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# Shell 과도 열전달 독립 수치 검토

- 검토일: 2026-09-29. **정식화 일관성 및 구현 전 수치 검증 설계 PASS /
  solver 구현·정확도·reference·physics 검증 미실행**.
- 독립 검토 대상: formulation commit e052b6e, source 접속 범위 보완 efa5403,
  입력 rounding-cell 보완 dd409b5의 실제 diff 및 §7.1–7.2.
  [PRD STH-C07](PRD.md#sth-c07--독립-검증과-수치-계약의-선행-조건)의 위임 범위에서
  아래 식·상수·fixture·판정 기준을 production kernel 구현 전에 고정한다.
- 상태: **DONE_WITH_CONCERNS**. 고정 5점의 초기 침투층 및 warped 3×3 적분 오차를
  정량 기록했다. 지원 방법·geometry·외부 tolerance 변경을 제안하거나 승인하지 않는다.
- 기준: [정식화](formulation.md), [승인 ADR](ADR.md), [공통 수치 기준](../TOLERANCE.md),
  [개발 규칙](../standards.md), [수치 주의점](../engineering-notes.md).
  재현 계산은 [scratch appendix](numerical-oracle-scratch.md)에 있다.
  Reviewer는 정식화 작성자가 아니며 production·test·reference를 수정하지 않았다.

## 1. 판정과 이전 검토의 정리

2026-09-28 Proposed 검토는 당시 evidence다. NR-01의 product-domain 및 normalized
station 접속, NR-02의 raw 초기값과 BC 상속/override는 현재 승인 계약으로 해결되었다.
NR-03의 edge 입력 제안은 **011 전체 연기**로 대체된다. 과거 edge weight는 이번
구현·검증 요구가 아니다. 종료 시간의 정수배 제한 제안도 폐기되었다.

| 항목 | 독립 판단 / 현재 경계 |
| --- | --- |
| 약형·분리 행렬·부호 | Q4×두 C0 P2, 실제 midsurface metric, exact Z, consistent C와 BE는 일관된다. 단위·node-major 순서·법선 방향을 확인했다. |
| Whole patch | affine normal image의 separating vector certificate 및 bilinear midpoint identity의 injectivity 유도가 성립한다. 적분점만 검사하는 것은 불충분하다. |
| Source 접속 | 전역 node-edge scan은 disconnected/contact 범위를 침범할 수 있었다. efa5403의 source endpoint를 공유하는 coarse/partial edge 후보 제한을 독립 확인했다. |
| 초기 jump | raw t=0 보존 및 첫 RHS의 C_fc T_c_old 항이 필요하다. Slab의 δ→0 자유 초기 극한은 분석용 oracle이며 raw 초기 dataset을 바꾸는 projection 절차가 아니다. |
| 시간 | 표현오차 수준 endpoint-close와 실제 shortened δ를 구별하는 predicate를 검산했다. 저장 시각의 subtraction과 연산 δ를 혼동하지 않는다. |
| Recovery | 4 면내점×6 두께 trace의 global q와 R=[e1,n×e1,n], 0−/0+ 분리, full residual 반력 부호가 일관된다. t=0 flux/reaction은 없다. |
| 남는 위험 | consistent C의 초기 undershoot, 고정 두께 해상도, metric conditioning, 3×3 유한 적분 오차. Clamp/lumping/차수 변경/지원 축소로 숨길 수 없다. |

PASS는 **설계의 수학적 일관성과 독립 사전 oracle**에 한정한다.
실제 MSVC solver·HDF5·외부 reference 결과가 통과했다는 뜻은 아니다.

## 2. Geometry와 mesh 판정

### 2.1 Whole-patch certificate와 uncertainty

정식화 §2.1의 r=a+bξ+cη+dξη, w=w0+uξ+vη를 사용한다.
Convex set W={w(ξ,η)}의 원점에 가장 가까운 w*는 w*·w≥||w*||²를 만족한다.
따라서 네 corner에 대한 **같은** 고정 double 벡터 s의 양의 interval dot product가
전체 patch를 증명한다. 후보 최소점 계산이 부정확해도 최종 certificate가 양수이면
안전하다. 후보 탐색 실패를 수학적 퇴화의 증명으로 보고하면 안 된다.
r(p)−r(q)=Dr((p+q)/2)(p−q)이므로 전체 patch에서 rank(Dr)=2이면 단사다.
이 증명은 bilinear map 전용이며 일반 고차 curved element로 확대하지 않는다.

**고정 규칙:** binary64, u=2^-53, epsilon=2^-52, round-to-nearest,
gradual underflow; 입력 double은 singleton interval이다. 각 사칙연산 endpoint를
양쪽 nextafter로 한 번씩 넓힌다. 0을 포함한 divisor는 사용하지 않는다.
sqrt는 비음수 endpoint를 계산한 뒤 같은 방식으로 넓힌다. 재척도는 exact
power-of-two이며 손실된 subnormal도 enclosure에 포함한다. Fast-math/FTZ와
증명되지 않은 재결합은 이 bound의 전제가 아니다.

모든 lower(s·w_corner)>0이면
J_lower=min lower(s·w_corner)/upper(sqrt(s·s))>0를 보존한다.
증명되지 않으면 다른 유한 candidate를 시도하고 모두 실패하면 uncertain geometry로
fail closed한다. 정확히 중복된 좌표·source node, 비유한 값, 증명된 w=0은 invalid다.
고정 Jacobian epsilon·warp/aspect cutoff는 **0개**다. Certificate 뒤에도 각 사용점의
metric inverse/gradient가 유한하고 interval에서 0 divisor가 배제되는지 확인한다.
κ(g)는 진단과 오차 전파에 쓰며 지원 cutoff가 아니다.

### 2.2 Source topology와 T-edge uncertainty

Edge incidence는 1 또는 반대 순서의 2; 3 이상·같은 방향·중복 patch는 거부한다.
각 vertex link는 하나의 path 또는 cycle이며 끊어진 fan·branch·중복 link는 거부한다.

T-edge 후보는 **같은 instance에서 source endpoint를 공유한**
(p,q)와 (p,v) 또는 (v,q)이고 p,q,v는 서로 다른 node다. Coarse 방향을 양쪽으로
시도한다. a=q−p, b=v−p의 interval에서 |a_j| lower가 가장 큰 성분 j를 택하고
λ=b_j/a_j, 잔여 성분 b_i−λa_i를 계산한다.

- 잔여 성분 interval 하나가 0을 제외하거나 λ가 [0,1] 밖이면 비접합이다.
- 공선 및 0<λ<1이 증명되면 nonconforming T-edge다.
- 공선/열린 구간 포함이 불확실하면 uncertain 접속으로 실패한다. 정확한 끝점 일치는
  별도 중복 좌표 진단이며 열린 구간으로 clamp하지 않는다.
- Interval이 0을 포함한다고 exact 공선을 주장하지 않는다. Exact double-rational
  검산은 선택 사항이며 새 arbitrary-precision runtime dependency를 요구하지 않는다.
  Interval fail-closed만으로 계약을 충족한다.

모든 node 대 모든 edge scan, 좌표 welding, source 후보가 없는 component 접촉 검출은
하지 않는다. 같은 component의 멀리 떨어진 부분끼리의 접촉도 대상이 아니다.
이는 global contact 검증을 완료했다는 뜻이 아니다.

### 2.3 고정 geometry fixture군

| 군 | 좌표/변환과 필수 판정 |
| --- | --- |
| Affine | (0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0); 평행사변형 (0,0,0),(2,0,0),(3,1,0),(1,1,0). Certificate PASS. |
| 평면 왜곡 | (0,0,0),(2,0,0),(1.5,1,0),(0,1,0). J>0; M exact, S의 3×3 exactness 주장 금지. |
| Saddle | r=(ξ,η,aξη), a=.1,.5,2; 자연 corner를 node로 사용. w=(-aη,-aξ,1), s=(0,0,1), J_lower=1의 exact 근거. 모두 지원. |
| 긴 aspect | rectangle 1×2^-40; 유효 certificate 필요. 조건수와 metric 계산을 별도 기록하며 aspect만으로 거부 금지. |
| Scale/이동/회전 | 유효군의 2^-200,1,2^200배; unit patch에 (2^20,-2^20,2^20) 이동. Signed axis permutation 및 z축 3-4-5 회전. 입력 반올림을 oracle interval에 포함. |
| 적분점 검사의 반례 | r=(ξ,(ξ−1/4)η,0). 3×3 모든 점의 J는 비영이지만 ξ=1/4에서 J=0. Whole-patch 거부. |
| Invalid | bow-tie 순서, 반복 source/좌표, collinear 네 node, NaN/Inf. 자동 재순서/normal flip 금지. |
| Uncertain | affine b=(1,1,0),c=(1,1+2^-52,0): cancellation interval이 0을 포함할 수 있다. 증명된 certificate 또는 uncertain 실패만 허용; 임의 epsilon/형상 보정 금지. |
| 접속 양성 | 반대 순서 edge 공유 Q4 두 개, 90도 fold, h=1/2 두께 단차, k=1/10 재료 접속; disconnected 두 patch. |
| 음성/대조 | edge 3 incidence, 동일 directed edge, node 하나만 공유한 두 fan; coarse(p,q)/partial(p,v),v=(p+q)/2. 각 음성의 별도 source identity/instance 좌표 접촉 대조군은 자동접속·T-edge 거부가 없어야 함. |

## 3. 내부 roundoff, 행렬 및 solve 기준

### 3.1 공통 오차 언어

외부 5%/1%와 무관하게 γ_m=mu/(1−mu),u=2^-53이며 mu<1을 요구한다.
행렬/shape는 Frobenius norm, solve는 ∞ norm, 물리 integral은 아래 L2 norm이다.
분모가 0이면 numerator도 정확히 0일 때만 통과한다. max(1,scale)은 금지다.

P_ij는 계산한 signed 합의 절댓값이 아니라 **각 quadrature/분리 항의 절댓값 합**이다.
Cancellation 때문에 P와 |X|를 바꿔 쓰지 않는다. 단위 affine fixture의 closed-form
rational oracle에 대한 고정 roundoff bound는 다음과 같다.

| 검사 | 고정 bound / 연산 수 근거 |
| --- | --- |
| M,S,Z 및 분리 C,K | \|\|X_hat−X_exact\|\|F ≤γ_4096\|\|P_X\|\|F. 점당 shape·metric·gradient·weight·entry scalar path128 이하×9+분리/scatter64 이하를 포괄한다. |
| 직접54점 대 분리 | \|\|X_54−X_sep\|\|F ≤γ_8192\|\|P_54\|\|F+γ_4096\|\|P_sep\|\|F. 54×128+reduction<8192. |
| Affine gradient·H·R | component 절댓값 전파 scale P에 error norm≤γ_2048\|\|P\|\|. Partition sum은 P=Σ\|H\|, gradient sum은 P=Σ\|\|B_p\|\|; 비영 patch는 exact gradient 크기도 포함. |
| Symmetry | \|\|X−Xᵀ\|\|F≤2E_X. E_X는 위 bound. 강제 대칭화로 검사를 통과시키지 않는다. |
| 상수 null | \|\|K1\|\|2≤sqrt(20)E_K; \|1ᵀC1−2\|≤20E_C. Fraction 검산은 exact equality. |
| h scaling | h=1/2,1,2, k/rho/c=1; C와 면내 K는 h, normal K는 1/h. 두 계산의 E를 해당 배율로 더한다. |

Operation budget은 단순 loop의 최장 path 상한이다. 실제 경로가 이보다 길면 결과에 맞춰
상수를 늘리지 않고 경로/interval을 다시 검토한다. 일반 warped/translated geometry에는
affine bound를 그대로 쓰지 않는다. §2 interval을 같은 quadrature에 전파하여 X^I를
얻고 E_X=||max(|lower(X^I)−X_mid|,|upper(X^I)−X_mid|)||F를 사용한다.
각 point의 κ2(g)와 κ2(g)γ_64를 기록한다. Inverse perturbation 상대 증폭은
κ2(g)γ_64/(1−κ2(g)γ_64)이고 분모가 양수가 아니면 이 상계는 불확실하다.
직접 interval inverse가 유한 enclosure를 증명하면 사용하고 아니면 uncertain이다.
κ를 geometry 지원 조건으로 바꾸지 않는다. Roundoff와 quadrature 절단 차이는 별개다.

### 3.2 Exact fixture와 rank

단위 square,h=2,k=rho=c=1:
M=1/36 [[4,2,1,2],[2,4,2,1],[1,2,4,2],[2,1,2,4]],
S=1/6 [[4,-1,-2,-1],[-1,4,-1,-2],[-2,-1,4,-1],[-1,-2,-1,4]].

길이1 ζ 구간의 Z0=1/30 [[4,2,-1],[2,16,2],[-1,2,4]],
Z1=1/3 [[7,-8,1],[-8,16,-8],[1,-8,7]]을 station(1,2,3),(3,4,5)에
조립한다. C=M⊗Z0,K=S⊗Z0+M⊗Z1, node-major 순서다.
정확 유리수 LDL에서 C의20 pivot>0,K의 leading19 pivot>0,K1=0,1ᵀC1=2를
확인했다. C SPD,K PSD/rank19가 독립 증명된다.

Floating 결과는 matrix bound 외에 C의 λ_min>E_C, K를 1⊥에 제한한
λ_min>E_K와 null eigenvalue 크기≤E_K를 확인한다. Eigen 연산 자체의 backward
error enclosure도 더한다. Separation이 불가능하면 rank는 inconclusive이며
clamp로 PASS를 만들지 않는다. 전역 K는 component마다 null mode 하나다.

Gradient fixture는 단위 affine 평판의 접선 b에 대해 T=A+b·r+cz,
A=2,b=(3,-2,0),c=4로 q=−k(b+cn)이다. Warped patch의 임의 global b에
같은 식을 강제하지 않으며 그 경우 실제 reciprocal tangent의 projection을 사용한다.
Constant T=2, 면내/두께선형도 각각 검사한다. 회전 후 q는 같은 회전,
normal 반전 후 station a↔6−a와 조건까지 재매핑한다. RᵀR=I,detR=+1.
Trace state(0,0,0,1,2)는 q3(0−)=0,q3(0+)=−4k/h이며 평균하지 않는다.

### 3.3 Free solve, certified residual과 forward 전파

n=free DOF 수,A=A_ff,b=같은 δ와 full old state로 만든 RHS다.
Full residual의 free 성분 및 독립 A T_f−b를 확인한다.

β_limit=nγ_(n+1)+γ_(2n+4)+γ_(4n+8).

첫 항은 Cholesky의 |L||L|ᵀ bound와 || |L||L|ᵀ ||∞≤n||A||∞에서,
나머지는 triangular solves 및 residual 평가의 dot-product bound에서 나온 보수적인
**허용 상한**이다. Backend가 전제를 충족하지 못하면 더 엄밀한 backward-error
evidence가 필요하며 이 상한을 늘리지 않는다. n=0은 free 검사 대신 full reaction·수지를
검사한다. 큰 n의 상한을 실제 오차로 가정하여 forward budget에 넣지 않는다.

실제 sparse 행 i의 nonzero 수 ν_i로 독립 r_tilde=fl(A T_f−b)를 평가하고

E_r,i=γ_(2ν_i+2)(Σ_j|A_ij||T_f,j|+|b_i|),
R_cert=upper(|| |r_tilde|+E_r ||∞),
D_lower=lower(||A||∞||T_f||∞+||b||∞),
β_cert=upper(R_cert/D_lower).

모든 scale sum/norm은 outward interval로 계산하며 underflow 항도 §2 enclosure로
보존한다. D_lower=0은 exact-zero numerator/denominator를 별도 확인한다.
**β_cert≤β_limit**가 residual 판정이다. Full C dT/δ+KT−Q 평가에도 자신의 실제
row count·signed term absolute scale로 같은 의미를 검산한다. 구체적으로
E_r,full,i=γ_(2ν_C,i+2ν_K,i+6)(Σ|C_ij||dT_j|/δ+Σ|K_ij||Tnew_j|+|Q_i|)
+γ_1Σ|C_ij|(|Tnew_j|+|Told_j|)/δ로 둔다.
관측 residual에 roundoff enclosure를 더하므로 우연히 작은 computed residual을 그대로
정확한 잔차라고 가정하지 않는다.

n≤100의 소형 fixture는 독립 dense inverse로 Z≈A^-1를 구하고
θ=upper(||I−ZA||∞)<1을 확인한다. 그러면
upper(||A^-1||∞)≤upper(||Z||∞)/(1−θ)가 rigorous inverse-norm bound다.
κ∞(A)β_cert<1일 때 relative forward bound는
2κ∞(A)β_cert/(1−κ∞(A)β_cert).
정확 coefficient의 E_A/E_b도 numerator에 E_A||T_f||∞+E_b로 더한다.
이때 stored A의 inverse 상계를 J라 하면 J E_A<1을 확인하고 정확 A*의 inverse는
J/(1−J E_A)로 넓힌다. 따라서 absolute forward bound는
[J/(1−J E_A)](R_cert+E_A||T_f||∞+E_b)다(E_A/E_b는 ∞ norm bound).
이 denominator의 조건을 증명하지 못하면 inconclusive이며 clamp/상한 확대는 금지다.

큰 **구조화된 convergence fixture**는 inverse나 최악 β_limit 없이 다음 C-norm
전파를 사용한다. 정확 oracle C*,K*에 대한 증분 residual의 component enclosure를

R_n=|r_tilde|+E_r+E_C|dT|/δ+E_K|Tnew|+E_Q

로 둔다(E_C/E_K는 성분별 절댓값 오차 상계). 단열 homogeneous error의
(C*+δK*)^-1C*는 C* norm에서 contraction이므로

B_T^n=B_T^(n−1)+δ||R_n||2/sqrt(λ_lower(C*))

가 온도 C-norm error의 사전 고정된 누적 상계다. 초기 nodal cos의 interval 오차를
B_T^0에 포함한다. Normalized k=rho=c=h=1 fixture에서는 이 C-norm이 실제
product-volume temperature L2다. Sampling/오차 norm 적분의 interval도 더한다.

n×n unit square의 tensor mass는 Mx⊗My⊗Cz다.
Uniform Q1 1D mass의 Gershgorin lower는 1/(6n), 두 길이1/2 P2 segment의
Cz lower는 1/60이므로 **λ_lower(C*)=1/(2160n²)**.
K generalized upper는 면내 12n²+12n² 및 thickness
||Kz||∞/λ_lower(Cz)=(64/3)/(1/60)=1280으로
**λ_upper(K*,C*)=24n²+1280**.
따라서 gradient L2 solver budget은 sqrt(24n²+1280) B_T^n이다.
이 analytic bounds는 §6의 unit affine tensor fixture 전용이며 일반 mesh의 condition
보증으로 확대하지 않는다. 큰 fixture에 production sparse inverse를 요구하지 않는다.
§4 에너지 roundoff 상계의 β_limit는 보수적인 acceptance로 유지할 수 있지만,
§6–7의 oracle 차이/관찰 order budget에는 β_cert 또는 위 R_n 전파를 사용한다.

## 4. 에너지, 반력과 BE 소산

C=[[2,1],[1,2]],K=[[1,-1],[-1,1]],δ=1/2,Q=0,rawT0=(0,0),g2=1에서
T_f=(-1/5,1/25),Rc=(24/5,36/25)를 exact 확인했다. Raw constrained 항을 빼거나
먼저 g로 projection하면 실패한다. Signed undershoot를 삭제하면 안 된다.
이 fixture와 all-constrained 검사는 algebra다. Full-end strip ΣL/(khw)도 assembly
전용이며 공개 내부 station BC 지원을 뜻하지 않는다.

dT=Tnew−Told,ΔE=1ᵀC dT,Rc=(C dT/δ+K Tnew−Q)_c.
온도 영점을 뺀 두 큰 U를 차분하는 대신 ΔE를 직접 계산해도 같은 물리량이다.

**물리 수지 defect**
D_E=|ΔE−δ(ΣQ+ΣRc)|,
S_E=Σ_ij|C_ij dT_j|+δΣ_i|Q_i|+δΣ_c|Rc_i|.

m=전체 DOF 수,D_f=||A_ff||∞||T_f||∞+||b_f||∞라 하면

B_E=δnβ_limit D_f+δ||1ᵀK||1||Tnew||∞+γ_(4m+12)S_E
+δγ_(2m+6)(|| |C||dT| ||1/δ+|| |K||Tnew| ||1+||Q||1)
+γ_1Σ_ij|C_ij|(|Tnew_j|+|Told_j|).

두 번째 줄은 full residual 평가의 dot-product/division/subtraction 오차이며,
마지막 항은 온도 subtraction 오차다. D_E≤B_E와 free β≤β_limit를 **각각**
만족해야 한다. K 상수 mode 항은 §3 null bound도 만족해야 하므로 K 오류를 면제하지
않는다. 보고 metric D_E/S_E에서 S_E=0이면 exact-zero 분기다. Actual free residual을
수지에 다시 넣어 0을 만드는 대수 항등식은 물리 평형 판정을 대신하지 않는다.

단열·무입력·무구속의 별도 C-norm 소산 defect는

D_C=|0.5(TnewᵀCTnew−ToldᵀCTold+dTᵀCdT)+δTnewᵀKTnew|.

S_C는 앞의 세 C quadratic form의 **성분별 절댓값 합**에 각각 0.5를 곱하고,
마지막 K quadratic form의 성분별 절댓값 합에 δ를 곱하여 모두 더한 값이다.
B_C=δ||Tnew||1β_limit D_f+γ_(6m+20)S_C
+0.5||dT||2||C−Cᵀ||2||Told||2
+γ_1(|Tnew|+|Told|)ᵀ|C||dT|.

Residual work, 합/subtraction, symmetry defect, dT 오차 전파를 구분한 식이다.
D_C≤B_C,||Tnew||C²≤||Told||C²+2B_C를 검사하고 S_C=0은 exact-zero다.
이 제곱 norm은 실제 열에너지와 단위가 다르다.

P/−P,constrained DOF의 P,disconnected component를 별도 실행한다. 집중 입력은
signed power 그대로 Q에 가산한다. 단열 균일 T=2 보존,no-BC transient,component별
수지,정상상태 ΣQ+ΣRc=0을 검사한다. Raw flux 경계 적분과 FE 반력의 exact equality를
강제하지 않는다.

## 5. Warped quadrature의 사전 진단

§2 affine/distorted/saddle a=.1,.5,2에서 k=rho=c=h=1.
각 3/5/7 surface rule과 exact Z로 C_r,K_r를 독립 계산한다.
대표 응답은 old=0,Q=e_(node1,station11),δ=.1,noBC의 한 BE 증분이다.

d_X(r,s)=||X_r−X_s||F/||X_s||F(X=C,K),
d_T=||T_r−T_s||2/||T_s||2,
d_q=max_trace||q_r−q_s||2/max_trace||q_s||2.

| fixture | d_C(3,5)/(5,7) | d_K(3,5)/(5,7) | d_T(3,5)/(5,7) | d_q(3,5)/(5,7) |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| distorted | roundoff/roundoff | 2.189065e-7/5.970737e-12 | 2.385149e-6/6.505495e-11 | 1.070060e-6/2.918586e-11 |
| saddle .1 | 3.944257e-7/7.758135e-13 | 3.862043e-7/7.500898e-13 | 7.916236e-7/1.286406e-12 | 9.283663e-7/1.601583e-12 |
| saddle .5 | 1.667355e-4/1.431780e-7 | 1.643476e-4/1.408553e-7 | 3.301794e-4/2.150240e-7 | 3.703751e-4/2.649276e-7 |
| saddle 2 | 5.631484e-3/2.213607e-4 | 5.618988e-3/2.217451e-4 | 6.690109e-3/1.033767e-4 | 5.483294e-3/8.641481e-5 |

표의 반올림 값을 tolerance로 쓰지 않는다. 판정은 (1) production3점이 독립3점
oracle와 §3 bound로 일치,(2) 각 fixture d(5,7)≤d(3,5)+양쪽 roundoff bound,
(3) affine 모든 차이는 roundoff 이내다. Appendix에서 재계산한 metric과 interval을
함께 보고한다. d가 roundoff 이하이면 ratio/order를 만들지 않는다. 독립54점/분리
C,K의 scratch 상대 norm 차이는 최대7.73e-16이었다.

이는 **선정 fixture의 적분 수렴 진단**이다. 7점을 exact해로 보거나 모든 허용
geometry에 같은 d 상한을 요구하지 않는다. 일반 모델의 진단이 비단조이면 조사·보고하며
지원 geometry cutoff,production 차수 변경/adaptive quadrature로 자동 교체하지 않는다.

## 6. 시간·면내 수렴

### 6.1 고정 spatial eigen oracle의 시간1차

Affine 단열 unit square,균일8×8 mesh,h=1,k=rho=c=1,
station 동일 v_ij=cos(πi/8)를 쓴다. Consistent Q1의 정확한 discrete eigenvector이며
λ_h=6(1−cos(π/8))/[(1/8)²(2+cos(π/8))].
독립 assembly로 Kv−λCv 및 C normalization을 §3 bound로 확인한다.
τ=1/λ_h,δ=τ/N,N=16,32,64,128,256,INC≥256.

T_exact=e^-1v,T_BE=(1+1/N)^-Nv,
e_N=||T_BE−T_exact||C/||v||C,p=log2(e_N/e_2N).
모든 pair의 p 허용구간은 **[.97,1.02]**.
독립 기대값은 .9817124,.9907338,.9953356,.9976599.
log(1+x)의 전개에서 e_N=e^-1/(2N)+O(N^-2)이며 N≥16의 독립 값으로 구간을
고정했다. Roundoff propagation이 e_N/1000을 넘으면 order는 inconclusive다.
공간오차와 시간오차를 분리하는 고정 spatial oracle다.

### 6.2 Fourier rectangle의 면내2차/gradient1차

Unit square,h=1,k=rho=c=1,noBC/noQ,T0=cos(πx)를 모든 station에 동일하게 둔다.
**τ=.001,N=32,δ=τ/32,INC=32**로 고정한다. 연속해는
T=cos(πx)exp(−π²t),∇T=(-πsin(πx)exp(−π²t),0,0).
Affine n×n,n=8,16,32,64를 모두 유지한다. Norm은 product-volume temperature와
global gradient L2다. 평가 적분은 cell별12×12 Gauss×exact thickness이며
12→16점 oracle 변화≤해당 오차의1e-8을 확인한다.

독립 exp(-λ_hτ) spatial oracle와 finite-N modal BE oracle를 동시에 사용한다.
BE-exponential 온도 L2 차이는 continuum semidiscrete 오차의 **1/32 이하**여야 한다.
작은 시간과 bounded N은 이 시간오차 분리를 유지하면서 모든 accepted frame을 저장한다.
별도 시간1차 검사는 §6.1에 그대로 남긴다.

| n | Semidiscrete T L2 | BE T L2 | BE gradient L2 | Time/spatial ratio |
| ---: | ---: | ---: | ---: | ---: |
| 8 | 9.903629946e-3 | 9.902647628e-3 | 2.487150504e-1 | .0001089543 |
| 16 | 2.482303232e-3 | 2.481327028e-3 | 1.245973612e-1 | .0004305809 |
| 32 | 6.209759342e-4 | 6.200013808e-4 | 6.232870148e-2 | .0017171164 |
| 64 | 1.552689976e-4 | 1.542952827e-4 | 3.116810477e-2 | .0068632659 |

모든 pair의 기존 허용구간을 유지한다: T p **[1.95,2.05]**,gradient p **[.98,1.03]**.
독립 finite-N 기대값은 T=(1.9967024,2.0007686,2.0065775),
gradient=(.9972203,.9993050,.9998262).
Q1 smooth interpolation O(h²)/O(h),λ_h=π²+O(h²)와 위 독립 계산에 근거한다.
12/16점 변화 최대1.30e-13이며 criterion1e-8보다 작다.
§3의 실제 residual 기반 B_T 및 gradient budget이 측정 오차의1/1000 이하여야
order 판정을 사용한다. 집중 source의 특이 해에 이 smooth order를 요구하지 않는다.

**실행 예산:** n=64에서도 sparse solve32회다. Mandatory flux와 initial 포함
temperature raw doubles는
4096×24×3×32×8 + 4225×5×33×8 = **81,074,472 bytes(약77.3MiB)**.
모든4개 mesh의 같은 payload 합은107,772,960 bytes(약102.8MiB), solve총128회다.
Model의 local frames는 시간마다 중복하지 않는 승인 schema이므로 largest mesh에서
추가4096×4×9×8=1,179,648 bytes다. Identity/HDF5 overhead와 실제 peak memory를
evidence에 별도 기록한다. 이 예산은 history/flux 생략이나 제품 출력 변경을 전제하지 않는다.

초기 문서의 τ=.1,N=16n²는 n64에서 flux만 약154.6GB인 과도한 fixture였으므로
**kernel 구현 전** 독립 계산으로 위 설계로 대체했다. Production 결과에 맞춘 tolerance
완화가 아니며 기존 공간 order·시간오차 분리·모든 frame 계약을 그대로 유지한다.

## 7. 고정5점 slab: 허용 이산 오차와 plateau

Unit area,h=1,k=rho=c=1,Ti=0,Ts=1,bottom step/top 단열이며 면내 node 조건은 같다.
x=(0,1/4,1/2,3/4,1) T,six trace x=(0,1/4,1/2−,1/2+,3/4,1)의 q3,
E=1ᵀCT,bottom 전체 Rc를 비교한다. Unit square1요소 및2×2 mesh다.
t=0은 rawTi이며 flux/reaction을 생성하지 않는다.

무차원 시간 t*=αt/h²,T/ΔT,q/(kΔT/h),E/(ρc area hΔT),R/(k areaΔT/h).
이 fixture의 척도는 모두1이다. T/flux는 위 위치의 max absolute error,
E/R은 absolute error다. Station 상대오차나 near-zero floor를 만들지 않는다.

### 7.1 Fourier 및 독립 P2 spectral oracle

정식화 §10 series에서 M=80,최소 t*=.001.
β=π²t*/4,r=exp[-8β(M+1)]이면 온도 tail≤
4exp[-β(2M+1)²]/[π(2M+1)(1-r)],flux/reaction tail≤
2exp[-β(2M+1)²]/(1-r),energy tail≤temperature tail.
최소 시간에서도 모든 무차원 tail은 **1e-27 미만**이다.
1−r는 -expm1 표현과 수학적으로 동등한 exact interval subtraction으로 평가한다.
**Oracle 산술은 다음 방식으로 고정**하며 C++17 libm의 막연한 1ULP 보장을 가정하지 않는다.
Appendix E가 실제 실행 가능한 표준 라이브러리 generator다.

1. π=16 atan(1/5)−4 atan(1/239), 각 alternating arctan을 j=0…63까지 exact
   유리수로 합한다. 첫 생략항 q^129/129로 양쪽 enclosure를 만든다.
2. 이후 모든 interval endpoint는 격자 2^-320으로 floor/ceil하여 outward 보존한다.
   원래 π enclosure 폭은2^-295 미만이다.
3. Slab station의 phase는 정수 kπ/8이다. 정수 quadrant reduction으로 |r|≤π/4에
   옮긴 뒤 sin/cos Taylor 각각32항을 쓴다. Remainder는 보수적으로1/65!,1/64!다.
4. exp(-x),0≤x≤512는 y=x/1024의64차 Taylor,
   remainder≤(1/2)^65/65!를 더하고 interval squaring10회로 복구한다.
   x≥512이면 0≤exp(-x)≤2^-512(e>2)을 사용한다.
5. M=80 series를 위 interval로 합한다. Tail을 더하기 전 각 quantity enclosure 폭은
   **2^-270 미만**이어야 한다. 여기에 앞의 analytic Fourier tail을 더한다.
   필요한 binary64 fixture는 lower를 float 변환 후 nextafter(-∞),upper를 변환 후
   nextafter(+∞)하여 export한다. 이 endpoint 차이가 B_oracle이며 별도 floor가 없다.

실제 generator에서 최소 시간의 tailT=1.658661e-30,tailq=4.194724e-28,
최종 enclosure 최대 폭8.389448e-28이었다. 나머지 시각의 폭은8.93e-89 이하였다.
이 방식은 테스트 oracle generator 전용이며 production arbitrary-precision dependency가
아니다. Spectral oracle의 exp도 동일 enclosure를 적용하고 eigenpair/coefficients의
backward-error interval을 함께 전파한다. Appendix A의 통상 math 계산은 표 수치의
간단한 재현용이며 interval E가 transcendental correctness의 근거다.

T10은 generator의 T/q/E/R interval을 outward binary64 fixture로 고정하여 사용할 수
있다. 또는 binary64 outward Taylor가 동일한 최종 B_oracle 및 §6–7의 오차 budget을
증명하면 그 경로도 가능하다. 2^-270은 고정 고정밀 generator의 내부 검사이며 production
정밀도 요구가 아니다. 무차원 interval error를 실제 단위로 옮길 때 T는 |ΔT|,
q는 k|ΔT|/h,E는 rho c area h|ΔT|,R은 k area|ΔT|/h를 곱한다.
온도 기준 이동은 interval 폭을 바꾸지 않는다. 선형 sampling/trace/energy/reaction row L은
성분별 |L| times input error로 전파하며 signed 값 자체를 절댓값으로 바꾸지 않는다.

독립1D P2 FE는 길이1/2인 두 segment를 조립한다.
C_seg=(1/2)/30 [[4,2,-1],[2,16,2],[-1,2,4]],
K_seg=2/3 [[7,-8,1],[-8,16,-8],[1,-8,7]].
Bottom elimination 뒤4×4 generalized eigenproblem의 Cholesky+Jacobi 계산은
3D product kernel을 호출하지 않는다.

Raw 초기 정책에서 δ→0 자유 초기 극한은
T_f(0+)=-C_ff^-1C_fc=(-5/34,3/17,-1/34,1/17).
y0=T_f(0+)−1,C-orthonormal v_j의 a_j=v_jᵀC_ff y0로
T_f(t)=1+Σa_jv_j exp(-λ_jt).
이는 첫 finite-step RHS의 극한이며 FESA t=0 state/dataset을 변경하지 않는다.

λ=(2.4686647564,22.9461660098,77.0631371712,198.6985026508).
Scratch eigen residual3.994e-16,C-orthogonality8.069e-16.
Solver 허용치는 이 숫자 자체가 아니라 §3의 coefficient/eigen/residual enclosure다.
BE oracle는 exp(-λt)를 (1+λt/N)^-N으로 대체한다.
N>1의 마지막 반력은 modal derivative -λ×final amplitude로 구할 수 있어
작은 δ의 subtraction cancellation을 피한다.

### 7.2 사전 고정 물리 오차와 허용치

각 t*마다 별도 N=4096,8192,δ=t*/N,INC=N run.
아래 첫 값은 **δ→0 P2 공간오차**, 괄호는 위로 반올림한 **D_space**다.
초기의 큰 허용치는 method의 제한이며 제품 전 범위 정확도 보증이 아니다.

| t*/sqrt(t*) | T∞ | q∞ | E | Rc |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| .001/.03162 | .1399996(.141) | 10.64818(10.7) | .03031345(.0304) | 10.86927(10.9) |
| .01/.10000 | .01524952(.0153) | 1.274464(1.28) | .00467600(.00468) | .823687(.824) |
| .05/.22361 | .00597851(.00598) | .252470(.253) | .00129690(.00130) | .00631488(.00632) |
| .1/.31623 | .001387325(.00139) | .135427(.136) | .000665986(.000666) | .009524106(.00953) |
| .5/.70711 | .000141091(.000142) | .0283969(.0284) | .0000944866(.0000945) | .000525742(.000526) |
| 1/1 | .0000413942(.0000414) | .00815759(.00816) | .0000158234(.0000159) | .0000478014(.0000479) |

Continuum 오차 허용치는 **D_space+D_time(N)+B_oracle+B_solver**다.
D_time은 독립 modal 차이의 max/absolute norm이다. 온도/flux sampling L,
energy row1ᵀC,reaction row K_cf−C_cf C_ff^-1K_ff 각각에 대해
LΣa_jv_j[(1+λ_jt/N)^-N−exp(-λ_jt)]를 계산한다.
Cancellation이 불확실하면 Σ|La_jv_j|×|amplitude차이|로 enclosure한다.
B_oracle은 series tail+summation/eigen interval,B_solver는 §3 행렬/solve 오차를
L에 전파한 값이다. **B_oracle+B_solver>D_space/1000이면 plateau 판정은
inconclusive**다. 이 조건은 geometry 지원 cutoff가 아니다.

N=4096의 독립 D_time은 아래와 같다. N=8192에서는 대략 절반이며 appendix가 재현한다.

| t* | T∞ | q∞ | E | Rc |
| ---: | ---: | ---: | ---: | ---: |
| .001 | 7.5820e-7 | 8.7770e-6 | 4.6839e-8 | 6.0181e-6 |
| .01 | 1.6648e-5 | 1.9198e-4 | 1.8013e-6 | 1.5383e-4 |
| .05 | 2.9817e-5 | 2.2173e-4 | 7.3403e-6 | 1.9484e-4 |
| .1 | 3.0985e-5 | 1.9790e-4 | 1.1177e-5 | 1.6441e-4 |
| .5 | 6.8903e-5 | 1.1406e-4 | 4.3931e-5 | 1.0879e-4 |
| 1 | 8.0305e-5 | 1.3224e-4 | 5.1125e-5 | 1.2621e-4 |

물리 오차 허용치 외에 **동시에** FESA와 finite-N BE oracle가
B_oracle+B_solver 내에서 일치해야 한다. 큰 초기 공간오차가 잘못 구현된 방법까지
허용하지 않도록 분리했다. Table rounding은 production 결과와 무관하게 고정했다.

### 7.3 Plateau 정량 보고

E_space=||oracle_P2−Fourier||와 FESA error e_N에 대해
|e_N−E_space|≤D_time+B_oracle+B_solver를 확인한다.
면내1×1과2×2의 slab 차이는 §3 roundoff 이내여야 한다.
두께 지배 해가 면내 refinement로 좋아진다고 판정하면 실패다.

관측 plateau의 기준은 D_time+B_oracle+B_solver≤E_space/10.
N=8192에서 .001/.01/.05/.1의 네 quantity는 충족한다. 뒤 시각에서 미충족하는
T/E/R은 **미도달**로 보고하고 δ→0 spectral 공간오차를 따로 제시한다.
예컨대 t*=1의 E는 시간오차가 공간오차보다 커서 두 N만으로 plateau가 관측되었다고
할 수 없다. 침투 깊이 sqrt(αt),station 간격 h/4,segment 길이 h/2,E_space,D_time을
함께 보고한다. 초기 큰 flux/reaction 오차는 음수 온도 제거로 고칠 수 없다.

## 8. 시간격자 predicate, count와 재분해

### 8.1 독립 반증과 수정 범위

Arithmetic-only D≤d rad(q)+rad(p)는 입력 표현오차를 모두 포함하지 않았다.
τ=5.351455173733616,d=.17262758624947144,m=31에서
exact |τ−md|=8.326672684688674e-16 > 기존 Bhat=7.507374033534679e-16인데,
입력 rounding-cell I(τ)와 mI(d)는 겹친다. 이 반례를 blocking으로 보고했고
승인된 입력 표현오차 의미에 맞춰 **input-cell overlap**으로 보완했다.
이전 predicate의 실행 성공을 의미 정합 승인으로 대체하지 않았다.
Appendix D는 이 실패 이력을 보존하며 현재 판정은 C를 따른다.

### 8.2 현재 고정 predicate

입력 double x의 원래 rounding-cell은
L_x=(prev(x)+x)/2,U_x=(x+next(x))/2다. Significand LSB가 짝수면 두 endpoint
포함, 홀수면 두 endpoint 제외(nearest-even). 최대 finite의 U_x는 next=Inf를
평균하지 않고 x+(x−prev(x))/2라는 유한 real dyadic threshold다.
최소 subnormal의 half-ULP도 binary64로 먼저 반올림하지 않는다.

τ,d를 공통 power-of-two로 τ∈[1/2,1)에 옮겨 q=fl(τ/d),
m=nearest-even integer(q)를 만든다. **원래 입력의 cell도 동일 scale로 옮긴다.**
Normal화된 값의 이웃으로 cell을 다시 만들면 subnormal 입력의 표현오차를 축소하므로
잘못이다. Endpoint-close는 I(τ)와 mI(d)의 exact 교집합이 비어 있지 않은 경우다.
두 구간이 한 점에서만 닿으면 그 점이 양쪽에 모두 포함되는지도 확인한다.

INC≤2^32−1,q≤INC+1 및 위 scale에서 cell endpoint는 고정 dyadic 격자 2^-88에
정확히 놓인다. Endpoint 정수와 m곱의 보수적 최대122bit는 두 uint64 또는 네 uint32
limb 안에 들어간다. Carry/shift를 검사하는 bounded 정수 산술이며 새 arbitrary-precision
runtime dependency가 아니다. Reviewer의 Fraction은 이 bounded 비교의 독립 oracle다.
나눗셈·곱셈 roundoff는 후보/연산 bound 설명에 쓰고 cell을 더 넓히는 별도 epsilon으로
중복 가산하지 않는다.

q overflow 또는 INC+1 초과는 preflight 실패; close면 N=m이다. Nonclose에서는
X=τs2^88,Y=ds2^88,f=floor(q)로 fY≤X<(f+1)Y를 exact 비교하고 필요하면 f를
한 번 ±1 교정한다. X=fY이면 N=f, 아니면 N=f+1이다. Division 오차를 count에
그대로 전달하지 않는다. d≥τ는 한 증분 δ=τ의 선행 분기다.
INC 기본100,양의 uint32,N≤INC. 정상 stored time=fl(jd),마지막=입력τ,
strict increase/finite를 검사한다. Close의 마지막 δ는 **d 그대로**다.
실제 shortened만 fma(-(N−1),d,τ)를 쓰며 A/RHS/reaction/energy/dissipation은 같은 δ다.

| fixture | 필수 결과 |
| --- | --- |
| τ=10,d=3 | N=4,stored3,6,9,10;δ=3,3,3,1;마지막 refactor |
| τ=2,d=3 및 d=τ | 한 증분 δ=τ |
| τ=.9,d=.3 | N=3,stored 마지막 .9;세 δ=.3,factorization 재사용 |
| τ=1,d=.1 | N=10;stored .30000000000000004 등을 보존,δ=.1 유지 |
| nextafter(.9,-∞),d=.3 | .8999999999999999:close,N=3,δ=.3 |
| 두 ULP 아래 τ,d=.3 | .8999999999999998:nonclose,N=3,finalδ=.2999999999999998 |
| nextafter(.9,+∞),d=.3 | .9000000000000001:nonclose,N=4,finalδ=1.6653345369377348e-16 |
| 기존 반례 τ=5.351455173733616,d=.17262758624947144 | input cells overlap,N=31,모든 δ=d;가짜 tiny 증분 제거 |
| Subnormal midpoint | a=최소 positive subnormal:τ=20a,d=6a는 even/even 닫힌 접촉,N=3;τ=17a,d=5a는 odd/odd 열린 접촉,N=4,마지막δ=2a |
| Scale/최대값 | (.9,.3)×2^-1000 및×2^1000은 같은 count/close;τ=1e-323,d=5e-324는 N=2;τ=maxfinite,d=fl(maxfinite/3)는 N=3 |
| INC | N/N−1 경계,생략100;0,-1,1.5,4294967296 실패;τ=2^32,d=1,INC=2^32−1은 사전 count 실패 |
| 비유한/비표현 | Inf/NaN/0/음수,binary64에서0으로 underflow하는 token 거부;거대한 τ/d는 cast/allocation 전 실패 |
| 저장 가능성 | finite-positive/uint32 count 제한 아래 정상 간격 d는 ulp(jd)보다 충분히 크다. Generator의 finite/strict-increase 보호 분기는 중복/Inf 시간을 주입한 내부 fixture로 검사;불가능한 정상 공개 입력을 만들지 않음. |

특히 nextafter(.9,+∞)/.3의 tiny remainder를 유지하는 근거는 단순 predicate 결과가
아니다. exact |τ−3d|=1.6653345369377348e-16이고 두 입력 cell 반폭 합은
1.3877787807814457e-16이므로 **실제 rounding cells가 분리된다**. 이를 가짜 표현오차
증분으로 흡수하면 입력 표현오차 범위를 넘는다. 반면 위 m=31 반례는 cells가 겹치므로
추가 tiny 증분을 만들면 안 된다. 작은 실제 δ의 나쁜 conditioning은 §3과 candidate
보존으로 처리하며 nominal δ로 바꾸지 않는다.

현재 predicate의 independent seed901 10,000쌍은 원래 cell Fraction overlap과
2^-88 정수 비교가 모두 일치했고 최대122bit를 넘지 않았다. 원래 subnormal,maxfinite,
열린/닫힌 접촉,반례 및 scale 경계를 따로 검산했다. FMA oracle는 exact Fraction
product-sum을 한 번 float로 반올림한다. Production dependency 요구가 아니다.

## 9. 외부 reference와 evidence 경계

필수 원본은 reference/shell-thermal/shell-thermal.inp와
reference/shell-thermal/shell-thermal NodalTemperature.csv다.
이 검토는 원본 복사·수정·생성 또는 Abaqus 실행을 하지 않았다.
2026-09-28 read-only snapshot(729row,min=-15.5742216,max=1000)은 과거 관찰이며
이번 solver comparison을 대신하지 않는다.

Family=(shell-thermal,source Step-1,exact t=37,NT11 bottom,scalar,
사용자 일관 온도 단위,blocking),identity=(Part-1-1,source node label,DOF11).
CSV instance 생략은 입력 단일 instance와 label 집합 검증으로만 복원한다.
Missing/extra/duplicate/nonfinite/frame/instance/station 오류는 tolerance 전에 실패한다.

공통 TOLERANCE 그대로 S=max|reference|=1000,B=.01S=10;
|r|≤B이면 |f−r|≤B,그 밖에는 |f−r|/|r|≤.05,
모든729row RMS/S≤.01을 동시에 만족한다. S=0이면 모든 값 exact0이다.
−15.5742216은 relative 대상이며 clamp/온도 영점 이동 금지.
추가 Abaqus CSV는 필수가 아니다. 한 frame으로 내부 station/flux/reaction/시간 이력을
검증했다고 할 수 없다.

## 10. 실행 기록과 완료 경계

git rev-parse --show-toplevel로 T1 worktree를 확인했다(exit0).
NumPy/SciPy import 환경 probe는 NumPy 부재로 exit1;설치 없이 표준 라이브러리
scratch로 전환했다. [Appendix](numerical-oracle-scratch.md)의 명령은 Python blocks를
지정 순서로 메모리에서 실행한다. 실제 scratch exit0의 핵심 출력:

- Fraction:C positive pivot20,K positive leading pivot19/K1=0,1ᵀC1=2;
  jump−1/5,1/25 및 reaction24/5,36/25.
- 직접54점/분리식:다섯 geometry 상대 norm 차이 최대7.73e-16.
- Slab eigen residual3.994e-16/C-orthogonality8.069e-16,§7 공간/시간 오차.
- §5 quadrature,§6 예상 차수,§8 time predicate/INC assertions.

최종 재현 명령은 appendix 첫 PowerShell block이며 exit 0,
마지막 출력은 ALL SCRATCH BLOCKS COMPLETED였다. Input-cell 독립 비교는
10,000/10,000 및 CURRENT TIME GRID ASSERTIONS PASSED를 출력했다.
실행 예산 보완 뒤 five-block 재검산도 exit 0이었다. Bounded-space order/time ratio,
FOURIER INTERVAL ASSERTIONS PASSED 및 최종 완료 출력을 확인했다.
상대 링크 파일 존재/Markdown 표 열 수 정적 검사도 exit 0(8 links,2 files),
두 소유 파일만 대상으로 한 git diff --check는 exit 0이었다.

수학 scratch는 production correctness를 증명하지 않는다. **미실행:**MSVC build/CTest,
구현 단위·통합 검사,FESA 결과 생성,NT11 comparison,실제 solver convergence/energy/
physics 검토. 필요한 수치 기준은 고정되었으며 구현 결과 뒤에 선택할 미정 tolerance는
없다. 필수 실패 시 구현·conditioning·oracle 전제를 조사하고 physics/method/acceptance
충돌은 메인에 보고한다.