김경종
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1. MITC shell element
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- 3차원 솔리드 형상으로부터 쉘형상을 표현 (유한요소 정식화가 다른 쉘요소에 비해 간단)
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- 쉘 이론을 사용하지 않고 3차원 응력, 변형률을 사용하여 쉘을 표현할 수 있다.
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임의의 형상에 대한 두꺼운 쉘과 얇은 쉘 모두 적용 가능
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Locking을 방지하기 위해 횡방향 전단 변형률에 보간법 사용
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2. Kinematics
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<details>
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<summary>flowchart</summary>
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```mermaid
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graph TD
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A["0 Ω"] --> B["0 v_n²"]
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B --> C["t u"]
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C --> D["t + Δt u"]
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D --> E["4"]
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E --> F["3"]
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F --> G["2"]
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G --> H["1"]
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H --> I["t + Δt v_n²"]
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I --> J["t + Δt Ω"]
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J --> K["t + Δt u"]
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K --> L["t + Δt v_n²"]
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L --> M["t + Δt u"]
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M --> N["t + Δt v_n²"]
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N --> O["t + Δt u"]
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O --> P["t + Δt v_n²"]
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P --> Q["t + Δt u"]
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Q --> R["t + Δt v_n²"]
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R --> S["t + Δt u"]
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S --> T["t + Δt v_n²"]
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T --> U["t + Δt u"]
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U --> V["t + Δt v_n²"]
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V --> W["t + Δt u"]
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W --> X["t + Δt v_n²"]
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X --> Y["t + Δt u"]
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Y --> Z["t + Δt v_n²"]
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Z --> AA["t + Δt u"]
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AA --> AB["t + Δt v_n²"]
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AB --> AC["t + Δt u"]
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AC --> AD["t + Δt v_n²"]
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AD --> AE["t + Δt u"]
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AE --> AF["t + Δt v_n²"]
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AF --> AG["t + Δt u"]
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AG --> AH["t + Δt v_n²"]
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AH --> AI["t + Δt u"]
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AI --> AJ["t + Δt v_n²"]
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AJ --> AK["t + Δt u"]
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AK --> AL["t + Δt v_n²"]
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AL --> AM["t + Δt u"]
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AM --> AN["t + Δt v_n²"]
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AN --> AO["t + Δt u"]
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AO --> AP["t + Δt v_n²"]
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AP --> AQ["t + Δt u"]
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AQ --> AR["t + Δt v_n²"]
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AR --> AS["t + Δt u"]
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AS --> AT["t + Δt v_n²"]
|
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AT --> AU["t + Δt u"]
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AU --> AV["t + Δt v_n²"]
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AV --> AW["t + Δt u"]
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AW --> AX["t + Δt v_n²"]
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AX --> AY["t + Δt u"]
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AY --> AZ["t + Δt v_n²"]
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AZ --> BA["t + Δt u"]
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BA --> BB["t + Δt v_n²"]
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BB --> BC["t + Δt u"]
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BC --> BD["t + Δt v_n²"]
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BD --> BE["t + Δt u"]
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BE --> BF["t + Δt v_n²"]
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BF --> BG["t + Δt u"]
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BG --> BH["t + Δt v_n²"]
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BH --> BI["t + Δt u"]
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BI --> BJ["t + Δt v_n²"]
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BJ --> BK["t + Δt u"]
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BK --> BL["t + Δt v_n²"]
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BL --> BM["t + Δt u"]
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BM --> BN["t + Δt v_n²"]
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BN --> BO["t + Δt u"]
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BO --> BP["t + Δt v_n²"]
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BP --> BQ["t + Δt u"]
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BQ --> BR["t + Δt v_n²"]
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BR --> BS["t + Δt u"]
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BS --> BT["t + Δt v_n²"]
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BT --> BU["t + Δt u"]
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BU --> BV["t + Δt v_n²"]
|
|
BV --> BW["t + Δt u"]
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BW --> BX["t + Δt v_n²"]
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BX --> BY["t + Δt u"]
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|
BY --> BZ["t + Δt v_n²"]
|
|
BZ --> CA["t + Δt u"]
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|
CA --> CB["t + Δt v_n²"]
|
|
CB --> CC["t + Δt u"]
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|
CC --> CD["t + Δt v_n²"]
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|
CD --> CE["t + Δt u"]
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|
CE --> CF["t + Δt v_n²"]
|
|
CF --> CG["t + Δt u"]
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|
CG --> CH["t + Δt v_n²"]
|
|
CH --> CI["t + Δt u"]
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|
CI --> CJ["t + Δt v_n²"]
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|
CJ --> CK["t + Δt u"]
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|
CK --> CL["t + Δt v_n²"]
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|
CL --> CM["t + Δt u"]
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CM --> CN["t + Δt v_n²"]
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CN --> CO["t + Δt u"]
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CO --> CP["t + Δt v_n²"]
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CP --> CQ["t + Δt u"]
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CQ --> CR["t + Δt v_n²"]
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CR --> CS["t + Δt u"]
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CS --> CT["t + Δt v_n²"]
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CT --> CU["t + Δt u"]
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CU --> CV["t + Δt v_n²"]
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CV --> CW["t + Δt u"]
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|
CW --> CX["t + Δt v_n²"]
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CX --> CY["t + Δt u"]
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CY --> CZ["t + Δt v_n²"]
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CZ --> DA["t + Δt u"]
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DA --> DB["t + Δt v_n²"]
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DB --> DC["t + Δt u"]
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DC --> DD["t + Δt v_n²"]
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|
DD --> DE["t + Δt u"]
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|
DE --> DF["t + Δt v_n²"]
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|
DF --> DG["t + Δt u"]
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|
DG --> DH["t + Δt v_n²"]
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|
DH --> DI["t + Δt u"]
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|
DI --> DJ["t + Δt v_n²"]
|
|
DJ --> DK["t + Δt u"]
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|
DK --> DL["t + Δt v_n²"]
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|
DL --> DM["t + Δt u"]
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|
DM --> DN["t + Δt v_n²"]
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DN --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
|
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DO --> DO
|
|
DO --> DO
|
|
DO --> DO
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|
DO --> DO
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|
DO --> DO
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|
DO --> DO
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|
DO --> DO
|
|
DO --> DO
|
|
DO --> DO
|
|
DO --> DO
|
|
DO --> DO
|
|
DO --> DO
|
|
DO --> DO
|
|
DO --> DO
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|
DO --> DO
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|
DO --> DO
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|
DO --> DO
|
|
DO --> DO
|
|
D --> DO
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|
DO --> DO
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|
DO --> DO
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|
DO --> DO
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|
DO --> DO
|
|
DO --> DO
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|
DO --> DO
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|
DO --> DO
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|
DO --> DO
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|
DO --> DO
|
|
DO --> DO
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DO --> DO
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|
DO --> DO
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|
DO --> DO
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|
DO --> DO
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|
DO --> DO
|
|
DO --> DO
|
|
DO --> DO
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|
DO --> DO
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|
DO --> DO
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|
Do --> DO
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|
DO --> DO
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|
DO --> DO
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|
DO --> DO
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|
DO --> DO
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|
DO --> DO
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DO --> DO
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|
DO --> DO
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|
DO --> DO
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DO --> DO
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|
DO --> DO
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|
DO --> DO
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|
DO --> DO
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|
DO --> DO
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|
DO --> DO
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|
DO --> DO
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|
DO --> DO
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|
DO --> DO
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|
DO --> DO
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|
DO --> DO
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EO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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|
DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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|
DO --> DO
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DO --> DO
|
|
DO --> DO
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|
DO --> DO
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DO --> DO
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|
DO --> DO
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DO --> DO
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|
DO --> DO
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DO --> DO
|
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O --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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|
DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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|
DO --> DO
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DO --> DO
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|
DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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AO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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BO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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OD --> DO
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OD --> DO
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OD --> DO
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OD --> DO
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OD --> DO
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OD --> DO
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OD --> DO
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OD --> DO
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OD --> DO
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OD --> DO
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OD --> DO
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OD --> DO
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OD --> DO
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OD --> DO
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OD --> DO
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OD --> DO
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OD --> DO
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OD --> DO
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OD --> DO
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OD --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DN --> DO
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DN --> DO
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DN --> DO
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DN --> DO
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DN --> DO
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DN --> DO
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DN --> DO
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DN --> DO
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DN --> DO
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DN --> DO
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DN --> DO
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DN --> DO
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DN --> DO
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DN --> DO
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DN --> DO
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DN --> DO
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DN --> DO
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DN --> DO
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DN --> DO
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DN --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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DO --> DO
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```
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</details>
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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mid surface
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t+Δt E₃
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t+Δt Vₙ²
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α₁²
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t+Δt E₂
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α₂²
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t+Δt V₂²
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t+Δt E₁
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h₂
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t+Δt x
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</details>
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<!-- source-page: 2 -->
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Shell의 초기 위치 벡터는 다음과 같이 shape function으로 나타낼 수 있다.
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$$
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{ } ^ { 0 } \mathbf { X } = \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \phi _ { i } \left( \xi ^ { 1 } , \xi ^ { 2 } \right) { } ^ { 0 } \mathbf { X } _ { i } + \frac { \xi ^ { 3 } } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } h _ { i } \phi _ { i } \left( \xi ^ { 1 } , \xi ^ { 2 } \right) { } ^ { 0 } \mathbf { V } _ { n } ^ { i }
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$$
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마찬가지로 시간이 $t, t + \Delta t$ 일 때 위치벡터는 다음과 같다.
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$$
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{ } ^ { t } \mathbf { x } = \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \phi _ { i } \left( \xi ^ { 1 } , \xi ^ { 2 } \right) { } ^ { t } \mathbf { x } _ { i } + \frac { \xi ^ { 3 } } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } h _ { i } \phi _ { i } \left( \xi ^ { 1 } , \xi ^ { 2 } \right) { } ^ { t } \mathbf { V } _ { n } ^ { i }
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|
$$
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$$
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{ } ^ { t + \Delta t } \mathbf { x } = \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \phi _ { i } \left( \xi ^ { 1 } , \xi ^ { 2 } \right) ^ { t + \Delta t } \mathbf { x } _ { i } + \frac { \xi ^ { 3 } } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } h _ { i } \phi _ { i } \left( \xi ^ { 1 } , \xi ^ { 2 } \right) ^ { t + \Delta t } \mathbf { V } _ { n } ^ { i }
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$$
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시간이 t일 때와 $t+\Delta t$ 일 때 변위 벡터는 다음과 같이 계산 할 수 있다.
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$$
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\begin{array}{l} { } ^ { t } \mathbf { u } = { } ^ { t } \mathbf { x } - { } ^ { 0 } \mathbf { X } \\ = \sum_ {i = 1} ^ {4} \phi_ {i} (\xi^ {1}, \xi^ {2}) ^ {t} \mathbf {x} _ {i} + \frac {\xi^ {3}}{2} \sum_ {i = 1} ^ {4} h _ {i} \phi_ {i} (\xi^ {1}, \xi^ {2}) ^ {t} \mathbf {V} _ {n} ^ {i} - \sum_ {i = 1} ^ {4} \phi_ {i} (\xi^ {1}, \xi^ {2}) ^ {0} \mathbf {X} _ {i} - \frac {\xi^ {3}}{2} \sum_ {i = 1} ^ {4} h _ {i} \phi_ {i} (\xi^ {1}, \xi^ {2}) ^ {0} \mathbf {V} _ {n} ^ {i} \\ = \sum_ {i = 1} ^ {4} \phi_ {i} \left(^ {t} \mathbf {x} _ {i} - ^ {0} \mathbf {X} _ {i}\right) + \frac {\xi^ {3}}{2} \sum_ {i = 1} ^ {4} h _ {i} \phi_ {i} \left(^ {t} \mathbf {V} _ {n} ^ {i} - ^ {0} \mathbf {V} _ {n} ^ {i}\right) \\ { } ^ { t + \Delta t } \mathbf { u } = { } ^ { t + \Delta t } \mathbf { x } - { } ^ { 0 } \mathbf { X } \\ = \sum_ {i = 1} ^ {4} \phi_ {i} (\xi^ {1}, \xi^ {2}) ^ {t + \Delta t} \mathbf {x} _ {i} + \frac {\xi^ {3}}{2} \sum_ {i = 1} ^ {4} h _ {i} \phi_ {i} (\xi^ {1}, \xi^ {2}) ^ {t + \Delta t} \mathbf {V} _ {n} ^ {i} - \sum_ {i = 1} ^ {4} \phi_ {i} (\xi^ {1}, \xi^ {2}) ^ {0} \mathbf {X} _ {i} - \frac {\xi^ {3}}{2} \sum_ {i = 1} ^ {4} h _ {i} \phi_ {i} (\xi^ {1}, \xi^ {2}) ^ {0} \mathbf {V} _ {n} ^ {i} \\ = \sum_ {i = 1} ^ {4} \phi_ {i} \left(^ {t + \Delta t} \mathbf {x} _ {i} - ^ {0} \mathbf {X} _ {i}\right) + \frac {\xi^ {3}}{2} \sum_ {i = 1} ^ {4} h _ {i} \phi_ {i} \left(^ {t + \Delta t} \mathbf {V} _ {n} ^ {i} - ^ {0} \mathbf {V} _ {n} ^ {i}\right) \\ \end{array}
|
|
$$
|
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|
$$
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|
\begin{array}{l} { } ^ { t + \Delta t } \mathbf { u } = { } ^ { t + \Delta t } \mathbf { x } - { } ^ { 0 } \mathbf { X } \\ = \sum_ {i = 1} ^ {4} \phi_ {i} (\xi^ {1}, \xi^ {2}) ^ {t + \Delta t} \mathbf {x} _ {i} + \frac {\xi^ {3}}{2} \sum_ {i = 1} ^ {4} h _ {i} \phi_ {i} (\xi^ {1}, \xi^ {2}) ^ {t + \Delta t} \mathbf {V} _ {n} ^ {i} - \sum_ {i = 1} ^ {4} \phi_ {i} (\xi^ {1}, \xi^ {2}) ^ {0} \mathbf {X} _ {i} - \frac {\xi^ {3}}{2} \sum_ {i = 1} ^ {4} h _ {i} \phi_ {i} (\xi^ {1}, \xi^ {2}) ^ {0} \mathbf {V} _ {n} ^ {i} \\ = \sum_ {i = 1} ^ {4} \phi_ {i} \left(^ {t + \Delta t} \mathbf {x} _ {i} - ^ {0} \mathbf {X} _ {i}\right) + \frac {\xi^ {3}}{2} \sum_ {i = 1} ^ {4} h _ {i} \phi_ {i} \left(^ {t + \Delta t} \mathbf {V} _ {n} ^ {i} - ^ {0} \mathbf {V} _ {n} ^ {i}\right) \\ \end{array}
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|
$$
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따라서 시간 t와 $t + \Delta t$ 사이의 incremental displacement는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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$$
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\begin{array}{l} \Delta^ {t} \mathbf {u} = ^ {t + \Delta t} \mathbf {u} - ^ {t} \mathbf {u} \\ = \sum_ {i = 1} ^ {4} \phi_ {i} \left(^ {t + \Delta t} \mathbf {x} _ {i} - ^ {0} \mathbf {X} _ {i}\right) + \frac {\xi^ {3}}{2} \sum_ {i = 1} ^ {4} h _ {i} \phi_ {i} \left(^ {t + \Delta t} \mathbf {V} _ {n} ^ {i} - ^ {0} \mathbf {V} _ {n} ^ {i}\right) - \sum_ {i = 1} ^ {4} \phi_ {i} \left(^ {t} \mathbf {x} _ {i} - ^ {0} \mathbf {X} _ {i}\right) - \frac {\xi^ {3}}{2} \sum_ {i = 1} ^ {4} h _ {i} \phi_ {i} \left(^ {t} \mathbf {V} _ {n} ^ {i} - ^ {0} \mathbf {V} _ {n} ^ {i}\right) \\ = \sum_ {i = 1} ^ {4} \phi_ {i} \left(^ {t + \Delta t} \mathbf {x} _ {i} - ^ {t} \mathbf {x} _ {i}\right) + \frac {\xi^ {3}}{2} \sum_ {i = 1} ^ {4} h _ {i} \phi_ {i} \left(^ {t + \Delta t} \mathbf {V} _ {n} ^ {i} - ^ {t} \mathbf {V} _ {n} ^ {i}\right) \\ = \sum_ {i = 1} ^ {4} \phi_ {i} \Delta^ {t} \mathbf {u} _ {i} + \frac {\xi^ {3}}{2} \sum_ {i = 1} ^ {4} h _ {i} \phi_ {i} \left(- \alpha_ {1} ^ {i} {} ^ {t} \mathbf {V} _ {2} ^ {i} + \alpha_ {2} ^ {i} {} ^ {t} \mathbf {V} _ {1} ^ {i}\right) \\ = \sum_ {i = 1} ^ {4} \phi_ {i} \Delta^ {t} \mathbf {u} _ {i} + \frac {\xi^ {3}}{2} \sum_ {i = 1} ^ {4} h _ {i} \phi_ {i} \Delta^ {t} \mathbf {V} _ {n} ^ {i} \\ \end{array}
|
|
$$
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|
위치 벡터와 변위 벡터를 matrix form으로 나타내면
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|
<!-- source-page: 3 -->
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$$
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^ 0 \mathbf {X} = ^ {0} \mathbf {N} ^ {0} \mathbf {X} _ {n}
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$$
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$$
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= \left[ \begin{array}{l l l l} \phi_ {1} & \phi_ {2} & \phi_ {3} & \phi_ {4} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} ^ {0} \mathbf {X} _ {1} \\ ^ {0} \mathbf {X} _ {2} \\ ^ {0} \mathbf {X} _ {3} \\ ^ {0} \mathbf {X} _ {4} \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c c c c} \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {1} \phi_ {1} & \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {2} \phi_ {2} & \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {3} \phi_ {3} & \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {4} \phi_ {4} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} ^ {0} \mathbf {V} _ {n} ^ {1} \\ ^ {0} \mathbf {V} _ {n} ^ {2} \\ ^ {0} \mathbf {V} _ {n} ^ {3} \\ ^ {0} \mathbf {V} _ {n} ^ {4} \end{array} \right]
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$$
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$$
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= \left[ \begin{array}{c c c c c c c c} \phi_ {1} & \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {1} \phi_ {1} & \phi_ {2} & \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {2} \phi_ {2} & \phi_ {3} & \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {3} \phi_ {3} & \phi_ {4} & \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {4} \phi_ {4} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} ^ 0 \mathbf {X} _ {1} \\ ^ 0 \mathbf {V} _ {n} ^ {1} \\ ^ 0 \mathbf {X} _ {2} \\ ^ 0 \mathbf {V} _ {n} ^ {2} \\ ^ 0 \mathbf {X} _ {3} \\ ^ 0 \mathbf {V} _ {n} ^ {3} \\ ^ 0 \mathbf {X} _ {4} \\ ^ 0 \mathbf {V} _ {n} ^ {4} \end{array} \right]
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$$
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$$
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{ } ^ { t } \mathbf { x } = { } ^ { 0 } \mathbf { N } ^ { t } \mathbf { x } _ { n }
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$$
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$$
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= \left[ \begin{array}{c c c c c c c c c} \phi_ {1} & \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {1} \phi_ {1} & \phi_ {2} & \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {2} \phi_ {2} & \phi_ {3} & \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {3} \phi_ {3} & \phi_ {4} & \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {4} \phi_ {4} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} ^ {t} \mathbf {x} _ {1} \\ ^ {t} \mathbf {V} _ {n} ^ {1} \\ ^ {t} \mathbf {x} _ {2} \\ ^ {t} \mathbf {V} _ {n} ^ {2} \\ ^ {t} \mathbf {x} _ {3} \\ ^ {t} \mathbf {V} _ {n} ^ {3} \\ ^ {t} \mathbf {x} _ {4} \\ ^ {t} \mathbf {V} _ {n} ^ {4} \end{array} \right]
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$$
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$$
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\mathbf {\Lambda} ^ {t + \Delta t} \mathbf {x} = \mathbf {\Lambda} ^ {0} \mathbf {N} ^ {t + \Delta t} \mathbf {x} _ {n}
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$$
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$$
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= \left[ \begin{array}{c c c c c c c c c} \phi_ {1} & \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {1} \phi_ {1} & \phi_ {2} & \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {2} \phi_ {2} & \phi_ {3} & \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {3} \phi_ {3} & \phi_ {4} & \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {4} \phi_ {4} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} t + \Delta t \mathbf {X} _ {1} \\ t + \Delta t \mathbf {V} _ {n} ^ {1} \\ t + \Delta t \mathbf {X} _ {2} \\ t + \Delta t \mathbf {V} _ {n} ^ {2} \\ t + \Delta t \mathbf {X} _ {3} \\ t + \Delta t \mathbf {V} _ {n} ^ {3} \\ t + \Delta t \mathbf {X} _ {4} \\ t + \Delta t \mathbf {V} _ {n} ^ {4} \end{array} \right]
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$$
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$$
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\Delta^ {t} \mathbf {x} = ^ {0} \mathbf {N} \Delta^ {t} \mathbf {x} _ {n}
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$$
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$$
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= \left[ \begin{array}{c c c c c c c c} \phi_ {1} & \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {1} \phi_ {1} & \phi_ {2} & \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {2} \phi_ {2} & \phi_ {3} & \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {3} \phi_ {3} & \phi_ {4} & \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {4} \phi_ {4} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} \Delta^ {t} \mathbf {x} _ {1} \\ \Delta^ {t} \mathbf {V} _ {n} ^ {1} \\ \Delta^ {t} \mathbf {x} _ {2} \\ \Delta^ {t} \mathbf {V} _ {n} ^ {2} \\ \Delta^ {t} \mathbf {x} _ {3} \\ \Delta^ {t} \mathbf {V} _ {n} ^ {3} \\ \Delta^ {t} \mathbf {x} _ {4} \\ \Delta^ {t} \mathbf {V} _ {n} ^ {4} \end{array} \right]
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$$
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변위 벡터도 마찬가지로 나타낼 수 있다.
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$$
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{ } ^ { t } \mathbf { u } = ^ { 0 } \mathbf { N } \left( { } ^ { t } \mathbf { x } _ { n } - ^ { 0 } \mathbf { X } _ { n } \right)
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$$
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$$
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= \left[ \begin{array}{c c c c c c c c} \phi_ {1} & \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {1} \phi_ {1} & \phi_ {2} & \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {2} \phi_ {2} & \phi_ {3} & \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {3} \phi_ {3} & \phi_ {4} & \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {4} \phi_ {4} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} ^ {t} \mathbf {x} _ {1} - ^ {0} \mathbf {X} _ {1} \\ ^ {t} \mathbf {V} _ {n} ^ {1} - ^ {0} \mathbf {V} _ {n} ^ {1} \\ ^ {t} \mathbf {x} _ {2} - ^ {0} \mathbf {X} _ {2} \\ ^ {t} \mathbf {V} _ {n} ^ {2} - ^ {0} \mathbf {V} _ {n} ^ {2} \\ ^ {t} \mathbf {x} _ {3} - ^ {0} \mathbf {X} _ {3} \\ ^ {t} \mathbf {V} _ {n} ^ {3} - ^ {0} \mathbf {V} _ {n} ^ {3} \\ ^ {t} \mathbf {x} _ {4} - ^ {0} \mathbf {X} _ {4} \\ ^ {t} \mathbf {V} _ {n} ^ {4} - ^ {0} \mathbf {V} _ {n} ^ {4} \end{array} \right]
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$$
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$$
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t + \Delta t _ {\mathbf {u}}
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$$
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$$
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= \left[ \begin{array}{c c c c} \phi_ {1} & \phi_ {2} & \phi_ {3} & \phi_ {4} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} ^ {t + \Delta t} \mathbf {x} _ {1} - ^ {0} \mathbf {X} _ {1} \\ ^ {t + \Delta t} \mathbf {x} _ {2} - ^ {0} \mathbf {X} _ {2} \\ ^ {t + \Delta t} \mathbf {x} _ {3} - ^ {0} \mathbf {X} _ {3} \\ ^ {t + \Delta t} \mathbf {x} _ {4} - ^ {0} \mathbf {X} _ {4} \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c c c c} \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {1} \phi_ {1} & \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {2} \phi_ {2} & \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {3} \phi_ {3} & \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {4} \phi_ {4} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} ^ {t + \Delta t} \mathbf {V} _ {n} ^ {1} - ^ {0} \mathbf {V} _ {n} ^ {1} \\ ^ {t + \Delta t} \mathbf {V} _ {n} ^ {2} - ^ {0} \mathbf {V} _ {n} ^ {2} \\ ^ {t + \Delta t} \mathbf {V} _ {n} ^ {3} - ^ {0} \mathbf {V} _ {n} ^ {3} \\ ^ {t + \Delta t} \mathbf {V} _ {n} ^ {4} - ^ {0} \mathbf {V} _ {n} ^ {4} \end{array} \right]
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$$
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$$
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= \left[ \begin{array}{c c c c} \phi_ {1} & \phi_ {2} & \phi_ {3} & \phi_ {4} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} ^ {t + \Delta t} \mathbf {u} _ {1} \\ ^ {t + \Delta t} \mathbf {u} _ {2} \\ ^ {t + \Delta t} \mathbf {u} _ {3} \\ ^ {t + \Delta t} \mathbf {u} _ {4} \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c c c c} \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {1} \phi_ {1} & \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {2} \phi_ {2} & \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {3} \phi_ {3} & \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {4} \phi_ {4} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \Delta^ {t} \mathbf {V} _ {n} ^ {1} + \Delta^ {0} \mathbf {V} _ {n} ^ {1} \\ \Delta^ {t} \mathbf {V} _ {n} ^ {2} + \Delta^ {0} \mathbf {V} _ {n} ^ {2} \\ \Delta^ {t} \mathbf {V} _ {n} ^ {3} + \Delta^ {0} \mathbf {V} _ {n} ^ {3} \\ \Delta^ {t} \mathbf {V} _ {n} ^ {4} + \Delta^ {0} \mathbf {V} _ {n} ^ {4} \end{array} \right]
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$$
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$$
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\left(^ {t + \Delta t} \mathbf {V} _ {n} ^ {1} - ^ {0} \mathbf {V} _ {n} ^ {1} = ^ {t + \Delta t} \mathbf {V} _ {n} ^ {1} - ^ {t} \mathbf {V} _ {n} ^ {1} + ^ {t} \mathbf {V} _ {n} ^ {1} - ^ {0} \mathbf {V} _ {n} ^ {1} = \Delta^ {t} \mathbf {V} _ {n} ^ {1} + \Delta^ {0} \mathbf {V} _ {n} ^ {1}\right)
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$$
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$$
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= \left[ \begin{array}{l l l l} \phi_ {1} & \phi_ {2} & \phi_ {3} & \phi_ {4} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} ^ {t + \Delta t} \mathbf {u} _ {1} \\ ^ {t + \Delta t} \mathbf {u} _ {2} \\ ^ {t + \Delta t} \mathbf {u} _ {3} \\ ^ {t + \Delta t} \mathbf {u} _ {4} \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c c c c} \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {1} \phi_ {1} & \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {2} \phi_ {2} & \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {3} \phi_ {3} & \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {4} \phi_ {4} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} - \alpha_ {1} ^ {1 t} \mathbf {V} _ {2} ^ {1} + \alpha_ {2} ^ {1 t} \mathbf {V} _ {1} ^ {1} \\ - \alpha_ {1} ^ {2 t} \mathbf {V} _ {2} ^ {2} + \alpha_ {2} ^ {2 t} \mathbf {V} _ {1} ^ {2} \\ - \alpha_ {1} ^ {3 t} \mathbf {V} _ {2} ^ {3} + \alpha_ {2} ^ {3 t} \mathbf {V} _ {1} ^ {3} \\ - \alpha_ {1} ^ {4 t} \mathbf {V} _ {2} ^ {4} + \alpha_ {2} ^ {4 t} \mathbf {V} _ {1} ^ {4} \end{array} \right]
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$$
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$$
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+ \left[ \begin{array}{c c c c} \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {1} \phi_ {1} & \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {2} \phi_ {2} & \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {3} \phi_ {3} & \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {4} \phi_ {4} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \Delta^ {0} \mathbf {V} _ {n} ^ {1} \\ \Delta^ {0} \mathbf {V} _ {n} ^ {2} \\ \Delta^ {0} \mathbf {V} _ {n} ^ {3} \\ \Delta^ {0} \mathbf {V} _ {n} ^ {4} \end{array} \right]
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$$
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$$
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\Rightarrow^ {t + \Delta t} \mathbf {u} = ^ {t} \mathbf {N} ^ {t + \Delta t} \mathbf {u} _ {n} + ^ {0} \tilde {\mathbf {N}} \Delta^ {0} \tilde {\mathbf {X}} ^ {n}
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$$
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$$
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= \left[ \begin{array}{c c c c c c c c c c c c c c c} \phi_ {1} & - \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {1} \phi_ {1} \mathbf {v} _ {2} ^ {1} & \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {1} \phi_ {1} \mathbf {v} _ {1} ^ {1} & \phi_ {2} & - \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {2} \phi_ {2} \mathbf {v} _ {2} ^ {2} & \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {2} \phi_ {2} \mathbf {v} _ {1} ^ {2} & \phi_ {3} & - \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {3} \phi_ {3} \mathbf {v} _ {2} ^ {3} & \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {3} \phi_ {3} \mathbf {v} _ {1} ^ {3} & \phi_ {4} & - \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {4} \phi_ {4} \mathbf {v} _ {2} ^ {4} & \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {4} \phi_ {4} \mathbf {v} _ {1} ^ {4} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} t + \Delta t \mathbf {u} _ {1} \\ \alpha_ {1} ^ {1} \\ \alpha_ {2} ^ {1} \\ t + \Delta t \mathbf {u} _ {2} \\ \alpha_ {1} ^ {2} \\ \alpha_ {2} ^ {2} \\ t + \Delta t \mathbf {u} _ {3} \\ \alpha_ {1} ^ {3} \\ \alpha_ {2} ^ {3} \\ t + \Delta t \mathbf {u} _ {4} \\ \alpha_ {1} ^ {4} \\ \alpha_ {2} ^ {4} \end{array} \right]
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$$
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$$
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+ \left[ \begin{array}{c c c c} \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {1} \phi_ {1} & \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {2} \phi_ {2} & \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {3} \phi_ {3} & \frac {\xi^ {3}}{2} h _ {4} \phi_ {4} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \Delta^ {0} \mathbf {v} _ {n} ^ {1} \\ \Delta^ {0} \mathbf {v} _ {n} ^ {2} \\ \Delta^ {0} \mathbf {v} _ {n} ^ {3} \\ \Delta^ {0} \mathbf {v} _ {n} ^ {4} \end{array} \right]
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# 3. FE Formulation
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현재 형상(t+Δt)에서의 평형방정식은 다음과 같다.
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\nabla_ {X} \cdot^ {t + \Delta t} \boldsymbol {\sigma} + \rho^ {t + \Delta t} \mathbf {f} = \rho^ {t + \Delta t} \ddot {\mathbf {u}}
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가상일 원리를 적용하면
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\begin{array}{l} \int_ {V} \delta^ {t + \Delta t} \mathbf {u} \cdot \left(\nabla_ {X} \cdot^ {t + \Delta t} \boldsymbol {\sigma} + \rho^ {t + \Delta t} \mathbf {f}\right) d V = \int_ {V} \delta^ {t + \Delta t} \mathbf {u} \cdot \rho^ {t + \Delta t} \ddot {\mathbf {u}} d V \\ \Rightarrow \int_ {V} \delta u _ {i} \left(\frac {\partial \sigma_ {i j}}{\partial x _ {j}} + \rho f _ {i}\right) d V = \int_ {V} \delta u _ {i} \cdot \rho \ddot {u} _ {i} d V \quad \left(\delta u _ {i} \frac {\partial \sigma_ {i j}}{\partial x _ {j}} = \frac {\partial \left(\delta u _ {i} \sigma_ {i j}\right)}{\partial x _ {j}} - \frac {\partial \delta u _ {i}}{\partial x _ {j}} \sigma_ {i j}\right) \\ \Rightarrow \int_ {V} \left\{\frac {\partial \left(\delta u _ {i} \sigma_ {i j}\right)}{\partial x _ {j}} - \frac {\partial \delta u _ {i}}{\partial x _ {j}} \sigma_ {i j} + \delta u _ {i} \rho f _ {i} \right\} d V = \int_ {V} \delta u _ {i} \cdot \rho \ddot {u} _ {i} d V \quad \rightarrow \text { Gauss's divergence theorem } \\ \end{array}
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\Rightarrow \int_ {\partial V} \delta u _ {i} \sigma_ {i j} n _ {j} d A + \int_ {V} \left\{- \frac {\partial \delta u _ {i}}{\partial x _ {j}} \sigma_ {i j} + \delta u _ {i} \rho f _ {i} \right\} d V = \int_ {V} \delta u _ {i} \cdot \rho \ddot {u} _ {i} d V \quad \left(\text { geometric B . C 瓦 natural B . C }\right)
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\Rightarrow \int_ {\partial V _ {g}} \delta u _ {i} \sigma_ {i j} n _ {j} d A + \int_ {\partial V _ {m}} \delta u _ {i} \bar {t} _ {i} d A + \int_ {V} \left\{- \frac {\partial \delta u _ {i}}{\partial x _ {j}} \sigma_ {i j} + \delta u _ {i} \rho f _ {i} \right\} d V = \int_ {V} \delta u _ {i} \cdot \rho \ddot {u} _ {i} d V
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\left(\int_ {\partial V _ {g}} \delta u _ {i} \sigma_ {i j} n _ {j} d A = 0, \text { 기하학적 경계조건에서 가상변위가 } 0\right)
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$$
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\Rightarrow \int_ {\partial V _ {m}} \delta u _ {i} \bar {t} _ {i} d A + \int_ {V} \left\{- \frac {\partial \delta u _ {i}}{\partial x _ {j}} \sigma_ {i j} + \delta u _ {i} \rho f _ {i} \right\} d V = \int_ {V} \delta u _ {i} \cdot \rho \ddot {u} _ {i} d V
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$$
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$$
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\left(\frac {\partial \delta u _ {i}}{\partial x _ {j}} \sigma_ {i j} = \frac {1}{2} \left(\frac {\partial \delta u _ {i}}{\partial x _ {j}} + \frac {\partial \delta u _ {i}}{\partial x _ {j}}\right) \sigma_ {i j} = \delta \varepsilon_ {i j} \sigma_ {i j}\right)
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\Rightarrow \int_ {\partial V _ {m}} \delta u _ {i} \bar {t} _ {i} d A + \int_ {V} \delta u _ {i} \rho f _ {i} d V = \int_ {V} \delta u _ {i} \cdot \rho \ddot {u} _ {i} d V + \int_ {V} \delta \varepsilon_ {i j} \sigma_ {i j} d V
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$$
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비선형 해석을 위해 하중을 조금씩 증가시켜 물체의 변형을 순차적으로 구해 나가며 이러한 반복계산에 있어 기준이 되는 물체의 형상을 설정하는 방법에는 크게 Total Lagrange formulation과 Updated Lagrange formulation이 있다. Total Lagrange formulation은 변형과 관련된 변수들을 초기형상을 이용하여 정의하고 Updated Lagrange formulation은 변수들을 현재 변형된 형상으로 정의한다.
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$$
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\int_ {V} \delta u _ {i} \cdot \rho \ddot {u} _ {i} d V + \int_ {V} \delta \varepsilon_ {i j} \sigma_ {i j} d V = \int_ {\partial V _ {m}} \delta u _ {i} \overline {{t}} _ {i} d A + \int_ {V} \delta u _ {i} \rho f _ {i} d V
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\left( \begin{array}{l} \int_ {V} (\bullet) d V = \int_ {V _ {0}} (\bullet) \det (\mathbf {F}) d V _ {0} = \int_ {V _ {0}} (\bullet) J d V _ {0} \\ \int_ {\partial V} (\bullet) \mathbf {n} d A = \int_ {\partial V} (\bullet) J \mathbf {F} ^ {- T} \tilde {\mathbf {n}} d A (N a n s o n ^ {\prime} s f o r m u l a) \\ \int_ {V _ {0}} \delta \varepsilon_ {i j} \sigma_ {i j} d V _ {0} = \int_ {V _ {0}} \delta F _ {i j} P _ {i j} d V _ {0} = \int_ {V _ {0}} \delta E _ {i j} S _ {i j} d V _ {0} \end{array} \right)
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\Rightarrow \int_ {V _ {0}} \delta u _ {i} \cdot \rho J \ddot {u} _ {i} d V _ {0} + \int_ {V _ {0}} \delta E _ {i j} S _ {i j} d V _ {0} = \int_ {\partial V _ {0 m}} \delta u _ {i} \sigma_ {i j} J \left[ F ^ {- T} \right] _ {k j} \tilde {n} _ {k} d A _ {0} + \int_ {V _ {0}} \delta u _ {i} \rho J f _ {i} d V _ {0}
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\Rightarrow \int_ {V _ {0}} \delta u _ {i} \cdot \rho_ {0} \ddot {u} _ {i} d V _ {0} + \int_ {V _ {0}} \delta E _ {i j} S _ {i j} d V _ {0} = \int_ {\partial V _ {0 m}} \delta u _ {i} \sigma_ {i j} J \left[ F ^ {- T} \right] _ {k j} \tilde {n} _ {k} d A _ {0} + \int_ {V _ {0}} \delta u _ {i} \rho_ {0} f _ {i} d V _ {0}
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\Rightarrow \int_ {V _ {0}} \delta^ {t + \Delta t} \mathbf {u} \cdot \rho_ {0} ^ {t + \Delta t} \ddot {\mathbf {u}} d V _ {0} + \int_ {V _ {0}} \delta^ {t + \Delta t} _ {0} \mathbf {E} \cdot {} _ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {S} d V _ {0} = \int_ {\partial V _ {0 m}} \delta^ {t + \Delta t} \mathbf {u} J ^ {t + \Delta t} \boldsymbol {\sigma} F ^ {- T t + \Delta t} \tilde {\mathbf {n}} d A _ {0} + \int_ {V _ {0}} \delta^ {t + \Delta t} \mathbf {u} \rho_ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {f} d V _ {0}
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\left(J \boldsymbol {\sigma} F ^ {- T} = \mathbf {P} = \mathbf {F S}\right)
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위 식을 정리하면 다음과 같다.
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\int_ {V _ {0}} \delta^ {t + \Delta t} \mathbf {u} \cdot \rho_ {0} ^ {t + \Delta t} \ddot {\mathbf {u}} d V _ {0} + \int_ {V _ {0}} \delta^ {t + \Delta t} _ {0} \mathbf {E} \cdot {} _ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {S} d V _ {0} = \int_ {\partial V _ {0 m}} \delta^ {t + \Delta t} \mathbf {u} ^ {t + \Delta t} _ {0} \mathbf {F} ^ {t + \Delta t} _ {0} \mathbf {S} ^ {t + \Delta t} \tilde {\mathbf {n}} d A _ {0} + \int_ {V _ {0}} \delta^ {t + \Delta t} \mathbf {u} \rho_ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {f} d V _ {0}
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$$
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$$
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\Leftrightarrow \int_ {V _ {0}} \delta^ {t + \Delta t} \mathbf {u} \cdot \rho_ {0} ^ {t + \Delta t} \ddot {\mathbf {u}} d V _ {0} + \int_ {V _ {0}} \delta_ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {F}: _ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {P} d V _ {0} = \int_ {\partial V _ {0 m}} \delta^ {t + \Delta t} \mathbf {u} _ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {P} ^ {t + \Delta t} \tilde {\mathbf {n}} d A _ {0} + \int_ {V _ {0}} \delta^ {t + \Delta t} \mathbf {u} \rho_ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {f} d V _ {0}
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$$
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E 는 Green-Lagrange strain, S 는 2 $^{nd}$ PK stress, P 는 1 $^{st}$ PK stress, F 는 deformation gradient를 나타낸다. 여기에서는 Green-Lagrange strain과 2 $^{nd}$ PK stress를 사용한다.
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\int_ {V _ {0}} \delta^ {t + \Delta t} \mathbf {u} \cdot \rho_ {0} ^ {t + \Delta t} \ddot {\mathbf {u}} d V _ {0} + \int_ {V _ {0}} \delta_ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {E} \cdot {} _ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {S} d V _ {0} = \int_ {\partial V _ {0 m}} \delta^ {t + \Delta t} \mathbf {u} _ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {F} _ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {S} ^ {t + \Delta t} \tilde {\mathbf {n}} d A _ {0} + \int_ {V _ {0}} \delta^ {t + \Delta t} \mathbf {u} \rho_ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {f} d V _ {0}
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$$
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먼저 좌변을 살펴보면 첫 번째 항을 다음과 같이 정리 할 수 있다.
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\int_ {V _ {0}} \delta^ {t + \Delta t} \mathbf {u} \cdot \rho^ {t + \Delta t} \ddot {\mathbf {u}} J d V _ {0} = \int_ {V _ {0}} \delta \left(^ {t} \mathbf {N} ^ {t + \Delta t} \mathbf {u} _ {n} + ^ {0} \tilde {\mathbf {N}} \Delta^ {0} \tilde {\mathbf {X}} _ {n}\right) \cdot \rho^ {t} \mathbf {N} ^ {t + \Delta t} \ddot {\mathbf {u}} J d V _ {0}
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$$
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= \int_ {V _ {0}} \delta \left(^ {t} \mathbf {N} ^ {t + \Delta t} \mathbf {u} _ {n}\right) \cdot \rho \left(^ {t} \mathbf {N} ^ {t + \Delta t} \ddot {\mathbf {u}}\right) J d V _ {0}
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$$
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$$
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= \left[ \delta^ {t + \Delta t} \mathbf {u} _ {n} \right] ^ {T} \int_ {V _ {0}} \rho \left[ ^ {t} \mathbf {N} \right] ^ {T} \left[ ^ {t} \mathbf {N} \right] J d V _ {0} \left[ ^ {t + \Delta t} \ddot {\mathbf {u}} _ {n} \right]
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두 번째 항도 마찬가지로 다음과 같이 정리 할 수 있다. 먼저 Green-Lagrange strain은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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\begin{array}{l} { } _ { 0 } ^ { t + \Delta t } \mathbf { E } = \frac { 1 } { 2 } \Big ( { } _ { 0 } ^ { t + \Delta t } \mathbf { g } _ { i } \cdot { } _ { 0 } ^ { t + \Delta t } \mathbf { g } _ { j } - { } _ { 0 } \mathbf { G } _ { i } \cdot { } _ { 0 } \mathbf { G } _ { j } \Big ) \Big ( { } _ { 0 } \mathbf { G } ^ { i } \otimes _ { 0 } \mathbf { G } ^ { j } \Big ) \\ = \frac {1}{2} \left(\frac {\partial_ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {x}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial_ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {x}}{\partial \xi^ {j}} - \frac {\partial^ {0} \mathbf {X}}{\partial \xi^ {j}} \cdot \frac {\partial^ {0} \mathbf {X}}{\partial \xi^ {j}}\right) \left(_ {0} \mathbf {G} ^ {i} \otimes_ {0} \mathbf {G} ^ {j}\right) \\ = \frac {1}{2} \left(\frac {\partial \left(^ {0} \mathbf {X} + ^ {t + \Delta t} \mathbf {u}\right)}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial \left(^ {0} \mathbf {X} + ^ {t + \Delta t} \mathbf {u}\right)}{\partial \xi^ {j}} - \frac {\partial^ {0} \mathbf {X}}{\partial \xi^ {j}} \cdot \frac {\partial^ {0} \mathbf {X}}{\partial \xi^ {j}}\right) \left(_ {0} \mathbf {G} ^ {i} \otimes_ {0} \mathbf {G} ^ {j}\right) \\ = \frac {1}{2} \left(\frac {\partial^ {0} \mathbf {X}}{\partial \xi^ {j}} \cdot \frac {\partial^ {0} \mathbf {X}}{\partial \xi^ {j}} + \frac {\partial^ {0} \mathbf {X}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial^ {t + \Delta t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {j}} + \frac {\partial^ {t + \Delta t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial^ {0} \mathbf {X}}{\partial \xi^ {j}} + \frac {\partial^ {t + \Delta t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial^ {t + \Delta t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {j}} - \frac {\partial^ {0} \mathbf {X}}{\partial \xi^ {j}} \cdot \frac {\partial^ {0} \mathbf {X}}{\partial \xi^ {j}}\right) \left(_ {0} \mathbf {G} ^ {i} \otimes_ {0} \mathbf {G} ^ {j}\right) \\ = \frac {1}{2} \left(\frac {\partial^ {0} \mathbf {X}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial \left(^ {t} \mathbf {u} + \Delta^ {t} \mathbf {u}\right)}{\partial \xi^ {j}} + \frac {\partial \left(^ {t} \mathbf {u} + \Delta^ {t} \mathbf {u}\right)}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial^ {0} \mathbf {X}}{\partial \xi^ {j}} + \frac {\partial \left(^ {t} \mathbf {u} + \Delta^ {t} \mathbf {u}\right)}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial \left(^ {t} \mathbf {u} + \Delta^ {t} \mathbf {u}\right)}{\partial \xi^ {j}}\right) \left(_ {0} \mathbf {G} ^ {i} \otimes_ {0} \mathbf {G} ^ {j}\right) \\ \end{array}
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정리하면 Green-Lagrange strain을 Δu에 대한 상수 term, 선형 term, 비선형 term으로 나눌 수 있다.
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{ } _ { 0 } ^ { t + \Delta t } \mathbf { E } = { } _ { 0 } ^ { t + \Delta t } \mathbf { E } _ { 0 } + { } _ { 0 } ^ { t + \Delta t } \mathbf { E } _ { C } + { } _ { 0 } ^ { t + \Delta t } \mathbf { E } _ { L }
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\left( \begin{array}{l} ^ {t + \Delta t} _ {0} \mathbf {E} _ {0} = \frac {1}{2} \left(\frac {\partial^ {0} \mathbf {X}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial^ {t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {j}} + \frac {\partial^ {t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial^ {0} \mathbf {X}}{\partial \xi^ {j}} + \frac {\partial^ {t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial^ {t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {j}}\right) \left(_ {0} \mathbf {G} ^ {i} \otimes_ {0} \mathbf {G} ^ {j}\right) \\ ^ {t + \Delta t} _ {0} \mathbf {E} _ {C} = \frac {1}{2} \left(\frac {\partial^ {t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial \Delta^ {t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {j}} + \frac {\partial^ {0} \mathbf {X}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial \Delta^ {t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {j}} + \frac {\partial \Delta^ {t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial^ {0} \mathbf {X}}{\partial \xi^ {j}} + \frac {\partial \Delta^ {t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial^ {t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {j}}\right) \left(_ {0} \mathbf {G} ^ {i} \otimes_ {0} \mathbf {G} ^ {j}\right) \\ ^ {t + \Delta t} _ {0} \mathbf {E} ^ {L} = \frac {1}{2} \left(\frac {\partial \Delta^ {t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial \Delta^ {t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {j}}\right) \left(_ {0} \mathbf {G} ^ {i} \otimes_ {0} \mathbf {G} ^ {j}\right) \end{array} \right)
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와 같다. 두 번째 항을 위의 표현으로 나타내면
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\int_ {V _ {0}} \delta^ {t + \Delta t} _ {0} \mathbf {E}: ^ {t + \Delta t} _ {0} \mathbf {S} d V _ {0} = \int_ {V _ {0}} \delta^ {t + \Delta t} _ {0} \mathbf {E}: ^ {t + \Delta t} _ {0} \mathbf {C}: ^ {t + \Delta t} _ {0} \mathbf {E} d V _ {0}
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= \int_ {V _ {0}} \left(\underbrace {\delta_ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {E} _ {0}} _ {0} + \delta_ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {E} _ {C} + \delta_ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {E} _ {L}\right): _ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {C}: \left(_ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {E} _ {0} + _ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {E} _ {C} + _ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {E} _ {L}\right) d V _ {0}
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$$
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$$
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= \int_ {V _ {0}} \underbrace {\delta^ {t + \Delta t} \mathbf {E} _ {C} : _ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {C} : _ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {E} _ {0}} _ {\text {constant term}} d V _ {0} + \int_ {V _ {0}} \underbrace {\delta^ {t + \Delta t} \mathbf {E} _ {C} : _ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {C} : _ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {E} _ {C} + \delta^ {t + \Delta t} \mathbf {E} _ {L} : _ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {C} : _ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {E} _ {0}} _ {\text {linear term}} d V _ {0}
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$$
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$$
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+ \int_ {V _ {0}} \underbrace {\delta^ {t + \Delta t} \mathbf {E} _ {C} : {} _ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {C} : {} _ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {E} _ {L} + \delta^ {t + \Delta t} \mathbf {E} _ {L} : {} _ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {C} : {} _ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {E} _ {C} + \delta^ {t + \Delta t} \mathbf {E} _ {L} : {} _ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {C} : {} _ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {E} _ {L}} _ {\text {high order term}} d V _ {0}
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와 같다. 이후 선형화 시키고(High order term 무시) component형태로 나타내면 아래와 같다.
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\int_ {V _ {0}} \underbrace {\delta_ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {E} _ {C} : _ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {C} : _ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {E} _ {0}} _ {\text {constant term}} d V _ {0} + \int_ {V _ {0}} \underbrace {\delta_ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {E} _ {C} : _ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {C} : _ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {E} _ {C} + \delta_ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {E} _ {L} : _ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {C} : _ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {E} _ {0}} _ {\text {linear term}} d V _ {0}
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$$
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$$
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= \int_ {V _ {0}} \underbrace {\left[ \delta_ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {E} _ {C} \right] _ {i j} \left[ \begin{array}{c} t + \Delta t \\ 0 \end{array} \mathbf {C} \right] ^ {i j k l} \left[ \begin{array}{c} t + \Delta t \\ 0 \end{array} \mathbf {E} _ {0} \right] _ {k l}} _ {\text { constant term }} d V _ {0}
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$$
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$$
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+ \int_ {V _ {0}} \underbrace {\left[ \delta_ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {E} _ {C} \right] _ {i j} \left[ \begin{array}{c} t + \Delta t \\ 0 \end{array} \mathbf {C} \right] ^ {i j k l} \left[ \begin{array}{c} t + \Delta t \\ 0 \end{array} \mathbf {E} _ {C} \right] _ {k l} + \left[ \delta_ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {E} _ {L} \right] _ {i j} \left[ \begin{array}{c} t + \Delta t \\ 0 \end{array} \mathbf {C} \right] ^ {i j k l} \left[ \begin{array}{c} t + \Delta t \\ 0 \end{array} \mathbf {E} _ {0} \right] _ {k l}} _ {\text {linear term}} d V _ {0}
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$$
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$$
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= \int_ {V _ {0}} \underbrace {\left[ \delta_ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {E} _ {C} \right] _ {i j} \left[ \begin{array}{c} t + \Delta t \\ 0 \end{array} \mathbf {S} _ {0} \right] ^ {i j}} _ {\text {constant term}} d V _ {0} + \int_ {V _ {0}} \underbrace {\left[ \delta_ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {E} _ {C} \right] _ {i j} \left[ \begin{array}{c} t + \Delta t \\ 0 \end{array} \mathbf {S} _ {C} \right] ^ {i j} + \left[ \delta_ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {E} _ {L} \right] _ {i j} \left[ \begin{array}{c} t + \Delta t \\ 0 \end{array} \mathbf {S} _ {0} \right] ^ {i j}} _ {\text {linear term}} d V _ {0}
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$$
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Green-Lagrange strain의 변분을 구해보면 다음과 같다. 변분은 incremental displacement에만 적용되는데 이는 incremental displacement가 정의되지 않았기 때문이다. 따라서 $\delta^{t+\Delta t}\mathbf{u}=\delta\left(^{t}\mathbf{u}+\Delta^{t}\mathbf{u}\right)=\delta\Delta^{t}\mathbf{u}$ 이고 $\delta^{t+\Delta t}_{0}\mathbf{E}_{0}=0$ 이 성립한다.
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\delta_ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {E} _ {C} = \frac {1}{2} \left(\frac {\partial^ {0} \mathbf {X}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial \delta^ {t + \Delta t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {j}} + \frac {\partial \delta^ {t + \Delta t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial^ {0} \mathbf {X}}{\partial \xi^ {j}} + \frac {\partial \delta^ {t + \Delta t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial^ {t + \Delta t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {j}} + \frac {\partial^ {t + \Delta t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial \delta^ {t + \Delta t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {j}}\right) \left(_ {0} \mathbf {G} ^ {i} \otimes_ {0} \mathbf {G} ^ {j}\right)
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$$
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\delta_ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {E} _ {L} = \frac {1}{2} \left(\frac {\partial \delta^ {t + \Delta t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial \Delta_ {0} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {j}} + \frac {\partial \Delta_ {0} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial \delta^ {t + \Delta t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {j}}\right) \left(_ {0} \mathbf {G} ^ {i} \otimes_ {0} \mathbf {G} ^ {j}\right)
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Component form으로 나타내면
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\begin{array}{l} \left[ \begin{array}{c} t + \Delta t \\ 0 \end{array} \mathbf {E} _ {0} \right] _ {i j} = \frac {1}{2} \left(\frac {\partial^ {0} \mathbf {X}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial^ {t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {j}} + \frac {\partial^ {t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial^ {0} \mathbf {X}}{\partial \xi^ {j}} + \frac {\partial^ {t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial^ {t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {j}}\right) \\ = \left[ ^ {0} \mathbf {X} _ {n} \right] ^ {T} \frac {1}{2} \left\{\left[ \frac {\partial^ {0} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {i}} \right] ^ {T} \left[ \frac {\partial^ {0} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {j}} \right] + \left[ \frac {\partial^ {0} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {i}} \right] ^ {T} \left[ \frac {\partial^ {0} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {j}} \right] \right\} \left[ ^ {t} \mathbf {x} _ {n} - ^ {0} \mathbf {X} _ {n} \right] \\ + \frac {1}{2} \left[ ^ {t} \mathbf {x} _ {n} - ^ {0} \mathbf {X} _ {n} \right] ^ {T} \left[ \frac {\partial^ {0} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {i}} \right] ^ {T} \left[ \frac {\partial^ {0} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {j}} \right] \left[ ^ {t} \mathbf {x} _ {n} - ^ {0} \mathbf {X} _ {n} \right] \\ = \left[ ^ {0} \mathbf {X} _ {n} \right] ^ {T} \frac {1}{2} \left\{\left[ \frac {\partial^ {0} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {i}} \right] ^ {T} \left[ \frac {\partial^ {0} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {j}} \right] + \left[ \frac {\partial^ {0} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {i}} \right] ^ {T} \left[ \frac {\partial^ {0} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {j}} \right] \right\} \left[ ^ {t} \mathbf {x} _ {n} - ^ {0} \mathbf {X} _ {n} \right] \\ + \frac {1}{2} \left[ ^ {t} \mathbf {x} _ {n} - ^ {0} \mathbf {X} _ {n} \right] ^ {T} \frac {1}{2} \left\{\left[ \frac {\partial^ {0} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {i}} \right] ^ {T} \left[ \frac {\partial^ {0} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {j}} \right] + \left[ \frac {\partial^ {0} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {i}} \right] ^ {T} \left[ \frac {\partial^ {0} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {j}} \right] \right\} \left[ ^ {t} \mathbf {x} _ {n} - ^ {0} \mathbf {X} _ {n} \right] \\ = \frac {1}{2} \left[ ^ {t} \mathbf {x} _ {n} + ^ {0} \mathbf {X} _ {n} \right] ^ {T} \underbrace {\frac {1}{2} \left\{\left[ \frac {\partial^ {0} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {i}} \right] ^ {T} \left[ \frac {\partial^ {0} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {j}} \right] + \left[ \frac {\partial^ {0} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {i}} \right] ^ {T} \left[ \frac {\partial^ {0} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {j}} \right] \right\}} _ {[ \mathbf {e} ] _ {i j}} \left[ ^ {t} \mathbf {x} _ {n} - ^ {0} \mathbf {X} _ {n} \right] \\ \end{array}
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$$
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$$
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\left[ \begin{array}{c} t + \Delta t \\ 0 \end{array} \mathbf {E} _ {C} \right] _ {i j} = \frac {1}{2} \left(\frac {\partial^ {t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial \Delta^ {t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {j}} + \frac {\partial^ {0} \mathbf {X}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial \Delta^ {t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {j}} + \frac {\partial \Delta^ {t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial^ {0} \mathbf {X}}{\partial \xi^ {j}} + \frac {\partial \Delta^ {t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial^ {t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {j}}\right)
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$$
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$$
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= \left[ ^ {0} \mathbf {X} _ {n} \right] ^ {T} \frac {1}{2} \left\{\left[ \frac {\partial^ {0} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {i}} \right] ^ {T} \left[ \frac {\partial^ {t} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {j}} \right] + \left[ \frac {\partial^ {t} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {i}} \right] ^ {T} \left[ \frac {\partial^ {0} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {j}} \right] \right\} \left[ \Delta^ {t} \mathbf {u} _ {n} \right]
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$$
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$$
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+ \left[ ^ {t} \mathbf {x} _ {n} - ^ {0} \mathbf {X} _ {n} \right] ^ {T} \frac {1}{2} \left\{\left[ \frac {\partial^ {t} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {i}} \right] ^ {T} \left[ \frac {\partial^ {0} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {j}} \right] + \left[ \frac {\partial^ {0} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {i}} \right] ^ {T} \left[ \frac {\partial^ {t} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {j}} \right] \right\} \left[ \Delta^ {t} \mathbf {u} _ {n} \right]
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$$
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$$
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= \left[ ^ {t} \mathbf {x} _ {n} \right] ^ {T} \underbrace {\frac {1}{2} \left\{\left[ \frac {\partial^ {0} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {i}} \right] ^ {T} \left[ \frac {\partial^ {t} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {j}} \right] + \left[ \frac {\partial^ {t} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {i}} \right] ^ {T} \left[ \frac {\partial^ {0} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {j}} \right] \right\}} _ {[ \mathbf {a} ] _ {i j}} \left[ \Delta^ {t} \mathbf {u} _ {n} \right]
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$$
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$$
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\begin{array}{l} \left[ \begin{array}{c} ^ {t + \Delta t} _ {0} \mathbf {E} _ {L} \end{array} \right] _ {i j} = \frac {1}{2} \left(\frac {\partial \Delta^ {t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial \Delta^ {t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {j}}\right) \\ = \left[ \Delta^ {t} \mathbf {u} _ {n} \right] ^ {T} \frac {1}{2} \left[ \frac {\partial^ {t} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {i}} \right] ^ {T} \left[ \frac {\partial^ {t} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {j}} \right] \left[ \Delta^ {t} \mathbf {u} _ {n} \right] \\ \end{array}
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$$
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\left[ \delta_ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {E} _ {C} \right] _ {i j} = \frac {1}{2} \left(\frac {\partial^ {0} \mathbf {X}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial \delta^ {t + \Delta t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {j}} + \frac {\partial \delta^ {t + \Delta t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial^ {0} \mathbf {X}}{\partial \xi^ {j}} + \frac {\partial \delta^ {t + \Delta t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial^ {t + \Delta t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {j}} + \frac {\partial^ {t + \Delta t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial \delta^ {t + \Delta t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {j}}\right)
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$$
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$$
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= \frac {1}{2} \left( \begin{array}{c} \frac {\partial^ {0} \mathbf {X}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial \delta \left(^ {t} \mathbf {N} ^ {t + \Delta t} \mathbf {u} _ {n} + ^ {0} \tilde {\mathbf {N}} \Delta^ {0} \tilde {\mathbf {X}} _ {n}\right)}{\partial \xi^ {j}} + \frac {\partial \delta \left(^ {t} \mathbf {N} ^ {t + \Delta t} \mathbf {u} _ {n} + ^ {0} \tilde {\mathbf {N}} \Delta^ {0} \tilde {\mathbf {X}} _ {n}\right)}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial^ {0} \mathbf {X}}{\partial \xi^ {j}} \\ + \frac {\partial \left(^ {t} \mathbf {N} ^ {t + \Delta t} \mathbf {u} _ {n} + ^ {0} \tilde {\mathbf {N}} \Delta^ {0} \tilde {\mathbf {X}} _ {n}\right)}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial^ {t + \Delta t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {j}} + \frac {\partial^ {t + \Delta t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial \left(^ {t} \mathbf {N} ^ {t + \Delta t} \mathbf {u} _ {n} + ^ {0} \tilde {\mathbf {N}} \Delta^ {0} \tilde {\mathbf {X}} _ {n}\right)}{\partial \xi^ {j}} \end{array} \right)
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$$
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$$
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= \frac {1}{2} \left(\frac {\partial^ {0} \mathbf {X}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial \delta^ {t} \mathbf {N} ^ {t + \Delta t} \mathbf {u} _ {n}}{\partial \xi^ {j}} + \frac {\partial \delta^ {t} \mathbf {N} ^ {t + \Delta t} \mathbf {u} _ {n}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial^ {0} \mathbf {X}}{\partial \xi^ {j}} + \frac {\partial^ {t} \mathbf {N} ^ {t + \Delta t} \mathbf {u} _ {n}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial^ {t + \Delta t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {j}} + \frac {\partial^ {t + \Delta t} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial^ {t} \mathbf {N} ^ {t + \Delta t} \mathbf {u} _ {n}}{\partial \xi^ {j}}\right)
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$$
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$$
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= \left[ \boldsymbol {\delta} ^ {t + \Delta t} \mathbf {u} _ {n} \right] ^ {T} \frac {1}{2} \left\{\left[ \frac {\partial^ {0} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {i}} \right] ^ {T} \left[ \frac {\partial^ {t} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {j}} \right] + \left[ \frac {\partial^ {t} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {i}} \right] ^ {T} \left[ \frac {\partial^ {0} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {j}} \right] \right\} \left[ ^ {0} \mathbf {X} _ {n} \right]
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$$
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$$
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+ \left[ \delta^ {t + \Delta t} \mathbf {u} _ {n} \right] ^ {T} \frac {1}{2} \left\{\left[ \frac {\partial^ {t} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {i}} \right] ^ {T} \left[ \frac {\partial^ {0} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {j}} \right] + \left[ \frac {\partial^ {0} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {i}} \right] ^ {T} \left[ \frac {\partial^ {t} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {j}} \right] \right\} \left[ ^ {t} \mathbf {x} _ {n} - ^ {0} \mathbf {X} _ {n} \right]
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$$
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= \left[ \delta^ {t + \Delta t} \mathbf {u} _ {n} \right] ^ {T} \underbrace {\frac {1}{2} \left\{\left[ \frac {\partial^ {0} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {i}} \right] ^ {T} \left[ \frac {\partial^ {t} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {j}} \right] + \left[ \frac {\partial^ {t} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {i}} \right] ^ {T} \left[ \frac {\partial^ {0} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {j}} \right] \right\}} _ {[ \mathbf {a} ] _ {i j}} \left[ ^ {t} \mathbf {x} _ {n} \right]
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$$
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$$
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\left[ \delta_ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {E} _ {L} \right] _ {i j} = \frac {1}{2} \left(\frac {\partial \delta \left(^ {t} \mathbf {N} ^ {t + \Delta t} \mathbf {u} _ {n} + ^ {0} \tilde {\mathbf {N}} \Delta^ {0} \tilde {\mathbf {X}} _ {n}\right)}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial \Delta_ {0} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {j}} + \frac {\partial \Delta_ {0} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial \delta \left(^ {t} \mathbf {N} ^ {t + \Delta t} \mathbf {u} _ {n} + ^ {0} \tilde {\mathbf {N}} \Delta^ {0} \tilde {\mathbf {X}} _ {n}\right)}{\partial \xi^ {j}}\right)
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$$
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= \frac {1}{2} \left(\frac {\partial \delta^ {t} \mathbf {N} ^ {t + \Delta t} \mathbf {u} _ {n}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial \Delta_ {0} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {j}} + \frac {\partial \Delta_ {0} \mathbf {u}}{\partial \xi^ {i}} \cdot \frac {\partial \delta^ {t} \mathbf {N} ^ {t + \Delta t} \mathbf {u} _ {n}}{\partial \xi^ {j}}\right)
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$$
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= \left[ \delta^ {t + \Delta t} \mathbf {u} _ {n} \right] ^ {T} \underbrace {\frac {1}{2} \left(\left[ \frac {\partial^ {t} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {i}} \right] ^ {T} \cdot \left[ \frac {\partial^ {t} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {j}} \right] + \left[ \frac {\partial^ {t} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {i}} \right] ^ {T} \cdot \left[ \frac {\partial^ {t} \mathbf {N}}{\partial \xi^ {j}} \right]\right)} _ {[ \mathbf {c} ] _ {i j}} \left[ \Delta^ {t} \mathbf {u} _ {n} \right]
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다시 가상일 항으로 돌아와서 위에 구한 Green-Lagrange strain을 대입하면
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\int_ {V _ {0}} \underbrace {\left[ \delta_ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {E} _ {C} \right] _ {i j} \left[ \begin{array}{c} t + \Delta t \\ 0 \end{array} \mathbf {S} _ {0} \right] ^ {i j}} _ {\text {constant term}} d V _ {0} + \int_ {V _ {0}} \underbrace {\left[ \delta_ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {E} _ {C} \right] _ {i j} \left[ \begin{array}{c} t + \Delta t \\ 0 \end{array} \mathbf {S} _ {C} \right] ^ {i j} + \left[ \delta_ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {E} _ {L} \right] _ {i j} \left[ \begin{array}{c} t + \Delta t \\ 0 \end{array} \mathbf {S} _ {0} \right] ^ {i j}} _ {\text {linear term}} d V _ {0}
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\left( \begin{array}{l} \left[ \delta_ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {E} _ {C} \right] _ {i j} \left[ \begin{array}{c} t + \Delta t \\ 0 \end{array} \mathbf {S} _ {0} \right] ^ {i j} = \left[ \delta^ {t + \Delta t} \mathbf {u} _ {n} \right] ^ {T} \left[ \mathbf {a} \right] _ {i j} \left[ \begin{array}{c} t \\ \mathbf {x} _ {n} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} t + \Delta t \\ 0 \end{array} \mathbf {C} \right] ^ {i j k l} \frac {1}{2} \left[ \begin{array}{c} t \\ \mathbf {x} _ {n} + ^ {0} \mathbf {X} _ {n} \end{array} \right] ^ {T} \left[ \mathbf {e} \right] _ {k l} \left[ \begin{array}{c} t \\ \mathbf {x} _ {n} - ^ {0} \mathbf {X} _ {n} \end{array} \right] \\ \left[ \delta_ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {E} _ {C} \right] _ {i j} \left[ \begin{array}{c} t + \Delta t \\ 0 \end{array} \mathbf {S} _ {C} \right] ^ {i j} = \left[ \delta^ {t + \Delta t} \mathbf {u} _ {n} \right] ^ {T} \left[ \mathbf {a} \right] _ {i j} \left[ \begin{array}{c} t \\ \mathbf {x} _ {n} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} t + {\Delta t} \\ 0 \end{array} \mathbf {C} \right] ^ {i j k l} \left[ \begin{array}{c} t \\ \mathbf {x} _ {n} \end{array} \right] ^ {T} \left[ \mathbf {a} \right] _ {k l} \left[ \begin{array}{c} \Delta^ {t} \mathbf {u} _ {n} \end{array} \right] \\ \left[ \delta_ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {E} _ {L} \right] _ {i j} \left[ \begin{array}{c} t + \Delta t \\ 0 \end{array} \mathbf {S} _ {0} \right] ^ {i j} = \left[ \delta^ {t + \Delta t} \mathbf {u} _ {n} \right] ^ {T} \left[ \mathbf {c} \right] _ {i j} \left[ \begin{array}{c} \Delta^ {t} \mathbf {u} _ {n} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} t + \Delta t \\ 0 \end{array} \mathbf {C} \right] ^ {i j k l} \frac {1}{2} \left[ \begin{array}{c} t \\ \mathbf {x} _ {n} + ^ {0} \mathbf {X} _ {n} \end{array} \right] ^ {T} \left[ \mathbf {e} \right] _ {k l} \left[ \begin{array}{c} t \\ \mathbf {x} _ {n} - ^ {0} \mathbf {X} _ {n} \end{array} \right] \end{array} \right)
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= \left[ \delta^ {t + \Delta t} \mathbf {u} _ {n} \right] ^ {T} \left\{ \begin{array}{l} \left(\int_ {V _ {0}} \left[ \mathbf {a} \right] _ {i j} \left[ \begin{array}{c} t + \Delta t \\ 0 \end{array} \mathbf {S} _ {0} \right] ^ {i j} d V _ {0}\right) \left[ \begin{array}{c} t \\ \mathbf {x} _ {n} \end{array} \right] \\ + \left(\int_ {V _ {0}} \left[ \mathbf {a} \right] _ {i j} \left[ \begin{array}{c} t \\ \mathbf {x} _ {n} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} t + \Delta t \\ 0 \end{array} \mathbf {C} \right] ^ {i j k l} \left[ \begin{array}{c} t \\ \mathbf {x} _ {n} \end{array} \right] ^ {T} \left[ \mathbf {a} \right] _ {k l} + \left[ \mathbf {c} \right] _ {i j} \left[ \begin{array}{c} t + \Delta t \\ 0 \end{array} \mathbf {S} _ {0} \right] ^ {i j} d V _ {0}\right) \left[ \Delta^ {t} \mathbf {u} _ {n} \right] \end{array} \right\}
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와 같다. 이제 우변의 항들을 정리해보면 아래와 같다. 여기서 body force에 대한 영향은 무시한다.
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\begin{array}{l} \int_ {\partial V _ {0 m}} \delta^ {t + \Delta t} \mathbf {u} _ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {F} _ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {S} ^ {t + \Delta t} \tilde {\mathbf {n}} d A _ {0} = \int_ {\partial V _ {0 m}} \delta \left(^ {t} \mathbf {N} ^ {t + \Delta t} \mathbf {u} _ {n} + ^ {0} \tilde {\mathbf {N}} \Delta^ {0} \tilde {\mathbf {X}} _ {n}\right) _ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {F} _ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {S} ^ {t + \Delta t} \tilde {\mathbf {n}} d A _ {0} \\ = \int_ {\partial V _ {0 m}} \delta \left(^ {t} \mathbf {N} ^ {t + \Delta t} \mathbf {u} _ {n}\right) _ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {F} _ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {S} ^ {t + \Delta t} \tilde {\mathbf {n}} d A _ {0} \\ = \left[ \delta^ {t + \Delta t} \mathbf {u} _ {n} \right] ^ {T} \int_ {\partial V _ {0 m}} \left[ ^ {t} \mathbf {N} \right] _ {0} ^ {T t + \Delta t} \mathbf {F} _ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {S} ^ {t + \Delta t} \tilde {\mathbf {n}} d A _ {0} \\ = \left[ \delta^ {t + \Delta t} \mathbf {u} _ {n} \right] ^ {T} \int_ {\partial V _ {0 m}} \left[ ^ {t} \mathbf {N} \right] ^ {T} [ \mathbf {t} ] d A _ {0} \\ \end{array}
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따라서 가상변위를 지워 모든 식을 정리하면
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\begin{array}{l} \int_ {V _ {0}} \delta^ {t + \Delta t} \mathbf {u} \cdot \rho_ {0} ^ {t + \Delta t} \ddot {\mathbf {u}} d V _ {0} + \int_ {V _ {0}} \delta^ {t + \Delta t} _ {0} \mathbf {E}: ^ {t + \Delta t} _ {0} \mathbf {S} d V _ {0} = \int_ {\partial V _ {0 m}} \delta^ {t + \Delta t} \mathbf {u} ^ {t + \Delta t} _ {0} \mathbf {F} ^ {t + \Delta t} _ {0} \mathbf {S} ^ {t + \Delta t} \tilde {\mathbf {n}} d A _ {0} + \int_ {V _ {0}} \delta^ {t + \Delta t} \mathbf {u} \rho_ {0} ^ {t + \Delta t} \mathbf {f} d V _ {0} \\ \Rightarrow \underbrace {\int_ {V _ {0}} \rho \left[ ^ {t} \mathbf {N} \right] ^ {T} \left[ ^ {t} \mathbf {N} \right] J d V _ {0}} _ {\mathbf {M}} ^ {t + \Delta t} \ddot {\mathbf {u}} + \underbrace {\int_ {V _ {0}} \left[ \mathbf {a} \right] _ {i j} \left[ ^ {t + \Delta t} {} _ {0} \mathbf {S} _ {0} \right] ^ {i j} d V _ {0} {} ^ {t} \mathbf {x}} _ {\mathbf {f} _ {\text {int}}} \\ + \underbrace {\int_ {V _ {0}} \left[ \mathbf {a} \right] _ {i j} \left[ ^ {t} \mathbf {x} _ {n} \right] \left[ ^ {t + \Delta t} _ {0} \mathbf {C} \right] ^ {i j k l} \left[ ^ {t} \mathbf {x} _ {n} \right] ^ {T} \left[ \mathbf {a} \right] _ {k l} + \left[ \mathbf {c} \right] _ {i j} \left[ ^ {t + \Delta t} _ {0} \mathbf {S} _ {0} \right] ^ {i j} d V _ {0}} _ {\mathbf {K} _ {t}} \Delta^ {t} \mathbf {u} = \underbrace {\int_ {\partial V _ {0 m}} \left[ ^ {t} \mathbf {N} \right] ^ {T} [ \mathbf {t} ] d A _ {0}} _ {\mathbf {P} _ {d i s t}} + \mathbf {P} _ {c o n} \\ \Rightarrow \mathbf {M} ^ {t + \Delta t} \ddot {\mathbf {u}} + \mathbf {K} _ {t} \Delta^ {t} \mathbf {u} = \mathbf {P} _ {\text { dist }} + \mathbf {P} _ {\text { con }} - \mathbf {f} _ {\text { int }} \\ \end{array}
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$$
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와 같이 정리할 수 있다. 여기서 M은 mass matrix, $K_{t}$ 는 tangent stiffness matrix, $P_{dist}$ 는 분포하중에 의한 힘, $P_{con}$ 는 집중하중, $f_{int}$ 는 변형에 의한 힘을 나타낸다.
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# 4. Constitutive matrix
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Plane stress 가정을 사용하는 구성행렬은 다음과 같다.
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\left[ \begin{array}{c} t + \Delta t \\ 0 \end{array} \mathbf {C} \right] _ {x ^ {1} x ^ {2} x ^ {3}} = \frac {E}{1 - \nu^ {2}} \left[ \begin{array}{c c c c c c} 1 & \nu & 0 & 0 & 0 & 0 \\ n & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \kappa \frac {1 - \nu}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \kappa \frac {1 - \nu}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \kappa \frac {1 - \nu}{2} \end{array} \right]
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위의 구성 행렬은 local Cartesian coordinate에서 정의되었기 때문에 transformation matrix를 이용하여 natural coordinate로 바꾸어 줄 수 있다.
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\left[ \begin{array}{c} t + \Delta t \\ 0 \end{array} \mathbf {C} \right] _ {\xi^ {1} \xi^ {2} \xi^ {3}} = \left[ \begin{array}{c} t + \Delta t \\ 0 \end{array} \mathbf {T} \right] ^ {T} \left[ \begin{array}{c} t + \Delta t \\ 0 \end{array} \mathbf {C} \right] _ {x ^ {1} x ^ {2} x ^ {3}} \left[ \begin{array}{c} t + \Delta t \\ 0 \end{array} \mathbf {T} \right]
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$$
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이 때 전단보정계수 $\kappa$ 는 $\frac{5}{6}$ 를 사용하였다.
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