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얻기 위해 변형률 텐서 좌우에 공변 기저(covariant basis)를 내적하면, 식(2.22)와 같은 결과를 얻을 수 있다.
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\mathcal{E}_{pq} = \mathbf{g}_{p} \cdot \mathbf{\epsilon} \cdot \mathbf{g}_{q}
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= \frac{1}{2} \mathbf{g}_{p} \cdot \left[ \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \xi^{i}} \otimes \mathbf{g}^{i} + \mathbf{g}^{i} \otimes \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \xi^{i}} \right] \cdot \mathbf{g}_{q}
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= \frac{1}{2} \left[ \mathbf{g}_{p} \cdot \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \xi^{q}} + \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \xi^{p}} \cdot \mathbf{g}_{q} \right] \tag{2.22}
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그리고 식(2.22)를 식(2.19)를 사용하여 표현하면 변형률 텐서의 공변 성분(covariant component)은 식(2.23)과 같이 나타낼 수 있다.
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\varepsilon_{pq} = \frac{1}{2} \left[ \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \xi^p} \cdot \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \xi^q} + \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \xi^q} \cdot \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \xi^p} \right] \tag{2.23}
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이와 같은 방법으로 Green-Lagrange 변형률을 표현하기 위해서 우선 Green-Lagrange 변형률은 식(2.24)와 같이 정의 할 수 있다.
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\mathbf{E} = \frac{1}{2} \left( \mathbf{F}^{T} \mathbf{F} - \mathbf{I} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial (\mathbf{X} + \mathbf{u})^{T}}{\partial \mathbf{X}} \frac{\partial (\mathbf{X} + \mathbf{u})}{\partial \mathbf{X}} - \mathbf{I} \right)
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= \frac{1}{2} \left( \left[ \mathbf{I} + \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \mathbf{X}} \right]^{T} \left[ \mathbf{I} + \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \mathbf{X}} \right] - \mathbf{I} \right) = \frac{1}{2} \left( \left[ \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \mathbf{X}} \right] + \left[ \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \mathbf{X}} \right]^{T} + \left[ \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \mathbf{X}} \right]^{T} \left[ \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \mathbf{X}} \right] \right)
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= \frac{1}{2} \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \xi^{i}} \otimes \mathbf{G}^{i} + \mathbf{G}^{i} \otimes \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \xi^{i}} + \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \xi^{i}} \cdot \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \xi^{j}} \right) \mathbf{G}^{i} \otimes \mathbf{G}^{j} \right)
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(2.24)
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그리고 Green-Lagrange 변형률 텐서에서 공변 성분(covariant component)을 얻기 위해 Green-Lagrange 변형률 텐서 좌우에 공변 기저(covariant basis)를 내적하면, 식(2.25)와 같은 결과를 얻을 수 있다.
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\begin{split} E_{pq} &= \mathbf{G}_{p} \cdot \mathbf{E} \cdot \mathbf{G}_{q} \\ &= \frac{1}{2} \mathbf{G}_{p} \cdot \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \xi^{i}} \otimes \mathbf{G}^{i} + \mathbf{G}^{i} \otimes \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \xi^{i}} + \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \xi^{i}} \cdot \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \xi^{j}} \right) \mathbf{G}^{i} \otimes \mathbf{G}^{j} \right) \cdot \mathbf{G}_{q} \\ &= \frac{1}{2} \left( \left( \mathbf{G}_{p} \cdot \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \xi^{q}} \right) + \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \xi^{p}} \cdot \mathbf{G}_{q} \right) + \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \xi^{p}} \cdot \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \xi^{q}} \right) \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( \left( \frac{\partial \mathbf{X}}{\partial \xi^{p}} \cdot \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \xi^{q}} \right) + \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \xi^{p}} \cdot \frac{\partial \mathbf{X}}{\partial \xi^{q}} \right) + \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \xi^{p}} \cdot \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \xi^{q}} \right) \right) \end{split}
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식(2.25)를 변위에 대한 증분형태(incremental form)로 나타내기 위해 $\mathbf{u} = \mathbf{u}_t + \Delta \mathbf{u}$ 을 대입하여 정리하면, 식(2.26)와 같은 결과를 얻을 수 있다. 이 때 식(2.26)의 첫 번째 항은 $\Delta \mathbf{u}$ 에 대한 상수 항이고, 두 번째 항은 $\Delta \mathbf{u}$ 에 대한 선형 항 그리고 세 번째 항은 $\Delta \mathbf{u}$ 에 대한 비선형 항을 나타내며, 이를 간략하게 기호로 표시하면 다음과 같이 쓸 수 있다.
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\begin{split} E_{pq} &= \frac{1}{2} \Biggl( \Biggl( \frac{\partial \mathbf{X}}{\partial \xi^{p}} \cdot \frac{\partial (\mathbf{u}_{t} + \Delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{q}} \Biggr) + \Biggl( \frac{\partial (\mathbf{u}_{t} + \Delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{p}} \cdot \frac{\partial \mathbf{X}}{\partial \xi^{q}} \Biggr) + \Biggl( \frac{\partial (\mathbf{u}_{t} + \Delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{p}} \cdot \frac{\partial (\mathbf{u}_{t} + \Delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{q}} \Biggr) \Biggr) \\ &= \frac{1}{2} \Biggl( \Biggl( \frac{\partial \mathbf{X}}{\partial \xi^{p}} \cdot \frac{\partial (\mathbf{u}_{t})}{\partial \xi^{q}} \Biggr) + \Biggl( \frac{\partial (\mathbf{u}_{t})}{\partial \xi^{p}} \cdot \frac{\partial \mathbf{X}}{\partial \xi^{q}} \Biggr) + \Biggl( \frac{\partial (\mathbf{u}_{t})}{\partial \xi^{p}} \cdot \frac{\partial (\mathbf{u}_{t})}{\partial \xi^{q}} \Biggr) \Biggr) \\ &+ \frac{1}{2} \Biggl( \Biggl( \frac{\partial \mathbf{X}}{\partial \xi^{p}} \cdot \frac{\partial (\Delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{q}} \Biggr) + \Biggl( \frac{\partial (\Delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{p}} \cdot \frac{\partial \mathbf{X}}{\partial \xi^{q}} \Biggr) + \Biggl( \frac{\partial (\mathbf{u}_{t})}{\partial \xi^{p}} \cdot \frac{\partial (\Delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{q}} \Biggr) + \Biggl( \frac{\partial (\Delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{p}} \cdot \frac{\partial (\Delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{q}} \Biggr) \Biggr) \\ &+ \frac{1}{2} \Biggl( \frac{\partial (\Delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{p}} \cdot \frac{\partial (\Delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{q}} \Biggr) \\ &= E_{0_{pq}} + \Delta E_{pq} + \Delta^{2} E_{pq} \end{split}
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가상 일에 대한 변형률을 구하기 위해 Green-Lagrange 변형률에 변분(variation)을 취하면 식(2.27)과 같이 나타낼 수 있다.
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\delta \mathbf{E} = \frac{1}{2} \left[ \left[ \frac{\partial (\delta \mathbf{u})}{\partial \mathbf{X}} \right] + \left[ \frac{\partial (\delta \mathbf{u})}{\partial \mathbf{X}} \right]^{T} + \left[ \frac{\partial (\delta \mathbf{u})}{\partial \mathbf{X}} \right]^{T} \left[ \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \mathbf{X}} \right] + \left[ \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \mathbf{X}} \right]^{T} \left[ \frac{\partial (\delta \mathbf{u})}{\partial \mathbf{X}} \right] \right]
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= \frac{1}{2} \left[ \frac{\partial (\delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{i}} \otimes \mathbf{G}^{i} + \mathbf{G}^{i} \otimes \frac{\partial (\delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{i}} + \left( \frac{\partial (\delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{i}} \cdot \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \xi^{j}} \right) \mathbf{G}^{i} \otimes \mathbf{G}^{j} + \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \xi^{i}} \cdot \frac{\partial (\delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{j}} \right) \mathbf{G}^{i} \otimes \mathbf{G}^{j} \right]
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(2.27)
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위와 마찬가지로 Green-Lagrange 변형률 텐서에서 공변 성분(covariant component)을 얻기 위해 식(2.27)의 좌우에 공변 기저(covariant basis)를 내적하면, 식(2.28)과 같은 결과를 얻을 수 있다.
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\begin{split} \delta E_{pq} &= \mathbf{G}_{p} \cdot \delta \mathbf{E} \cdot \mathbf{G}_{q} \\ &= \frac{1}{2} \mathbf{G}_{p} \cdot \left( \frac{\partial (\delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{i}} \otimes \mathbf{G}^{i} + \mathbf{G}^{i} \otimes \frac{\partial (\delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{i}} \right) \\ &+ \left( \frac{\partial (\delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{i}} \cdot \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \xi^{j}} \right) \mathbf{G}^{i} \otimes \mathbf{G}^{j} + \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \xi^{i}} \cdot \frac{\partial (\delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{j}} \right) \mathbf{G}^{i} \otimes \mathbf{G}^{j} \right) \cdot \mathbf{G}_{q} \\ &= \frac{1}{2} \left( \mathbf{G}_{p} \cdot \frac{\partial (\delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{q}} + \frac{\partial (\delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{p}} \cdot \mathbf{G}_{q} + \left( \frac{\partial (\delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{p}} \cdot \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \xi^{q}} \right) + \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \xi^{p}} \cdot \frac{\partial (\delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{q}} \right) \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( \frac{\partial \mathbf{X}}{\partial \xi^{p}} \cdot \frac{\partial (\delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{q}} + \frac{\partial (\delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{p}} \cdot \frac{\partial \mathbf{X}}{\partial \xi^{q}} + \left( \frac{\partial (\delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{p}} \cdot \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \xi^{q}} \right) + \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \xi^{p}} \cdot \frac{\partial (\delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{q}} \right) \right) \end{split}
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식(2.28)을 변위에 대한 증분형태로 나타내기 위해 $\mathbf{u} = \mathbf{u}_t + \Delta \mathbf{u}$ 을 대입하여 정리하면, 식(2.29)와 같은 결과를 얻을 수 있다. 이 때 식(2.29)의 첫 번째 항은 $\Delta \mathbf{u}$ 에 대한 상수 항이고, 두 번째 항은 $\Delta \mathbf{u}$ 에 대한 선형 항을 나타내며, 이를 기호로 간략하게 표현하면 다음과 같이쓸 수 있다. 여기서 $\mathbf{u}_t$ 는 고정된 값이므로 $\mathbf{u}_t$ 에 대한 변분(variation)은 영(零)이 된다.
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\begin{split} \delta E_{pq} &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \frac{\partial \mathbf{X}}{\partial \xi^{p}} \cdot \frac{\partial (\delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{q}} + \frac{\partial (\delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{p}} \cdot \frac{\partial \mathbf{X}}{\partial \xi^{q}} \\ &+ \left( \frac{\partial (\delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{p}} \cdot \frac{\partial (\mathbf{u}_{t} + \Delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{q}} \right) + \left( \frac{\partial (\mathbf{u}_{t} + \Delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{p}} \cdot \frac{\partial (\delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{q}} \right) \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \frac{\partial \mathbf{X}}{\partial \xi^{p}} \cdot \frac{\partial (\delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{q}} + \frac{\partial (\delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{p}} \cdot \frac{\partial \mathbf{X}}{\partial \xi^{q}} + \left( \frac{\partial (\delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{p}} \cdot \frac{\partial \mathbf{u}_{t}}{\partial \xi^{q}} \right) + \left( \frac{\partial \mathbf{u}_{t}}{\partial \xi^{p}} \cdot \frac{\partial (\delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{q}} \right) \end{pmatrix} \\ &+ \frac{1}{2} \left( \left( \frac{\partial (\delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{p}} \cdot \frac{\partial \Delta \mathbf{u}}{\partial \xi^{q}} \right) + \left( \frac{\partial \Delta \mathbf{u}}{\partial \xi^{p}} \cdot \frac{\partial (\delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{q}} \right) \right) \\ &= \delta \left( E_{0_{pq}} + \Delta E_{pq} + \Delta^{2} E_{pq} \right) \\ &= \delta \Delta E_{pq} + \delta \Delta^{2} E_{pq} \\ &= \delta \mathcal{E}_{0_{pq}} + \delta \Delta \mathcal{E}_{pq} \end{split}
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식(2.28)과 식(2.29)의 결과를 식(2.18a)의 $\int_{V_0} \delta \mathbf{E} : \mathbf{S} dV_0$ 항에 대입하면식(2.30)과 같이 정리할 수 있다. 이 때 식(2.30)의 첫 번째 항은 상수항이고, 두 번째 항은 선형 항, 세 번째 항은 고차 항이며, 네 번째 항은 선형 항, 다섯 번째와 여섯 번째 항은 고차 항을 나타낸다.
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\int_{V_{0}} \delta \mathbf{E} : \mathbf{S} dV_{0} = \int_{V_{0}} \delta E_{ij} S^{ij} dV_{0} = \int_{V_{0}} \delta E_{ij} C^{ijkl} E_{kl} dV_{0}
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= \int_{V_{0}} \left( \delta \mathcal{E}_{0_{ij}} + \delta \Delta \mathcal{E}_{ij} \right) C^{ijkl} \left( E_{0_{kl}} + \Delta E_{kl} + \Delta^{2} E_{kl} \right) dV_{0}
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= \int_{V_{0}} \left( \delta \mathcal{E}_{0_{ij}} \right) C^{ijkl} \left( E_{0_{kl}} \right) dV_{0} + \int_{V_{0}} \left( \delta \mathcal{E}_{0_{ij}} \right) C^{ijkl} \left( \Delta E_{kl} \right) dV_{0}
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+ \int_{V_{0}} \left( \delta \mathcal{E}_{0_{ij}} \right) C^{ijkl} \left( \Delta^{2} E_{kl} \right) dV_{0} + \int_{V_{0}} \left( \delta \Delta \mathcal{E}_{ij} \right) C^{ijkl} \left( E_{0_{kl}} \right) dV_{0}
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+ \int_{V_{0}} \left( \delta \Delta \mathcal{E}_{ij} \right) C^{ijkl} \left( \Delta E_{kl} \right) dV_{0} + \int_{V_{0}} \left( \delta \Delta \mathcal{E}_{ij} \right) C^{ijkl} \left( \Delta^{2} E_{kl} \right) dV_{0}
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따라서 식(2.30)에서 고차 항을 제외하면 식(2.31)과 같은 결과를 얻을 수 있으며, 첫 번째 항은 상수 항이고, 두 번째와 세 번째 항은 선형
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항을 나타낸다.
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\int_{V_0} \delta E_{ij} S^{ij} dV_0 \approx \int_{V_0} \left( \delta \mathcal{E}_{0_{ij}} \right) C^{ijkl} \left( E_{0_{kl}} \right) dV_0 + \int_{V_0} \left( \delta \mathcal{E}_{0_{ij}} \right) C^{ijkl} \left( \Delta E_{kl} \right) dV_0 + \int_{V_0} \left( \delta \Delta \mathcal{E}_{ij} \right) C^{ijkl} \left( E_{0_{kl}} \right) dV_0 \tag{2.31}
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앞서 정의한 MITC4 쉘 요소의 위치 벡터 식(2.1), (2.2)를 행렬 형태로 표현하면 식(2.32), (2.33)과 같이 나타낼 수 있고, 이를 간단하게 기호로 표현하면 다음과 같이 표현할 수 있다. 이 때 $\mathbf{1}_3$ 은 3행 3열의 단위 행렬(identity matrix)을 나타낸다.
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\mathbf{X} = \begin{bmatrix} N_{1}\mathbf{1}_{3} & \frac{\zeta}{2}t_{1}N_{1}\mathbf{1}_{3} & N_{2}\mathbf{1}_{3} & \frac{\zeta}{2}t_{2}N_{2}\mathbf{1}_{3} & N_{3}\mathbf{1}_{3} & \frac{\zeta}{2}t_{3}N_{3}\mathbf{1}_{3} & N_{4}\mathbf{1}_{3} & \frac{\zeta}{2}t_{4}N_{4}\mathbf{1}_{3} \end{bmatrix} \begin{cases} {}^{0}\mathbf{X}_{1} \\ {}^{0}\mathbf{X}_{2} \\ {}^{0}\mathbf{X}_{2} \\ {}^{0}\mathbf{X}_{3} \\ {}^{0}\mathbf{X}_{3} \\ {}^{0}\mathbf{X}_{3} \\ {}^{0}\mathbf{X}_{4} \\ {}^{0}\mathbf{Y}_{4}^{n} \end{bmatrix}
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= \mathbf{S}\mathbf{X}_{0}
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(2.32)
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\mathbf{x} = \begin{bmatrix} N_{1}\mathbf{1}_{3} & \frac{\zeta}{2}t_{1}N_{1}\mathbf{1}_{3} & N_{2}\mathbf{1}_{3} & \frac{\zeta}{2}t_{2}N_{2}\mathbf{1}_{3} & N_{3}\mathbf{1}_{3} & \frac{\zeta}{2}t_{3}N_{3}\mathbf{1}_{3} & N_{4}\mathbf{1}_{3} & \frac{\zeta}{2}t_{4}N_{4}\mathbf{1}_{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {}^{t}\mathbf{X}_{1} \\ {}^{t}\mathbf{V}_{1}^{n} \\ {}^{t}\mathbf{X}_{2} \\ {}^{t}\mathbf{V}_{2}^{n} \\ {}^{t}\mathbf{X}_{3} \\ {}^{t}\mathbf{V}_{3}^{n} \\ {}^{t}\mathbf{X}_{4} \\ {}^{t}\mathbf{V}_{4}^{n} \end{bmatrix}
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= \mathbf{S}\mathbf{X}_{t} \tag{2.33}
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또한 임의의 시간 t에서의 변위 식(2.3)과 변위의 증분 식(2.4)를 행렬 형태로 표현하면 식(2.34), (2.35)로 각각 나타낼 수 있고, 이를 간략하게 기호로 표현하면 다음과 같이 표현할 수 있다.
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\mathbf{u}_{t} = \mathbf{x} - \mathbf{X}
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= \left[ N_{1} \mathbf{1}_{3} \frac{\zeta}{2} t_{1} N_{1} \mathbf{1}_{3} \ N_{2} \mathbf{1}_{3} \frac{\zeta}{2} t_{2} N_{2} \mathbf{1}_{3} \ N_{3} \mathbf{1}_{3} \frac{\zeta}{2} t_{3} N_{3} \mathbf{1}_{3} \ N_{4} \mathbf{1}_{3} \frac{\zeta}{2} t_{4} N_{4} \mathbf{1}_{3} \right] \begin{bmatrix} {}^{\prime} \mathbf{X}_{1}^{-0} \mathbf{X}_{1} \\ {}^{\prime} \mathbf{V}_{1}^{n}^{-0} \mathbf{V}_{1}^{n} \\ {}^{\prime} \mathbf{X}_{2}^{-0} \mathbf{X}_{2} \\ {}^{\prime} \mathbf{Y}_{2}^{n}^{-0} \mathbf{V}_{2}^{n} \\ {}^{\prime} \mathbf{X}_{3}^{-0} \mathbf{X}_{3} \\ {}^{\prime} \mathbf{V}_{3}^{n}^{-0} \mathbf{V}_{3}^{n} \\ {}^{\prime} \mathbf{X}_{4}^{-0} \mathbf{X}_{4} \\ {}^{\prime} \mathbf{V}_{4}^{n}^{-0} \mathbf{V}_{4}^{n} \end{bmatrix}
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= \mathbf{S}(\mathbf{X}_{t} - \mathbf{X}_{0})
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(2.34)
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\Delta \mathbf{u} = \begin{bmatrix} N_{1} \mathbf{1}_{3} - \frac{\zeta}{2} t_{1} N_{1}^{t} \mathbf{V}_{1}^{2} \frac{\zeta}{2} t_{1} N_{1}^{t} \mathbf{V}_{1}^{1} \cdots N_{4} \mathbf{1}_{3} - \frac{\zeta}{2} t_{4} N_{4}^{t} \mathbf{V}_{4}^{2} \frac{\zeta}{2} t_{4} N_{4}^{t} \mathbf{V}_{4}^{1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Delta \mathbf{u}_{1} \\ \alpha_{1} \\ \beta_{1} \\ \Delta \mathbf{u}_{2} \\ \alpha_{2} \\ \beta_{3} \\ \Delta \mathbf{u}_{3} \\ \alpha_{3} \\ \beta_{3} \\ \Delta \mathbf{u}_{4} \\ \alpha_{4} \\ \beta_{4} \end{bmatrix}
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= \mathbf{N}(\Delta \mathbf{U})
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(2.35)
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이 때 $\mathbf{V}^n$ 이 현재 형상의 변화에 따라 변하므로 $\mathbf{V}^1$ 과 $\mathbf{V}^2$ 도 계속
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변하게 되고, 행렬 N도 현재 형상에 따라 변하게 된다. 즉 $V^1$ 과 $V^2$ 는 회전각 $\alpha$ , $\beta$ 에 따라 회전하게 되고, 두 축의 회전에 의해 $V^n$ 이 시간에 따라 변하게 된다. 따라서 시간에 따른 회전각 $\alpha$ , $\beta$ 의 변화에 따라 $V^n$ 을 계산해 주어야 하고, 또한 그에 따라 $V^1$ 과 $V^2$ 도 다시 계산해 주어야 한다. 이에 대한 자세한 내용은 2.2.1 절에서 다루도록 하겠다.
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식(2.32), (2.33), (2.34), (2.35)의 행렬식을 식(2.31)에서 $\delta \mathcal{E}_{0_{pq}}, \, \delta \! \Delta \mathcal{E}_{pq}, \, E_{0_{pq}}, \, \Delta E_{pq}$ 의 각각의 항에 대입하면 식(2.36), (2.37), (2.38), (2.39)와 같이 나타낼 수 있다.
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E_{0_{pq}} = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{\partial \mathbf{X}}{\partial \xi^{p}} \cdot \frac{\partial (\mathbf{u}_{t})}{\partial \xi^{q}} \right) + \left( \frac{\partial (\mathbf{u}_{t})}{\partial \xi^{p}} \cdot \frac{\partial \mathbf{X}}{\partial \xi^{q}} \right) + \left( \frac{\partial (\mathbf{u}_{t})}{\partial \xi^{p}} \cdot \frac{\partial (\mathbf{u}_{t})}{\partial \xi^{q}} \right) \right]
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= \frac{1}{2} \left\{ \mathbf{X}_{0} \right\}^{T} \left[ \frac{\partial \mathbf{S}^{T}}{\partial \xi^{p}} \frac{\partial \mathbf{S}}{\partial \xi^{q}} + \frac{\partial \mathbf{S}^{T}}{\partial \xi^{q}} \frac{\partial \mathbf{S}}{\partial \xi^{p}} \right] \left\{ \mathbf{X}_{t} - \mathbf{X}_{0} \right\}
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+ \frac{1}{2} \left\{ \mathbf{X}_{t} - \mathbf{X}_{0} \right\}^{T} \left[ \frac{\partial \mathbf{S}^{T}}{\partial \xi^{p}} \frac{\partial \mathbf{S}}{\partial \xi^{q}} + \frac{\partial \mathbf{S}^{T}}{\partial \xi^{q}} \frac{\partial \mathbf{S}}{\partial \xi^{p}} \right] \left\{ \mathbf{X}_{t} - \mathbf{X}_{0} \right\}
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= \frac{1}{2} \left\{ \mathbf{X}_{0} \right\}^{T} \left[ \frac{\partial \mathbf{S}^{T}}{\partial \xi^{p}} \frac{\partial \mathbf{S}}{\partial \xi^{q}} + \frac{\partial \mathbf{S}^{T}}{\partial \xi^{q}} \frac{\partial \mathbf{S}}{\partial \xi^{p}} \right] \left\{ \mathbf{X}_{t} - \mathbf{X}_{0} \right\}
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+ \frac{1}{2} \left\{ \mathbf{X}_{t} - \mathbf{X}_{0} \right\}^{T} \frac{1}{2} \left[ \frac{\partial \mathbf{S}^{T}}{\partial \xi^{p}} \frac{\partial \mathbf{S}}{\partial \xi^{q}} + \frac{\partial \mathbf{S}^{T}}{\partial \xi^{q}} \frac{\partial \mathbf{S}}{\partial \xi^{p}} \right] \left\{ \mathbf{X}_{t} - \mathbf{X}_{0} \right\}
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= \frac{1}{2} \left\{ \mathbf{X}_{t} + \mathbf{X}_{0} \right\}^{T} \frac{1}{2} \left[ \frac{\partial \mathbf{S}^{T}}{\partial \xi^{p}} \frac{\partial \mathbf{S}}{\partial \xi^{q}} + \frac{\partial \mathbf{S}^{T}}{\partial \xi^{q}} \frac{\partial \mathbf{S}}{\partial \xi^{p}} \right] \left\{ \mathbf{X}_{t} - \mathbf{X}_{0} \right\}
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= \frac{1}{2} \left\{ \mathbf{X}_{t} + \mathbf{X}_{0} \right\}^{T} \left[ \mathbf{e}_{pq} \right] \left\{ \mathbf{X}_{t} - \mathbf{X}_{0} \right\}
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\begin{split} \Delta E_{pq} &= \frac{1}{2} \Biggl[ \Biggl( \frac{\partial \mathbf{X}}{\partial \xi^{p}} \cdot \frac{\partial (\Delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{q}} \Biggr) + \Biggl( \frac{\partial (\Delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{p}} \cdot \frac{\partial \mathbf{X}}{\partial \xi^{q}} \Biggr) + \Biggl( \frac{\partial (\mathbf{u}_{t})}{\partial \xi^{p}} \cdot \frac{\partial (\Delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{q}} \Biggr) + \Biggl( \frac{\partial (\Delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{p}} \cdot \frac{\partial (\Delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{q}} \Biggr) + \Biggl( \frac{\partial (\Delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{p}} \cdot \frac{\partial (\Delta \mathbf{u})}{\partial \xi^{p}} \Biggr) \Biggr] \Biggr\}
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&= \frac{1}{2} \Biggl\{ \mathbf{X}_{0} \Biggr\}^{T} \Biggl[ \frac{\partial \mathbf{S}^{T}}{\partial \xi^{p}} \frac{\partial \mathbf{N}}{\partial \xi^{q}} + \frac{\partial \mathbf{S}^{T}}{\partial \xi^{p}} \frac{\partial \mathbf{N}}{\partial \xi^{p}} \Biggr] \Biggl\{ \Delta \mathbf{U} \Biggr\}
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&= \frac{1}{2} \Biggl\{ \mathbf{X}_{t} \Biggr\}^{T} \Biggl[ \frac{\partial \mathbf{S}^{T}}{\partial \xi^{p}} \frac{\partial \mathbf{N}}{\partial \xi^{q}} + \frac{\partial \mathbf{S}^{T}}{\partial \xi^{q}} \frac{\partial \mathbf{N}}{\partial \xi^{p}} \Biggr] \Biggl\{ \Delta \mathbf{U} \Biggr\}
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&= \Biggl\{ \mathbf{X}_{t} \Biggr\}^{T} \Biggl[ \mathbf{a}_{pq} \Biggr] \Biggl\{ \Delta \mathbf{U} \Biggr\}
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&= \Biggl\{ \mathbf{X}_{t} \Biggr\}^{T} \Biggl[ \mathbf{a}_{pq} \Biggr] \Biggl\{ \Delta \mathbf{U} \Biggr\}
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&= \Biggl\{ \mathbf{X}_{t} \Biggr\}^{T} \Biggl[ \mathbf{a}_{pq} \Biggr\} \Biggl\{ \Delta \mathbf{U} \Biggr\}
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\begin{split} \delta \! \Delta \! E_{pq} &= \frac{1}{2} \! \left( \frac{\partial \mathbf{X}}{\partial \boldsymbol{\xi}^p} \cdot \frac{\partial (\delta \mathbf{u})}{\partial \boldsymbol{\xi}^q} + \frac{\partial (\delta \mathbf{u})}{\partial \boldsymbol{\xi}^p} \cdot \frac{\partial \mathbf{X}}{\partial \boldsymbol{\xi}^q} + \left( \frac{\partial (\delta \mathbf{u})}{\partial \boldsymbol{\xi}^p} \cdot \frac{\partial \mathbf{u}_t}{\partial \boldsymbol{\xi}^q} \right) + \left( \frac{\partial \mathbf{u}_t}{\partial \boldsymbol{\xi}^p} \cdot \frac{\partial (\delta \mathbf{u})}{\partial \boldsymbol{\xi}^q} \right) \right) \\ &= \frac{1}{2} \big\{ \mathbf{X}_0 \big\}^T \! \left[ \frac{\partial \mathbf{S}^T}{\partial \boldsymbol{\xi}^p} \frac{\partial \mathbf{N}}{\partial \boldsymbol{\xi}^q} + \frac{\partial \mathbf{S}^T}{\partial \boldsymbol{\xi}^q} \frac{\partial \mathbf{N}}{\partial \boldsymbol{\xi}^p} \right] \! \left\{ \! \delta \! \mathbf{U} \right\} \\ &\quad + \frac{1}{2} \big\{ \mathbf{X}_t - \mathbf{X}_0 \big\}^T \! \left[ \frac{\partial \mathbf{S}^T}{\partial \boldsymbol{\xi}^p} \frac{\partial \mathbf{N}}{\partial \boldsymbol{\xi}^q} + \frac{\partial \mathbf{S}^T}{\partial \boldsymbol{\xi}^q} \frac{\partial \mathbf{N}}{\partial \boldsymbol{\xi}^p} \right] \! \left\{ \! \delta \! \mathbf{U} \right\} \\ &\quad = \frac{1}{2} \big\{ \mathbf{X}_t \big\}^T \! \left[ \frac{\partial \mathbf{S}^T}{\partial \boldsymbol{\xi}^p} \frac{\partial \mathbf{N}}{\partial \boldsymbol{\xi}^q} + \frac{\partial \mathbf{S}^T}{\partial \boldsymbol{\xi}^q} \frac{\partial \mathbf{N}}{\partial \boldsymbol{\xi}^p} \right] \! \left\{ \! \delta \! \mathbf{U} \right\} \end{split}
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= \{\mathbf{X}_{t}\}^{T} \left[ \mathbf{a}_{na} \right] \{ \delta \mathbf{U} \}
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(2.38)
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\delta\Delta \mathcal{E} = \frac{1}{2} \left( \left( \frac{\partial (\partial \mathbf{u})}{\partial \xi^{p}} \cdot \frac{\partial \Delta \mathbf{u}}{\partial \xi^{q}} \right) + \left( \frac{\partial \Delta \mathbf{u}}{\partial \xi^{p}} \cdot \frac{\partial (\partial \mathbf{u})}{\partial \xi^{q}} \right) \right)
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= \frac{1}{2} \left\{ \delta \mathbf{U} \right\}^{T} \left[ \frac{\partial \mathbf{N}^{T}}{\partial \xi^{p}} \frac{\partial \mathbf{N}}{\partial \xi^{q}} + \frac{\partial \mathbf{N}^{T}}{\partial \xi^{q}} \frac{\partial \mathbf{N}}{\partial \xi^{p}} \right] \left\{ \Delta \mathbf{U} \right\}
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= \left\{ \delta \mathbf{U} \right\}^{T} \left[ \mathbf{c}_{pq} \right] \left\{ \Delta \mathbf{U} \right\} \tag{2.39}
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식(2.36), (2.37), (2.38), (2.39)을 식(2.31)에 대입하면 식(2.40)과 같이 정리할 수 있다.
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\int_{V_0} \delta E_{ij} S^{ij} dV_0 \approx \int_{V_0} \left( \left\{ \delta \mathbf{U} \right\}^T \left[ \mathbf{a}_{ij} \right]^T \left\{ \mathbf{X}_t \right\} \right) C^{ijkl} \left( \frac{1}{2} \left\{ \mathbf{X}_t + \mathbf{X}_0 \right\}^T \left[ \mathbf{e}_{kl} \right] \left\{ \mathbf{X}_t - \mathbf{X}_0 \right\} \right) dV_0
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+ \int_{V_0} \left( \left\{ \delta \mathbf{U} \right\}^T \left[ \mathbf{a}_{ij} \right]^T \left\{ \mathbf{X}_t \right\} \right) C^{ijkl} \left( \left\{ \mathbf{X}_t \right\}^T \left[ \mathbf{a}_{kl} \right] \left\{ \Delta \mathbf{U} \right\} \right) dV_0
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+ \int_{V_0} \left( \left\{ \delta \mathbf{U} \right\}^T \left[ \mathbf{c}_{ij} \right] \left\{ \Delta \mathbf{U} \right\} \right) C^{ijkl} \left( \frac{1}{2} \left\{ \mathbf{X}_t + \mathbf{X}_0 \right\}^T \left[ \mathbf{e}_{kl} \right] \left\{ \mathbf{X}_t - \mathbf{X}_0 \right\} \right) dV_0 \tag{2.40}
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그리고 현재 형상( t =0)일 때의 2차 Piola-Kirchhoff 응력을 식(2.41)과 같이 정의해주면, 식(2.40)은 식(2.42)와 같이 정리할 수 있다.
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S_0^{ij} = C^{ijkl} \left( \frac{1}{2} \{ \mathbf{X}_t + \mathbf{X}_0 \}^T [\mathbf{e}_{kl}] \{ \mathbf{X}_t - \mathbf{X}_0 \} \right)
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\int_{V_0} \delta E_{ij} S^{ij} dV_0 \approx \int_{V_0} \left( \{ \delta \mathbf{U} \}^T [\mathbf{a}_{ij}]^T \{ \mathbf{X}_t \} \right) S_0^{ij} dV_0
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+ \int_{V_0} \left( \{ \delta \mathbf{U} \}^T [\mathbf{a}_{ij}]^T \{ \mathbf{X}_t \} \right) C^{ijkl} \left( \{ \mathbf{X}_t \}^T [\mathbf{a}_{kl}] \{ \Delta \mathbf{U} \} \right) dV_0
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+ \int_{V_0} \left( \{ \delta \mathbf{U} \}^T [\mathbf{c}_{ij}] \{ \Delta \mathbf{U} \} \right) S_0^{ij} dV_0
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= \{ \delta \mathbf{U} \}^T \left[ \int_{V_0} \left( S_0^{ij} [\mathbf{a}_{ii}]^T \right) dV_0 \right] \{ \mathbf{X}_t \}
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= \{ \partial \mathbf{U} \}^{T} \left[ \int_{V_{0}} \left( S_{0}^{ij} \left[ \mathbf{a}_{ij} \right]^{T} \right) dV_{0} \right] \{ \mathbf{X}_{t} \}
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+ \{ \partial \mathbf{U} \}^{T} \left[ \int_{V_{0}} \left( \left[ \mathbf{a}_{ij} \right]^{T} \left\{ \mathbf{X}_{t} \right\} \right) C^{ijkl} \left( \left\{ \mathbf{X}_{t} \right\}^{T} \left[ \mathbf{a}_{kl} \right] \right) dV_{0} \right] \{ \Delta \mathbf{U} \}
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+ \{ \partial \mathbf{U} \}^{T} \left[ \int_{V_{0}} \left( S_{0}^{ij} \left[ \mathbf{c}_{ij} \right] \right) dV_{0} \right] \{ \Delta \mathbf{U} \}
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(2.42)
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식(2.42)를 고유 좌표계(natural coordinate system)에서 2×2×2 가우스 적분(Gauss integration)해주면, 식(2.43)과 같이 쓸 수 있다.
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\int_{V_{0}} \delta E_{ij} S^{ij} dV_{0}
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\approx \{\delta \mathbf{U}\}^{T} \left[ \iiint_{\xi} \left( S_{0}^{ij} [\mathbf{a}_{ij}]^{T} \right) |J| \, d\xi d\eta d\zeta \right] \{\mathbf{X}_{t}\}
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+ \{\delta \mathbf{U}\}^{T} \left[ \iiint_{\xi} \left( [\mathbf{a}_{ij}]^{T} \{\mathbf{X}_{t}\} \right) [T]^{T} [\widetilde{D}^{ijkl}] T] (\{\mathbf{X}_{t}\}^{T} [\mathbf{a}_{kl}] \right) |J| \, d\xi d\eta d\zeta \right] \{\Delta \mathbf{U}\}
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+ \{\delta \mathbf{U}\}^{T} \left[ \iiint_{\xi} \left( S_{0}^{ij} [\mathbf{c}_{ij}] \right) |J| \, d\xi d\eta d\zeta \right] \{\Delta \mathbf{U}\}
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= \{\delta \mathbf{U}\}^{T} \{\mathbf{F}\} \{\mathbf{X}_{t}\} + \{\delta \mathbf{U}\}^{T} [\mathbf{K}_{NL}] \{\Delta \mathbf{U}\} + \{\delta \mathbf{U}\}^{T} [\mathbf{K}_{L}] \{\Delta \mathbf{U}\}
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여기서 $\mathbf{K}_L$ 은 초기 변위와 관련된 강성 행렬(initial displacement stiffness matrix), $\mathbf{K}_{NL}$ 은 초기 응력과 관련된 강성 행렬(initial stress stiffness matrix)또는 기하 강성 행렬(geometric stiffness matrix)이고, $\mathbf{F}$ 는 변형으로 인한 힘 벡터를 나타내며, |J|는 자코비안 행렬(Jacobian matrix)에 대한 determinant를 의미한다. 그리고 $\widetilde{D}^{ijkl}$ 는 지역 직교 좌표계(local Cartesian coordinate system)에서 정의되어있는 구성 행렬(constitutive matrix)로 이를 고유 좌표계(natural coordinate system)로 변환해주기 위해 변환 행렬(transformation matrix) [T]를 사용하였다. 이에 대한 자세한 내용은 2.2.2 절에서 다루도록 하겠다.
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식(2.18a) 우변은 표면력(surface force)과 체적력(body force)을 나타내며, 식(2.44), (2.45)와 같이 이산화하여 나타낼 수 있다.
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\int_{\partial V_{0_m}} \delta \mathbf{u} \cdot \mathbf{F} \mathbf{S} \widetilde{\mathbf{n}} dA_0 = \{ \delta \mathbf{U} \}^T \int_{\partial V_{0_m}} [\mathbf{N}]^T \{ \overline{\mathbf{T}} \} dA_0 = \{ \delta \mathbf{U} \}^T \{ \mathbf{Q}_T \} \tag{2.44}
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\int_{V_0} \delta \mathbf{u} \rho_0 \mathbf{f} dV_0 = \{ \delta \mathbf{U} \}^T \int_{V_0} \rho_0 [\mathbf{N}]^T \{ \mathbf{f} \} dV_0 = \{ \delta \mathbf{U} \}^T \{ \mathbf{Q}_B \} \tag{2.45}
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식(2.43), (2.44), (2.45)을 식(2.18a)에 대입하고, 정적인 문제이므로 시간에 대한 항을 무시하면, 식(2.18a)는 식(2.46)과 같이 표현할 수 있다.
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0 = \{ \delta \mathbf{U} \}^T ([\mathbf{K}_M] + [\mathbf{K}_L]) \{ \Delta \mathbf{U} \} - \{ \delta \mathbf{U} \}^T (\{\mathbf{Q}_T\} + \{\mathbf{Q}_R\} - \{\mathbf{F}\}) \tag{2.46}
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이때 $\partial U$ 는 임의의 값이므로 식(2.46)을 만족하기 위해서는 식(2.47)과 같이 쓸 수 있고, 식(2.47)은 Newton-Raphson 형식으로 $\Delta U$ 에 대한 반복 계산을 통해 수렴값을 찾아 나감으로써 비선형 해석을 수행할 수 있다.
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([\mathbf{K}_{NL}] + [\mathbf{K}_{L}]) \{\Delta \mathbf{U}\} = \{\mathbf{Q}_{T}\} + \{\mathbf{Q}_{B}\} - \{\mathbf{F}\} \tag{2.47}
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여기서 $\mathbf{K}_{NL}$ 과 $\mathbf{K}_{L}$ 의 합이 기울기 강성 행렬(tangent stiffness matrix)이 된다.
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# 2.2.1 Finite Rotation Formulation
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쉘의 형상이 변함에 따라 각각의 노드에서 정의 된 벡터 $(\mathbf{V}^1, \mathbf{V}^2, \mathbf{V}^n)$ 역시 시간에 따라 변하게 된다. 즉 시간에 따른 회전각 $\alpha$ , $\beta$ 의 변화에 따라 $\mathbf{V}^n$ 이 변하고, 또한 그에 따라 $\mathbf{V}^1$ 과 $\mathbf{V}^2$ 도 변하게 된다. 이를 관계식으로 표현하면, 식(2.48)과 같이 쓸 수 있다.
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{}^{t+\Delta t}\mathbf{V}_I^n = {}^{t+\Delta t}_{l}\mathbf{R}_I \cdot {}^{t}\mathbf{V}_I^n \tag{2.48}
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식(2.48)은 시간이 t부터 $t+\Delta t$ 까지 변할 때 노드 I에서의 법선 벡터의 변화를 보여주는 식으로 $t+\Delta t$ , 문 회전 텐서(rotation tensor)를 의미하며, $\|t\mathbf{V}_I^n\| = \|t+\Delta t\mathbf{V}_I^n\| = 1$ 이다. [9]
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그리고 회전 텐서 $^{t+\Delta_t}$ R , 은 $\mathbf{V}^1$ , $\mathbf{V}^2$ , $\mathbf{V}^n$ 을 정규직교 기저(orthonormal basis)로 하는 좌표계에서 식(2.49)와 같이 행렬 형태로 나타낼 수 있다. [10]
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\begin{bmatrix} t + \Delta t \\ t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{1}_{3} \end{bmatrix} + \frac{\sin(\widetilde{\Theta}_{I})}{\widetilde{\Theta}_{I}} [\Theta_{I}] + \frac{1}{2} \begin{bmatrix} \sin(\widetilde{\Theta}_{I}/2) \\ \widetilde{\Theta}_{I}/2 \end{bmatrix}^{2} [\Theta_{I}]^{2} \tag{2.49}
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이 때 $\left[\mathbf{1}_3\right]$ 은 3행 3열의 단위 행렬을 의미하며, $\widetilde{\theta}_I$ 와 $\left[\Theta_I\right]$ 는 각각식(2.50),(2.51)과 같이 나타낼 수 있다.
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\widetilde{\theta}_I = \left[ (\alpha_I)^2 + (\beta_I)^2 \right]^{\frac{1}{2}} \tag{2.50}
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\begin{bmatrix} \Theta_I \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \beta_I \\ 0 & 0 & -\alpha_I \\ -\beta_I & \alpha_I & 0 \end{bmatrix} \tag{2.51}
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여기서 $\alpha_I$ 와 $\beta_I$ 가 미소 증분 회전(infinitesimal incremental rotation)이면, 각각 $\mathbf{V}^1$ , $\mathbf{V}^2$ 에 대한 독립적인 미소 회전(independent infinitesimal rotation)을 의미하고, $\alpha_I$ 와 $\beta_I$ 가 유한 증분 회전(finite incremental rotation)이면, $\alpha_I$ 와 $\beta_I$ 는 서로 독립적이지 않으며 회전 텐서를 정의하는 변수가 된다. [9]
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### 2.2.2 Constitutive Matrix
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구성 행렬(constitutive matrix)의 경우 평면응력(plane stress) 가정을 사용하였으며, 식(2.52)와 같다. 이 때 $\kappa$ 는 전단 보정 계수(shear correction factor)로 5/6를 사용하였다.
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\widetilde{D}_{xyz} = \frac{E}{1 - v^2} \begin{bmatrix}
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1 & v & 0 & 0 & 0 & 0 \\
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v & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
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0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
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0 & 0 & 0 & \kappa \frac{1 - v}{2} & 0 & 0 \\
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0 & 0 & 0 & 0 & \kappa \frac{1 - v}{2} & 0 \\
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0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1 - v}{2}
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\end{bmatrix} \tag{2.52}
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하지만 식(2.52)의 경우 지역 직교 좌표계(local Cartesian coordinate system)에서 정의되므로 이를 고유 좌표계(natural coordinate system)에서 정의하기 위해서는 변환 행렬(transformation matrix)을 사용해야 한다.
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지역 직교 좌표계와 고유 좌표계 사이의 관계는 Fig. 4와 같으며, 여기서 $\mathbf{G}_1$ , $\mathbf{G}_2$ , $\mathbf{G}_3$ 는 고유 좌표계의 공변 기저(covariant basis)이고, $\hat{\mathbf{e}}_1$ , $\hat{\mathbf{e}}_2$ , $\hat{\mathbf{e}}_3$ 는 지역 직교 좌표계의 기저를 의미한다.
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변형률과 응력에 대한 좌표변환은 식(2.53), (2.54)와 같으며, 이로부터
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구성 행렬의 좌표변환은 식(2.55)와 같이 나타낼 수 있다. 여기서 $\widetilde{E}$ , $\widetilde{S}$ , $\widetilde{D}$ 와 E, S, D는 각각 지역 직교 좌표계와 고유 좌표계에서의 변형률, 응력, 구성 행렬을 의미한다. 그리고 $[T]_{\xi \to x}$ 는 고유 좌표계에서 정의된 값을 지역 직교 좌표계로 변환해주는 변환 행렬이다.
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\left\{\widetilde{E}\right\}_{xyz} = \left[T\right]_{\xi \to x} \left\{E\right\}_{\xi \eta \zeta} \tag{2.53}
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\begin{aligned}
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\{S\}_{\xi\eta\zeta} &= [T]_{x\to\xi} \left\{ \widetilde{S} \right\}_{xyz} = [T]_{\xi\to x}^T [\widetilde{D}]_{xyz} \left\{ \widetilde{E} \right\}_{xyz} \\
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&= [T]_{\xi\to x}^T [\widetilde{D}]_{xyz} [T]_{\xi\to x} \left\{ E \right\}_{\xi\eta\zeta} = [D]_{\xi\eta\zeta} \left\{ E \right\}_{\xi\eta\zeta}
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\end{aligned} (2.54)
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[D]_{\xi\eta\zeta} = [T]_{\xi\to x}^T [\widetilde{D}]_{xyz} [T]_{\xi\to x} \tag{2.55}
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이 때 $[T]_{\xi\to x}$ 는 식(2.56)과 같이 나타낼 수 있고, 각각의 성분은 식(2.57)과 같다.
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[T]_{\xi \to x} = \begin{bmatrix} a_1 a_1 & b_1 b_1 & c_1 c_1 & b_1 c_1 & a_1 c_1 & a_1 b_1 \\ a_2 a_2 & b_2 b_2 & c_2 c_2 & b_2 c_2 & a_2 c_2 & a_2 b_2 \\ a_3 a_3 & b_3 b_3 & c_3 c_3 & b_3 c_3 & a_3 c_3 & a_3 b_3 \\ 2a_2 a_3 & 2b_2 b_3 & 2c_2 c_3 & b_2 c_3 + c_2 b_3 & a_2 c_3 + c_2 a_3 & a_2 b_3 + b_2 a_3 \\ 2a_1 a_3 & 2b_1 b_3 & 2c_1 c_3 & b_1 c_3 + c_1 b_3 & a_1 c_3 + c_1 a_3 & a_1 b_3 + b_1 a_3 \\ 2a_1 a_2 & 2b_1 b_2 & 2c_1 c_2 & b_1 c_2 + c_1 b_2 & a_1 c_2 + c_1 a_2 & a_1 b_2 + b_1 a_2 \end{bmatrix}
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(2.56)
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a_{1} = \mathbf{r}_{1} \cdot \mathbf{G}^{1} \qquad b_{1} = \mathbf{r}_{1} \cdot \mathbf{G}^{2} \qquad c_{1} = \mathbf{r}_{1} \cdot \mathbf{G}^{3}
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a_{2} = \mathbf{r}_{2} \cdot \mathbf{G}^{1} \qquad b_{2} = \mathbf{r}_{2} \cdot \mathbf{G}^{2} \qquad c_{2} = \mathbf{r}_{2} \cdot \mathbf{G}^{3}
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a_{3} = \mathbf{r}_{3} \cdot \mathbf{G}^{1} \qquad b_{3} = \mathbf{r}_{3} \cdot \mathbf{G}^{2} \qquad c_{3} = \mathbf{r}_{3} \cdot \mathbf{G}^{3}
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(2.57)
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그리고 지역 직교 좌표계의 기저 $\hat{\mathbf{e}}_1$ , $\hat{\mathbf{e}}_2$ , $\hat{\mathbf{e}}_3$ 는 식(2.58)와 같이 고유 좌표계의 공변 기저(covariant basis) $\mathbf{G}_1$ , $\mathbf{G}_2$ , $\mathbf{G}_3$ 로부터 구할 수 있다.
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\hat{\mathbf{e}}_3 = \frac{\mathbf{G}_3}{\|\mathbf{G}_3\|}, \quad \hat{\mathbf{e}}_1 = \frac{\mathbf{G}_2 \times \hat{\mathbf{e}}_3}{\|\mathbf{G}_2 \times \hat{\mathbf{e}}_3\|}, \quad \hat{\mathbf{e}}_2 = \hat{\mathbf{e}}_3 \times \hat{\mathbf{e}}_1 \tag{2.58}
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#### 2.2.3 Mass Matrix
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질량 행렬(mass matrix)은 물체 내에 연속적으로 분포되어 있는 물체의 질량을 요소망 내 각 절점(node)에 집중 질량(lumped mass) 형식으로 이산화시켜 놓은 것으로, 이 질량 행렬 내 각 행렬요소를 합하면, 물체의 전체 질량과 같게 되며, 물체의 자중, 운동량, 관성력을 표현한다.
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진동 및 동적 좌굴 해석을 하기 위해서는 이러한 질량 행렬이 필요하며, 일반적으로 일관 질량 행렬(consistent mass matrix)과 집중 질량 행렬(lumped mass matrix)있다. 일관 질량 행렬은 식(2.59)와 같이 나타낼수 있다.[2] 여기서 $\rho$ 는 밀도, N은 형상 함수 행렬을 나타낸다.
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\left[\widetilde{\mathbf{M}}\right] = \int_{V} \rho[\mathbf{N}]^{T} [\mathbf{N}] dV \tag{2.59}
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집중 질량 행렬의 경우 일관 질량 행렬을 대각화(diagonalization) 함으로써 연산에 필요한 용량과 연산 시간을 줄일 수 있다는 장점이 있지만[2] 본 논문에서는 물체의 강성을 줄임으로써 유연한 결과를 얻기위해 집중 질량 행렬을 사용하였다. 일관 질량 행렬을 대각화하는 방법에는 다양한 방법들이 존재하며, 본 논문에서는 각각의 행을 합하는 방법(row-sum technique)을 사용하였다.[3] 식(2.60)으로부터 각각의 요소에 대한 일관 질량 행렬 M 의 행의 합을 구한다. 그리고 이를 식(2.61)과 같이 새로운 집중 질량 행렬 M 의 대각항(diagonal entries)에 대입하고, 비대각항(off-diagonal entries)은 영(零)을 대입한다. 이 때 n은 요소의 절점의 개수와 자유도의 곱을 나타낸다.
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S(i) = \sum_{j=1}^{n} \widetilde{\mathbf{M}}(i, j) \quad \text{for } i = 1, n \tag{2.60}
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\mathbf{M}(i,j) = S(i) \quad \text{for } i = 1, n
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\mathbf{M}(i,j) = 0 \quad \text{for } i \neq j \tag{2.61}
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### 2.2.4 6-DOF Shell Element
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일반적으로 쉘 요소는 5개의 자유도(degree of freedom)를 사용하며, 법선 벡터(normal vector)는 각 절점당 하나의 법선 벡터를 갖는다. 하지만 쉘 요소를 보강재(stiffener)로 사용하는 경우, 쉘 요소와 쉘 요소의 결합을 위해서는 6개의 자유도가 필요하며, 이와 더불어 각 절점에서 정의되는 법선 벡터에 대한 구속 조건이 필요하다. 이에 본 논문에서는 각절점에서 정의되는 지역 좌표계(local coordinate system)를 전역 직교 좌표계(global Cartesian coordinate system)로 변환해 줌으로써 쉘 요소와 쉘 요소의 결합을 구성하였다. 이 때 지역 좌표계는 $\mathbf{V}^1$ , $\mathbf{V}^2$ , $\mathbf{V}^n$ 을 기저로하는 좌표계로 표현된다.
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전역 직교 좌표계에서 정의되는 회전 자유도 $\theta_1$ , $\theta_2$ , $\theta_3$ 와 지역 좌표계에 의해 정의되는 회전 자유도 $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ 는 식(2.62)와 같은 관계식을 만족해야 한다.
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\theta_1 \mathbf{e}_1 + \theta_2 \mathbf{e}_2 + \theta_3 \mathbf{e}_3 = \alpha \mathbf{V}^1 + \beta \mathbf{V}^2 + \gamma \mathbf{V}^n \tag{2.62}
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이 때 식(2.62)의 좌변과 우변에 각각 벡터 $\mathbf{V}^1$ 을 곱해주면, 식(2.63)과 같이 나타낼 수 있고, 마찬가지 방법으로 $\mathbf{V}^2$ , $\mathbf{V}^n$ 을 곱해주면, 각각식(2.64), (2.65)와 같이 나타낼 수 있다.
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\alpha = \theta_1 (\mathbf{e}_1 \cdot \mathbf{V}^1) + \theta_2 (\mathbf{e}_2 \cdot \mathbf{V}^1) + \theta_3 (\mathbf{e}_3 \cdot \mathbf{V}^1) \tag{2.63}
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\beta = \theta_1 (\mathbf{e}_1 \cdot \mathbf{V}^2) + \theta_2 (\mathbf{e}_2 \cdot \mathbf{V}^2) + \theta_3 (\mathbf{e}_3 \cdot \mathbf{V}^2) \tag{2.64}
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\gamma = \theta_1 (\mathbf{e}_1 \cdot \mathbf{V}^n) + \theta_2 (\mathbf{e}_2 \cdot \mathbf{V}^n) + \theta_3 (\mathbf{e}_3 \cdot \mathbf{V}^n) \tag{2.65}
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이를 행렬 형태로 표현해 주면 식(2.66)과 같이 쓸 수 있다.
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\begin{cases}
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\alpha \\
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\beta \\
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\gamma
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\end{cases} = \begin{bmatrix}
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\mathbf{(e_1 \cdot V^1)} & \mathbf{(e_2 \cdot V^1)} & \mathbf{(e_3 \cdot V^1)} \\
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\mathbf{(e_1 \cdot V^2)} & \mathbf{(e_2 \cdot V^2)} & \mathbf{(e_3 \cdot V^2)} \\
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\mathbf{(e_1 \cdot V^n)} & \mathbf{(e_2 \cdot V^n)} & \mathbf{(e_3 \cdot V^n)}
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\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
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\theta_1 \\
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\theta_2 \\
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\theta_3
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\end{cases} \tag{2.66}
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위 식으로부터 전역 직교 좌표계에서 지역 좌표계로 변환해 주는 행렬은 식(2.67)과 같이 정의 할 수 있으며, 이 때 L은 식(2.68)과 같다. [5]
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[\widetilde{T}] = \begin{bmatrix} \mathbf{1}_{3} & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ & \mathbf{L} & 0 & & & 0 \\ & & \ddots & \ddots & & \vdots \\ & & & \ddots & 0 & 0 \\ & & & & \mathbf{1}_{3} & 0 \\ & & & & \mathbf{L} \end{bmatrix} \tag{2.67}
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\begin{bmatrix} \mathbf{L} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (\mathbf{e}_1 \cdot \mathbf{V}^1) & (\mathbf{e}_2 \cdot \mathbf{V}^1) & (\mathbf{e}_3 \cdot \mathbf{V}^1) \\ (\mathbf{e}_1 \cdot \mathbf{V}^2) & (\mathbf{e}_2 \cdot \mathbf{V}^2) & (\mathbf{e}_3 \cdot \mathbf{V}^2) \\ (\mathbf{e}_1 \cdot \mathbf{V}^n) & (\mathbf{e}_2 \cdot \mathbf{V}^n) & (\mathbf{e}_3 \cdot \mathbf{V}^n) \end{bmatrix} \tag{2.68}
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만약 변위 벡터와 힘 벡터를 전역 좌표계에서 지역 좌표계로 변환해주면 각각 식(2.69), (2.70)과 같이 나타낼 수 있다. 이 때 위 첨자
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e는 요소에 대해 정의 되었음을 의미한다.[4]
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\{\widetilde{\mathbf{u}}\}^e = \left[\widetilde{T}\right] \{\mathbf{u}\}^e \tag{2.69}
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\left\{ \widetilde{\mathbf{f}} \right\}^e = \left[ \widetilde{T} \right] \left\{ \mathbf{f} \right\}^e \tag{2.70}
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그리고 강성 행렬(stiffness matrix)은 지역 좌표계에서 식(2.71)과 같은 선형 관계식으로 나타낼 수 있다. [4]
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\left\{ \widetilde{\mathbf{f}} \right\}^e = \left[ \widetilde{\mathbf{K}} \right]^e \left\{ \widetilde{\mathbf{u}} \right\}^e \tag{2.71}
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여기서 식(2.69)와 (2.70)을 식(2.71)에 대입해주면, 식(2.72)와 같이 나타낼 수 있고, 따라서 강성 행렬을 지역 좌표계에서 전역 좌표계로 변환해주는 관계식은 식(2.73)과 같다.[4]
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\{\mathbf{f}\}^e = \left[\widetilde{T}\right]^T \left[\widetilde{\mathbf{K}}\right]^e \left[\widetilde{T}\right] \{\mathbf{u}\}^e \tag{2.72}
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[\mathbf{K}]^e = [\widetilde{T}]^T [\widetilde{\mathbf{K}}]^e [\widetilde{T}] \tag{2.73}
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하지만 6-자유도의 도입으로 강성 행렬 $\tilde{\mathbf{K}}^e$ 의 경우 여섯 번째 자유도에 해당하는 행과 열이 모두 영(零)이 되고, 이로 인해 특이점(singularity)이 발생하게 된다. 이에 본 논문에서는 이를 방지하기 위해서 여섯 번째 자유도의 대각항(diagonal entries)에 식(2.75)와 같이 대각항 최소값의 $10^{-3}$ 비율을 갖는 값을 대입하였다.
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\left[ \widetilde{\mathbf{K}} \right]^2 = \begin{bmatrix} & & & & & & & & & & & & & & & & & &
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(2.74)
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d = \min\left(\widetilde{\mathbf{K}}^{e}(i, i)\right) \times 10^{-3} \quad \text{for } i = 1, \ n \tag{2.75}
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그리고 6-자유도의 도입으로 회전 텐서를 구하는데 필요한 식(2.50)과 (2.51)은 식(2.76), (2.77)과 같은 형태가 된다.
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\widetilde{\theta}_{I} = \left[ (\alpha_{I})^{2} + (\beta_{I})^{2} + (\gamma_{I})^{2} \right]^{\frac{1}{2}} \tag{2.76}
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\left[\Theta_{I}\right] = \begin{bmatrix} 0 & -\gamma_{I} & \beta_{I} \\ \gamma_{I} & 0 & -\alpha_{I} \\ -\beta_{I} & \alpha_{I} & 0 \end{bmatrix} \tag{2.77}
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## 2.3 Buckling Theory
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가느다란 기둥을 축 방향으로 누르거나 얇은 판을 판과 평행한 방향으로 압축하면, 하중이 어느 크기에 도달하는 순간 갑자기 판이 횡 방향으로 과도하게 휘어지는 축 방향 변위(lateral displacement)가 발생한다. 물체의 이러한 거동을 좌굴 혹은 붕괴라고 정의하며 구조물의 안전성에 치명적인 문제점을 야기시킨다.
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좌굴이 발생하기 전까지 물체는 정적인 평형상태를 유지하지만, 일단 좌굴이 발생하면 평형상태가 깨어지고 횡 방향으로 큰 변형이 발생하여 외부 하중을 더 이상 지탱할 수 없게 된다. 이러한 좌굴은 비단 가느다란 기둥이나 얇은 판의 휨 좌굴(flexural buckling)에만 국한되는 것이 아니며, 물체의 국부 영역에 지역적으로 발생하는 국부 좌굴(local buckling), 전단력에 의하여 야기되는 전단 좌굴(shear buckling) 그리고 비틀림에 의해 발생하는 비틀림 좌굴(torsion buckling) 등이 있다.
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한편 좌굴에 의한 물체의 변형이 구조물이 이루는 평면 내에 있느냐 아니면 바깥에 있느냐에 따라 면내 좌굴(in-plane buckling) 그리고 면외 좌굴(out of plane buckling)로 구분하기도 한다. 좌굴은 거의 대부분 물체의 형상이나 하중 조건의 불완전성(imperfection)에 기인한다. 예를 들어, 기둥의 단면 중심에 정확히 축 방향으로 집중 압축력을 가한다고 했을 때, 이론적으로는 횡 방향으로 휨을 발생시킬 하중이나 모멘트 성분이 전혀 없기 때문에 좌굴이 발생해서는 안 된다.
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하지만 실제 기둥은 정확히 원형 단면이 아닐 뿐만 아니라 압축력이 작용하는 지점도 정확히 축의 중심에 위치하지 않는다. 따라서 기하학적인 불완전성과 축 중심에서 어느 정도 편심된 위치에 압축력이 작용함에 따른 불완전함에 따라 횡 방향으로의 변위가 발생하게 된다.
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좌굴은 물체의 가느다란 정도를 나타내는 형상 종횡비(aspect ratio)가 클수록 보다 쉽게 발생한다. 다시 말해 길이가 긴 기둥이 짧은 기둥에 비해 좌굴이 보다 쉽게 발생한다. 그리고 좌굴은 동일한 재질, 형상 및 하중조건에서도 물체를 구속하는 경계조건(boundary condition)에 크게 영향을 받는다.
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또한 좌굴은 작용하는 힘이 정적 하중이냐 동적 하중이냐에 따라 정적
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