김경종
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# 4절점 사각형 요소
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이 요소는 4 Point Gauss 적분을 이용하므로, 적분에 적용되는 자연좌표계에서 적분점 좌표 $P_{i}$ 는 다음 그림과 같습니다.
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N4
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η
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N3
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P4
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P3
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η = 1/√3
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ξ
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P1
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P2
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η = -1/√3
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N1
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ξ = -1/√3
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ξ = 1/√3
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N2
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y
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x
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P1 = (-1/√3, -1/√3)
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P2 = (1/√3, -1/√3)
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P3 = (1/√3, 1/√3)
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P4 = (-1/√3, 1/√3)
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</details>
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그림 1.3.13 4절점 평면응력요소의 적분점위치
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이 요소의 기하학적 형상함수는 다음 식과 같습니다.
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$$
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N _ {1} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 - \eta), N _ {2} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 - \eta), N _ {3} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 + \eta), N _ {4} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 + \eta)
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$$
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이 요소의 적분점 좌표인 $P_{i}$ 를 형상함수에 대입하면 전체좌표계에서 적분점의 좌표를 구할 수 있습니다. 예를 들어 첫 번째 적분점 좌표 $P_{1}$ 에 대한 전체좌표계에서 x 좌표를 구하면 다음과 같습니다.
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$$
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x _ {p 1} = \sum_ {i = 1} ^ {4} N _ {i} x _ {i} = \frac {1}{6} \left[ (2 + \sqrt {3}) x _ {1} + x _ {2} + (2 - \sqrt {3}) x _ {3} + x _ {4} \right]
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$$
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같은 방법으로 각 적분점에 대해 전체좌표계에서 좌표를 구하면 다음과 같습니다.
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$$
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x _ {p} = \frac {1}{6} \left[ \begin{array}{c c c c} 2 + \sqrt {3} & 1 & 2 - \sqrt {3} & 1 \\ & 2 + \sqrt {3} & 1 & 2 - \sqrt {3} \\ & & 2 + \sqrt {3} & 1 \\ \text {symmetry} & & & 2 + \sqrt {3} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{c} x _ {1} \\ x _ {2} \\ x _ {3} \\ x _ {4} \end{array} \right\}
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$$
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$$
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y _ {p} = \frac {1}{6} \left[ \begin{array}{c c c c} 2 + \sqrt {3} & 1 & 2 - \sqrt {3} & 1 \\ & 2 + \sqrt {3} & 1 & 2 - \sqrt {3} \\ & & 2 + \sqrt {3} & 1 \\ \text {symmetry} & & & 2 + \sqrt {3} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{c} y _ {1} \\ y _ {2} \\ y _ {3} \\ y _ {4} \end{array} \right\}
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$$
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# 3-6-5 응력계산법(Extrapolation)
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3절점 삼각형 요소의 경우 1 Point Gauss 적분을 하므로 모든 절점에 대해 적분점에서 계산된 응력을 동일하게 적용합니다.
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<summary>text_image</summary>
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ξ = -1
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η = 1
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ξ = 1
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η = 1
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t = 1
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η = -1
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ξ = -1
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s = -1
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s = 1
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ξ = 1
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η
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t = -1
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η = -1
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ξ = 1
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</details>
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그림 1.3.14 4절점 평면응력요소에 대한 적분점에서 응력에 대한 외삽법
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4절점 사각형 요소의 경우 각 적분점은 요소좌표계의 좌표절점과 다음과 같은 관계를 갖습니다.
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$$
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s = \xi \sqrt {3}, t = \eta \sqrt {3}
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$$
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요소 내부의 특정 위치에서 응력은 형상함수를 이용하여 구할 수 있습니다.
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$$
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\sigma_ {N} = \sum N _ {i} \sigma_ {i} \quad i = 1, 2, 3, 4
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$$
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예를 들어 절점 1에서 응력을 계산하면 다음과 같습니다.
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$$
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\begin{array}{l} \sigma_ {N 1} = \sum_ {i = 1} ^ {4} N _ {i} \sigma_ {i} = \frac {1}{4} \left[ (1 + \sqrt {3}) (1 + \sqrt {3}) \sigma_ {1} + (1 - \sqrt {3}) (1 + \sqrt {3}) \sigma_ {2} \right. \\ \left. + (1 - \sqrt {3}) (1 - \sqrt {3}) \sigma_ {3} + (1 + \sqrt {3}) (1 - \sqrt {3}) \sigma_ {4} \right] \\ = \frac {1}{4} \left[ (4 + 2 \sqrt {3}) \sigma_ {1} - 2 \sigma_ {2} + (4 - 2 \sqrt {3}) \sigma_ {3} - 2 \sigma_ {4} \right] \\ \end{array}
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$$
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같은 방법으로 각 절점에서 응력을 구하면 다음과 같습니다.
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$$
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\left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {N 1} \\ \sigma_ {N 2} \\ \sigma_ {N 3} \\ \sigma_ {N 4} \end{array} \right\} = \frac {1}{2} \left[ \begin{array}{c c c c} 2 + \sqrt {3} & - 1 & 2 - \sqrt {3} & - 1 \\ & 2 + \sqrt {3} & - 1 & 2 - \sqrt {3} \\ & & 2 + \sqrt {3} & - 1 \\ & & & 2 + \sqrt {3} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {1} \\ \sigma_ {2} \\ \sigma_ {3} \\ \sigma_ {4} \end{array} \right\}
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$$
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# 3-6-6 요소내력 출력내용
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평면응력요소의 요소내력 및 응력은 다음과 같이 출력되며 부호와 방향은 요소좌표계 또는 전체좌표계를 따릅니다. 여기서는 요소좌표계를 기준으로 설명합니다.
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■ 연결절점에서의 요소내력 출력
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■연결절점과 요소중심에서 요소응력 출력
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연결절점에서의 요소내력은 절점에서 산출된 각 성분별 변위와 해당요소 강성성분을 곱한 값으로 출력됩니다. 연결절점과 요소중심에서의 응력은 요소내의 적분점(Gauss Point)에서 연산된 응력을 이용하여 외삽법(Extrapolation)에 의해 산출됩니다.
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▪ 요소내력의 출력
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요소내력의 출력치에 대한 부호규약은 그림 1.3.15와 같고, 화살표방향이 양 (+)의 방향을 의미합니다.
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# 요소응력의 출력
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요소응력의 출력치에 대한 부호규약은 그림 1.3.16과 같고, 화살표방향이 양(+)의 방향을 의미합니다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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Fx4
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Fy4
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N4
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Fx1
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N1
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Center of
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Element
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z
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y
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x
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N3
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Fy3
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Fx3
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N2
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Fx2
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Fy2
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</details>
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(a) 사각형요소의 절점내력
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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F_{x1}
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F_{y1}
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N1
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Center of Element
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F_{x2}
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F_{y2}
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N2
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F_{y2}
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N3
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F_{y3}
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F_{x3}
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F_{y3}
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(b) 상각현 요소의 적절내력
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</details>
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(b) 삼각형요소의 절점내력
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그림 1.3.15 평면응력요소의 연결절점에서의 내력출력치 부호규약
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※ 요소응력의 출력은 요소좌표계를 따르며 화살표 방향이 양(+)의 방향을 의미한다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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σy
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τxy
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y
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x
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τxy
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σx
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τxy
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τxy
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σx
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σy
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</details>
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(a) 축응력 및 전단응력 성분
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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σ₂
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y
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1
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2
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θ
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x
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σ₁
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σ₁
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σ₂
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(b) 주응력 성분
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$\sigma _ { x }$ : Axial stress in the ECS x - direction
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$\sigma _ { x }$ : Axial stress in the ECS y - direction
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$\tau _ { x y }$ : Shear stress in the ECS x - y plane
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$\sigma _ { I }$ : Maximum principal stress $= \displaystyle \frac { \sigma _ { x } + \sigma _ { y } } { 2 } + \sqrt { \left( \displaystyle \frac { \sigma _ { x } - \sigma _ { y } } { 2 } \right) ^ { 2 } + \tau _ { x y } ^ { 2 } }$
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$\sigma _ { 2 }$ : Minimum principal stress $= \displaystyle \frac { \sigma _ { x } + \sigma _ { y } } { 2 } - \sqrt { \left( \displaystyle \frac { \sigma _ { x } - \sigma _ { y } } { 2 } \right) ^ { 2 } + \tau _ { x y } ^ { 2 } }$ 2xy+τ
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$\tau _ { x y }$ : Maximum shear stress $= \sqrt { \left( \frac { \sigma _ { x } - \sigma _ { y } } { 2 } \right) ^ { 2 } + \tau _ { x y } ^ { 2 } }$ 2 xy+τ
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:θ Angle between the x - axis and the principal axis,1
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$\sigma _ { e f f }$ : von - Mises Stress $= \sqrt { ( { \sigma } _ { I } ^ { 2 } - { \sigma } _ { I } { \sigma } _ { 2 } + { \sigma } _ { 2 } ^ { 2 } ) }$
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그림 1.3.16 평면응력요소의 응력출력위치 및 출력치의 부호규약
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# 3-7 평면변형요소 (2D Plane Strain Element)
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# 3-7-1 일반사항
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이 요소는 댐(Dam) 또는 터널(Tunnel) 등과 같이 일정한 단면을 유지하면서 길이가 긴 구조물의 해석에 사용될 수 있으며, 등매개 평면변형이론(Isoparametric Plane Strain Formulation with Incompatible Modes)을 근거로 개발되었습니다.
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이 요소는 다른 종류의 요소와 훈용할 수 없으며 요소의 특성상 선형정적해석에만적용 가능합니다.
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midas Civil에서는 요소가 X-Z 평면상에 위치하도록 입력되며 요소의 두께는 그림 1.3.17과 같이 1.0(단위 폭)으로 자동 고려됩니다.
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이 요소는 평면변형적 특성을 근거로 하기 때문에 두께방향 변형율성분은 존재하지 않으며, 두께방향의 응력성분은 Poisson Effects에 의해 존재하는 것으로 가정합니다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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Z
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Y
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1.0(Unit thickness)
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X
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Plane strain elements
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</details>
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그림 1.3.17 2차원 평면변형요소의 두께
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# 3-7-2 요소자유도 및 요소좌표계
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midas Civil에서 평면변형요소의 요소좌표계는 프로그램 내부에서 요소강성행렬을계산하거나, 후처리 모드(Post-processing Mode)에서 사용자가 요소좌표계를 기준으로 응력성분을 도화처리할 때 사용됩니다.
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요소자유도는 전체좌표계를 기준으로 X, Z방향의 변위자유도만을 가지게 됩니다.
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요소좌표계는 오른손법칙에 준한 x, y, z축의 직교좌표계를 따르며, 요소좌표계의 방향은 그림 1.3.18과 같이 설정됩니다.
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사각형요소의 경우는 연결절점의 입력순서대로 오른손법칙에 따라 회전할 때(N1→N2→N3→N4) 요소중심에서 요소면의 수직방향으로 엄지손가락 방향이 요소좌표계 z축이 됩니다. 그리고 요소좌표계 x축 방향은 N1과 N4를 잇는 선분의 중심에서 N2와N3을 잇는 선분의 중심까지 직선으로 연결할 때 그 직선의 진행방향이 되며, 요소평면상에서 오른손 좌표계를 기준으로 x축과 수직을 이루는 축이 요소좌표계 y축이 됩니다.
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삼각형요소의 경우는 면의 중심점에서 N1부터 N2로 진행하는 방향이 요소좌표계의x방향이 되고, 나머지 y, z축 방향은 사각형요소의 경우와 동일합니다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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ESC y-axis (perpendicular to ESC x-axis in the element plane)
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F
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Fx3
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N3
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Node numbering order for creating the element
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(N1→N2→N3→N4)
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ECS x-axis
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(N1 to N2 direction)
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Center of Element
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ECS z-axis (normal to the element surface, out of the paper)
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Fx1
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N1
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Fz1
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N2
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Fx2
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Fz2
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Z
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GCS
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X
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</details>
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(a) 사각형요소
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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ECS y-axis (perpendicular ECS x-
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axis in the element plane
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Node numbering order
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for creating the element
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(N1→N2→N3)
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ECS z-axis (normal to the element
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surface, out of the paper)
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Center of Element
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||
ECS x-axis
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(N1 to N2
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direction)
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Z
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X
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</details>
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(b) 삼각형요소
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그림 1.3.18 평면변형요소의 배치 및 요소좌표계, 절점내력
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# 3-7-3 요소관련 기능
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<table><tr><td>Create Elements</td><td>요소 입력</td></tr><tr><td>Material</td><td>재료적 성질 입력</td></tr><tr><td>Pressure Loads</td><td>요소의 변에 수직방향으로 압력하중 입력</td></tr></table>
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평면변형요소의 압력하중은 그림 1.3.19와 같이 각 변에 수직방향으로 입력되며, 압력하중의 작용면적은 그림 1.3.17과 같이 단위폭(1.0)만큼 자동 고려됩니다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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P1
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P2
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N4
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edge number 3
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N3
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P2
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edge number 4
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edge number 2
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N1
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N2
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P1
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P2
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Z
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GCS
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||
X
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P1
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P2
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</details>
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그림 1.3.19 평면변형요소의 압력하중
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<!-- source-page: 50 -->
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# 3-7-4 적분점
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# 3절점 삼각형 요소
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이 요소는 1 Point Gauss 적분을 이용하므로, 적분에 적용되는 자연좌표계에서 적분점 좌표는 (1/3, 1/3) 입니다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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N3
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η
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P = (1/3, 1/3)
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N1
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ξ
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N2
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z
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||
x
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</details>
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그림 1.3.20 3절점 평면변형률요소의 적분점위치
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이 요소의 기하학적 형상함수는 $N_{1}=1-\xi-\eta$ , $N_{2}=\xi$ , $N_{3}=\eta$ 이므로 요소내 특정 위치에서의 좌표값은 형상함수를 이용하여 다음 식과 같이 구할 수 있습니다.
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$$
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x _ {p} = \sum_ {i = 1} ^ {N} N _ {i} x _ {i}, z _ {p} = \sum_ {i} ^ {N} N _ {i} z _ {i}
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$$
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이 요소의 적분점 좌표인 $\xi=1/3$ , $\eta=1/3$ 을 형상함수에 대입하면 전체좌표계에서 적분점의 좌표를 구할 수 있습니다.
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$$
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||
x _ {p} = \sum_ {i = 1} ^ {3} N _ {i} x _ {i} = \left(1 - \frac {1}{3} - \frac {1}{3}\right) x _ {1} + \frac {1}{3} x _ {2} + \frac {1}{3} x _ {3} = \frac {1}{3} \left(x _ {1} + x _ {2} + x _ {3}\right)
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$$
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||
|
||
$$
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||
z _ {p} = \frac {1}{3} \left(z _ {1} + z _ {2} + z _ {3}\right)
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||
$$
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