FESADev/docs/mitc4-shell-feast-eigen2/numerical-review.md

# 독립 Numerical Review

- Feature ID: `mitc4-shell-feast-eigen2`; Owner: `numerical-review-agent`; revision `r1`.
- 입력: [requirements r1](requirements.md), [evidence](requirements-evidence.md),
  [새 research](research.md), [새 formulation r1](formulation.md), [TOLERANCE](../TOLERANCE.md).
- Verdict: **`pass-for-io-definition`**. 새 수학 계약의 확인된 blocking defect 없음.
- 범위: 문서·독립 수학 검산. 구현, FEAST runtime, build/test, reference comparison, Physics/release 통과 판정이 아니다.

## 판단과 독립 근거

새 질량·stabilization·constraint/FEAST 문서를 실제 작성 후 모두 읽었다.
기존 pass를 전제로 삼지 않고 새 요구 27개와 식·실패 경계를 대조했다.
기준 문서는 [프로젝트 지침](../../AGENTS.md), [PRD](../PRD.md),
[ARCHITECTURE](../ARCHITECTURE.md), [ADR-028](../ADR.md#adr-028)이다.

| 검토 | 판단 |
| --- | --- |
| 운동학·부호·DOF·단위 | `[uX,uY,uZ,thetaX,thetaY,thetaZ]`, `S=-[d]cross`, `S theta=theta cross d`의 signs와 mass cross-block transpose 일치. C0/C1/C2 차원 M/ML/ML²; 길이 congruence 후 eigen/residual norm 일관 |
| 적분·consistent mass | `NiNj z^k J` 최대 성분별 차수4로 27점의 degree5 정확성 충분. Positive weights/J에서 Hq=0인 다항식은 모든 nodal u=0, Si theta=0이므로 physical20 positive, drill null4. 독립 rational 적분으로 C1 비영·행합·first moment 재현 |
| Derived lumped | Partition of unity로 scalar moment row-sum과 `integral rho Ni Gi^TGi` 일치. Strict Cauchy–Schwarz로 rank5/node·central tangent inertia 양수. Jensen 차1/2와 kinetic energy 추가1/2 구분. Orbital inertia/모든 spectrum 동일성을 주장하지 않음 |
| 공변 stabilization | Rotary block trace는 independent tangent orthogonal change에 불변. 여덟 항을 모두 평균하며 양의 초기 scale. Geometry/frame부터 재적분한 complete K/ML와 partial-BC static reaction이 공변; NR-MFE-001 새 식에서 해소 |
| 실제 BC·finite spectrum | Free injection을 먼저 적용. Constrained director exact-zero 교집합만 mass null이고 tiny positive는 유지. Shared director와 positive kd로 KZ=Zdiag(kappa), Kpz=0,Kzz>0; partial BC에 남은 stabilization 보존. 일반 Schur 반례5/2 대 삭제3도 정합 |
| Whitening·안정성 | Mp nodal SPD Cholesky와 `A=L^-1KpL^-T`·`phi=DCPL^-T x`는 exact congruence. Null rank와 numerical conditioning 분리, inverse/floor/pseudoinverse 우회 없음 |
| Lowest N·multiplicity | Fixed a0의 outward enclosure가 낮은 spectrum 부재 근거. 성공 total count=n과 guarded upper search·bounded enclosing fallback, final c=count=m와 c 전체 Gram/residual을 조합. Count empty 성공의 비보장성은 필수 수학 전제에서 제거 |
| Recovery·state | 최종 normalized phi에서 gi/yf를 다시 계산한 full original-free residual·Gram·Rayleigh/energy를 검사. Constrained components exact zero; modal reaction/stress를 새 output으로 만들지 않음. 검증 candidate·writer finalize 후 state commit 경계 유지 |
| 비선형 영향 | Initial kd의 Dkd=D²kd=0으로 기존 objective potential의 residual/Hessian 미분을 유지. Nonlinear Hessian SPD나 초기 Dgamma=linear Td를 주장하지 않음. 선형극한·objectivity·회귀·rollback은 후속 실행 의무 |

Fresh 독립 oracle의 재현 코드와 실제 값은 [numerical-review-evidence](numerical-review-evidence.md)에 있다.
NR-MFE-001은 `kd=19/4800`, `Mff=3/50`, `Kff=10369/7500`,
`lambda=10369/450`, 단위 moment `thetaZ=7500/10369`을 확인했다.
Complete K/ML/response/full reaction 공변성 ratio는 모두 `1.8e-16` 미만이다.
곡면 mass rational oracle와 27점 적분 최대 entry 차는 `2.221e-16` 미만이었다.

## 고정한 기준과 후속 인계

- [내부 controls](numerical-review-controls.md): 검토 후 채택한 기존 C1–C4/C6/C7 수치 정의,
  새 fixed-lower C5·finite budgets·seed·conditioning·raw classification. 기존 workflow/제외 portfolio/과거 pass는 미채택.
- [27개 verification cases](numerical-review-cases.md): requirement 27개별 analytical/invariant,
  actual FEAST·실패 주입·남는 static coverage. Expected value는 production 재호출로 생성하지 않는다.
- [reference-model](reference-model.md): 원본 TXT의 literal `Frame: Mode i`와 유일한 source
  `Step-2`에서 per-modal-frame 10 singleton Value families를 새로 판정했다. 공통 정책 그대로
  행5%·RMS1%, 이번 singleton의 실효 각 Value1%; 모두 blocking. 외부 mode shape gate 없음.

I/O는 정확한 입력 allowlist·diagnostic·영속 HDF5 경로 및 source/modal identity를 정의한다.
최소한 used lumped mass/backend, N개 public pair와 전체 c개 검증의 재현 evidence,
raw negative/nearzero와 frequency validity, 실패한 optional optimization·fallback까지의
count/solve history를 의미 손실 없이 연결해야 한다. 데이터 layout은 NR가 선점하지 않는다.

## 잔여 위험·미실행

Research G01/G02의 installed count-empty/endpoint/workspace·ABI probes, n1/N=n/allzero/
repeated/clustered actual FEAST와 shifted sparse factorization memory는 **NOT RUN**이다.
현재 수학 blocker는 아니지만 구현 완료 시 필수다. 넓은 enclosing fallback도 runtime 실패나
O(n²) 메모리 비용을 없애지 않으며 bounded failure와 기존 결과 보존이 필요하다.

얇은 shell·거의 정렬된 partial BC의 positive mass conditioning, 왜곡/곡면 MITC4의
locking·accuracy, 27점 밖 geometry injectivity 및 floating count의 정확성 한계가 남는다.
이 한계를 arbitrary rank cutoff·reference fitting·tolerance 완화로 숨기지 않는다.
남는 shell/shellNL/linear-limit fresh solves와 nonlinear tangent/objectivity·balance는 미실행이다.
제외된 네 예제의 원본·복사·cache를 읽거나 사용하지 않았다. Pressure fresh 외부 coverage 부재를 명시한다.

확인된 수학 correction request는 없다. 구현 owner는 명시 controls/cases를 실제 runtime과
연결하고 I/O owner는 reference/validation projection을 보존해야 한다. Source/tests,
upstream 계약·공통 tolerance·reference artifacts·Git은 수정하지 않았다.