FESADev/docs/mitc4-shell-feast-eigen/formulation-mass.md

# MITC4 consistent mass와 nodal block lumping 유도

- Feature ID: `mitc4-shell-feast-eigen`
- Owner: `formulation-agent`
- Input contract revision: `r2`
- 기본 보고서: [formulation.md](formulation.md)

근거는 [research evidence](research-evidence.md)의 `S01`, `S02`, `P01`, `R01`~`R03`이다.
아래 유도는 FESA의 승인된 운동학에 대한 것이며 Abaqus 내부 질량과의 동등성 주장이 아니다.
r2는 M4의 numerical scale만 [S1](formulation-stabilization.md#s1-초기-physical-trace로-고정하는-단일-scale)로
대체한다. M1/M2 및 M5~M10의 질량·quadrature·moment·lumping 식은 영향 확인 후 보존했다.

## M1. 변수, 원형상과 운동학

길이·질량·시간 차원을 각각 `L`, `M`, `T`라 한다. 각 element는 원형상 좌표
`X_i [L]`, 기존 patch에서 얻은 공통 unit nodal director `d_i`, 일정한 centered thickness
`t>0 [L]`, section의 material에서 결정된 일정 density `rho>0 [M/L³]`를 사용한다.
`E>0 [M/(LT²)]`, `-1<nu<0.5`와 기존 단일층 등방성 plane-stress 재료를 유지한다.
모든 입력 및 중간 결과는 finite여야 한다. 여기의 `t`는 두께이며 시간은 `tau`로 쓴다.

자연 좌표는 `(xi,eta,zeta) in [-1,1]^3`, source node 순서는
`(-1,-1),(1,-1),(1,1),(-1,1)`이다. 다음 형상함수와 실제 volume mapping을 사용한다.

\[
N_i=\tfrac14(1+\xi_i\xi)(1+\eta_i\eta),\quad z=t\zeta/2,\quad
X=\sum_iN_i(X_i+z d_i),\quad J=\det[X_{,\xi},X_{,\eta},X_{,\zeta}],
\quad dV=J\,d\xi d\eta d\zeta. \tag{M1}
\]

`sum Ni=1`, `Ni>=0`이다. Interpolated director를 normalization하여 M1의 geometry를
변경하지 않는다. 기존 kernel의 `EvaluateGeometry`와 같은 Jacobian 및 부호를 사용한다.
기존 [정식화](../linear-static-mitc4-shell/formulation.md)의 §§3~5, 8~11이
director 생성, tangent frame `(a_i,b_i,d_i)`, 기하 허용 조건과 MITC strain을 소유한다.

전역 nodal 좌표는 `q_i=[u_X,u_Y,u_Z,theta_X,theta_Y,theta_Z]^T`이다.
`u [L]`, `theta [1]`이고 양의 director 변화는 `theta cross d`이다. 다음 map을 정의한다.

\[
S_i=-[d_i]_\times,\quad P_i=I-d_i d_i^T=S_i^TS_i,\quad
G_i(z)=[I_3\ \ zS_i],\quad H=[N_1G_1\ \cdots\ N_4G_4]. \tag{M2}
\]

따라서 입자 변위/속도는 `u(X)=Hq`, `v(X)=H q_dot`이다. Physical nodal coordinates
`[u_X,u_Y,u_Z,alpha,beta]`에서 회전 열은 `[-z b_i, z a_i]`이다.
`alpha=a_i^T theta`, `beta=b_i^T theta`, `gamma=d_i^T theta`이며
`S_i d_i=0`이다. 20↔24 변환은 기존 `PhysicalTransformation20`/`DrillingTransformation4`
그대로이다. MITC assumed shear와 `5/6` shear factor는 strain/stiffness에만 작용한다.
속도 보간과 질량에 이 factor를 적용하지 않는다.

## M2. Strong/weak form과 기존 stiffness

원형상·무응력 상태의 소변형 무감쇠 자유진동에 대해 continuum parent는
`rho u_ddot = div sigma`, `sigma=C_ps:epsilon`, `sigma_33=0`이다.
자유 표면·자유 edge의 generalized traction은 0이고 essential data는 동차 global DOF
제약이다. 허용한 thickness 운동학과 MITC projection에 제한한 약형은

\[
\int_{\Omega_0}\rho\,\delta u^T\ddot u\,dV+
\int_{\Omega_0}\delta\bar e^T C_5\bar e\,dV+
\delta\gamma^T K_d\gamma=0. \tag{M3}
\]

원형상 physical elastic Hessian과 quadrature는 기존 stiffness 계약을 유지한다.

\[
C_5=\operatorname{diag}\left(
\frac{E}{1-\nu^2}\begin{bmatrix}1&\nu&0\\\nu&1&0\\0&0&(1-\nu)/2\end{bmatrix},
\frac56\frac{E}{2(1+\nu)}I_2\right),
\quad K_{20}=\sum_{g\in2\times2\times2}\bar B_g^TC_5\bar B_gJ_gw_g,
\]
\[
K_e=T_p^TK_{20}T_p+T_d^T(k_d I_4)T_d,\quad
k_d=10^{-3}k_{ref,e}. \tag{M4}
\]

`bar e=[epsilon11,epsilon22,gamma12,gamma13,gamma23]`이다. `k_ref,e`는
[r2 scale S1](formulation-stabilization.md#s1-초기-physical-trace로-고정하는-단일-scale)으로 계산한다.
기존 [정식화 §12](../linear-static-mitc4-shell/formulation.md)의 physical kernel·변환·
drilling map은 유지하고 옛 최소 대각 scale만 사용자 승인 범위에서 대체한다.
[현재 source](../../src/fesa/elements/mitc4_shell.cpp)는 아직 옛 식이며 구현 완료 근거가 아니다.
Drilling energy는 수치 stabilization이며 물리 strain/stress가 아니다.
`K_e q_e`는 내부 elastic generalized force, `M_L,e q_ddot,e`는 inertia다.
최종 반이산식은 `M_L q_ddot + Kq=0`이다. Harmonic ansatz
`q(phi,tau)=phi cos(omega tau)`에서 `Kphi=lambda M_L phi`, `lambda=omega² [T^-2]`를 얻는다.
새 constitutive/history state, geometric stiffness, damping, preload, nonlinear tangent,
time integrator 또는 modal stress/reaction recovery는 없다.

## M3. Consistent matrix와 충분한 quadrature

`T_C=1/2 integral rho |H q_dot|² dV`에서

\[
C^{(k)}_{ij}=\int_{\Omega_0}\rho N_iN_j z^k dV\quad(k=0,1,2),
\qquad
(M_C)_{ij}=\begin{bmatrix}
C^{(0)}_{ij}I_3&C^{(1)}_{ij}S_j\\
C^{(1)}_{ij}S_i^T&C^{(2)}_{ij}S_i^TS_j
\end{bmatrix}. \tag{M5}
\]

세 scalar moment matrix는 각각 symmetric `4×4`이다. 차원은 `C(k) [M L^k]`,
mass의 `uu/u-theta/theta-theta` block은 각각 `M/ML/ML²`이다.
`M_C [24×24]`는 global block 형식이며 20 physical mass의 congruence와 동일하다.
원본 `M_C`와 그것을 구성한 `C(0..2)`를 완성·검증한 후 lumping 입력으로 사용한다.
Global consistent sparse matrix를 eigen solve에 조립할 필요는 없지만 계산 원본을
lumped 결과로 덮어쓰거나 별도의 mass를 생성한 뒤 consistent에서 유도했다고 부르지 않는다.

M1은 각 자연 좌표에 최대 1차이다. Jacobian의 세 열의 최대 다항 차수는 각각
`(0,1,1)`, `(1,0,1)`, `(1,1,0)`이므로 determinant의 성분별 최대 차수는 `(2,2,2)`다.
`Ni Nj z^k J`의 차수는 최대 `(4,4,k+2)`, 즉 `(4,4,4)`이다. 따라서 **질량에는
3×3×3 Gauss–Legendre**를 사용한다. 각 축의 points는
`[-sqrt(3/5),0,+sqrt(3/5)]`, weights는 `[5/9,8/9,5/9]`이다.
3-point rule의 5차 정확성으로 M5의 모든 항을 이 geometry에서 정확 적분한다
(floating-point roundoff 제외). 추가 density/thickness 변화를 가정한 결론이 아니다.

Loop 순서는 증가하는 `xi`, 그 안의 `eta`, 가장 안의 `zeta`, 이후 `i<=j`, `k=0,1,2`로
고정하고 대칭 항을 복사한다. Mass 계산의 27개 실제 평가점에서도 기존 geometry
predicate를 적용한다. `J<=0`, nonfinite frame/basis 등의 실패를 weight 절댓값,
점 생략이나 flat replacement로 수리하지 않는다. 기존 stiffness 8-point 경로는 변경하지
않는다. 이 검사는 27점에서의 positivity를 보장하며 volume 모든 위치의 injectivity에
대한 새 theorem이나 기존 warp/curvature 범위의 확대를 주장하지 않는다.

왜곡된 flat element라도 같은 식을 쓴다. 서로 다른 director가 있으면 `J(zeta)`의 1차 항
때문에 `C(1)`이 0이 아닐 수 있다. Centered section만을 이유로 coupling을 버리거나
`C(2)=t² C(0)/12`를 일반식으로 사용하지 않는다.

## M4. 계산된 consistent moment에서 nodal block 유도

각 node의 세 row sum과 질량 block을 정의한다.

\[
m_i=\sum_j C^{(0)}_{ij},\quad h_i=\sum_j C^{(1)}_{ij},\quad
j_i=\sum_j C^{(2)}_{ij},\qquad
L_i=\begin{bmatrix}m_iI_3&h_iS_i\\h_iS_i^T&j_iP_i\end{bmatrix},
\quad M_{L,e}=\operatorname{blockdiag}(L_1,L_2,L_3,L_4). \tag{M6}
\]

이는 scalar moment row sum 후 tensor로 재구성하는 **nodal block lumping**이다.
Global 전체 행의 합, absolute row sum, diagonal scaling 또는 nodal quadrature와
혼용하지 않는다. 같은 source node의 incident element block은 기존 source element 순서로
합한다. 공통 `d_i` 때문에 조립 후에도 M6 형태다. Local와 global에서 diagonal이 아닌
`6×6` coupling은 허용한 lumped mass의 일부다.

`sum Nj=1`을 M5에 대입하면 정확히

\[
(m_i,h_i,j_i)=\int\rho N_i(1,z,z^2)dV,\quad
L_i=\int\rho N_i G_i(z)^TG_i(z)dV. \tag{M7}
\]

`m_i>0`, `j_i>0`, `m_i j_i-h_i²>0`이다. 마지막 부등식은 양의 measure에 대해
`z`가 상수가 아닌 점(양의 두께 및 서로 다른 thickness Gauss점)과 strict
Cauchy–Schwarz에서 따른다. 이를 이용하면

\[
q_i^TL_iq_i=m_i\left|u_i+\frac{h_i}{m_i}S_i\theta_i\right|^2+
\left(j_i-\frac{h_i^2}{m_i}\right)|S_i\theta_i|^2. \tag{M8}
\]

따라서 `L_i`의 rank는 5, null은 정확히 `[0;d_i]`의 span이다.
`zbar_i=h_i/m_i [L]`, `j_i-h_i²/m_i [ML²]`는 node에 할당된 thickness
measure의 centroid와 central tangent inertia다. 음/영 variance나 nonfinite를 clamp하지
않고 mass 검증 실패로 처리한다. 모든 노드에 최소 한 활성 shell이 연결되어야 한다.

M6의 유도 연결은 `C(k)` 원본→row sum→block reconstruction으로 추적한다.
동시에 M7을 독립 직접 적분하여 두 결과의 일치를 검증할 수 있다.
서로 다른 nodal frame의 rotary component를 직접 더하지 않는다.

## M5. 보존되는 양과 근사되는 양

모든 등식은 동일 원형상·density와 quadrature measure에 관한 것이다.

1. 총 병진 질량 `m=sum mi=integral rho dV` 및 모든 uniform translation의 kinetic
   energy가 consistent와 정확히 같다. 각 방향의 total mass가 `m`이며 `trace(Muu)`를
   총 질량이라고 정의하지 않는다.
2. Thickness scalar moment는 `sum hi=integral rho z dV`,
   `sum ji=integral rho z² dV`다. 각 nodal tangent tensor는 `ji Pi`이고 drilling inertia는
   0이다. 이는 물리 director의 회전 관성 정의이며 모든 rigid rotation의 전체 tensor를
   consistent와 같게 만드는 계약은 아니다.
3. Lumping measure의 위치를 `x_i(z)=X_i+z d_i`로 보면 spatial first moment
   `sum_i(mi Xi+hi di)=integral rho X dV`이므로 center of mass가 보존된다.
   Node의 `Xi`에만 `mi`를 놓고 `hi di`를 누락하면 곡면에서 이 등식이 깨진다.
4. `v_i(z)=u_dot_i+z S_i theta_dot_i`에 대해 Jensen identity가 다음을 준다.

\[
\dot q^T(M_L-M_C)\dot q=
\frac12\int\rho\sum_{i,j}N_iN_j|v_i-v_j|^2dV\ \ge0. \tag{M9}
\]

두 kinetic energy의 차이는 M9의 절반이다. Equality는 positive-weight point마다 모든
`v_i`가 같을 때 성립한다. 일반 속도장 및 rigid angular motion의 orbital inertia는
달라질 수 있으며 lumped 값이 그 quadratic form에서 작아지지 않는다.
Rigid spatial rotation은 `u_i=Omega cross Xi`, `theta_i=Pi Omega`로 재현된다.
이때 M9는 nodal 위치 분산으로 생기는 angular-inertia 차이를 정확히 설명한다.
두 spectrum의 동일성, arbitrary mesh의 특정 수렴 차수 또는 Abaqus lumping 동등성을
acceptance로 요구하지 않는다. Smooth refinement에서 차이가 감소하는지는 독립 evidence다.

Proper orthogonal global rotation `Q`에 대해 `D_Q=blockdiag(Q,Q)`를 두면
`S(Qd)=Q S(d) Q^T`, `L'_i=D_Q L_i D_Q^T`이며 consistent에도 같은 congruence가
성립한다. 이는 tangent basis 선택과 독립적이다. Constraint도 같은 물리 공간으로 변환한
경우에만 spectrum의 좌표 불변성을 비교한다.

## M6. 직접 적분 가능한 평판 oracle

평행 director와 affine 직사각형 면적 `A`에서는

\[
C^{(0)}=\frac{\rho t A}{36}
\begin{bmatrix}4&2&1&2\\2&4&2&1\\1&2&4&2\\2&1&2&4\end{bmatrix},
\quad C^{(1)}=0,\quad C^{(2)}=\frac{t^2}{12}C^{(0)}. \tag{M10}
\]

각 node는 `mi=rho t A/4`, `hi=0`, `ji=rho t³ A/48`이다.
이는 production quadrature를 호출하지 않고 다항 적분으로 얻는 oracle다.
곡면에서는 M5~M9와 independent volume integration을 사용한다.
두께 `t` 변경 시 stiffness와 rotary inertia는 다른 차수로 변하므로 전체 spectrum에
하나의 thickness power law를 강제하지 않는다.