FESADev/docs/numerical-reviews/linear-static-mitc4-shell-review.md

# Linear Static MITC4 Shell Numerical Review

## Metadata

- feature_id: `linear-static-mitc4-shell`
- source_requirement: `docs/requirements/linear-static-mitc4-shell.md`
- source_research: `docs/research/linear-static-mitc4-shell-research.md`
- source_formulation: `docs/formulations/mitc4-shell-formulation.md`
- source_commits: requirements `5c3025a`, research `02680dc`, formulation revision
  `6cb0302`, prior numerical review `0a5aad4`
- source_formulation_sha256: `6DD807E7D9D02C2454CAAF0289E391F5812CC309CDF1C00E92ACEAA97841957D`
- status: `needs-reference-model`
- review_iteration: `2`
- owner_agent: `numerical-review-agent`
- date: `2026-08-11`
- implementation_planning_authorized: `false`
- review_scope: `현재 선형 정적 formulation 전체 및 미래 기하비선형 tangent 절의 수학 구조`
- reference_artifact_state: rerun workspace에서 `reference/shell/` 미관찰;
  reference artifact는 실행하거나 수정하지 않음

## Review Verdict

- verdict: `needs-reference-model`
- primary_reason: 1차 리뷰의 confirmed formulation defect `NR-C01`-`NR-C05`와
  결정 `NR-D01`-`NR-D02`는 revision `6cb0302`에 수학적으로 일관되게 반영되었다.
  그러나 Implementation Planning 전에 승인해야 하는 drilling/geometry/director
  calibration 및 Abaqus reference-model evidence가 아직 없다.
- secondary_dependencies: `needs-numerical-calibration`
- current_linear_kernel_assessment: MITC4의 20-DOF 물리 kinematics, covariant shear
  tying, plane-stress constitutive law, `2 x 2 x 2` integration, 24-DOF 변환 및 recovery의
  중심 수학 구조와 수정된 weak form, geometry measure, DOF scaling 계약은 타당하다.
- future_nonlinear_assessment: Total Lagrangian residual과 material/geometric tangent의
  변분 구조와 일반 좌표 사상 `q20=Phi(qg)`의 Hessian 항은 타당하다. 다만 실제
  finite-director chart/update 및 objective drilling potential은 의도적으로 미확정이며
  미래 기하비선형 구현은 계속 금지한다.

현재 선형 정적 정식화에서 새 confirmed mathematical defect는 발견되지 않았다.
그럼에도 요구조건이 Implementation Planning 전 승인을 요구하는 수치 상수와 reference
evidence가 없으므로 `implementation_planning_authorized=false`를 유지한다. 다음 rerun은
Reference Model과 수치 calibration evidence가 준비된 뒤 수행해야 한다.

## 1. Review Method and Evidence Boundary

검토는 다음 순서로 수행했다.

1. 요구조건의 단위, DOF, rigid mode, tolerance 및 output 계약을 formulation과 대조했다.
2. 원 MITC4 문헌의 director interpolation, edge-midpoint shear tying, full integration,
   rigid mode 및 nonlinear incremental 식과 대조했다.
3. 각 matrix block의 차원, 변환의 virtual-work 보존, 부호 및 component order를
   독립적으로 재유도했다.
4. 1차 리뷰의 geometry collapse, drilling 박판 극한, 혼합 DOF scaling 및 nonlinear
   coordinate-map 반례를 수정본에 다시 적용했다.
5. 확인된 결함의 해소 여부, 알려진 위험, 근거가 부족한 open decision을 분리했다.

코드, Harness, Abaqus 및 reference solver는 실행하지 않았고 formulation 문서는
수정하지 않았다. 이 리포트는 reference comparison이나 release 승인이 아니다.

## 2. First-review Findings and Rerun Disposition

이 절은 1차 리뷰의 발견 근거를 보존한다. 각 finding 본문의 현재형 서술과
`Required revision`은 formulation commit `67251e0`에 대한 역사적 기록이며, 현재
판정은 각 항목 끝의 `Rerun disposition`이 지배한다.

| finding | rerun status | revision evidence | remaining boundary |
| --- | --- | --- | --- |
| `NR-C01` | resolved | Sections 9.2-9.3, 16.2, 17.1/17.3 | fixed measure threshold calibration |
| `NR-C02` | resolved | Sections 12.2, 17.4 | drilling family/plateau calibration |
| `NR-C03` | resolved | Sections 12.3/12.5, 17.1 | numerical rank/conditioning evidence |
| `NR-C04` | resolved | Sections 7.1-7.2 | none for current linear formulation |
| `NR-C05` | resolved at scope boundary | Sections 15.1-15.5, 17.6 | actual nonlinear chart/update remains future-only |

### NR-C01 — Resolved — Jacobian geometry measure completeness

Formulation은

$$
j_s=\frac{J}
{\|\mathbf G_\xi\|\,\|\mathbf G_\eta\|\,\|\mathbf G_\zeta\|}
$$

와 `J_min/J_max`를 제안한다. 다음 직교 mapping을 고려한다.

$$
\mathbf G_\xi=(1,0,0),\qquad
\mathbf G_\eta=(0,\varepsilon,0),\qquad
\mathbf G_\zeta=(0,0,t/2),\qquad \varepsilon>0.
$$

그러면

$$
J=\varepsilon t/2,
\qquad j_s=1,
\qquad J_{min}/J_{max}=1
$$

이므로 `epsilon -> 0`인 near-collapsed element도 두 무차원 지표를 모두 완전히
통과한다. `J>0`은 exact zero만 배제하고 user-consistent unit에서 near-zero를 판정할
기준이 되지 않는다. Formulation에 “degenerate area를 별도 거부”한다고 적혀 있지만
그 scale-aware measure와 threshold가 수식 또는 알고리즘으로 정의되지 않았다.

이는 `FESA-REQ-LSMITC4-016`의 near-singular Jacobian 거부를 구현할 수 없게 하는
confirmed defect다. [[MITC Shell Kinematics]]의 degenerated mapping은 valid reciprocal
basis를 전제로 하고, [[Shell Locking Phenomenon]]이 지적하는 distortion 위험도
geometry acceptance가 실제 collapse를 식별할 것을 요구한다.

Required revision:

- 다음 세 종류를 분리해 모두 정의해야 한다.
  - angular/director measure: 현재 `j_s` 계열;
  - surface-collapse/aspect measure:

$$
a_g=\frac{\|\mathbf A_\xi\times\mathbf A_\eta\|}{L_e^2},
\qquad
L_e=\max_{edge\ (I,J)}\|\mathbf X_J-\mathbf X_I\|;
$$

  - variation/warp measure: `J_min/J_max`와 Gauss/center normal deviation.
- exact threshold는 distortion sweep에서 정하되, measure 자체는 formulation에 먼저
  고정해야 한다.
- center, Gauss, tying 및 committed recovery point가 동일한 orientation/validity
  inventory를 사용해야 한다.

Rerun disposition: `L_e`, `a_g`, `j_s`, `c_d`, `r_J`, `theta_w`와 공통 point inventory가
고정되었다. `epsilon -> 0` 직교 collapse에서 `j_s=1`이어도 `a_g=epsilon/4 -> 0`이므로
기존 반례를 검출한다. 정확한 threshold는 여전히 calibration 대상이나 measure 누락
결함은 해소되었다.

### NR-C02 — Resolved — common drilling normalization

Formulation의 후보 A와 B는 모두 `force*length` 차원을 가져 dimensional consistency는
만족한다. 그러나 얇은 쉘 극한에서 두 기준의 크기는 매우 다르다. 후보 A는

$$
k_{ref}^{(A)}
=\frac{GtA}{1+qA/t^2}
\xrightarrow[A/t^2\to\infty]{}
\frac{Gt^3}{q},
$$

후보 B는

$$
D_{iso}=\frac{Et^3}{12(1-\nu^2)}.
$$

따라서

$$
\boxed{
\frac{k_{ref}^{(A)}}{D_{iso}}
\to\frac{6(1-\nu)}{q}}
$$

이고 `nu=0.3`, `q=2.5e-5`이면 그 비는 `168000`이다. 동일한
`alpha_d=1e-3`을 곱하면 후보 A의 drilling stiffness는 약 `168 D_iso`가 되지만
후보 B는 `0.001 D_iso`가 된다. 동일한 `10^-3` 중심 sweep은 서로 같은 “작은
drilling” 영역을 비교하지 않는다.

Formulation 17.4절의 “모든 후보를 research order 주변에서 sweep”은 이 차이를
제거하지 못한다. `10^-3`은 thesis의 다른 reference scale에 붙은 사례이며 후보 A와
B의 공통 coefficient가 아니다.

Required revision:

- 후보 비교의 독립 변수는 raw `alpha_d`가 아니라

$$
\rho_{d,I}=\frac{k_{d,I}}{D_{iso}}
$$

  또는 승인된 physical rotational-block scale에 대한 동등한 무차원 비로 정의한다.
- 각 후보의 `alpha_d <-> rho_d` 변환을 명시한다.
- sweep은 하나의 임의 중심값을 공유하지 말고, 낮은 쪽 rank/conditioning 실패와
  높은 쪽 physical response contamination을 모두 관찰할 때까지 로그 범위를
  확장한다.
- nominal value는 stable plateau의 가장 작은 값으로 선택하고, 인접 decade에서
  `U/N/M/Q`와 energy의 민감도를 기록한다.

Research는 exact Abaqus small factor를 제공하지 못하며 이 gap을 정직하게 기록했다.
따라서 source 인용만으로 coefficient를 고를 수 없고 numerical calibration evidence가
필요하다.

Rerun disposition: `rho_d,I=k_d,I/D_iso`, 후보별 변환, logarithmic bracketing 및
smallest-stable-plateau 규칙이 고정되었다. 문서의 박판 극한
`6(1-nu)/q=168000`도 독립 재계산과 일치한다. 실제 후보/plateau/nominal 값은
의도적으로 `needs-numerical-calibration`에 남는다.

### NR-C03 — Resolved — mixed-DOF scaling contract

Shell stiffness의 block 단위는 서로 다르다.

| block | units |
| --- | --- |
| translation-translation | `force/length` |
| translation-rotation | `force` |
| rotation-rotation | `force*length` |

따라서 raw `K20` 또는 `K24`의 singular value/eigenvalue와 condition number는 길이
단위 변경에 불변하지 않다. Formulation은 혼합 단위 diagonal minimum을 올바르게
금지했지만, rank/conditioning study에는 같은 문제를 해결하는 scaling을 정의하지
않았다.

Required revision:

$$
\mathbf q=\mathbf S_e\widehat{\mathbf q},
\qquad
\mathbf S_e=\operatorname{blockdiag}_{I=1}^{4}
\left(L_e\mathbf I_3,\mathbf I_3\right),
$$

$$
\boxed{
\widehat{\mathbf K}_e=\mathbf S_e^T\mathbf K_e\mathbf S_e}.
$$

`K_hat`의 모든 성분은 `force*length` 단위를 가지므로 normalized rank와 spectrum을
비교할 수 있다. `L_e`는 Section NR-C01의 scale-aware element length와 일치시켜야
한다. Physical `20 x 20` matrix에는 노드당 `(L_e I3, I2)` scaling을 적용한다.

수치 rank, drilling-mode separation 및 condition evidence는 raw matrix가 아니라 이
scaled matrix에서 정의해야 한다. Global `Kff`에도 model-level translational/rotational
scaling 계약이 필요하다.

Rerun disposition: element `S20`, `S24`와 model-level `S_f`/`L_m`가 정의되었고,
rank/conditioning evidence는 `S^T K S`에서만 판정한다. 일관된 길이 단위 변환 시
scaled stiffness가 공통 scalar만 얻는 것을 독립 차원 검산으로 확인했다. 실제 rank와
condition threshold는 calibration evidence가 필요하다.

### NR-C04 — Resolved — global 24-DOF weak form

Formulation 7.1절은

```text
delta epsilon_bar^{,T} C5 epsilon_bar
```

로 기록되어 있다. 쉼표는 미분 index가 아니며 의도한 식은

$$
\delta W_{int}^{phys}
=\int_{\Omega_0}
(\delta\overline{\boldsymbol\epsilon})^T
\mathbf C_5\overline{\boldsymbol\epsilon}\,dV
$$

이다. 이후 `B^T C B` 식은 올바르므로 부호나 kernel 자체의 결함으로 전파되지는
않는다.

그러나 notation 오기 외에도 test-space mismatch가 있다. 물리 평형을
`delta q20 in V20`에 대해 선언한 뒤 external work를 `delta qg^T f_CLOAD`로 쓰고,
drilling variation을 별도 절에 두었지만 하나의 complete 24-DOF weak form으로
결합하지 않았다. Rectangular `T_p`를 사용하는 현재 계약에서는 다음과 같이 전역
시험공간을 명시해야 한다.

$$
\delta\mathbf q_g^T\left[
\mathbf T_p^T\mathbf f_{int}^{20}
+\mathbf T_d^T\mathbf K_d^l\boldsymbol\gamma
-\mathbf f_e^{CLOAD}\right]=0
\qquad\forall\delta\mathbf q_g\in V_{24}^0,
$$

$$
\mathbf f_{int}^{20}
=\int_{\Omega_0}\overline{\mathbf B}^T
\mathbf C_5\overline{\mathbf B}\mathbf q_{20}\,dV.
$$

동등하게 physical part만 쓸 때는
`delta q20^T f_int20 = delta qg^T T_p^T f_int20`을 명시해야 한다. Element
equation은 이 global form과 일치하지만 weak-form source of truth가 다른 시험공간을
혼용하므로 formulation revision이 필요하다.

Rerun disposition: Section 7.1-7.2가 모든 `delta q_g in V24^0`에 대해
`T_p^T f_int20 + T_d^T K_d gamma - f_CLOAD=0`을 선언하고 physical virtual-work
동등성을 함께 명시한다. transpose 오기도 제거되어 test-space mismatch가 해소되었다.

### NR-C05 — Resolved at scope boundary — nonlinear coordinate mapping

Future section의 covariant Green-Lagrange first/second derivative와

$$
K^{mat}_{AB}=\int B_A^T C_T B_B\,dV,
\qquad
K^{geo}_{AB}=\int s^T G_{AB}\,dV
$$

는 Total Lagrangian virtual work와 일관된다. 이는
[[Total Lagrangian Shell Formulation]] 및 [[Green-Lagrange Strain Linearization]]과
부합한다.

그러나 nonlinear physical coordinate는 20개 director-chart coordinate로 정의된
반면, linear limit에서 곧바로 `K_phys^24`로 환원된다고 서술한다. Finite rotation에서
global `[URX,URY,URZ]`와 two-parameter director chart 사이의 mapping, 그 mapping의
first/second derivative, chart update 및 objective drilling potential이 정의되지 않아
이 환원은 현재 증명되지 않는다.

이 finding은 승인 범위인 linear-static implementation을 차단하지 않지만, Section 15를
미래 nonlinear implementation-ready formulation으로 사용할 수 없게 한다. 미래
nonlinear gate 전에 별도 formulation revision이 필요하다.

Rerun disposition: physical 20-coordinate residual/tangent와 조건부 global map
`q20=Phi(qg)`가 분리되었고, pullback tangent에 `A^T K20 A`뿐 아니라 residual-weighted
map Hessian 항이 포함되었다. scalar nonlinear map으로 재미분한 결과와 식이
일치했다. 실제 `Phi`, chart update 및 objective drill potential은 future-only open
contract로 명시되어 현재 선형 구현 범위를 오염시키지 않는다.

## 3. Confirmed Consistent Parts

### 3.1 DOF ordering, director sign, and transformation

- Global order `[UX,UY,UZ,URX,URY,URZ]`와 physical local order
  `[uX,uY,uZ,alpha,beta]`는 요구조건과 일치한다.
- Right-handed `(a,b,d)`에서

$$
\delta\mathbf d
=\boldsymbol\theta\times\mathbf d
=-\alpha\mathbf b+\beta\mathbf a
$$

  이므로 rotation sign은 원 MITC4 문헌과 일치한다.
- `T_p=P T`, `T_d=D_gamma T`의 크기는 각각 `20 x 24`, `4 x 24`이며
  virtual work를 보존한다.
- Orthonormal frame과 disjoint selector 때문에

$$
\mathbf T_p\mathbf T_d^T=\mathbf0.
$$

  따라서 `rank(K20)=14`, `k_d,I>0`을 전제로 physical rank 14와 drill rank 4가
  서로 중첩되지 않아 exact-arithmetic stabilized rank는 18, nullity는 6이다.
- Physical rigid mode에서

$$
\boldsymbol\theta_I
=\boldsymbol\omega-(\boldsymbol\omega\cdot\mathbf d_I)\mathbf d_I
$$

  로 `gamma=0`을 구성하는 규약은 approved five-DOF gauge contract와 일치한다.

수치적으로 이 rank를 판정하는 방법은 NR-C03 수정과 drilling calibration 이후에만
승인할 수 있다.

### 3.2 MITC tying and B operator

Tying alias를 원 논문의 A/B/C/D로 다시 쓰면

| FESA location | source alias | component |
| --- | --- | --- |
| `T_xi+ = (0,+1,0)` | A | `epsilon_xi-zeta` |
| `T_xi- = (0,-1,0)` | C | `epsilon_xi-zeta` |
| `T_eta+ = (+1,0,0)` | D | `epsilon_eta-zeta` |
| `T_eta- = (-1,0,0)` | B | `epsilon_eta-zeta` |

이므로 interpolation weight와 edge inventory는 원 MITC4 식과 일치한다.
Direct covariant strain column

$$
B^{DI}_{\alpha\beta,A}
=\frac12(\mathbf G_\alpha\cdot\mathbf h_{A,\beta}
+\mathbf G_\beta\cdot\mathbf h_{A,\alpha})
$$

도 small-strain covariant relation과 일치한다. Tied covariant tensor를 reciprocal
basis로 복원하고 engineering shear factor를 적용하는 순서가 명확하며, residual과
stiffness가 같은 projection을 사용한다. 이는 [[Assumed Transverse Shear Strain
Interpolation]]의 핵심 consistency 요구를 만족한다.

### 3.3 Constitutive matrix and units

- `Cps`의 engineering `gamma12` coefficient는 `G`이고 transverse shear block은
  `(5/6)G I2`다.
- `-1 < nu < 0.5`, `E>0`에서 `C5`는 symmetric positive definite다.
- `sigma33=0`, thickness strain 제외, centered homogeneous layer boundary가
  요구조건과 일치한다.
- `K20`, force, resultant, curvature 및 energy의 차원은 다음과 같이 일관된다.

| quantity | units |
| --- | --- |
| membrane/shear strain | `1` |
| curvature | `1/length` |
| `N`, `Q` | `force/length` |
| `M` | `force` |
| physical/drilling energy | `force*length` |

`5/6`은 승인된 homogeneous rectangular-thickness 범위에만 사용하므로 범위 확장도
없다.

### 3.4 Integration and hourglass assessment

- `xi,eta,zeta = +/-1/sqrt(3)`, 모든 weight `1`인 `2 x 2 x 2` 규칙은 원 elastic
  MITC4의 `2 x 2` midsurface와 두 thickness point 근거에 부합한다.
- Tying shear는 midsurface edge 값으로부터 만들어 두 thickness point에서 공통으로
  사용하며, 나머지 mapping과 in-plane strain은 실제 thickness point에서 평가한다.
- `S4`와 `S4R`이 동일한 full-integration path를 사용한다는 product mapping이
  명확하다.
- `1 x 1` reduced integration이 없으므로 별도 hourglass control은 `N/A`다.

이는 [[MITC4 Shell Element]]의 full `B^T D B` 경로 및 원 문헌의 no-spurious-mode
관찰과 일치한다. 다만 실제 rank는 distortion 및 drilling scaling을 포함한 test로
확인해야 한다.

### 3.5 Recovery signs and locations

정의

$$
\boldsymbol\epsilon_0=\frac1t\int\mathbf e_m\,dz,
\qquad
\boldsymbol\kappa=\frac{12}{t^3}\int z\mathbf e_m\,dz
$$

로부터 `e_m(z)=epsilon0+z kappa`이면 정확히 원래 `epsilon0`, `kappa`를 복구한다.
동일한 fixed midsurface local frame과 동일한 thickness quadrature를 사용하므로

$$
\mathbf N=\mathbf A\boldsymbol\epsilon_0,
\qquad
\mathbf M=\mathbf D\boldsymbol\kappa,
\qquad
\mathbf Q=\mathbf A_s\boldsymbol\gamma_0
$$

가 centered homogeneous layer에서 일관된다. Bottom `z=-t/2`, top `z=+t/2`,
`M=integral(z sigma dz)`의 부호도 서로 모순되지 않는다. Output order와 위치는
요구조건과 일치한다.

### 3.6 Linear reaction and equilibrium sign

Full residual을 `r=K d-F`로 정의했으므로 constrained component는 반력이고 free
component는 equilibrium evidence다. 전역 force/moment balance에서 applied load와
reaction을 더해 zero를 확인하는 부호도 이 정의와 일치한다.

## 4. Numerical Decisions

### 4.1 Approved in this review

#### NR-D01 — Drilling-direction nodal moment projection

Nonzero nodal moment에 대해

$$
\rho_M=\frac{|\mathbf d_I\cdot\mathbf M_I|}{\|\mathbf M_I\|}
$$

를 사용하고 `rho_M <= 1e-12`인 경우에만 tangent-plane moment로 수용한다. Zero moment는
별도 exact-zero case로 수용하며 denominator를 clamp하지 않는다. 이 기준은
`FESA-REQ-LSMITC4-051`의 normalized frame/orthogonality 기준과 일치하고 길이/힘
단위에 불변이다.

#### NR-D02 — Algebraic normalized checks

Formulation revision에서 다음 normalization을 명시한다.

$$
e_{sym}=\frac{\|\widehat K-\widehat K^T\|_F}{\|\widehat K\|_F}
\le10^{-12},
$$

$$
e_{rigid}=\frac{\|\widehat K\widehat r\|_2}
{\|\widehat K\|_2\|\widehat r\|_2}\le10^{-10},
$$

$$
e_{frame}=\|R^TR-I\|_F\le10^{-12}.
$$

Zero matrix/vector denominator는 pass로 clamp하지 않고 invalid test construction으로
분류한다. Transformation-energy check는 nonzero reference energy에 대해

$$
e_T=\frac{|E_g-E_l|}{|E_g|+|E_l|}\le10^{-12}
$$

를 적용하며 양쪽 energy가 exact zero인 rigid/pure-null case는 별도 action test로
판정한다.

### 4.2 Open decisions — blocking evidence gaps

#### NR-O01 — Drilling reference family, nominal coefficient, and plateau

NR-C02/NR-C03을 반영한 normalized sweep 결과가 없으므로 후보 A/B/physical-block
중 어느 것도 승인하지 않는다. Exact-arithmetic positivity만으로 practical
factorization과 physical contamination을 동시에 보장할 수 없다.

#### NR-O02 — Drilling energy warning ratio

Source는 static drill-specific acceptable ratio를 제공하지 않는다. Nominal plateau에서
`U/N/M/Q` 민감도와 함께 calibrate해야 하며, 현 단계에서 `1%`, `5%` 등의 임의 값을
승인하지 않는다. `Ephys`가 zero/near-zero이면 ratio를 만들지 않고 두 energy와 case
classification을 보고하는 formulation 원칙은 승인한다.

#### NR-O03 — Smooth-director angle

`20 degrees`는 usable initial candidate이나 Abaqus grouping heuristic을 FESA hard
rejection으로 바꾸는 결정이다. Pinched cylinder와 LE3의 coarse-to-fine mesh에서 incident
normal deviation 분포와 false-fold/false-smoothing case를 확인하기 전에는 승인하지
않는다.

#### NR-O04 — Geometry thresholds

NR-C01의 measure inventory는 고정되었다. 이제 valid distortion/warp sweep과 collapsed
negative sequence가 pass/fail 사이에 분리 영역을 제공해야 threshold를 승인할 수 있다.

#### NR-O05 — U tolerance and UR warning threshold

이 값은 Reference Model과 공동 소유이며 artifact/mesh evidence가 없다. U-only blocking,
UR warning-only라는 정책은 승인하지만 수치값은 승인하지 않는다.

## 5. Numerical Risk Assessment

| risk | assessment | status/control |
| --- | --- | --- |
| rigid body modes | 물리 20-DOF rank 14와 4 drill mode의 algebraic 분리는 타당 | scaled spectrum과 explicit six mode test 필요 |
| patch test | membrane, bending, shear, twist field 정의가 가능 | 구현 전 component/sign별 exact field test 필요 |
| symmetry | `B^T C B`, orthogonal congruence, diagonal drill로 구조상 symmetric | NR-D02 normalized check 적용 |
| positive definiteness | free element는 six-mode semidefinite, valid constrained `Kff`는 positive definite 기대 | geometry/drill calibration 뒤 확인 |
| hourglass | full `2 x 2` midsurface integration | `N/A`; spurious-mode eigencheck는 유지 |
| shear locking | MITC tying으로 목표 현상을 완화 | thickness/mesh sequence 없이는 통과 주장 금지 |
| membrane locking | original MITC4의 distorted curved-shell known limitation | curved/distorted convergence와 known limitation 기록 |
| volumetric locking | approved plane-stress shell 범위 | `N/A`; 3D incompressible 의미로 확장 금지 |
| distortion | measure inventory는 완전하나 calibrated threshold 없음 | geometry calibration evidence 필요 |
| singular Jacobian | sign/scale-aware measures 고정, near-singular threshold 미승인 | valid/invalid separation sweep 필요 |
| conditioning | scaled matrix 계약은 타당하나 drilling nominal point 미승인 | normalized sweep과 factorization evidence 필요 |
| linear solve convergence | direct linear solve에서는 Newton convergence N/A | residual/equilibrium `1e-10` 확인 |
| mesh convergence | shear/membrane locking 및 curved response에 필수 | pinched cylinder/LE3 sequence 필요 |
| nonlinear tangent | 물리 20-DOF 및 conditional global-map variation 구조는 타당 | actual chart/update 미정으로 future implementation blocked |

## 6. Consistency Checks

| check | result | evidence/comment |
| --- | --- | --- |
| material/section units | pass | `E, G, t`, `A/D/As`와 output units 일치 |
| drilling dimensions | pass | 모든 후보와 `Kd`는 `force*length` |
| rank/conditioning dimensional invariance | pass at contract level | `S20/S24/Sf`와 `S^T K S` 정의; 수치 threshold evidence는 미제출 |
| rotation/director signs | pass | `delta d=-alpha b+beta a` |
| tying signs and inventory | pass | A/C/D/B alias와 weight 일치 |
| DOF ordering | pass | global 6, physical 5 per node 정확 |
| coordinate transforms | pass for linear scope | linear `T_p/T_d` 타당; future map은 명시적 conditional contract |
| matrix/vector dimensions | pass | 20/24/4 block 크기 일치 |
| constitutive symmetry/positivity | pass | approved `E,nu` 범위 |
| integration points/weights | pass | `2 x 2 x 2`, weight 1 |
| Jacobian near-singularity contract | pass at measure level | `a_g`가 orthogonal collapse를 검출; threshold calibration은 미제출 |
| stiffness/residual sign | pass | `r=Kd-F`, reaction/equilibrium 일치 |
| output component order | pass | generalized/resultant/stress order 일치 |
| output locations | pass | four midsurface points와 bottom/mid/top 분리 |
| weak-form test space/notation | pass | complete global 24-DOF variation과 physical virtual-work equivalence |
| future material/geometric tangent | pass at documented boundary | 20-DOF tangent와 map Hessian 포함; actual chart/update는 future-only |

## 7. Verification Readiness

- unit_tests: Section 7.1의 algebraic, frame, tying, rank, energy 및 geometry tests.
- patch_tests: Section 7.2의 membrane, bending, shear, twist 및 rigid/drill states.
- mms_or_mes: CLOAD-only 범위에서는 prescribed polynomial element state를 이용한
  manufactured element solution을 사용하며 distributed-load full-domain MMS는 `N/A`다.
- benchmark_reference_comparison: Section 7.3의 pinched cylinder, LE3 및 S4/S4R
  displacement evidence.
- missing_evidence: Section 7.5의 drilling, geometry, director-angle, reference 및
  future nonlinear evidence.

### 7.1 Unit and algebraic tests required

1. Shape partition, Kronecker delta, derivative sum.
2. Nodal/integration frame orthonormality, handedness, deterministic tie break.
3. `T_p T_d^T=0`, virtual work 및 energy congruence.
4. Source A/C/D/B tying value를 독립 hand calculation과 비교.
5. `K20`, `Kphys`, `Kdrill`, `Ke` symmetry와 separate energy.
6. Six physical rigid vectors, four pure drill vectors, scaled spectrum/rank.
7. Force/length 단위 변경 후 `K_hat`, rank decision, displacement/resultant invariance.
8. NR-C01 직교 collapse sequence와 inverted/warped/opposed-normal negative cases.
9. Bottom/mid/top stress와 thickness moment recovery의 analytical cross-check.
10. S4/S4R source type만 바꾼 동일 model의 internal-row equality.

### 7.2 Patch and manufactured element states

- constant `E11`, `E22`, `G12` membrane states;
- `K11`, `K22` pure bending과 top/bottom stress reversal;
- `K12` pure twist;
- `G13`, `G23` constant transverse shear;
- physical rigid motion과 pure drilling separation.

Distributed load가 없어도 prescribed nodal field와 element action으로 patch algebra를
검증할 수 있다. 각 test는 component order와 sign을 별도로 판정해야 한다.

### 7.3 Locking and benchmark evidence required

- thin/thick cantilever 또는 plate의 thickness 및 mesh sequence;
- regular/distorted pinched cylinder sequence;
- NAFEMS LE3 coarse-to-fine sequence와 incident-normal angle inventory;
- 필요 시 equivalent nodal loads를 명시한 Scordelis-Lo 보조 sequence;
- S4 및 S4R source artifact 각 하나 이상.

[[Shell Locking Phenomenon]]에 따라 한 개 mesh의 displacement 일치만으로 locking
absence를 주장하지 않는다. [[MITC4 Shell Element]]의 patch 및 Scordelis-Lo 근거는
element family의 타당성을 지지하지만 FESA의 director/drilling/output convention을
자동 검증하지 않는다.

### 7.4 Drilling calibration evidence required

NR-C02의 `rho_d`를 사용해 다음 두 실패 경계를 모두 포착해야 한다.

- low side: scaled positive spectrum이 solver rank threshold 아래로 내려가거나
  `Kff` conditioning/factorization이 불안정해지는 지점;
- high side: U 또는 physical `N/M/Q`가 인접 decade에서 승인된 contamination bound를
  넘거나 drilling energy가 physical response를 지배하는 지점.

Stable interval이 존재하지 않으면 선택한 diagonal absolute-drill 방법 자체를
Requirements/Formulation으로 되돌려 재검토해야 한다.

### 7.5 Missing evidence

- dimensionally normalized drilling sweep 결과;
- fixed geometry metric의 valid/invalid separation data;
- curved benchmark별 incident-normal angle distribution;
- reference `S4`/`S4R` artifact inventory와 U/UR scale.

Future nonlinear chart/update 및 objective drilling evidence도 아직 없지만 현재 linear
gate의 dependency는 아니다. 이를 근거로 기하비선형 구현을 시작해서는 안 된다.

### 7.6 Gate matrix

| gate item | result | consequence |
| --- | --- | --- |
| current-linear formulation consistency | pass | 추가 formulation revision 불필요 |
| `NR-C01`-`NR-C05` disposition | resolved | 1차 confirmed defect 종료 |
| `NR-D01`-`NR-D02` integration | pass | 수식/normalized metric 유지 |
| drilling/geometry/director calibration | pending | Implementation Planning 차단 |
| reference model and U/UR thresholds | pending | primary verdict `needs-reference-model` |
| future geometric-nonlinear executability | out of current scope | 별도 future formulation/review 전 구현 금지 |

## 8. Required Revisions

### Formulation Agent

- 현재 선형 정적 범위에 필요한 추가 revision은 없다.
- calibration에서 stable drilling interval이 존재하지 않거나 fixed geometry measure가
  valid/invalid cases를 분리하지 못할 때에만 Requirements/Formulation으로 되돌린다.
- future nonlinear chart/update/objective drilling potential은 별도 scope 승인과 review
  없이는 구체 구현 계약으로 간주하지 않는다.

### Research Agent

- MITC4 core theory의 추가 일반 조사는 필요하지 않다.
- Exact drill coefficient에 대한 authoritative 공개 근거가 새로 확인되지 않는 한
  문헌 수치로 gap을 억지로 닫지 않는다.
- 추가 근거가 필요하다면 normal-angle hard rejection과 drilling normalization에 직접
  적용 가능한 primary source만 보강한다.

### Reference Model Agent

- 현재 workspace에 관찰되지 않는 `reference/shell/`을 artifact가 다시 보일 때
  read-only로 inventory하고 S4R 선언 artifact의 실제 파일, provenance, input subset 및
  displacement row를 확인한다.
- `docs/reference-models/linear-static-mitc4-shell-reference-models.md`에 canonical
  portfolio와 artifact/schema 계약을 작성한다.
- 별도 S4 artifact를 준비한다.
- LE3/pinched-cylinder mesh마다 incident-normal angle, mesh size 및 U reference scale을
  metadata/evidence로 남긴다.
- U mixed tolerance와 nonblocking UR warning threshold를 제안한다.

### Numerical Review Rerun

- Formulation revision `6cb0302`의 defect correction은 이번 rerun에서 확인했다.
- 다음 rerun에서 geometry negative sequence와 drilling normalized sweep evidence를
  검토한다.
- Section 4.2의 open decision을 닫거나 명시적으로 다시 반환한다.
- 그 전에는 `pass-for-implementation-planning`을 부여하지 않는다.

## 9. Downstream Handoff

### Implementation Planning Agent

- **현재 handoff 금지.** `implementation_planning_authorized=false`다.
- Numerical Review rerun이 통과한 뒤에만 Section 7의 test inventory를
  `RED -> GREEN -> VERIFY` 순서로 변환한다.
- Future nonlinear state/tangent는 현재 linear implementation plan에 포함하지 않는다.

### I/O Definition Agent

- formal I/O gate handoff는 이번 verdict로 승인하지 않는다. 비권위 schema 메모를
  작성하더라도 geometry threshold,
  drilling coefficient/energy warning, U/UR tolerance를 implementation default로
  선점하지 않는다.
- NR-D01의 normalized drilling-load projection과 exact-zero handling을 diagnostic
  contract에 반영한다.

### Reference Model Agent

- Section 8의 read-only inventory 및 benchmark evidence를 준비한다.
- Abaqus S4/S4R formulation equivalence를 주장하지 않고 global U만 blocking evidence로
  사용한다.

### Coordinator Agent

- Formulation revision loop는 종료한다.
- `needs-numerical-calibration`과 `needs-reference-model`을 남은 dependency로 추적한다.
- 두 dependency가 닫히고 Numerical Review가 재승인하기 전에 다음 formal gate를 열지
  않는다.

## 10. Evidence

### Repository sources

- `docs/formulations/mitc4-shell-formulation.md`
- `docs/research/linear-static-mitc4-shell-research.md`
- `docs/requirements/linear-static-mitc4-shell.md`
- `docs/reference-papers/MITC4/AContinuumMechanicsBasedFourNodeShell/`
- `docs/reference-papers/MITC4/FourNodeQuadrilateralShellElementMITC4/`
- `docs/reference-papers/MITC4/유한요소해석법을이용한쉘구조물의동적좌굴해석/`

### FEM wiki cross-checks

- [[MITC4 Shell Element]] — physical five-DOF kinematics, edge-midpoint tying,
  `B^T D B`, patch 및 convergence evidence.
- [[MITC Shell Kinematics]] — midsurface/director/thickness mapping.
- [[Assumed Transverse Shear Strain Interpolation]] — shear-locking remedy와 projection
  consistency.
- [[Shell Locking Phenomenon]] — transverse-shear 및 curved-shell membrane locking 구분.
- [[Total Lagrangian Shell Formulation]] — reference-configuration residual/tangent.
- [[Green-Lagrange Strain Linearization]] — material/geometric tangent 분리.

Wiki는 교차 확인 근거이며 최종 project authority는 approved requirements, research 및
reviewed formulation이다.