KOKO\Mimi
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# MITC4 질량·FEAST 근거와 downstream 검증 후보
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- Feature ID: `mitc4-shell-feast-eigen`
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- Owner: `research-agent`
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- Input contract revision: `r1`
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- 기본 보고서: [research.md](research.md)
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- Web access date: `2026-09-06`
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`Fact`는 출처에서 확인한 내용, `Derivation/Inference`는 그 근거를 승인된 FESA에 적용한
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연구 판단, `Candidate`는 Formulation/NR가 확정할 항목이다. 이 문서는 최종 수식·API·schema·
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tolerance나 benchmark acceptance를 승인하지 않는다.
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## Source inventory
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모든 외부 source는 원 논문 또는 공식 문서다. `P`는 프로젝트 계약이며 독립 검증 근거가 아니다.
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공식 Abaqus 자료는 공개 입력·출력 의미만 설명한다.
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| ID | Source identity / stable locator | 신뢰도·적용·한계 |
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| S01 | Dvorkin & Bathe, *A Continuum Mechanics Based Four-Node Shell Element for General Non-linear Analysis*, Engineering Computations 1 (1984), 77–88, DOI `10.1108/eb023562`; [author PDF](https://web.mit.edu/kjb/www/Publications_Prior_to_1998/A_Continuum_Mechanics_Based_Four-Node_Shell_Element_for_General_Nonlinear_Analysis.pdf), Eq.(1),(2), Eq.(25) 직후 및 Fig.7/Tables 3–4; [local transcription](../reference-papers/MITC4/AContinuumMechanicsBasedFourNodeShell/AContinuumMechanicsBasedFourNodeShell_001.md) | 1차 운동학·5 DOF·consistent-mass vibration 예제. Local OCR의 도표값은 검증 없이 acceptance 값으로 채택하지 않음. 비선형·가변두께 범위를 새로 허용하지 않음 |
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| S02 | Voet, Sande & Buffa, *A mathematical theory for mass lumping and its generalization with applications to isogeometric analysis*, CMAME 410 (2023), 116033, DOI `10.1016/j.cma.2023.116033`; [author preprint v2](https://arxiv.org/html/2212.03614v2), §1, Definition 3.7, Remark 3.8, Lemma 3.19, §3.3 | 원 연구의 row-sum·positivity·Loewner 근거. 일반 scalar algebra를 회전 tensor에 그대로 옮기는 것은 입증되지 않음 |
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| S03 | Bathe & Wilson, *Solution methods for eigenvalue problems in structural mechanics*, IJNME 6 (1973), 213–226, DOI `10.1002/nme.1620060207`; [author PDF](https://web.mit.edu/kjb/www/Publications_Prior_to_1998/Solution_Methods_for_Eigenvalue_Problems_in_Structural_Mechanics.pdf), `STATIC CONDENSATION`, Eqs.(9)–(13); [publisher record](https://onlinelibrary.wiley.com/doi/pdf/10.1002/nme.1620060207) | 원 연구의 massless elimination과 fill/storage 한계. 임의 massive DOF를 제거하는 근사 Guyan reduction의 정확성을 주장하지 않음 |
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| S04 | Intel oneMKL C Developer Reference, 2026.0 URL edition, page date `2026-04-28`, [Extended Eigensolver Functionality](https://www.intel.com/content/www/us/en/docs/onemkl/developer-reference-c/2026-0/extended-eigensolver-functionality.html), `generalized` 및 sparse interface 설명 | 공식 admissibility·PARDISO 사용. 설치 runtime와 같은 version string이라는 가정 없음 |
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| S05 | 같은 edition, [?feast_scsrgv/?feast_hcsrgv](https://www.intel.com/content/www/us/en/docs/onemkl/developer-reference-c/2026-0/feast-scsrgv-feast-hcsrgv.html), `Syntax`, `Input/Output Parameters`; [Matrix Storage](https://www.intel.com/content/www/us/en/docs/onemkl/developer-reference-c/2026-0/matrix-storage.html) | 공식 signature·storage·capacity·결과 의미. `emin≤emax` 본문은 S07의 strict validation과 함께 읽음 |
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| S06 | 같은 edition, [Extended Eigensolver Input Parameters](https://www.intel.com/content/www/us/en/docs/onemkl/developer-reference-c/2026-0/extended-eigensolver-input-parameters.html), C-indexed `fpm` 표 | 공식 count/check/iteration 옵션. Standalone FEAST 다른 버전의 fpm 번호를 대입하지 않음 |
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| S07 | 같은 edition, [Extended Eigensolver Output Details](https://www.intel.com/content/www/us/en/docs/onemkl/developer-reference-c/2026-0/extended-eigensolver-output-details.html), return-code 표와 `info=1` 주의 | 공식 오류·구간 폭·endpoint 위험. Warning은 Feature 성공으로 자동 승격하지 않음 |
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| S08 | E. Polizzi, *Density-Matrix-Based Algorithm for Solving Eigenvalue Problems*, Physical Review B 79 (2009), 115112, DOI `10.1103/PhysRevB.79.115112`; [author preprint](https://arxiv.org/pdf/0901.2665), §II.A Eqs.(6)–(9), §II.B | 원 FEAST의 contour/Rayleigh–Ritz와 B-orthonormality. MKL 옵션·상태 정의는 S05–S07 우선 |
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| S09 | Abaqus 2025 [*FREQUENCY](https://docs.software.vt.edu/abaqusv2025/English/SIMACAEKEYRefMap/simakey-r-frequency.htm), `Optional parameters`, Lanczos data line | 공식 count·bounds·SIM·normalization·acoustic semantics. FESA가 source Lanczos를 구현한다는 근거가 아님 |
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| S10 | Abaqus 2025 [Natural Frequency Extraction](https://docs.software.vt.edu/abaqusv2025/English/SIMACAEANLRefMap/simaanl-c-freqextraction.htm), `Eigenvalue Extraction`, `Normalization`, `Initial Conditions`, `Output` | 공식 `omega²`·generalized mass·base state. Abaqus 내부 질량 정식화에 대한 추론 금지 |
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| S11 | Abaqus 2025 [OdbFrame object](https://docs.software.vt.edu/abaqusv2025/English/SIMACAEKERRefMap/simaker-c-odbframepyc.htm), modal constructor와 members; [Mode Domain Output](https://docs.software.vt.edu/abaqusv2025/English/SIMACAEOUTRefMap/simaout-c-dboutput-frequency.htm), `Controlling Output Frequency in a Mode Domain Analysis` | 공식 mode/frame 의미. TXT에 없는 step을 임의 생성하는 권한이 아님 |
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| P01 | [기존 MITC4 formulation](../linear-static-mitc4-shell/formulation.md), §§5,8,9,12,17; [실제 kernel](../../src/fesa/elements/mitc4_shell.cpp), `PhysicalTransformation20`, `DrillingTransformation4`, `EvaluateStiffness`, `GeometryAt`; [ARCHITECTURE](../ARCHITECTURE.md) | 현재 FESA 기하·부호·stabilization·소유권 계약. Legacy research의 오래된 tolerance/승인 절차는 이번 계약에 재사용하지 않음 |
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| P02 | [requirements r1](requirements.md), [원본 reference evidence](requirements-evidence.md), [공통 TOLERANCE](../TOLERANCE.md), [ADR](ADR.md) | 승인된 사용자 흐름과 acceptance boundary. 수치 통과 자체의 evidence가 아님 |
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Hinton–Rock–Zienkiewicz (1976), DOI `10.1002/eqe.4290040305`의
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[publisher abstract](https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/eqe.4290040305)는 확인했으나
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본문을 확보하지 않아 HRZ의 shell-specific 수식을 근거로 채택하지 않았다.
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NASA SP-160은 optional plate benchmark 탐색에서 발견했으나 이번 포트폴리오는 S01 및
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직접 검산 가능한 oracle로 충분하므로 필수 artifact나 새 acceptance 요구로 추가하지 않았다.
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Configured FEM vault는 이번 요청의 지정 evidence source가 아니며, 기존 wiki/연구 요약은
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탐색에만 참고하고 핵심 주장을 위 1차 source에 연결했다.
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## R01 — Consistent physical mass와 적분
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**Fact, S01/P01:** 기존 보간은 `u = sum Ni(ui + z*(theta_i cross d_i))`,
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`z=t*zeta/2`이며 director-parallel rotation은 입자 속도에 기여하지 않는다.
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원 논문의 elastic example은 surface `2×2`, thickness 2-point Gauss 및 consistent-mass
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주파수 분석을 사용한다. 이는 임의 geometry의 mass 적분이 정확하다는 증명은 아니다.
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**Derivation:** `T=1/2 integral rho*|u_dot|² dV`에서 `M_C=integral rho*H^T H dV`가
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따른다. Geometry는 기존 `X=sum Ni(Xi+z*di)`와 같은 `J=det(dX/dnatural)`를 사용한다.
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양의 quadrature weight·density·유효 J에서는 대칭 PSD와 drilling null action이 직접 따른다.
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MITC의 assumed shear는 strain 보간이므로 velocity 보간을 바꾸거나 shear factor `5/6`를
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물리 질량에 곱하는 이유가 되지 않는다.
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**평판 oracle:** 평행 director·centered flat section이면 병진 scalar block은
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`rho*t*integral Ni*Nj dA`, rotary block은 `rho*t³/12*integral Ni*Nj dA`와 tangent
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변환의 곱이며 translation–rotation coupling은 0이다. 축정렬 직사각형 면적 A에서는
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scalar consistent block이 `rho*t*A/36`에 다음 행렬을 곱한 것과 같다.
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```text
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4 2 1 2
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2 4 2 1
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1 2 4 2
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2 1 2 4
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```
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Rotary oracle의 scalar 배율은 위 병진 배율의 `t²/12`다. 이는 bilinear 형상함수의 직접
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다항식 적분 결과이며 구현 함수를 다시 호출하는 테스트와 구분한다.
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**Candidate/한계:** 곡면에서는 J가 zeta에 의존하여 odd thickness moment와
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translation–rotation coupling이 남을 수 있다. Centered section만으로 이를 0으로 두지 않는다.
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현재 trilinear geometry의 J 및 H 다항식 차수를 확인해 충분한 적분을 선택할 수 있다.
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보수적인 tensor-product 3-point 후보는 각 좌표의 degree≤4 mass integrand를 적분하지만,
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정확한 차수·기하 검증 위치·채택 quadrature는 Formulation/NR가 증명한다. 기존 stiffness
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quadrature나 기존 geometry 허용 범위를 연구 단계에서 변경하지 않는다.
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## R02 — Consistent에서 유도하는 좌표 일관적 lumping
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**Fact, S02:** Row-sum, nodal quadrature, diagonal scaling은 일반적으로 서로 다른 근사다.
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Nonnegative partition of unity는 scalar row-sum의 positivity를 설명한다. 논문의
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absolute-row-sum operator는 일반 행렬의 positivity를 확보하지만 물리 total mass나
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회전 nullspace를 보존하는 shell-specific theorem은 아니다.
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**Derivation — 피해야 할 적용:** global rotary tensor는 `I-di*di^T`와 다른 director
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사이의 cross block을 포함한다. Scalar `diag(M*ones)`는 좌표 회전과 commute하지 않는다.
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예를 들어 단위 director `d=(1,1,1)/sqrt(3)`의 `P=I-dd^T`는 `P*ones=0`이지만
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rank는 2다. Row-sum은 두 물리 관성을 모두 없애며 absolute row-sum은 drilling에
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관성을 더한다. 혼합 translation/rotation 행의 무차별 합은 단위도 섞는다.
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**Candidate — scalar moment를 통한 node block:** Consistent의 구성 moment
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`Ck_ij=integral rho*Ni*Nj*z^k dV`, `k=0,1,2`를 식별하고 해당 물리 scalar moment에서
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row-sum한 뒤 각 node의 director tangent tensor로 재구성하는 방법을 검토할 수 있다.
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이는 consistent 결과와의 유도 관계를 증명해야 하며, 별도 unrelated diagonal을 생성하는
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우회 경로로 쓰지 않는다. Full consistent block에서 moment를 추출하거나 계산 중 동일
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moment를 보존하는 구체적 방식은 Formulation 소유다.
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`sum Nj=1` 때문에 이 후보는 node별 `integral rho*Ni*Gi(z)^T Gi(z) dV` 형태로
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설명된다. 여기서 `Gi(z)`는 그 node의 병진과 director 변화로 particle velocity를 만드는
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map이다. 따라서 양의 measure에서 physical block PSD, director nullspace, tensor
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congruence와 총 병진 질량 보존을 독립적으로 검산할 수 있다. Flat case에서는
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`m_i=sum_j C0_ij`, 두 tangent inertia `m_i*t²/12`, drilling 0으로 단순화된다.
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**한계:** 곡면의 nodal rotational frames를 component별로 직접 더하지 않는다.
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Node block은 global 좌표에서 diagonal일 필요가 없다. Translation–rotation moment를
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보존하면 6×6 block에 coupling이 있을 수 있다. 이 후보의 positivity와 각 inertia/centroid
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보존 관계는 Formulation에서 완성하고 NR가 독립 검토해야 한다. Uniform translation
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energy는 보존하지만 일반 회전의 orbital inertia 및 모든 속도장의 consistent energy는
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보존한다고 가정하지 않는다. 물리 node velocity의 convexity로 설명 가능한 에너지 차이와
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refinement 거동을 검증 후보로 삼을 수 있으며, Abaqus 내부 lumping 동일성을 주장하지 않는다.
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## R03 — Massless 좌표, 제약과 유한 spectrum
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**Fact, S03:** Massless 좌표를 분리하여 mass가 `diag(Mp,0)`, `Mp` SPD이고 대응
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강성 `Kzz`가 가역이면 `Kr=Kpp-Kpz*Kzz^-1*Kzp`와 `Mp`의 문제로 축소하며,
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massless 성분은 `z=-Kzz^-1*Kzp*p`로 복원한다. 이 경우 정적 제거는 massless row의
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정확한 식이다. 축소 stiffness는 일반적으로 dense가 될 수 있다.
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**Inference, P01에 적용:** 먼저 원래 global homogeneous BC의 free injection C로
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`Kf=C^T K C`, `Mf=C^T M_L C`를 만들고, 그 공간에서 positive/null basis를 정의한다.
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Director가 global axis와 기울어져 있으면 `UR3=drill`은 성립하지 않는다. 일부 global
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회전을 고정한 node에서는 원래 drill 방향 전체가 free space에 들어가지 않을 수 있으므로
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실제 `Mf`가 full rank가 될 수 있다. 이때 물리 질량이 있는 자유도를 제거해서는 안 된다.
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P01의 공통 nodal director와 `Kphys=Tphys^T K20 Tphys`,
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`Kdrill=Td^T kd I Td` 때문에 massless 방향의 decoupling을 algebraically 증명할
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가능성이 있다. 증명된 경우 node별 작은 basis로 projection하여 sparsity를 유지할 수 있다.
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단순히 coupling을 작다고 버리는 것은 그 증명이 아니다. Partial global constraints로
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finite space에 남는 기존 stabilization contribution도 보존한다. 새 massless 처리는
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**기존 constrained stabilized K와 선택된 lumped M의 finite spectrum**에 대한 동등성이다.
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Unstabilized 다른 shell formulation이나 consistent spectrum과의 동등성이 아니다.
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**Candidate 검증:** 비축정렬 director, partially constrained rotation, constraint-free
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shell의 6 physical rigid motions, `Kpz!=0`인 작은 manufactured pencil로 축소/복원과
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full free residual을 확인한다. Physical rigid rotation의 nodal UR은 기존 계약의 tangent
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projection을 사용한다. Null block이 비가역인 경우 generic inverse/pseudoinverse로
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우회하지 않는다. 공통 K/M nullspace는 regular finite-spectrum 문제와 구분해 진단한다.
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물리 rank 0, request>rank, nullspace가 없는 경우를 각각 정의한다.
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일반 dense basis/Schur를 채택하면 `O(n²)` storage와 factorization fill을 평가해야 한다.
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Reference의 25×25 interior nodes는 flat full clamp에서 free DOF 3750,
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massive physical dimension 3125로 예상되며, 3125² double 한 행렬만 약 78.1 MB다.
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이는 topology에 따른 계산 추정이고 실제 rank/runtime 측정이 아니다. FEAST workspace와
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complex shifted factorization을 더해야 하므로 한 행렬 크기로 memory feasibility를 주장하지 않는다.
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## R04 — oneMKL FEAST API와 completeness 근거
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**설치 관찰:** `mkl/2026.1/include/mkl_solvers_ee.h` lines 33,87에 `feastinit`,
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`dfeast_scsrgv`가 있다. `mkl_version.h`는 major `2026`, minor `0`, update `1`,
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build date `20260612`, `INTEL_MKL_VERSION=20260100`이다. Directory `2026.1`과
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header version 표기를 임의로 통일하지 않는다. 실제 linked runtime는 Implementation이 기록한다.
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`mkl_types.h`의 `MKL_INT`는 LP64에서 `int`, `MKL_ILP64`에서 64-bit다. N, nnz+1,
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row/column index와 N×m0 allocation을 checked conversion해야 하며 vendor type은 adapter 내부다.
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**Fact, S04/S05:** Real symmetric generalized `A*x=lambda*B*x`에서 B는 SPD여야 한다.
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`dfeast_scsrgv`는 A/B 각각 values·row pointer·column index를 받으며 같은 storage family를
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사용한다. `uplo=U/L/F`, `n>0`, `0<m0<=n`, `m0>=interval multiplicity count`다.
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`fpm`은 128개 `MKL_INT`; `e/res`는 m0, eigenvectors는 N×m0의 column storage로
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준비하고 첫 m columns만 소비한다. Documented CSR은 row pointer terminal `nnz+1`인
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1-based convention으로 대응한다. A/B sparsity pattern은 같을 필요가 없다. 내부 0-based
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CSR을 인덱스 변환 없이 넘기지 않는다. `epsout`은 trace 변화량이고 개별 residual을 대신하지 않는다.
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**Fact, S06 — C index 표:**
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| Parameter | 문서 의미 / 연구 적용 |
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| `feastinit(fpm)` | 호출 전 초기화; 다른 FEAST 배포판의 설정 배열을 복사하지 않음 |
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| `fpm[1]` | contour points; 허용된 값만 사용 |
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| `fpm[2]`, `[3]` | double precision stopping exponent, refinement loop bound; 값은 NR/계약에서 고정 |
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| `fpm[4]` | 0=generated initial subspace, 1=user subspace; 재현성과 projection rank 검증 필요 |
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| `fpm[5]` | 0=residual stopping, 1=trace stopping; zero mode는 독립 scale-aware residual 필수 |
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| `fpm[13]` | 1은 한 contour의 subspace만 반환; 완료 eigenpairs로 소비하지 않음 |
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| `fpm[26]`, `[27]` | CSR validity, B SPD check 옵션 |
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| `fpm[49]` | CSR interval eigenvalue count를 m0에 반환하고 flag를 0으로 재설정; count와 solve는 구분 |
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| `fpm[63]` 및 `[64..127]` | PARDISO user iparm 적용 여부 및 매핑; 후반부는 output도 되므로 call 간 변경 고려 |
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**Fact, S07:** `info=0` successful; `1` empty interval/검색 실패 가능,
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`2` nonconvergence, `3` insufficient subspace, `4` subspace-only이다.
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`-1/-2` allocation/inner solver, `-3/-4` reduced solver/B-not-SPD,
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`-5` count failure(구간 끝이 eigenvalue 또는 근접할 수 있음), `200/201/202`는
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interval/subspace/N 오류다. `100+i`는 `fpm[i-1]` 오류다.
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S05 본문은 `emin<=emax`로 쓰지만 명시적인 `200` 검증은 `emin>=emax`를 거부하므로
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실제 계약은 strict `emin<emax`로 설정할 수 있다. 이것은 사용자 physics 결정이 아니다.
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매우 넓은 구간 안의 작은 cluster를 놓칠 수 있다는 공식 주의가 있으므로 빈 반환을 곧
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없는 spectrum으로 단정하지 않는다.
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**Candidate bounded policy rationale:** SPD reduction/whitening 뒤 차원이 일관된 spectral
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bound(예: 대칭 표준 문제의 Gershgorin bound)를 유도하면 전체 spectrum 밖의 유한 하한과
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상한을 얻을 수 있다. Reference 값이나 hardcoded frequency로 구간을 정하지 않는다.
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Zero를 포함하는 하한을 두고 interval count를 통해 낮은 순서의 requested N을 덮는 상한을
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찾되, endpoint collision·overflow·count/solve mismatch와 시도 수를 제한한다. Count가
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cluster 전체를 포함하면 m0가 requested N보다 커질 수 있으며 반드시 multiplicity를
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수용한다. Sort 후 필요한 첫 N을 출력하더라도 원래 계산 multiplicity와 pairing을 유지한다.
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`m0=N`이 충분하다는 가정, 매번 상한만 무한히 늘리는 정책, count 성공을 eigenpair 성공으로
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취급하는 정책은 근거가 없다. Final bounds·성장/축소·cluster tie·subspace/seed·실패 정책은
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Formulation/NR 소유이고 small N 및 N=physical rank도 FEAST 실제 runtime로 검증한다.
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Intel S06은 `fpm[49]` 결과를 total number로 기술하며 stochastic estimate라고 설명하지
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않는다. 그렇더라도 이 문서만으로 floating-point inertia/count의 모든 조건에서의 정확성이나
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전체 algorithm의 completeness를 증명했다고 주장하지 않는다. S07의 endpoint/count 실패와
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작은 독립 spectrum 검증을 유지한다. 다른 standalone FEAST 버전의 stochastic-count
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옵션과 혼동하지 않는다. 요청 N의 외부 authority는 사용자 확정대로 `.inp` data이며
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내부 count는 interval/subspace를 정하는 evidence다. TXT 행수나 count로 N을 바꾸거나
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새 사용자 interval/count API를 만들지 않는다.
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**Fact, S08 / 적용:** FEAST의 Rayleigh–Ritz 식은 B-orthonormal reduced vectors에서
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`X^T B X=I`를 준다. 내부 벡터는 같은 lumped M으로 검증한다. Repeated eigenspace의
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개별 방향과 sign은 유일하지 않으므로 vector component exact equality를 acceptance로
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추가하지 않는다. Count/completeness와 residual/Gram은 서로 대체하지 않는다.
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## R05 — Reference의 관찰 가능한 의미와 family
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**Fact, S09/S10:** `*FREQUENCY`의 첫 값은 requested count다. Lanczos data line의
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blank min/max는 별도 bound를 지정하지 않으며, 뒤 shift와 block controls의 공란을 0 입력으로
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오인하지 않는다. `SIM`은 source architecture 설정이고 `NORMALIZATION=MASS`는
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generalized mass 1이다. Acoustic coupling ON은 acoustic/structural coupled model에
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작용한다. 적용 대상 acoustic 요소·ASI·coupling이 없는 현재 input의 옵션은 무해하게
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mapping할 근거가 있으며, 실제 acoustic 모델은 승인 subset 밖이다.
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**Inference/P02:** 알고리즘 지정의 FESA 해석은 source Lanczos 보존 + actual backend
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FEAST이다. SIM을 FESA backend 기능으로 주장하지 않고 명시된 무해한 조합만 I/O가
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진단 정책으로 고정한다. 원본의 output/restart 요청을 읽을 때에도 새 modal stress/reaction
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지원으로 확대하지 않는다. 실제 prior step, preload, damping, nonzero prescribed state를
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삭제하여 현재 subset처럼 실행하는 근거는 없다.
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**Fact/관찰:** S10은 `lambda=omega²`와 cycles/time frequency를 구분한다. S11은
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modal frame의 mode member와 mode-domain output을 정의한다. 원본 TXT는 `Frame: Mode`
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1~10과 Value를 포함하고 input에는 단일 `Step-2`만 있다. 따라서 unique step + source
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mode mapping이 가능하며 Freq 반올림으로 Value를 다시 계산하지 않는다.
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**NR handoff:** 공통 TOLERANCE는 같은 step/frame만 family로 묶는다. 원본에 각각의 modal
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frame이 있는 점을 유지하여 mode별 scalar family를 정의하는 방향을 검토한다. 단일 HDF5
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table에 저장했다는 이유로 다른 source mode/frame을 하나의 family로 모으지 않는다.
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Singleton family에서는 공통 RMS 규칙도 그대로 적용하며 scalar라는 이유로 생략하지 않는다.
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최종 family 이름·identity·blocking 및 exact mapping은 NR/I/O가 고정한다.
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Repeated Value는 서로 다른 mode identity로 보존하며 source missing/extra/duplicate/nonfinite
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검사 후 공통 정책을 적용한다. Displayed repeated 값으로 실제 exact degeneracy를 단정하거나
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mode shape matching으로 외부 acceptance를 넓히지 않는다.
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## R06 — 독립 verification portfolio 후보
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각 case의 필수 여부·수치 기준은 NR가 정한다. External reference는 지정 Value 10개뿐이다.
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| Candidate | 잡아내는 오류 / 독립 기대값 | 한계 |
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| 직사각형 single-element mass | R01 polynomial oracle, 3 translations total `rho*A*t`, 2 rotary inertia, null drilling | 곡면 적분·semantic 연결은 검증하지 않음 |
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| 곡면/왜곡 요소의 independent velocity integration | 직접 particle kinetic energy와 consistent quadratic form, R02 derived relation/양의 node block | 동일 production H/J 코드를 재호출하는 oracle는 독립성이 부족 |
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| Rigid/coordinate tests | 기존 tangent rigid motion의 zero stiffness, 회전된 geometry/director/motion의 energy congruence; eigenvalue invariant | global component BC도 같은 물리 제약으로 변환할 수 있는 case를 선택; 허용되지 않은 일반 MPC를 추가하지 않음 |
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| Density scaling | 두 mass가 density 배율 c에 비례, 선택된 eigenvalues가 1/c, mass-normalized vector magnitude가 1/sqrt(c) | 다른 density field의 material mapping은 별도 양성/음성 test |
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| 작은 manufactured singular pencil | R03 식을 손으로 계산하여 exact finite eigenvalues·복원 residual, partial global constraint와 rank case | Element/mass 조립 correctness는 별도 검증 |
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| 작은 diagonal/rotated SPD pencil | FEAST N=1/2, repeated/clustered/zero/negative case, request=rank, count/m0/interval edge 및 실패 진단 | 직접 hand matrix는 전체 procedure/reference를 대신하지 않음 |
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| Modal residual / Gram / energy | Free-space `Kphi-lambda*M_L*phi`, `Phi^T*M_L*Phi=I`, `phi^T*K*phi=lambda`와 constraint 복원 | 작은 residual만으로 최저 모드 completeness를 보장하지 못함 |
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| Simply-supported plate analytical limit | S01 Fig.7/Table4의 plate frequency 사례 또는 `lambda=(D/(rho*t))*((m*pi/a)^2+(n*pi/b)^2)^2`의 thin-plate Navier limit | 마지막 식은 직접 thin-plate PDE로 유도·검산할 후보; rotary/shear를 포함한 유한 두께 shell의 exact oracle로 쓰지 않음 |
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| 지정 clamped plate reference | 원본 `.inp`와 TXT Value의 순서·multiplicity·family 비교; square-symmetry cluster 진단 | 비교만으로 mass·mode shape·drilling·내부 알고리즘의 correctness를 주장하지 못함 |
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Modal physics는 무하중 정적 `Kphi=0`나 정적 reaction balance를 모든 eigenvector에
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요구하지 않는다. Inertia와 elastic restoring force의 균형인 free residual을 검사한다.
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Dimensional translation/rotation 차이는 Formulation의 congruent scaling으로 처리하고
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zero mode의 residual denominator와 rank threshold는 NR가 정한다. 두께 변경에서는
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membrane, bending, shear, rotary inertia가 서로 다르게 변하므로 density처럼 모든 mode에
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단일 thickness power law를 강제하지 않는다.
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## 실행 evidence와 미실행
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Read-only `Get-Content`, scoped `rg`, `Get-FileHash`로 필수 공통/Feature/기존 MITC4
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문서, 실제 kernel과 원본 두 reference 파일을 읽었다. 해당 읽기·hash 명령은 exit `0`이다.
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아래는 핵심 재현 진입점이다.
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```powershell
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Get-Content -Raw '.codex/skills/fem-research-evidence/SKILL.md'
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Get-Content -Raw 'docs/mitc4-shell-feast-eigen/requirements.md'
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rg -n 'PhysicalTransformation20|DrillingTransformation4|drilling_stiffness' 'src/fesa/elements/mitc4_shell.cpp'
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Get-Content 'reference/shellNL-eigen-meshfine/shellNL-eigen-meshfine.inp' -Tail 52
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Get-Content -Raw 'reference/shellNL-eigen-meshfine/shellNL-eigen-meshfine eigenvalues.txt'
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Get-FileHash 'reference/shellNL-eigen-meshfine/shellNL-eigen-meshfine.inp','reference/shellNL-eigen-meshfine/shellNL-eigen-meshfine eigenvalues.txt'
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```
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SHA-256은 input `913b1abc604e62bc5f995bf5523924e17ea03925102a7bd22d39226ba0ea7339`,
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TXT `20d97ca3fd51f5b956f2c1ed7565557c68f74e61e41b913748515ef43a0f7f0b`로 P02와 같다.
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설치 include에서 `rg`로 위 R04의 declarations/version/type을 확인했다. 별도
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`rg -n 'MKL_INTERFACE|MKL_ILP64|lp64' cmake CMakeLists.txt`는 no-match exit `1`이며
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linked ABI를 판정한 것이 아니다. Numpy/pypdf/fitz 탐색은 exit `0`, 모두 미설치였고
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설치·수치 실험·외부 solver를 수행하지 않았다.
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Web `search_query/open/find`로 S01–S11을 조사했다. S03 PDF는 초기 검색·열기에서
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`STATIC CONDENSATION`과 Eqs.(9)–(13) 텍스트를 얻었으나 후속 부분 열기는 timeout이
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발생했다. S01의 수식은 보존된 원문 transcription과 현재 승인 계약도 대조했다.
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S02 author HTML, S04–S07 Intel 본문, S08 author PDF, S09–S11 공식 문서는 접근했다.
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NASA PDF/일부 publisher/feastinit 개별 URL 접근 실패를 필수 근거로 사용하지 않았다.
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한 차례 tool orchestration의 quote syntax 오류는 도구 실행 전 실패했으며 수정 후 검색을
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수행했다. 이런 접근 실패를 구현 또는 reference comparison 성공으로 기록하지 않는다.
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Owned 두 문서의 metadata/상대 링크/requirement coverage를 read-only Python here-script
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(`python -B -`, `pathlib`, `re`, `urllib.parse.unquote`)로 검사했다. Exit `0`,
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documents `2`, local links `21`, requirement coverage `26`, issues `0`이다.
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`git diff --check`는 exit `0`이며 다른 owner의 관리문서 LF/CRLF 경고가 출력되었다.
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신규 untracked 연구 문서는 별도 Python 정적 검사로 trailing whitespace·final newline·상대
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링크를 확인했다. Exit `0`, files `2`, local links `21`, issues `0`이다. `git status --short`에서
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연구 두 파일과 Coordinator 관리문서 변경을 구분했으며 관련 없는 파일을 수정하거나 stage하지 않았다.
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CMake/CTest, Harness, FEAST runtime와 numerical reference comparison은 이
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연구 단계의 범위가 아니므로 미실행이다. Source/tests/build/phase/upstream/tolerance/reference는
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편집하지 않았으며 다른 owner의 변경을 되돌리지 않았다.
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