김경종
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얻기 위해 변형률 텐서 좌우에 공변 기저(covariant basis)를 내적하면, 식(2.22)와 같은 결과를 얻을 수 있다.
\begin{array}{l} \boldsymbol {\varepsilon} _ {p q} = \mathbf {g} _ {p} \cdot \boldsymbol {\varepsilon} \cdot \mathbf {g} _ {q} \\ = \frac {1}{2} \mathbf {g} _ {p} \cdot \left[ \frac {\partial \mathbf {u}}{\partial \xi^ {i}} \otimes \mathbf {g} ^ {i} + \mathbf {g} ^ {i} \otimes \frac {\partial \mathbf {u}}{\partial \xi^ {i}} \right] \cdot \mathbf {g} _ {q} \tag {2.22} \\ = \frac {1}{2} \left[ \mathbf {g} _ {p} \cdot \frac {\partial \mathbf {u}}{\partial \xi^ {q}} + \frac {\partial \mathbf {u}}{\partial \xi^ {p}} \cdot \mathbf {g} _ {q} \right] \\ \end{array}
그리고 식(2.22)를 식(2.19)를 사용하여 표현하면 변형률 텐서의 공변성분(covariant component)은 식(2.23)과 같이 나타낼 수 있다.
\varepsilon_ {p q} = \frac {1}{2} \left[ \frac {\partial \mathbf {x}}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial \mathbf {u}}{\partial \xi^ {q}} + \frac {\partial \mathbf {x}}{\partial \xi^ {q}} \cdot \frac {\partial \mathbf {u}}{\partial \xi^ {p}} \right] \tag {2.23}
이와 같은 방법으로 Green-Lagrange 변형률을 표현하기 위해서 우선 Green-Lagrange 변형률은 식(2.24)와 같이 정의 할 수 있다.
\begin{array}{l} \mathbf {E} = \frac {1}{2} \left(\mathbf {F} ^ {T} \mathbf {F} - \mathbf {I}\right) = \frac {1}{2} \left(\frac {\partial (\mathbf {X} + \mathbf {u}) ^ {T}}{\partial \mathbf {X}} \frac {\partial (\mathbf {X} + \mathbf {u})}{\partial \mathbf {X}} - \mathbf {I}\right) \\ = \frac {1}{2} \left(\left[ \mathbf {I} + \frac {\partial \mathbf {u}}{\partial \mathbf {X}} \right] ^ {T} \left[ \mathbf {I} + \frac {\partial \mathbf {u}}{\partial \mathbf {X}} \right] - \mathbf {I}\right) = \frac {1}{2} \left(\left[ \frac {\partial \mathbf {u}}{\partial \mathbf {X}} \right] + \left[ \frac {\partial \mathbf {u}}{\partial \mathbf {X}} \right] ^ {T} + \left[ \frac {\partial \mathbf {u}}{\partial \mathbf {X}} \right] ^ {T} \left[ \frac {\partial \mathbf {u}}{\partial \mathbf {X}} \right]\right) \tag {2.24} \\ = \frac {1}{2} \left(\frac {\partial \mathbf {u}}{\partial \xi^ {i}} \otimes \mathbf {G} ^ {i} + \mathbf {G} ^ {i} \otimes \frac {\partial \mathbf {u}}{\partial \xi^ {i}} + \left(\frac {\partial \mathbf {u}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial \mathbf {u}}{\partial \xi^ {j}}\right) \mathbf {G} ^ {i} \otimes \mathbf {G} ^ {j}\right) \\ \end{array}
그리고 Green-Lagrange 변형률 텐서에서 공변 성분(covariant component)을 얻기 위해 Green-Lagrange 변형률 텐서 좌우에 공변 기저(covariant basis)를 내적하면, 식(2.25)와 같은 결과를 얻을 수 있다.
\begin{array}{l} E _ {p q} = \mathbf {G} _ {p} \cdot \mathbf {E} \cdot \mathbf {G} _ {q} \\ = \frac {1}{2} \mathbf {G} _ {p} \cdot \left(\frac {\partial \mathbf {u}}{\partial \xi^ {i}} \otimes \mathbf {G} ^ {i} + \mathbf {G} ^ {i} \otimes \frac {\partial \mathbf {u}}{\partial \xi^ {i}} + \left(\frac {\partial \mathbf {u}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial \mathbf {u}}{\partial \xi^ {j}}\right) \mathbf {G} ^ {i} \otimes \mathbf {G} ^ {j}\right) \cdot \mathbf {G} _ {q} \\ = \frac {1}{2} \left(\left(\mathbf {G} _ {p} \cdot \frac {\partial \mathbf {u}}{\partial \xi^ {q}}\right) + \left(\frac {\partial \mathbf {u}}{\partial \xi^ {p}} \cdot \mathbf {G} _ {q}\right) + \left(\frac {\partial \mathbf {u}}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial \mathbf {u}}{\partial \xi^ {q}}\right)\right) \tag {2.25} \\ = \frac {1}{2} \left(\left(\frac {\partial \mathbf {X}}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial \mathbf {u}}{\partial \xi^ {q}}\right) + \left(\frac {\partial \mathbf {u}}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial \mathbf {X}}{\partial \xi^ {q}}\right) + \left(\frac {\partial \mathbf {u}}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial \mathbf {u}}{\partial \xi^ {q}}\right)\right) \\ \end{array}
식(2.25)를 변위에 대한 증분형태(incremental form)로 나타내기 위해 u = u_t + \Delta u 을 대입하여 정리하면, 식(2.26)와 같은 결과를 얻을 수 있다. 이 때 식(2.26)의 첫 번째 항은 \Delta u 에 대한 상수 항이고, 두 번째 항은 \Delta u 에 대한 선형 항 그리고 세 번째 항은 \Delta u 에 대한 비선형 항을 나타내며, 이를 간략하게 기호로 표시하면 다음과 같이 쓸 수 있다.
\begin{array}{l} E _ {p q} = \frac {1}{2} \left(\left(\frac {\partial \mathbf {X}}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial (\mathbf {u} _ {t} + \Delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {q}}\right) + \left(\frac {\partial (\mathbf {u} _ {t} + \Delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial \mathbf {X}}{\partial \xi^ {q}}\right) + \left(\frac {\partial (\mathbf {u} _ {t} + \Delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial (\mathbf {u} _ {t} + \Delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {q}}\right)\right) \\ = \frac {1}{2} \left(\left(\frac {\partial \mathbf {X}}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial \left(\mathbf {u} _ {t}\right)}{\partial \xi^ {q}}\right) + \left(\frac {\partial \left(\mathbf {u} _ {t}\right)}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial \mathbf {X}}{\partial \xi^ {q}}\right) + \left(\frac {\partial \left(\mathbf {u} _ {t}\right)}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial \left(\mathbf {u} _ {t}\right)}{\partial \xi^ {q}}\right)\right) \\ + \frac {1}{2} \left(\left(\frac {\partial \mathbf {X}}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial (\Delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {q}}\right) + \left(\frac {\partial (\Delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial \mathbf {X}}{\partial \xi^ {q}}\right) + \left(\frac {\partial (\mathbf {u} _ {t})}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial (\Delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {q}}\right) + \left(\frac {\partial (\Delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial (\mathbf {u} _ {t})}{\partial \xi^ {q}}\right)\right) \\ + \frac {1}{2} \left(\frac {\partial (\Delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial (\Delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {q}}\right) \\ = E _ {0 _ {p q}} + \Delta E _ {p q} + \Delta^ {2} E _ {p q} \tag {2.26} \\ \end{array}
가상 일에 대한 변형률을 구하기 위해 Green-Lagrange 변형률에 변분(variation)을 취하면 식(2.27)과 같이 나타낼 수 있다.
\begin{array}{l} \delta \mathbf {E} = \frac {1}{2} \left(\left[ \frac {\partial (\delta \mathbf {u})}{\partial \mathbf {X}} \right] + \left[ \frac {\partial (\delta \mathbf {u})}{\partial \mathbf {X}} \right] ^ {T} + \left[ \frac {\partial (\delta \mathbf {u})}{\partial \mathbf {X}} \right] ^ {T} \left[ \frac {\partial \mathbf {u}}{\partial \mathbf {X}} \right] + \left[ \frac {\partial \mathbf {u}}{\partial \mathbf {X}} \right] ^ {T} \left[ \frac {\partial (\delta \mathbf {u})}{\partial \mathbf {X}} \right]\right) \\ = \frac {1}{2} \left( \begin{array}{l} \frac {\partial (\delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {i}} \otimes \mathbf {G} ^ {i} + \mathbf {G} ^ {i} \otimes \frac {\partial (\delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {i}} \\ + \left(\frac {\partial (\delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial \mathbf {u}}{\partial \xi^ {j}}\right) \mathbf {G} ^ {i} \otimes \mathbf {G} ^ {j} + \left(\frac {\partial \mathbf {u}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial (\delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {j}}\right) \mathbf {G} ^ {i} \otimes \mathbf {G} ^ {j} \end{array} \right) \tag {2.27} \\ \end{array}
위와 마찬가지로 Green-Lagrange 변형률 텐서에서 공변 성분(covariant component)을 얻기 위해 식(2.27)의 좌우에 공변 기저(covariant basis)를 내적하면, 식(2.28)과 같은 결과를 얻을 수 있다.
\begin{array}{l} \delta E _ {p q} = \mathbf {G} _ {p} \cdot \delta \mathbf {E} \cdot \mathbf {G} _ {q} \\ = \frac {1}{2} \mathbf {G} _ {p} \cdot \left( \begin{array}{l} \frac {\partial (\delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {i}} \otimes \mathbf {G} ^ {i} + \mathbf {G} ^ {i} \otimes \frac {\partial (\delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {i}} \\ + \left(\frac {\partial (\delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial \mathbf {u}}{\partial \xi^ {j}}\right) \mathbf {G} ^ {i} \otimes \mathbf {G} ^ {j} + \left(\frac {\partial \mathbf {u}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial (\delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {j}}\right) \mathbf {G} ^ {i} \otimes \mathbf {G} ^ {j} \end{array} \right) \cdot \mathbf {G} _ {q} \tag {2.28} \\ = \frac {1}{2} \left(\mathbf {G} _ {p} \cdot \frac {\partial (\delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {q}} + \frac {\partial (\delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {p}} \cdot \mathbf {G} _ {q} + \left(\frac {\partial (\delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial \mathbf {u}}{\partial \xi^ {q}}\right) + \left(\frac {\partial \mathbf {u}}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial (\delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {q}}\right)\right) \\ = \frac {1}{2} \left(\frac {\partial \mathbf {X}}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial (\delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {q}} + \frac {\partial (\delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial \mathbf {X}}{\partial \xi^ {q}} + \left(\frac {\partial (\delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial \mathbf {u}}{\partial \xi^ {q}}\right) + \left(\frac {\partial \mathbf {u}}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial (\delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {q}}\right)\right) \\ \end{array}
식(2.28)을 변위에 대한 증분형태로 나타내기 위해 u = u_{t} + \Delta u 을 대입하여 정리하면, 식(2.29)와 같은 결과를 얻을 수 있다. 이 때 식(2.29)의 첫 번째 항은 \Delta u 에 대한 상수 항이고, 두 번째 항은 \Delta u 에 대한 선형 항을 나타내며, 이를 기호로 간략하게 표현하면 다음과 같이 쓸 수 있다. 여기서 u_{t} 는 고정된 값이므로 u_{t} 에 대한 변분(variation)은 영(雰)이 된다.
\begin{array}{l} \delta E _ {p q} = \frac {1}{2} \left( \begin{array}{l} \frac {\partial \mathbf {X}}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial (\delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {q}} + \frac {\partial (\delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial \mathbf {X}}{\partial \xi^ {q}} \\ + \left(\frac {\partial (\delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial (\mathbf {u} _ {t} + \Delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {q}}\right) + \left(\frac {\partial (\mathbf {u} _ {t} + \Delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial (\delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {q}}\right) \end{array} \right) \\ = \frac {1}{2} \left(\frac {\partial \mathbf {X}}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial (\delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {q}} + \frac {\partial (\delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial \mathbf {X}}{\partial \xi^ {q}} + \left(\frac {\partial (\delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial \mathbf {u} _ {t}}{\partial \xi^ {q}}\right) + \left(\frac {\partial \mathbf {u} _ {t}}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial (\delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {q}}\right)\right) \tag {2.29} \\ + \frac {1}{2} \left(\left(\frac {\partial (\delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial \Delta \mathbf {u}}{\partial \xi^ {q}}\right) + \left(\frac {\partial \Delta \mathbf {u}}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial (\delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {q}}\right)\right) \\ = \delta \left(E _ {0 _ {p q}} + \Delta E _ {p q} + \Delta^ {2} E _ {p q}\right) \\ = \delta \Delta E _ {p q} + \delta \Delta^ {2} E _ {p q} \\ = \delta \mathcal {E} _ {0 _ {p q}} + \delta \Delta \mathcal {E} _ {p q} \\ \end{array}
식(2.28)과 식(2.29)의 결과를 식(2.18a)의 \int_{V_{0}}\delta E:SdV_{0} 항에 대입하면 식(2.30)과 같이 정리할 수 있다. 이 때 식(2.30)의 첫 번째 항은 상수 항이고, 두 번째 항은 선형 항, 세 번째 항은 고차 항이며, 네 번째 항은 선형 항, 다섯 번째와 여섯 번째 항은 고차 항을 나타낸다.
\begin{array}{l} \int_ {V _ {0}} \delta \mathbf {E}: \mathbf {S} d V _ {0} = \int_ {V _ {0}} \delta E _ {i j} S ^ {i j} d V _ {0} = \int_ {V _ {0}} \delta E _ {i j} C ^ {i j k l} E _ {k l} d V _ {0} \\ = \int_ {V _ {0}} \left(\delta \mathcal {E} _ {0 _ {i j}} + \delta \Delta \mathcal {E} _ {i j}\right) C ^ {i j k l} \left(E _ {0 _ {k l}} + \Delta E _ {k l} + \Delta^ {2} E _ {k l}\right) d V _ {0} \\ = \int_ {V _ {0}} \left(\delta \mathcal {E} _ {0 _ {i j}}\right) C ^ {i j k l} \left(E _ {0 _ {k l}}\right) d V _ {0} + \int_ {V _ {0}} \left(\delta \mathcal {E} _ {0 _ {i j}}\right) C ^ {i j k l} \left(\Delta E _ {k l}\right) d V _ {0} \tag {2.30} \\ + \int_ {V _ {0}} \left(\delta \mathcal {E} _ {0 _ {i j}}\right) C ^ {i j k l} \left(\Delta^ {2} E _ {k l}\right) d V _ {0} + \int_ {V _ {0}} \left(\delta \Delta \mathcal {E} _ {i j}\right) C ^ {i j k l} \left(E _ {0 _ {k l}}\right) d V _ {0} \\ + \int_ {V _ {0}} \left(\delta \Delta \mathcal {E} _ {i j}\right) C ^ {i j k l} \left(\Delta E _ {k l}\right) d V _ {0} + \int_ {V _ {0}} \left(\delta \Delta \mathcal {E} _ {i j}\right) C ^ {i j k l} \left(\Delta^ {2} E _ {k l}\right) d V _ {0} \\ \end{array}
따라서 식(2.30)에서 고차 항을 제외하면 식(2.31)과 같은 결과를 얻을 수 있으며, 첫 번째 항은 상수 항이고, 두 번째와 세 번째 항은 선형
항을 나타낸다.
\begin{array}{l} \int_ {V _ {0}} \delta E _ {i j} S ^ {i j} d V _ {0} \approx \int_ {V _ {0}} \left(\delta \mathcal {E} _ {0 _ {i j}}\right) C ^ {i j k l} \left(E _ {0 _ {k l}}\right) d V _ {0} + \int_ {V _ {0}} \left(\delta \mathcal {E} _ {0 _ {i j}}\right) C ^ {i j k l} \left(\Delta E _ {k l}\right) d V _ {0} \tag {2.31} \\ + \int_ {V _ {0}} \left(\delta \Delta \mathcal {E} _ {i j}\right) C ^ {i j k l} \left(E _ {0 _ {k l}}\right) d V _ {0} \\ \end{array}
앞서 정의한 MITC4 셀 요소의 위치 벡터 식(2.1), (2.2)를 행렬 형태로 표현하면 식(2.32), (2.33)과 같이 나타낼 수 있고, 이를 간단하게 기호로 표현하면 다음과 같이 표현할 수 있다. 이 때 1 _{3} 은 3행 3열의 단위 행렬(identity matrix)을 나타낸다.
\begin{array}{l} \mathbf {X} = \left[ N _ {1} \mathbf {1} _ {3} \frac {\zeta}{2} t _ {1} N _ {1} \mathbf {1} _ {3} N _ {2} \mathbf {1} _ {3} \frac {\zeta}{2} t _ {2} N _ {2} \mathbf {1} _ {3} N _ {3} \mathbf {1} _ {3} \frac {\zeta}{2} t _ {3} N _ {3} \mathbf {1} _ {3} N _ {4} \mathbf {1} _ {3} \frac {\zeta}{2} t _ {4} N _ {4} \mathbf {1} _ {3} \right] \left\{ \begin{array}{l} ^ {0} \mathbf {X} _ {1} \\ ^ {0} \mathbf {V} _ {1} ^ {n} \\ ^ {0} \mathbf {X} _ {2} \\ ^ {0} \mathbf {V} _ {2} ^ {n} \\ ^ {0} \mathbf {X} _ {3} \\ ^ {0} \mathbf {V} _ {3} ^ {n} \\ ^ {0} \mathbf {X} _ {4} \\ ^ {0} \mathbf {V} _ {4} ^ {n} \end{array} \right\} \\ = \mathbf {S X} _ {0} \tag {2.32} \\ \end{array}
\begin{array}{l} \mathbf {x} = \left[ N _ {1} \mathbf {1} _ {3} \frac {\zeta}{2} t _ {1} N _ {1} \mathbf {1} _ {3} N _ {2} \mathbf {1} _ {3} \frac {\zeta}{2} t _ {2} N _ {2} \mathbf {1} _ {3} N _ {3} \mathbf {1} _ {3} \frac {\zeta}{2} t _ {3} N _ {3} \mathbf {1} _ {3} N _ {4} \mathbf {1} _ {3} \frac {\zeta}{2} t _ {4} N _ {4} \mathbf {1} _ {3} \right] \left\{ \begin{array}{l} ^ {t} \mathbf {X} _ {1} \\ ^ {t} \mathbf {V} _ {1} ^ {n} \\ ^ {t} \mathbf {X} _ {2} \\ ^ {t} \mathbf {V} _ {2} ^ {n} \\ ^ {t} \mathbf {X} _ {3} \\ ^ {t} \mathbf {V} _ {3} ^ {n} \\ ^ {t} \mathbf {X} _ {4} \\ ^ {t} \mathbf {V} _ {4} ^ {n} \end{array} \right\} \\ = \mathbf {S} \mathbf {X} _ {t} \tag {2.33} \\ \end{array}
또한 임의의 시간 t에서의 변위 식(2.3)과 변위의 중분 식(2.4)를 행렬 형태로 표현하면 식(2.34), (2.35)로 각각 나타낼 수 있고, 이를 간략하게 기호로 표현하면 다음과 같이 표현할 수 있다.
\begin{array}{l} \mathbf {u} _ {t} = \mathbf {x} - \mathbf {X} \\ = \left[ N _ {1} \mathbf {1} _ {3} \frac {\zeta}{2} t _ {1} N _ {1} \mathbf {1} _ {3} N _ {2} \mathbf {1} _ {3} \frac {\zeta}{2} t _ {2} N _ {2} \mathbf {1} _ {3} N _ {3} \mathbf {1} _ {3} \frac {\zeta}{2} t _ {3} N _ {3} \mathbf {1} _ {3} N _ {4} \mathbf {1} _ {3} \frac {\zeta}{2} t _ {4} N _ {4} \mathbf {1} _ {3} \right] \left\{ \begin{array}{l} ^ {t} \mathbf {X} _ {1} - ^ {0} \mathbf {X} _ {1} \\ ^ {t} \mathbf {V} _ {1} ^ {n} - ^ {0} \mathbf {V} _ {1} ^ {n} \\ ^ {t} \mathbf {X} _ {2} - ^ {0} \mathbf {X} _ {2} \\ ^ {t} \mathbf {V} _ {2} ^ {n} - ^ {0} \mathbf {V} _ {2} ^ {n} \\ ^ {t} \mathbf {X} _ {3} - ^ {0} \mathbf {X} _ {3} \\ ^ {t} \mathbf {V} _ {3} ^ {n} - ^ {0} \mathbf {V} _ {3} ^ {n} \\ ^ {t} \mathbf {X} _ {4} - ^ {0} \mathbf {X} _ {4} \\ ^ {t} \mathbf {V} _ {4} ^ {n} - ^ {0} \mathbf {V} _ {4} ^ {n} \end{array} \right\} \\ = \mathbf {S} \left(\mathbf {X} _ {t} - \mathbf {X} _ {0}\right) \tag {2.34} \\ \end{array}
\begin{array}{l} \Delta \mathbf {u} = \left[ N _ {1} \mathbf {1} _ {3} - \frac {\zeta}{2} t _ {1} N _ {1} ^ {t} \mathbf {V} _ {1} ^ {2} \frac {\zeta}{2} t _ {1} N _ {1} ^ {t} \mathbf {V} _ {1} ^ {1} \dots N _ {4} \mathbf {1} _ {3} - \frac {\zeta}{2} t _ {4} N _ {4} ^ {t} \mathbf {V} _ {4} ^ {2} \frac {\zeta}{2} t _ {4} N _ {4} ^ {t} \mathbf {V} _ {4} ^ {1} \right] \left\{ \begin{array}{l} \Delta \mathbf {u} _ {1} \\ \alpha_ {1} \\ \beta_ {1} \\ \Delta \mathbf {u} _ {2} \\ \alpha_ {2} \\ \beta_ {2} \\ \Delta \mathbf {u} _ {3} \\ \alpha_ {3} \\ \beta_ {3} \\ \Delta \mathbf {u} _ {4} \\ \alpha_ {4} \\ \beta_ {4} \end{array} \right\} \\ = \mathbf {N} (\Delta \mathbf {U}) \tag {2.35} \\ \end{array}
이 때 V^{n} 이 현재 형상의 변화에 따라 변하므로 V^{1} 과 V^{2} 도 계속
변하게 되고, 행렬 N 도 현재 형상에 따라 변하게 된다. 즉 V^{1} 과 V^{2} 는 회전각 \alpha , \beta 에 따라 회전하게 되고, 두 축의 회전에 의해 V^{n} 이 시간에 따라 변하게 된다. 따라서 시간에 따른 회전각 \alpha , \beta 의 변화에 따라 V^{n} 을 계산해 주어야 하고, 또한 그에 따라 V^{1} 과 V^{2} 도 다시 계산해 주어야 한다. 이에 대한 자세한 내용은 2.2.1 절에서 다루도록 하겠다.
식(2.32), (2.33), (2.34), (2.35)의 행렬식을 식(2.31)에서 \delta E_{0_{pq}} , \delta \Delta E_{pq} , E_{0_{pq}} , \Delta E_{pq} 의 각각의 항에 대입하면 식(2.36), (2.37), (2.38), (2.39)와 같이 나타낼 수 있다.
\begin{array}{l} E _ {0 _ {p q}} = \frac {1}{2} \left(\left(\frac {\partial \mathbf {X}}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial (\mathbf {u} _ {t})}{\partial \xi^ {q}}\right) + \left(\frac {\partial (\mathbf {u} _ {t})}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial \mathbf {X}}{\partial \xi^ {q}}\right) + \left(\frac {\partial (\mathbf {u} _ {t})}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial (\mathbf {u} _ {t})}{\partial \xi^ {q}}\right)\right) \\ = \frac {1}{2} \left\{\mathbf {X} _ {0} \right\} ^ {T} \left[ \frac {\partial \mathbf {S} ^ {T}}{\partial \xi^ {p}} \frac {\partial \mathbf {S}}{\partial \xi^ {q}} + \frac {\partial \mathbf {S} ^ {T}}{\partial \xi^ {q}} \frac {\partial \mathbf {S}}{\partial \xi^ {p}} \right] \left\{\mathbf {X} _ {t} - \mathbf {X} _ {0} \right\} \\ + \frac {1}{2} \left\{\mathbf {X} _ {t} - \mathbf {X} _ {0} \right\} ^ {T} \left[ \frac {\partial \mathbf {S} ^ {T}}{\partial \xi^ {p}} \frac {\partial \mathbf {S}}{\partial \xi^ {q}} \right] \left\{\mathbf {X} _ {t} - \mathbf {X} _ {0} \right\} \\ = \frac {1}{2} \left\{\mathbf {X} _ {0} \right\} ^ {T} \left[ \frac {\partial \mathbf {S} ^ {T}}{\partial \xi^ {p}} \frac {\partial \mathbf {S}}{\partial \xi^ {q}} + \frac {\partial \mathbf {S} ^ {T}}{\partial \xi^ {q}} \frac {\partial \mathbf {S}}{\partial \xi^ {p}} \right] \left\{\mathbf {X} _ {t} - \mathbf {X} _ {0} \right\} \tag {2.36} \\ + \frac {1}{2} \left\{\mathbf {X} _ {t} - \mathbf {X} _ {0} \right\} ^ {T} \frac {1}{2} \left[ \frac {\partial \mathbf {S} ^ {T}}{\partial \xi^ {p}} \frac {\partial \mathbf {S}}{\partial \xi^ {q}} + \frac {\partial \mathbf {S} ^ {T}}{\partial \xi^ {q}} \frac {\partial \mathbf {S}}{\partial \xi^ {p}} \right] \left\{\mathbf {X} _ {t} - \mathbf {X} _ {0} \right\} \\ = \frac {1}{2} \left\{\mathbf {X} _ {t} + \mathbf {X} _ {0} \right\} ^ {T} \frac {1}{2} \left[ \frac {\partial \mathbf {S} ^ {T}}{\partial \xi^ {p}} \frac {\partial \mathbf {S}}{\partial \xi^ {q}} + \frac {\partial \mathbf {S} ^ {T}}{\partial \xi^ {q}} \frac {\partial \mathbf {S}}{\partial \xi^ {p}} \right] \left\{\mathbf {X} _ {t} - \mathbf {X} _ {0} \right\} \\ = \frac {1}{2} \left\{\mathbf {X} _ {t} + \mathbf {X} _ {0} \right\} ^ {T} \left[ \mathbf {e} _ {p q} \right] \left\{\mathbf {X} _ {t} - \mathbf {X} _ {0} \right\} \\ \end{array}
\begin{array}{l} \Delta E _ {p q} = \frac {1}{2} \left(\left(\frac {\partial \mathbf {X}}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial (\Delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {q}}\right) + \left(\frac {\partial (\Delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial \mathbf {X}}{\partial \xi^ {q}}\right) + \left(\frac {\partial (\mathbf {u} _ {t})}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial (\Delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {q}}\right) + \left(\frac {\partial (\Delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial (\mathbf {u} _ {t})}{\partial \xi^ {q}}\right)\right) \\ = \frac {1}{2} \left\{\mathbf {X} _ {0} \right\} ^ {T} \left[ \frac {\partial \mathbf {S} ^ {T}}{\partial \xi^ {p}} \frac {\partial \mathbf {N}}{\partial \xi^ {q}} + \frac {\partial \mathbf {S} ^ {T}}{\partial \xi^ {q}} \frac {\partial \mathbf {N}}{\partial \xi^ {p}} \right] \left\{\Delta \mathbf {U} \right\} \\ + \frac {1}{2} \left\{\mathbf {X} _ {t} - \mathbf {X} _ {0} \right\} ^ {T} \left[ \frac {\partial \mathbf {S} ^ {T}}{\partial \xi^ {p}} \frac {\partial \mathbf {N}}{\partial \xi^ {q}} + \frac {\partial \mathbf {S} ^ {T}}{\partial \xi^ {q}} \frac {\partial \mathbf {N}}{\partial \xi^ {p}} \right] \left\{\Delta \mathbf {U} \right\} \\ = \frac {1}{2} \left\{\mathbf {X} _ {t} \right\} ^ {T} \left[ \frac {\partial \mathbf {S} ^ {T}}{\partial \xi^ {p}} \frac {\partial \mathbf {N}}{\partial \xi^ {q}} + \frac {\partial \mathbf {S} ^ {T}}{\partial \xi^ {q}} \frac {\partial \mathbf {N}}{\partial \xi^ {p}} \right] \left\{\Delta \mathbf {U} \right\} \\ = \left\{\mathbf {X} _ {t} \right\} ^ {T} \left[ \mathbf {a} _ {p q} \right] \left\{\Delta \mathbf {U} \right\} \tag {2.37} \\ \end{array}
\delta \Delta E _ {p q} = \frac {1}{2} \left(\frac {\partial \mathbf {X}}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial (\delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {q}} + \frac {\partial (\delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial \mathbf {X}}{\partial \xi^ {q}} + \left(\frac {\partial (\delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial \mathbf {u} _ {t}}{\partial \xi^ {q}}\right) + \left(\frac {\partial \mathbf {u} _ {t}}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial (\delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {q}}\right)\right)
= \frac {1}{2} \left\{\mathbf {X} _ {0} \right\} ^ {T} \left[ \frac {\partial \mathbf {S} ^ {T}}{\partial \xi^ {p}} \frac {\partial \mathbf {N}}{\partial \xi^ {q}} + \frac {\partial \mathbf {S} ^ {T}}{\partial \xi^ {q}} \frac {\partial \mathbf {N}}{\partial \xi^ {p}} \right] \left\{\delta \mathbf {U} \right\}
+ \frac {1}{2} \left\{\mathbf {X} _ {t} - \mathbf {X} _ {0} \right\} ^ {T} \left[ \frac {\partial \mathbf {S} ^ {T}}{\partial \xi^ {p}} \frac {\partial \mathbf {N}}{\partial \xi^ {q}} + \frac {\partial \mathbf {S} ^ {T}}{\partial \xi^ {q}} \frac {\partial \mathbf {N}}{\partial \xi^ {p}} \right] \left\{\partial \mathbf {U} \right\}
= \frac {1}{2} \left\{\mathbf {X} _ {t} \right\} ^ {T} \left[ \frac {\partial \mathbf {S} ^ {T}}{\partial \xi^ {p}} \frac {\partial \mathbf {N}}{\partial \xi^ {q}} + \frac {\partial \mathbf {S} ^ {T}}{\partial \xi^ {q}} \frac {\partial \mathbf {N}}{\partial \xi^ {p}} \right] \left\{\delta \mathbf {U} \right\}
= \left\{\mathbf {X} _ {t} \right\} ^ {T} \left[ \mathbf {a} _ {p q} \right] \left\{\boldsymbol {\partial} \mathbf {U} \right\} \tag {2.38}
\delta \Delta \mathcal {E} = \frac {1}{2} \left(\left(\frac {\partial (\delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial \Delta \mathbf {u}}{\partial \xi^ {q}}\right) + \left(\frac {\partial \Delta \mathbf {u}}{\partial \xi^ {p}} \cdot \frac {\partial (\delta \mathbf {u})}{\partial \xi^ {q}}\right)\right)
= \frac {1}{2} \left\{\boldsymbol {\partial} \mathbf {U} \right\} ^ {T} \left[ \frac {\partial \mathbf {N} ^ {T}}{\partial \xi^ {p}} \frac {\partial \mathbf {N}}{\partial \xi^ {q}} + \frac {\partial \mathbf {N} ^ {T}}{\partial \xi^ {q}} \frac {\partial \mathbf {N}}{\partial \xi^ {p}} \right] \left\{\Delta \mathbf {U} \right\} \tag {2.39}
= \left\{\boldsymbol {\delta} \mathbf {U} \right\} ^ {T} \left[ \mathbf {c} _ {p q} \right] \left\{\Delta \mathbf {U} \right\}
식(2.36), (2.37), (2.38), (2.39)을 식(2.31)에 대입하면 식(2.40)과 같이 정리할 수 있다.
\begin{array}{l} \int_ {V _ {0}} \delta E _ {i j} S ^ {i j} d V _ {0} \approx \int_ {V _ {0}} \left(\left\{\delta \mathbf {U} \right\} ^ {T} \left[ \mathbf {a} _ {i j} \right] ^ {T} \left\{\mathbf {X} _ {t} \right\}\right) C ^ {i j k l} \left(\frac {1}{2} \left\{\mathbf {X} _ {t} + \mathbf {X} _ {0} \right\} ^ {T} \left[ \mathbf {e} _ {k l} \right] \left\{\mathbf {X} _ {t} - \mathbf {X} _ {0} \right\}\right) d V _ {0} \\ + \int_ {V _ {0}} \left(\left\{\boldsymbol {\partial} \mathbf {U} \right\} ^ {T} \left[ \mathbf {a} _ {i j} \right] ^ {T} \left\{\mathbf {X} _ {t} \right\}\right) C ^ {i j k l} \left(\left\{\mathbf {X} _ {t} \right\} ^ {T} \left[ \mathbf {a} _ {k l} \right] \left\{\Delta \mathbf {U} \right\}\right) d V _ {0} \\ + \int_ {V _ {0}} \left(\left\{\delta \mathbf {U} \right\} ^ {T} \left[ \mathbf {c} _ {i j} \right] \left\{\Delta \mathbf {U} \right\}\right) C ^ {i j k l} \left(\frac {1}{2} \left\{\mathbf {X} _ {t} + \mathbf {X} _ {0} \right\} ^ {T} \left[ \mathbf {e} _ {k l} \right] \left\{\mathbf {X} _ {t} - \mathbf {X} _ {0} \right\}\right) d V _ {0} \tag {2.40} \\ \end{array}
그리고 현재 형상(t=0)일 때의 2차 Piola-Kirchhoff 응력을 식(2.41)과 같이 정의해주면, 식(2.40)은 식(2.42)와 같이 정리할 수 있다.
S _ {0} ^ {i j} = C ^ {i j k l} \left(\frac {1}{2} \left\{\mathbf {X} _ {t} + \mathbf {X} _ {0} \right\} ^ {T} \left[ \mathbf {e} _ {k l} \right] \left\{\mathbf {X} _ {t} - \mathbf {X} _ {0} \right\}\right) \tag {2.41}
\begin{array}{l} \int_ {V _ {0}} \delta E _ {i j} S ^ {i j} d V _ {0} \approx \int_ {V _ {0}} \left(\left\{\delta \mathbf {U} \right\} ^ {T} \left[ \mathbf {a} _ {i j} \right] ^ {T} \left\{\mathbf {X} _ {t} \right\}\right) S _ {0} ^ {i j} d V _ {0} \\ + \int_ {V _ {0}} \left(\left\{\delta \mathbf {U} \right\} ^ {T} \left[ \mathbf {a} _ {i j} \right] ^ {T} \left\{\mathbf {X} _ {t} \right\}\right) C ^ {i j k l} \left(\left\{\mathbf {X} _ {t} \right\} ^ {T} \left[ \mathbf {a} _ {k l} \right] \left\{\Delta \mathbf {U} \right\}\right) d V _ {0} \\ + \int_ {V _ {0}} \left(\left\{\delta \mathbf {U} \right\} ^ {T} \left[ \mathbf {c} _ {i j} \right] \left\{\Delta \mathbf {U} \right\}\right) S _ {0} ^ {i j} d V _ {0} \\ \end{array}
\begin{array}{l} = \left\{\boldsymbol {\partial} \mathbf {U} \right\} ^ {T} \left[ \int_ {V _ {0}} \left(S _ {0} ^ {i j} \left[ \mathbf {a} _ {i j} \right] ^ {T}\right) d V _ {0} \right] \left\{\mathbf {X} _ {t} \right\} \\ + \left\{\boldsymbol {\delta} \mathbf {U} \right\} ^ {T} \left[ \int_ {V _ {0}} \left(\left[ \mathbf {a} _ {i j} \right] ^ {T} \left\{\mathbf {X} _ {t} \right\}\right) C ^ {i j k l} \left(\left\{\mathbf {X} _ {t} \right\} ^ {T} \left[ \mathbf {a} _ {k l} \right]\right) d V _ {0} \right] \left\{\Delta \mathbf {U} \right\} \\ + \left\{\boldsymbol {\delta} \mathbf {U} \right\} ^ {T} \left[ \int_ {V _ {0}} \left(S _ {0} ^ {i j} \left[ \mathbf {c} _ {i j} \right]\right) d V _ {0} \right] \left\{\Delta \mathbf {U} \right\} \tag {2.42} \\ \end{array}
식(2.42)를 고유 좌표계(natural coordinate system)에서 2×2×2 가우스 적분(Gauss integration)해주면, 식(2.43)과 같이 쓸 수 있다.
\begin{array}{l} \int_ {V _ {0}} \delta E _ {i j} S ^ {i j} d V _ {0} \\ \approx \left\{\delta \mathbf {U} \right\} ^ {T} \left[ \iiint_ {\xi} \left(S _ {0} ^ {i j} \left[ \mathbf {a} _ {i j} \right] ^ {T}\right) | J | d \xi d \eta d \zeta \right] \left\{\mathbf {X} _ {t} \right\} \\ + \left\{\boldsymbol {\delta} \mathbf {U} \right\} ^ {T} \left[ \iiint_ {\xi} \left(\left[ \mathbf {a} _ {i j} \right] ^ {T} \left\{\mathbf {X} _ {t} \right\}\right) [ T ] ^ {T} \left[ \widetilde {D} ^ {i j k l} \right] [ T ] \left(\left\{\mathbf {X} _ {t} \right\} ^ {T} \left[ \mathbf {a} _ {k l} \right]\right) | J | d \xi d \eta d \zeta \right] \left\{\Delta \mathbf {U} \right\} \tag {2.43} \\ + \left\{\delta \mathbf {U} \right\} ^ {T} \left[ \iiint_ {\xi} \left(S _ {0} ^ {i j} \left[ \mathbf {c} _ {i j} \right]\right) | J | d \xi d \eta d \zeta \right] \left\{\Delta \mathbf {U} \right\} \\ = \left\{\delta \mathbf {U} \right\} ^ {T} \left\{\mathbf {F} \right\} \left\{\mathbf {X} _ {t} \right\} + \left\{\delta \mathbf {U} \right\} ^ {T} \left[ \mathbf {K} _ {N L} \right] \left\{\Delta \mathbf {U} \right\} + \left\{\delta \mathbf {U} \right\} ^ {T} \left[ \mathbf {K} _ {L} \right] \left\{\Delta \mathbf {U} \right\} \\ \end{array}
여기서 K_{L} 은 초기 변위와 관련된 강성 행렬(initial displacement stiffness matrix), K_{NL} 은 초기 응력과 관련된 강성 행렬(initial stress stiffness matrix)또는 기하 강성 행렬(geometric stiffness matrix)이고, F는 변형으로 인한 힘 벡터를 나타내며, |J| 는 자코비안 행렬(Jacobian matrix)에 대한 determinant를 의미한다. 그리고 \widetilde{D}^{ijkl} 는 지역 직교 좌표계(local Cartesian coordinate system)에서 정의되어있는 구성 행렬(constitutive matrix)로 이를 고유 좌표계(natural coordinate system)로 변환해주기 위해 변환 행렬(transformation matrix) [T] 를 사용하였다. 이에 대한 자세한 내용은 2.2.2 절에서 다루도록 하겠다.
식(2.18a) 우변은 표면력(surface force)과 체적력(body force)을 나타내며, 식(2.44), (2.45)와 같이 이산화하여 나타낼 수 있다.
\int_ {\partial V _ {0 _ {m}}} \delta \mathbf {u} \cdot \mathbf {F} \mathbf {S} \widetilde {\mathbf {n}} d A _ {0} = \left\{\delta \mathbf {U} \right\} ^ {T} \int_ {\partial V _ {0 _ {m}}} \left[ \mathbf {N} \right] ^ {T} \left\{\overline {{\mathbf {T}}} \right\} d A _ {0} = \left\{\delta \mathbf {U} \right\} ^ {T} \left\{\mathbf {Q} _ {T} \right\} \tag {2.44}
\int_ {V _ {0}} \delta \mathbf {u} \rho_ {0} \mathbf {f} d V _ {0} = \left\{\delta \mathbf {U} \right\} ^ {T} \int_ {V _ {0}} \rho_ {0} [ \mathbf {N} ] ^ {T} \left\{\mathbf {f} \right\} d V _ {0} = \left\{\delta \mathbf {U} \right\} ^ {T} \left\{\mathbf {Q} _ {B} \right\} \tag {2.45}
식(2.43), (2.44), (2.45)을 식(2.18a)에 대입하고, 정적인 문제이므로 시간에 대한 항을 무시하면, 식(2.18a)는 식(2.46)과 같이 표현할 수 있다.