FESADev/docs/mitc4-shell-feast-eigen/formulation.md

# MITC4 질량행렬과 FEAST 고유치 정식화

- Feature ID: `mitc4-shell-feast-eigen`
- Owner: `formulation-agent`
- Input contract revision: `r2`
- 요청 outcome: `pass`; 다음 owner: `numerical-review-agent`.
- 상태: 독립 numerical review 요청이며 자기 승인이나 workflow 전이가 아니다.

필수 입력은 [FEATURED_AGENTS](FEATURED_AGENTS.md), [PRD](PRD.md), [ADR](ADR.md),
[requirements](requirements.md), [requirements evidence](requirements-evidence.md),
[research](research.md), [research evidence](research-evidence.md)이다.
[프로젝트 지침](../../AGENTS.md), [프로젝트 PRD](../PRD.md), [ARCHITECTURE](../ARCHITECTURE.md),
[공통 ADR](../ADR.md), [TOLERANCE](../TOLERANCE.md), [agent 계약](../SOLVER_AGENT_DESIGN.md),
[문서 소유권](../FEATURE_DOCUMENTATION.md)을 적용했다.

## 핵심 계약

1. 기존 원형상 MITC4 운동학·physical stiffness·director·global 6 DOF 의미를 유지한다.
   Physical 3 translation/2 tangent rotation의 consistent mass와 구성 scalar moments를
   같은 Jacobian으로 계산한다. Trilinear mapping의 mass integrand는 각 축 최대 4차이므로
   mass는 3×3×3 Gauss로 충분하며 곡면의 odd-thickness coupling을 유지한다.
   식과 단위·strong/weak form: [mass M1~M5](formulation-mass.md).
2. 계산된 consistent moment를 row-sum하여 global nodal 6×6 block lumped mass를 만든다.
   총 병진 질량·spatial centroid·할당된 thickness moments를 보존하고 drilling은 정확한 null이다.
   일반 운동에너지 차이는 nonnegative Jensen identity로 명시한다.
   보존/근사 범위와 독립 평판 oracle: [mass M6~M10](formulation-mass.md).
3. 실제 homogeneous global constraints를 먼저 적용한다. Free space에 완전히 포함된
   director null만 분리한다. 개선된 nodal stabilization에서도 Kpz=0, Kzz>0임을 입증하여
   finite spectrum을 nodal projection으로 보존하며 부분 BC에 남는 stabilization은 유지한다.
   Sparse block whitening, rank 예외와 global 복원: [eigen E1~E5](formulation-eigen.md).
4. Actual FEAST mass와 모든 modal 검증은 derived lumped다. `.inp`의 N을 유지하고
   finite enclosure·prefix count·cluster capacity·count/solve 일치와 독립 eigenpair 검증을
   결합한다. Endpoint/conditioning 한계를 count theorem으로 과장하지 않는다.
   Backend 경계와 bounded search, 상태 보존: [eigen E6~E8](formulation-eigen.md).
5. 사용자 승인 r2의 numerical scale은 초기 physical K20의 여덟 접평면 회전 대각의
   평균 `k_ref=sum_i tr(R_i)/8`, `k_d=10^-3 k_ref`로 고정한다. Zero diagonal을 포함한
   전체 inventory를 사용하며 접평면 기저·전역 좌표에 불변이다. 선형/eigen의 nodal drill
   map과 nonlinear의 objective potential·초기 고정 lifecycle은 각각 유지한다.
   양의 inventory, 재계산 공변성, rigid modes, 반례의 exact target과 적용 경계는
   [stabilization S1~S7](formulation-stabilization.md)에 있다.

## Requirement coverage

아래 ID는 모두 `FEM-REQ-MITC4-EIGEN-` 접두사다. Requirements matrix의 acceptance 원본을
복제하지 않으며 formulation의 기여와 다음 owner를 구분한다.

| IDs | 정식화/검증 연결 | 후속 확인 |
| --- | --- | --- |
| `001`, `002`, `004` | mass M1~M4, stabilization S1/S2: 원형상, physical kernel·director·재료·기하 보존, numerical scale 교체 | NR, I/O |
| `003` | mass M1/M5: 양의 일정 rho와 section별 연결 전제 | I/O semantic validation |
| `005`, `006`, `026` | mass M5~M10, verification V2: consistent→lumped, coupling, positivity/null, 보존/근사 | NR independent oracle |
| `007`, `008` | eigen E1~E5, stabilization S4, verification V3: 실제 BC 뒤 개선된 pencil 보존, stable assembly/복원 | NR rank/conditioning |
| `009`, `010`, `011`, `012` | eigen E6~E8, verification V6: 낮은 N, multiplicity, 실제 FEAST, 유한 실패 | NR numerical controls, real runtime |
| `013`, `014`, `018` | verification V1~V5, stabilization S3/S6: lumped 검증과 complete K/지원 partial BC 재계산 공변성 | NR, Physics |
| `015`, `016` | mass M2 및 eigen E1/E6: 무감쇠 단일 procedure·동차 BC·input N authority | I/O exact syntax/no-op/exclusion |
| `017`, `019` | eigen E8: lambda/normalization 의미, source identity, candidate/final 보존 | I/O additive schema/failure |
| `020`, `021`, `022` | verification V6: 지정 TXT Value-only, identity 사전검사/common tolerance | NR family, I/O mapping |
| `023`, `024`, `025` | stabilization S5/S7, verification V8: 기존 linear/nonlinear scale 적용·correctness/reference 재검증 | Planning TDD/MSVC/회귀, Physics/Release closure |
| `027` | stabilization S1~S7: 단일 공변 scale·positive/null/rigid 역할과 기존 고정식 대체 경계 | NR 독립 검토, Implementation/Physics |

## Evidence와 handoff

실제 linear의 kd 선정 및 nonlinear 생성 시 초기 계수 전달·저장 경로를 대조했다.
r1의 mass M5~M10, FEAST E6~E8, full residual·transaction 수식과 NR의 독립 mass oracle
근거를 영향 확인 후 보존한다. 원본 reference hash는 r1 관찰 이력이며 재조회하지 않았다.
출처·명령·미실행은 [verification V7/V8](formulation-verification.md)에 있다.
Source/reference/upstream을 편집하지 않았고 수치 실행 결과를 통과로 보고하지 않는다.

현재 새 physics/scope/compatibility 선택이나 사용자 미결정은 없다. r2 수식은 NR-MFE-001에
대한 algebraic target을 제공하며 그 반례의 독립 해소 판정이나 runtime 통과를 주장하지 않는다.
Numerical Review는 [verification V6](formulation-verification.md)의 dimensionless metric,
zero branch, analytic rank와 finite algorithm을 독립 검토하여 threshold, FEAST control/budget,
필수 benchmark 및 reference mode/frame family를 고정한다. I/O는 영속 schema를 정의한다.
이번 formulation stage는 완결된 수학 계약을 NR에 인계하며, 실제 구현 진입에 필요한
전체 계약 bundle은 NR의 수치 기준과 후속 I/O/planning 이후 완성된다.
Count의 floating-point 한계, near-null conditioning, shifted sparse fill와 보수적 count
scratch 비용은 아직 실제 runtime evidence가 필요하다. Release readiness를 주장하지 않는다.