FESADev/docs/mitc4-shell-feast-eigen2/implementation-numerical-review.md

# 구현 독립 수치 검토

- Feature: `mitc4-shell-feast-eigen2`; Owner: `numerical-review-agent`; 검토일: `2026-09-09`.
- 판정: **correction-required / verification-incomplete**.
- 대상: 질량·stabilization·reduction, 수정된 FEAST backend와 `linear_frequency_procedure.cpp`. Writer는 검토하지 않았다.
- 기준: [formulation](formulation.md), [mass/stabilization](formulation-mass-stabilization.md), [eigen](formulation-eigen.md), [controls](numerical-review-controls.md), [cases](numerical-review-cases.md), [requirements](requirements.md), [공통 tolerance](../TOLERANCE.md).
- 최초 finding·scalar 반례는 [이전 검토 상세](implementation-numerical-review-history.md)에 보존한다. 아래는 후속 수정본에 대한 현재 판정이다.

## 이전 finding의 수정 확인

Central Count·안정적 QR까지 수정한 최신 저장본 `mkl_feast_eigen_solver.cpp`를 직접 대조했다.
아래 source 판정과 메인이 전달한 실제 재실행 결과를 구분한다.

| Finding | 현재 상태 | 최신 정적 evidence |
| --- | --- | --- |
| NR-IMP-01 | **addressed** | [mass source](../../src/fesa/elements/mitc4_shell.cpp)의 `j-h*(h/m)` strict finite/positive와 [density 회귀](../../tests/unit/elements/mitc4_shell_test.cpp) 확인. 메인이 실제 통과를 전달 |
| NR-IMP-02 | **open** | Mass Ck oracle/`ExpectGlobalZCovariance`의 승인된 차원별 scale·D congruence 적용 및 단위변환 coverage 미완료 |
| NR-IMP-03 | **addressed in source** | [backend](../../src/fesa/solvers/eigen/mkl_feast_eigen_solver.cpp) optional info1/2/3/-5만 fallback, 나머지는 실패 |
| NR-IMP-04 | **addressed in source** | Offsets `0,±1,±2,±4`, 21-call 예약으로 optimization384 유지, 각 Count/solve의 total512 guard 확인. Central Count 473–484행에서 동일 lower의 모든 성공 이력에 대해 upper/count 단조성과 동일 endpoint count 일치를 검사 |
| NR-IMP-05 | **addressed in source** | 최초·retry interior 3-count guard, previous/new capacity 비교와 실제 interval 변경 조건을 확인. Retry Count도 위 central history 검사를 거침 |
| NR-IMP-06 | **addressed in source** | 초기 재시도는 16delta padding만 2^j배 |
| NR-IMP-07 | **addressed in source** | 229–245행의 relative pivot·`alpha=-copysign(norm,x0)` reflector, 276–290행의 Q column sign으로 positive R diagonal 및 `norm(Q^T Q-I)_F/sqrt(m0)<=1e-12` 확인 |
| NR-IMP-08 | **production guards added; failure coverage incomplete** | n²/nm0 storage·PTRDIFF/container·padding·count[0,n] 검사, 주요 allocation 변환 및 [procedure](../../src/fesa/analysis/linear_frequency_procedure.cpp)의 bad_alloc/length_error 변환 확인. 경계/실패 주입 검증 미확인 |
| NR-IMP-09 | **addressed in source** | Successful epsout/loop 및 유효한 반환 범위의 모든 eigenvalue/vector finite 검사를 endpoint/retry 앞에 수행. Finite-first sort, physical lambda 환산, exact-zero nonfinite backend res의 unavailable 처리, all-c pairwise/Frobenius Gram acceptance 확인 |

## 최신 backend correction과 검증 경계

[Backend source](../../src/fesa/solvers/eigen/mkl_feast_eigen_solver.cpp)의 이전 count/QR/nonfinite-vector finding은
현재 저장본에서 수정됐다. Optional guard가 중간 실패해도 이전 성공 Count는 공통 이력에 남아 이후 대조에 사용된다.
Signed Householder는 cancellation을 피하며 Q column sign 변경은 R row sign 변경과 대응하므로 positive diagonal 규칙에 맞는다.
`ValidateSymmetry` 134–166행도 scale로 정규화한 Frobenius 비율이며, max-entry acceptance라는 이전 finding은 해소됐다.

C5 실패/status/동일 endpoint/역전/retry/budget/allocation 주입은 **실행 evidence 미완료**다.
`CallHistory`는 residual 실패에 연결됐지만 다른 early failure의 전체 이력 보존도 미확인이다.
Source correction 확인을 해당 실패 경로의 실행 통과로 확대하지 않는다. NR-IMP-02의 mass oracle 차원별 scale은 별도로 남는다.

## Frequency procedure와 reduction의 대조 결과

[Procedure source](../../src/fesa/analysis/linear_frequency_procedure.cpp)에서 다음 수학 계약과의 불일치는 발견하지 못했다.

- 161–185행: active shell 길이 scale과 analytic reduction 뒤 actual FEAST를 사용하고, exact-zero A의 scale 후보는 `min(E/rho/ell²)`로 만든다.
- 201–223행: K/M Frobenius norm은 실제 free/free 부분에 D congruence를 적용해 같은 단위로 계산한다.
- 235–270행: `q=D y`, scaled source maximum-component sign, actual ML mass 정규화, 최종 phi에서 g/y 재계산, 원 조립 K/ML의 모든 free DOF residual·Rayleigh·energy를 평가한다. Constrained components는 exact0이며 modal reaction을 생성하지 않는다.
- 271–305행: whitened/operator residual 및 raw lambda를 보존한 near-zero/positive·connected cluster·frequency validity를 검사한다. 전체 c를 검증하고 첫 N개만 mode/vector로 공개한다.
- 306–319행: 정규화된 physical phi와 actual mass action으로 전체 c의 Gram/각 pairwise orthogonality를 다시 계산한다. `nz=0`의 null metric은 applicable flag0와 연결된다.
- [Reduction tests](../../tests/unit/analysis/eigen_reduction_test.cpp)에 비대각 Mp의 lambda2,10/3·original mass 복원, p1/2000 positive, 2 free rotations, MZ 위반, drill-only/all-fixed empty 실패가 추가됐다.

## 원본 eigen column20 residual 실패의 한정 재검토

메인이 전달한 correction 후 실제 값은 `n=3125,c=22,m0=33`, backend 26 calls,
`rho_B=1.48674481038207483e-10`이다. **현재 근거로 procedure/reduction의 구현 결함이 원인이라고 판정할 수 없으며,
보고된 값에 대한 실패 처리는 승인 C3-02/C5와 일치한다.** 기준1e-10을 48.6745% 초과하고,
requested10 밖의 column20도 검증 대상인 전체 c개에 속하므로 삭제하거나 검사에서 제외할 수 없다.
FEAST 성공 status·trace stopping은 이 독립 operator residual 기준을 대신하지 않는다.

- [Procedure](../../src/fesa/analysis/linear_frequency_procedure.cpp) 184–186행은 backend 실패를 즉시 반환한다.
  따라서 201행 이후의 scaled original-free norm, `q=D y`, 최종 physical normalization·Gram/energy는
  이번 실패 때 실행되지 않았다. 그 계산에서 이번 backend column20 오류가 생겼다는 설명은 실행 순서와 맞지 않는다.
- 최신 [reduction](../../src/fesa/analysis/eigen_reduction.cpp) 116–206, 301–356행을 다시 대조했다.
  `Mp/scale=L0 L0^T`, lift=`P L0^-T/sqrt(scale)`, `A=lift^T Khat_f lift`의 전치·양쪽 D·질량·단위는 일치한다.
  실제 global BC의 exact null 처리와 원 MZ/KZ/PZ 검증에도 이 residual 실패를 설명하는 수식 오류를 발견하지 못했다.
  이는 실제 큰 모델의 forward accuracy 보장이거나 모든 입력 inventory의 독립 검증 완료를 뜻하지 않는다.
- Backend가 계산하는 `norm((A/s)x-mu*x)/norm(x)`는 해당 승인 metric이다.
  모드 진폭을 바꿔도 비율은 같고 물리 mass 정규화로 이 값을 낮추려는 변경은 근거가 없다.

메인이 전달한 column20의 correction 전·후 actual rerun 진단값은 다음과 같다.

| 관찰 | 이전 실행 | 최신 correction 후 실행 |
| --- | ---: | ---: |
| FEAST info / loop | 0 / 4 | 0 / 4 |
| trace epsout | 2.82730672643927457e-14 | 2.82488401287762986e-14 |
| full CSR rho_B | 1.42356735413003805e-10 | 1.48674481038207483e-10 |
| mirrored upper CSR rho_B | 1.42356735389686902e-10 | 1.48674481542089335e-10 |
| full/upper difference action norm | 1.24572423402534915e-17 | 1.38724134018909290e-17 |

**해당 실행 판정: mandatory all-c residual failure confirmed.** FEAST가 실제 받은 symmetric upper operator에서도
같은 기준을 넘으므로 full/upper symmetry roundoff는 이 실패의 원인이 아니다.
고정 `fpm[5]=1` trace stopping이 4회에서 충족된 결과이며 **최대20회 반복을 소진한 실패가 아니다**.
따라서 단순히 maximum loop를 늘리는 것을 확인된 원인 수정으로 제시할 수 없다.
작은 trace 변화나 `info=0`을 모든 eigenpair residual의 통과로 해석하지 않는다.

최신 진단은 위 central Count·안정적 QR correction **이후 실행**이다. 확인된 구현 결함을 수정한 뒤에도
승인 fixed controls로 얻은 이 모델의 결과가 mandatory all-c 기준을 충족하지 못한다.
이는 모든 잠재적 구현 결함을 배제한 증명은 아니지만, 현재 reference 성공 또는 기능 완료 판정을 막는 실제 evidence다.
전체 runner 통과가 있더라도 이 필수 residual/reference 실패를 대신 해소하지 않는다.

FEAST stopping/control·후검증 기준·실패 retry 정책을 바꾸려는 경우에는 고정 C3/C5 계약의
**사용자 결정과 관련 수치 재검토가 먼저 필요하다**. 구현 correction은 기존 계약 안에서 진행할 수 있으며,
mass·seed·N 변경, column20 제외 또는 실패 후 미승인 재시도의 근거가 되지 않는다.
이번 검토자는 actual rerun을 직접 실행하지 않았고 전달받은 진단값과 read-only 실행 경로를 대조했다.

## 남은 검증과 실행 경계

- **NR-IMP-10 / upstream-contract-conflict:** S3의 public static global moment failure는 exact numerical drilling torque에서 발생한다. `norm(e_M)=95/41476`, 현재 normalized metric≈7.328771e-4다. [독립 유도와 판단](implementation-numerical-review-s3-static.md)을 참조한다. 메인은 수정된 E2-C09 direct pencil/full Kq-F covariance 테스트 통과와 별도 public rejection 재현을 전달했다. 수학 case의 검증은 연결됐지만 public 지원 범위의 평형 충돌은 미해결이다.
- [Procedure integration tests](../../tests/integration/analysis/linear_frequency_procedure_test.cpp)는 S3 direct pencil/full residual covariance와 free panel의 여섯 near-zero mode/all-c evidence를 다룬다. Density4 및 length1024의 물리 단위변환에서 lambda·rotation amplitude·residual/energy를 검증하는 테스트도 추가됐고 메인은 최신 focused 통과를 전달했다. Wrong-mass/vector/constraint mutation 검증은 미완료다.
- Mass의 모든 warped Ck/rows·first spatial moment·두 mass의 독립 energy/Jensen·mesh 오차·rank20/rank5·physical rigid Gram, 독립 tangent inventory 및 frozen nonlinear/retained static 검증은 최초 상세의 coverage gap이 남아 있다.
- [Actual FEAST tests](../../tests/unit/solvers/eigen/mkl_feast_eigen_solver_test.cpp)에 zero/positive known spectra의 lowest prefix와 Givens congruence로 회전한 close distinct spectrum/Gram 검증이 추가됐고 메인은 최신 focused 통과를 전달했다. C5 status·guard collision/역전·retry·budget·allocation 주입, repeated eigenspace projector 및 세 반복 재현성 evidence는 미확인이다.
- 메인이 전달한 최신 source checkpoint는 `22c9d44`이며 configured full runner는 **395개 중394 통과, 원본 eigen 1개 실패, 155.31초**다. Input/FEAST/procedure/writer focused41은 새 density·unit scaling을 포함해 모두 통과했다. 본 검토자는 실행 로그를 직접 재검증하거나 build/test를 실행하지 않았다. 필수 reference/physics 완료는 승인하지 않는다.
- 최초 원본 eigen 실행의 10669ms 뒤 column20 `eigenpair-validation-failed`는 위 actual rerun의 full/upper residual·loop/epsout evidence로 구체화됐다. 필수 reference/전체 기능의 성공 판정은 할 수 없다.
- 이번 후속 수정은 본 보고서뿐이며 과거 검토 상세는 보존했다. 상위 계약·source·tests·writer·Git·reference는 수정하지 않았고 reference·제외 예제는 열람하지 않았다. 잔여 위험은 mandatory residual와 public static 계약 충돌, near-aligned forward accuracy, geometry 평가점 밖 injectivity 및 필수 coverage다.