**research recommendation**이며 exact blocking set과 tolerance는 Numerical Review 소유다.

## 7. Applicability Limits

| axis | applicable | not established / excluded |
| --- | --- | --- |
| nonlinearity | fixed-reference Total Lagrangian geometric nonlinearity | Updated Lagrangian, corotational, material nonlinearity, finite-strain constitutive validation |
| element | four-node FESA-MITC4 mapping for source S4/S4R; Reissner–Mindlin-type director shell | MITC4+, MITC9, physical drilling/MITC4-D, continuum-shell 또는 Abaqus S4/S4R internal behavior |
| material/section | homogeneous isotropic materially linear shell; user-consistent units | composite, plasticity, hyperelasticity, thickness stretch/material history |
| kinematics | large displacement/finite rotation with small elastic strain applicability | singular/degenerate director interpolation, sharp folds/intersections/hinges without separate evidence |
| loads | proportional fixed-global nodal force and moment; prescribed global targets | follower pressure/force, distributed/body/edge load, non-proportional path, arc-length/control displacement |
| solver path | fixed increments, Full Newton, fresh tangent/solve, no correction modification | modified/quasi-Newton, line search, damping, adaptive growth/cutback/retry, limit-point traversal guarantee |
| integration | source-backed `2x2x2` candidate and existing FESA common S4/S4R convention | source-label-selected Abaqus integration, one-point reduction/hourglass or undocumented selective integration |
| locking | transverse-shear MITC mitigation | general locking-free claim; distorted curved original MITC4 has membrane-locking risk |
| outputs/reference | accepted committed states; exact stable source/component matching after Stage-4 contract | trial HDF5 history, vendor internal variables, inferred units/coordinates, artifact row averaging/normalization |
| verification | analytical/invariant/patch/benchmark/software-failure portfolio | one-value validation claim, automatic Abaqus/Midas equivalence, current linear artifacts as nonlinear reference |

## 8. Open Issues and Source Disagreements

| id | type | issue / conflict | downstream acceptance question |
| --- | --- | --- | --- |
| O-ROT-01 | formulation | multiplicative side/frame/retraction, accumulated chart/recentering과 first/second derivative 미정 | Formulation이 하나의 objective state/update convention을 완전 선형화할 수 있는가? |
| O-ROT-02 | formulation/numerical | nodal triad/director의 Gauss/tying interpolation과 normalization derivative 미정 | opposed/degenerate director validation 및 objectivity test가 무엇인가? |
| O-MAP-01 | formulation | nonlinear `24 global -> 20 physical + 4 drill` map과 map Hessian 미정 | complete global residual/tangent가 directional-derivative gate를 통과하는가? |
| O-DRILL-01 | formulation/numerical | objective drilling potential, scale/state dependence와 exact Hessian 미정 | six physical rigid modes를 보존하며 pure drill만 regularize하는가? |
| O-DRILL-02 | formulation/numerical | finite state에서 director-parallel applied moment의 판정과 physical moment/numerical drill 분리 미정 | drilling-direction load가 physical work나 stabilization에 섞이지 않고 결정적으로 거부되는가? |
| O-MOM-01 | formulation | fixed-spatial nodal moment의 multiplicative rotation work/conjugacy 미정 | no-follower 계약을 지키면서 residual/tangent와 B-07M을 정의할 수 있는가? |
| O-BC-01 | formulation/numerical | absolute prescribed finite rotation의 factor path와 constrained correction 좌표 미정 | factor endpoints, intermediate `Q`, reaction work와 rollback identity가 유일한가? |
| O-SYM-01 | numerical | complete tangent symmetry가 conservative internal/drill/moment 선택 후에야 판정 가능 | symmetry를 blocking invariant로 둘지, 어떤 scaled norm을 쓸지? |
| O-REF-01 | reference readiness | exact stored nonlinear `.inp`/CSV가 repository에 없음 | B-08 또는 B-09의 exact deck/rows를 합법적으로 저장·승인할지, 아니면 다른 artifact를 선택할지? |
| O-REF-02 | source access | NAFEMS R0029 full report는 paid/private; 공개 Abaqus 3DNLG-9 값은 독립 NAFEMS evidence가 아님 | independent target/provenance를 추가 확보할 수 있는가? 확보 못하면 claim을 어떻게 제한할지? |
| O-TOL-01 | numerical | tangent, objectivity, `Q` invariant, balance, symmetry, endpoint arithmetic tolerance 미정 | scale-aware case-specific gate를 Stage-4 전에 모두 고정할 수 있는가? |
| O-BENCH-01 | scope/numerical | B-07F는 exact deck 부재/vendor-result 경계, B-07M은 nodal moment work, B-09는 curved locking/subset, B-08은 moment output identity gap이 있음 | large-response blocking benchmark를 어떤 exact artifact/quantity로 선택할지? |
| O-STEP-01 | numerical | no-cutback Full Newton이 published benchmark load intervals에서 수렴한다는 evidence 없음 | fixed increment를 benchmark마다 어떻게 정하고, deterministic nonconvergence와 formulation failure를 구분할지? |
| O-MMS-01 | method | public MMS artifact는 3-D solid/body-source이고 shell/CLOAD subset과 불일치 | first release에서 nonblocking으로 남길지, scope-preserving exact nodal-load case가 가능한지? |

명시적 source disagreement/비교 경계는 다음과 같다.

1. S1/S6의 nonlinear shell은 node당 five physical DOFs를 쓰지만 P1은 six global DOFs와
   numerical drill을 요구한다. 이 차이는 구현 detail이 아니라 O-MAP-01/O-DRILL-01의 정식화 gap이다.
2. S6의 MITC4+는 membrane assumed strain을 추가하고 original MITC4보다 distorted nonlinear
   mesh에서 더 좋은 결과를 보인다. FESA는 original-style MITC4이므로 그 성능을 상속하지 않는다.
3. Abaqus S4와 S4R의 공개 결과/inputs는 benchmark evidence 후보지만 FESA source mapping과
   Abaqus integration, stabilization, rotation 또는 output recovery의 동일성을 뜻하지 않는다.
4. S7의 Abaqus production algorithm에는 adaptive cutback 등 P1이 의도적으로 제외한 control이
   있다. Newton의 일반 same-state Jacobian evidence만 사용하며 runtime-control 동등성을 주장하지 않는다.

## 9. Downstream Handoff

### 9.1 Formulation Agent에 전달할 evidence와 미결정

1. S1/S6을 출발점으로 fixed-initial-reference TL shell의 kinematic/virtual-work 계통을 다시
   유도하되, materially linear law와 existing physical MITC shear/`2x2x2` boundary만 보존한다.
2. S2–S5를 근거로 committed/trial `Q`, director, chosen multiplicative retraction, interpolation,
   first/second variation을 하나의 objective/path-defined convention으로 제시한다.
3. O-MAP-01의 exact global 24-DOF residual/tangent와 state-dependent map Hessian을 완성한다.
   `docs/linear-static-mitc4-shell/formulation.md` §15는 gap inventory로만 사용한다.
4. O-DRILL-01/O-DRILL-02의 objective numerical drilling potential과 exact residual/Hessian,
   physical recovery separation, rigid-mode preservation을 정의한다. physical drilling 모델로 scope를
   바꾸지 않는다.
5. fixed-global force와 moment의 external virtual work, O-MOM-01 nodal-moment conjugacy/derivative,
   O-BC-01 prescribed finite-rotation path와 constrained correction을 명시한다.
6. same-trial complete residual과 algorithmic tangent에 material/geometric/map/drill/load-work terms가
   빠짐없이 대응함을 trace한다. 이 연구의 benchmark formula를 FESA governing equation으로 복사하지 않는다.

### 9.2 Numerical Review Agent에 전달할 benchmark/reference evidence

1. B-01~B-06을 각기 독립 blocking 후보로 검토하고, quantities, norms, scales, perturbation study,
   invariant/balance/rollback tolerance를 `O-TOL-01` 해소와 함께 고정한다.
2. B-07F는 O-MOM-01과 독립인 point-dead-load large-rotation 후보로 먼저 검토하되 S16의
   vendor S4R values를 independent/formulation-equivalent target으로 부르지 않는다. B-07M
   pure-moment MES는 O-MOM-01이 해결된 뒤에만 blocking 여부를 정하고, analytical equation,
   mesh/section/load distribution과 target projection을 별도로 재현·검토한다.
3. public exact filenames가 있는 B-08 `n3g1x33x_s4.inp`/`_s4r.inp`와 B-09
   `n3g9xe4x.inp`/`n3g9xf4x.inp`의 keyword subset, stable identities, units/coordinates, target row
   definitions와 provenance를 검사한다. 이 단계에서는 실행·생성·rename하지 않는다.
4. `reference/shell/`와 `reference/shellR/`는 `nlgeom=NO` linear artifacts다. B-01 baseline 이상의
   nonlinear-readiness를 부여하지 말고 O-REF-01을 exact stored nonlinear artifact gap으로 유지한다.
5. B-10은 original MITC4 known-limit characterization으로 분류하고 MITC4+ curves를 FESA target으로
   쓰지 않는다. B-11 MMS는 current scope compatibility가 입증되지 않으면 nonblocking gap이다.
6. selected external reference만 stable row identity와 `docs/TOLERANCE.md` family-scale policy로
   비교한다. missing/extra/duplicate/nonfinite precheck와 blocking/warning family를 artifact별로 정한다.
7. fixed increment/no-cutback 조건에서 benchmark가 실제로 traversable한지 O-STEP-01을 먼저 판정한다.
   convergence failure를 임의 tolerance 완화나 hidden retry로 숨기지 않는다.

### 9.3 Coordinator에 반환하는 gate 의미

- Research quality gate는 통과한다: approved gaps에 직접 대응하는 Tier 1/2 evidence, applicability
  limits, exact public/local candidate identities, artifact gaps와 downstream acceptance questions가 있다.
- 이 `passed`는 formulation 또는 nonlinear reference readiness 통과를 뜻하지 않는다.
  O-ROT/O-MAP/O-DRILL/O-MOM/O-BC는 Formulation gate, O-TOL/O-REF/O-BENCH/O-STEP은 Numerical
  Review gate에서 해소해야 한다.
- requirements, code, tests, CMake, I/O, phase 또는 reference artifact는 이 stage에서 변경하지 않는다.

## 10. Self-Audit and Research Quality Gate

| audit item | result | evidence |
| --- | --- | --- |
| approved requirement trace | pass | RQ와 Sections 4–9가 NSNR-003/041/074/006/048/018/063/011/019/030/034를 직접 다룸 |
| key theory claim sourcing | pass | TL/MITC4 S1/S6, rotations S2–S5, Newton S7, V&V/MMS S11–S13, tabulated benchmark evidence S16 |
| fact/decision/inference/open separation | pass | Section 4의 각 claim label과 Section 8 gap IDs |
| benchmark exactness | pass | B-01~B-06, B-07F/B-07M, B-08~B-11마다 exact artifact 또는 explicit artifact gap, target, cannot-verify, limit, Numerical Review question 기재 |
| nonlinear artifact honesty | pass | P6/B-01에서 `reference/shell*`의 `nlgeom=NO`와 nonlinear gap을 명시 |
| compatibility restraint | pass | S4/S4R/MITC4+ 및 Abaqus/NAFEMS 경계를 Sections 3, 7, 8에 명시; internal equivalence claim 없음 |
| tolerance restraint | pass | source가 공개한 benchmark load/geometry만 후보로 기록; 새로운 reference/invariant tolerance를 만들지 않음 |
| source access/licensing limits | pass | NAFEMS/ASME paywall, publisher access, public author copy/CC BY와 graph-only limits 기록 |
| downstream sufficiency | pass | exact formulation and Numerical Review action lists와 owner별 open issue 제공 |
| ownership | pass | 이 artifact만 Research Agent 소유; external solver/reference 실행·변경 없음 |

검색했지만 확보하지 못한 핵심 evidence는 (1) 공개·독립·machine-readable NAFEMS R0029 target
source, (2) FESA subset에 이미 맞는 stored nonlinear S4/S4R input/CSV, (3) original FESA-MITC4의
objective 24-DOF drilling/finite nodal-moment 정식화다. 이 부재를 source compatibility 주장이나
새 numerical value로 메우지 않았다.