김경종
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3.4.3 Dynamic Buckling Analysis of Stiffened Plate
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BC(Fixed) BC(Fixed) P(t) BC(12) y z x 하 대 밤
Fig. 28 Dynamic Buckling Analysis Model for Stiffened Plate
동적 좌굴 해석 프로그램의 검증을 위해 Fig. 28과 같은 보강된판(stiffened plate) 형상에 대한 동적 좌굴 실험값과 유한요소해석 결과를비교해 보았다. 판의 크기는 먼저 가로 1000mm, 세로 250mm, 두께 1mm이고, 요소는 4노드 쉘 요소 100x25개를 사용하였다. 보강재는 가로1000mm, 세로 10mm, 두께 1mm이고, 요소는 4노드 쉘 요소 100x1개를사용하였다. 탄성계수(Young‟s modulus)는 62.4GPa이고, 프아송 비(Poisson‟sration)는 0.33, 밀도는 2696.7kg/m3의 물성치를 주었다. 경계조건은 실험모델을 바탕으로 한쪽 면은 양 끝 단의 50x50mm2 영역을 고정구속하였고, 반대쪽 면은 한쪽 끝 단의 50x50mm2 영역을 XY방향의변위에 대해 구속하였다. 하중은 식 (3.3)와 같은 시간에 따른 하중을가하였으며, 이 때 동적 좌굴 해석을 위한 방정식은 식 (3.4)와 같다.
동적 하중에 대한 동적 좌굴 해석을 수행하여 불안정 경계영역(instability region)을 구한 결과 실험값과 유한요소해석 결과가 평판에비해 다소 차이가 남을 볼 수 있다.(Fig. 29) 그 이유는 유한요소해석의경우 모델이 “균질하다(homogeneous)”는 가정하에 해석이 이루어지지만
실제 구조물의 경우 다양한 결함(imperfection)이 존재하므로 이러한차이가 발생할 수 있다. 특히 보강된 판의 경우 일반 평판에 비해보강재를 만드는 과정에서 구조물에 결함(imperfection)이 발생할 가능성이높기 때문에 이러한 결과가 나타날 수 있다. 하지만 두 결과값에 대한전체적인 경향성은 유사함을 알 수 있다. 또한 앞서 해석한 평판과보강된 평판을 비교해 보면 보강된 평판의 임계 좌굴 하중이 증가하고,불안정 경계 영역이 전체적으로 상승함을 알 수 있다.[11]
Fig. 29 Comparison of Dynamic Instability Region for Stiffened Plate with Plate
4. 결 론
동적 좌굴 현상은 구조물이 동적 압축 하중을 받을 때 발생하는 동적불안정 현상으로서, 특히 큰 동적 압축 하중 환경하에 노출되어 있는초음속 항공기나 탄도 미사일, 발사용 로켓과 지구 대기권 재돌입체그리고 고속의 수중운동체 등을 설계할 때 반드시 고려되어야 하는현상이다. 이에 본 연구에서는 동적 압축 하중을 받는 구조물의 동적좌굴 해석을 위한 프로그램을 개발하였다.
본 연구를 위해 MITC4 쉘 요소를 사용하여 3차원 쉘 구조물을모델링 하였으며, 고유치 해석 시 필요한 기하 강성 행렬(Geometricstiffness matrix)을 구하기 위해 Total Lagrangian 방법을 사용하여 기하비선형 해석을 구현하였다. 그리고 질량 행렬은 구조물을 유연하게 하기위해서 집중 질량 행렬(Lumped mass matrix)을 사용하였다. 또한 진동 및정적/동적 좌굴 해석 시 필요한 고유치 해석 솔버(Eigenvalue analysissolver)는 Block Laczos 방법을 사용한 “BLZPACK”이라는 오픈 소스(Opensource)를 사용하여 해석 프로그램을 구현하였다.
본 연구에서 개발한 해석 프로그램을 사용하여 선형/비선형 정적해석과 진동 해석 그리고 정적 좌굴 해석을 수행하였고, 이를 이론값 및상용유한요소해석 프로그램 해석 결과와 비교하여 프로그램의 타당성과정확성을 검증하였다. 또한 보의 동적 좌굴 이론으로부터 구한 이론값과평판 그리고 보강된 평판의 동적 좌굴 실험을 통해 구한 실험값을유한요소해석 프로그램 결과와 비교하여 본 연구에서 개발한 동적 좌굴해석 프로그램의 타당성을 검증하였다.
본 연구에서 개발한 동적 좌굴 해석을 위한 유한요소해석 프로그램을사용하여 구조물 설계 시 동적 좌굴 해석이 필요한 구조물에 대해해석을 수행 할 수 있으며, 이를 통해 불안정 경계 영역을 예측하고구조물의 안정화 방안을 모색할 수 있을 것으로 기대된다.
참고문헌
[1] Eduardo N. Dvorkin and Klaus-Jurgen Bathe, “A continuum mechanics based four-node shell element for general nonlinear analysis”, Eng. Comput., Vol. 1, No. 1, pp.77-88, 1984.
[2] Robert D. Cook, David S. Malkus, Michael E. Plesha, Robert J. Witt, Concepts and application of finite element analysis., John Wiley & Sons, 2001.
[3] Thomas J.R. Hughes, The Finite Element Method : Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis., Prentice-Hall, 1987.
[4] O.C. Zienkiewicz, R. L. Taylor, The Finite Element Method : Basic Formulation and Linear Problems., McGraw-Hill, 1989.
[5] O.C. Zienkiewicz, R. L. Taylor, The Finite Element Method : Solid and Fluid Mechanics Dynamics and Non-linearity., McGraw-Hill, 1991.
[6] M. Ruzzene, “Dynamic buckling of periodically stiffened shells : application to supercavitating vehicles”, International Journal of Solids and Structures, Vol. 41, No.3-4, pp.1039-1059, 2004.
[7] V. V. Bolotin, The Dynamic Stability of Elastic System., Holden-Day, 1964.
[8] Leonard Meirovitch, Method of Analytical Dynamics., McGraw-Hill, 1985.
[9] Eduardo N. Dvorkin, “Nonlinear Analysis of Shells Using the MITC Formulation”, Archives of Computational Methods in Engineering, Vol. 2, No. 2, pp.1-50, 1995.
[10] J. Argyris, “An excursion into large rotations”, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., Vol. 32, No. 1-3, pp.85-155, 1982.
[11] Minho Chung, Hee Jun Lee, Woo-Bin Lim, Jin Yeon Cho, Wanil Byun, Seung Jo Kim and Sung-Han Park, “Experimental study on dynamic buckling phenomena for supercavitating underwater vehicle”, International Journal of Naval Architecture and Ocean Engineering, submitted.
부록
1. Strain/Stress Vector
\text {Strain} \quad \{\mathbf {E} \} = \left\{ \begin{array}{l} E _ {\xi \xi} \\ E _ {\eta \eta} \\ E _ {\varsigma \varsigma} \\ 2 E _ {\eta \varsigma} \\ 2 E _ {\xi \varsigma} \\ 2 E _ {\xi \eta} \end{array} \right\}, \qquad \text {Stress} \quad \{\mathbf {S} \} = \left\{ \begin{array}{l} S _ {\xi \xi} \\ S _ {\eta \eta} \\ S _ {\varsigma \varsigma} \\ 2 S _ {\eta \varsigma} \\ 2 S _ {\xi \varsigma} \\ 2 S _ {\xi \eta} \end{array} \right\}
2. Shape Function
N _ {1} (\xi , \eta) = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 - \eta), \quad N _ {2} (\xi , \eta) = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 - \eta)
N _ {3} (\xi , \eta) = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 + \eta), \quad N _ {4} (\xi , \eta) = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 + \eta)
3. Jacobian Matrix
[ J ] = \left[ \begin{array}{c c c} X, _ {\xi} & Y, _ {\xi} & Z, _ {\xi} \\ X, _ {\eta} & Y, _ {\eta} & Z, _ {\eta} \\ X, _ {\varsigma} & Y, _ {\varsigma} & Z, _ {\varsigma} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \frac {\partial X}{\partial \xi} & \frac {\partial Y}{\partial \xi} & \frac {\partial Z}{\partial \xi} \\ \frac {\partial X}{\partial \eta} & \frac {\partial Y}{\partial \eta} & \frac {\partial Z}{\partial \eta} \\ \frac {\partial X}{\partial \varsigma} & \frac {\partial Y}{\partial \varsigma} & \frac {\partial Z}{\partial \varsigma} \end{array} \right]
= \left[ \begin{array}{c c c c} \frac {\partial N _ {1}}{\partial \xi} & \frac {\partial N _ {2}}{\partial \xi} & \frac {\partial N _ {3}}{\partial \xi} & \frac {\partial N _ {4}}{\partial \xi} \\ \frac {\partial N _ {1}}{\partial \eta} & \frac {\partial N _ {2}}{\partial \eta} & \frac {\partial N _ {3}}{\partial \eta} & \frac {\partial N _ {4}}{\partial \eta} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c c} X _ {1} & Y _ {1} & Z _ {1} \\ X _ {2} & Y _ {2} & Z _ {2} \\ X _ {3} & Y _ {3} & Z _ {3} \\ X _ {4} & Y _ {4} & Z _ {4} \end{array} \right] + \frac {1}{2} \left[ \begin{array}{c c c c} \varsigma \frac {\partial N _ {1}}{\partial \xi} t _ {1} & \varsigma \frac {\partial N _ {2}}{\partial \xi} t _ {2} & \varsigma \frac {\partial N _ {3}}{\partial \xi} t _ {3} & \varsigma \frac {\partial N _ {4}}{\partial \xi} t _ {4} \\ \varsigma \frac {\partial N _ {1}}{\partial \eta} t _ {1} & \varsigma \frac {\partial N _ {2}}{\partial \eta} t _ {2} & \varsigma \frac {\partial N _ {3}}{\partial \eta} t _ {3} & \varsigma \frac {\partial N _ {4}}{\partial \eta} t _ {4} \\ N _ {1} t _ {1} & N _ {2} t _ {2} & N _ {3} t _ {3} & N _ {4} t _ {4} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \mathbf {V} _ {1} ^ {n} \\ \mathbf {V} _ {2} ^ {n} \\ \mathbf {V} _ {3} ^ {n} \\ \mathbf {V} _ {4} ^ {n} \end{array} \right]
= \left[ \begin{array}{c} \mathbf {G} _ {1} \\ \mathbf {G} _ {2} \\ \mathbf {G} _ {3} \end{array} \right]
감사의 글
이렇게 밤늦게 실험실에서 책상 앞에 앉아 있는 날도 얼마 남지 않았습니다.이제는 졸업을 앞두고 논문의 마지막 장을 써 내려간다는 것이 실감나지 않고아쉬운 마음이 크지만 다사다난했던 지난 2년의 시간들은 아마도 제 인생 중에큰 전환점이었으며 귀중한 발판으로 삼으려 합니다.
아직은 부족하지만 제가 이렇게 많은 발전과 함께 자그마한 결실을 맺고졸업을 앞두게 되어 이 자리까지 도움을 주신 고마운 분들에게 감사의 글로써졸업논문을 맺으려 합니다.
먼저, 너무도 부족했던 저를 대학원 짧은 기간 동안에 이렇게 발전하도록일일이 깨우쳐주시고 함께 고민해 주시며 아낌없이 지도해주신 조진연 교수님께심심한 감사를 드립니다. 그리고 학부시절 공학도의 길을 제시해주시고 저에게큰 힘이 되어주신 김기욱 교수님, 항상 항공과의 발전을 위해 헌신적으로학생들을 지도해 주시는 김범수 교수님, 최동환 교수님, 최기영 교수님, 노태성교수님, 이승수 교수님, 유창경 교수님께 감사와 존경을 전합니다.
실험실에서 동고동락했던 민환이형, 민호, 순신이, 연철이, 재연이, 이제대학원 생활을 시작하게 될 소영이, 우빈이 모두에게 고마운 마음을 전하며모두들에게 앞으로도 좋은 일이 가득하길 바랍니다. 그리고 대학원에 입학하여도움을 주신 장훈이형, 형수형, 영민이형, 규원이형에게도 감사의 뜻을 전합니다.
초등학교 때부터 지금까지도 변치 않는 우정을 나누고 있는 동현이, 용덕이,항상 자기자리에서 최선을 다하는 대학 친구들 상형이형, 재필이, 광규,영민이에게도 감사의 뜻을 전합니다.
그리고 저의 소중한 가족들에게 감사합니다. 어려운 여건에서도 항상큰아들을 믿어주시고 노심초사 걱정해 주시며 뒷바라지 해주신 부모님의 은혜에깊은 감사를 드립니다. 또한 멀리 있고 잘해주지도 못하는 오빠를 믿고따라주는 동생 진아, 민희에게도 고마움을 전하며 항상 사랑으로 지켜봐 주고힘이 되어준 저의 가장 소중한 친구이자 연인인 미연이에게 고마움을 전합니다.
마지막으로 저를 믿어주시고 사랑해주신 많은 분들의 기대에 보답하도록사회에 꼭 필요한 일꾼이 되며 항상 최선을 다하는 모습을 보여드림을다짐하겠습니다.
2011년 12월
이 희 준