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4절점 사각형 요소

이 요소는 4 Point Gauss 적분을 이용하며, 적분에 적용되는 자연좌표계에서 적분점 좌표 P_{i} 는 다음 그림과 같습니다.

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N4 η N3 η = 1/√3 P4 P3 ξ P1 P2 N1 ξ = -1/√3 ξ = 1/√3 N2 η = -1/√3 Z x

P _ {1} = \left(- \frac {1}{\sqrt {3}}, - \frac {1}{\sqrt {3}}\right)

P _ {2} = \left(\frac {1}{\sqrt {3}}, - \frac {1}{\sqrt {3}}\right)

P _ {3} = \left(\frac {1}{\sqrt {3}}, \frac {1}{\sqrt {3}}\right)

P _ {4} = \left(- \frac {1}{\sqrt {3}}, \frac {1}{\sqrt {3}}\right)

그림 1.3.21 4절점 평면변형률요소의 적분점위치

이 요소의 기하학적 형상함수는 다음 식과 같습니다.

N _ {1} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 - \eta), N _ {2} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 - \eta), N _ {3} = \frac {1}{4} (1 + \xi) (1 + \eta), N _ {4} = \frac {1}{4} (1 - \xi) (1 + \eta)

이 요소의 적분점 좌표인 P_{i} 를 형상함수에 대입하면 전체좌표계에서 적분점의 좌표를 구할 수 있습니다. 예를 들어 첫 번째 적분점 좌표 P_{1} 에 대한 전체좌표계에서 x 좌표를 구하면 다음과 같습니다.

x _ {p 1} = \sum_ {i = 1} ^ {4} N _ {i} x _ {i} = \frac {1}{6} \left[ (2 + \sqrt {3}) x _ {1} + x _ {2} + (2 - \sqrt {3}) x _ {3} + x _ {4} \right]

같은 방법으로 각 적분점에 대한 전체좌표계에서 좌표를 구하면 다음과 같습니다.

x _ {p} = \frac {1}{6} \left[ \begin{array}{c c c c} 2 + \sqrt {3} & 1 & 2 - \sqrt {3} & 1 \\ & 2 + \sqrt {3} & 1 & 2 - \sqrt {3} \\ & & 2 + \sqrt {3} & 1 \\ \text { symmetry } & & & 2 + \sqrt {3} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} x _ {1} \\ x _ {2} \\ x _ {3} \\ x _ {4} \end{array} \right\}

3-7-5 응력계산법(Extrapolation)

3절점 삼각형 요소의 경우 1 Point Gauss 적분을 하므로 모든 절점에 대해 적분점에서 계산된 응력을 동일하게 적용합니다.

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ξ = -1 η = 1 ξ = 1 η = 1 t = 1 η = -1 ξ = -1 s = -1 s = 1 ξ = 1 η ξ = -1 η ξ = 1 t = -1 η = -1 ξ = 1

그림 1.3.22 4절점 평면응력요소에 대한 적분점에서 응력에 대한 외삽법

4절점 사각형 요소의 경우 각 적분점은 요소좌표계의 좌표절점과 다음과 같은 관계를 갖습니다.

s = \xi \sqrt {3}, t = \eta \sqrt {3}

요소 내부의 특정 위치에서 응력은 형상함수를 이용하여 구할 수 있습니다.

\sigma_ {N} = \sum_ {i = 1} ^ {4} N _ {i} \sigma_ {i}

예를 들어 절점 1에서 응력에 대해 형상함수에 \xi,\eta 대신 앞의 s, t 를 대입하여 정리하면 다음과 같습니다.

\begin{array}{l} \sigma_ {N 1} = \sum_ {i = 1} ^ {4} N _ {i} \sigma_ {i} = \frac {1}{4} \left[ (1 + \sqrt {3}) (1 + \sqrt {3}) \sigma_ {1} + (1 - \sqrt {3}) (1 + \sqrt {3}) \sigma_ {2} \right. \\ \left. + (1 - \sqrt {3}) (1 - \sqrt {3}) \sigma_ {3} + (1 + \sqrt {3}) (1 - \sqrt {3}) \sigma_ {4} \right] \\ = \frac {1}{4} \left[ (4 + 2 \sqrt {3}) \sigma_ {1} - 2 \sigma_ {2} + (4 - 2 \sqrt {3}) \sigma_ {3} - 2 \sigma_ {4} \right] \\ \end{array}

같은 방법으로 각 절점에서 응력을 구하면 다음과 같습니다.

\left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {N 1} \\ \sigma_ {N 2} \\ \sigma_ {N 3} \\ \sigma_ {N 4} \end{array} \right\} = \frac {1}{2} \left[ \begin{array}{c c c c} 2 + \sqrt {3} & - 1 & 2 - \sqrt {3} & - 1 \\ & 2 + \sqrt {3} & - 1 & 2 - \sqrt {3} \\ & & 2 + \sqrt {3} & - 1 \\ & & & 2 + \sqrt {3} \end{array} \right] \left\{ \begin{array}{l} \sigma_ {1} \\ \sigma_ {2} \\ \sigma_ {3} \\ \sigma_ {4} \end{array} \right\}

3-7-6 요소내력 출력내용

평면변형요소의 요소내력 및 응력은 다음과 같이 출력되며 부호와 방향은 요소좌표계 또는 전체좌표계를 따릅니다. 그림 1.3.23은 요소좌표계의 축방향 또는 주응력방향의 단위 segment에서 발생되는 응력의 부호규약을 설명한 것입니다.

■ 연결절점에서의 요소내력 출력
■연결절점과 요소중심에서 요소응력 출력

연결절점에서의 요소내력은 절점에서 산출된 각 성분별 변위와 해당요소 강성성분을 곱한 값으로 출력됩니다.

연결절점과 요소중심에서의 응력은 요소내의 적분점(Gauss Point)에서 연산된 응력을 이용하여 외삽법(Extrapolation)에 의해 산출됩니다.

▪ 요소내력의 출력

요소내력의 출력치에 대한 부호규약은 그림 1.3.18과 같고, 화살표방향이 양 (+)의 방향을 의미합니다.

■ 요소응력의 출력

요소응력의 출력치에 대한 부호규약은 그림 1.3.23과 같고, 화살표방향이 양 (+)의 방향을 의미합니다.

※ 요소응력의 출력은 요소좌표계를 따르며 화살표 방향이 양(+)의 방향을 의미한다.

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y σyy σyx σzz σxx σxy σzz σxy σxx x z σyx σyy

(a) 축응력 및 전단응력 성분

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y 3 2 σ₃ σ₂ σ₁ θ z x σ₂ σ₃

(b) 주응력 성분

\sigma_{xx} : Axial stress in the ECS x - direction

\sigma_{yy} : Axial stress in the ECS y - direction

\sigma_{zz} : Axial stress in the ECS z - direction

\sigma_{xy} = \sigma_{yx} : Shear stress in the ECS x - y plane

\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3} : Principal stresses in the directions of the principal axes, 1, 2 and 3

where, \sigma^3 - I_1\sigma^2 - I_2\sigma - I_3 = 0

I _ {l} = \sigma_ {x x} + \sigma_ {y y} + \sigma_ {z z}

I _ {2} = - \left| \begin{array}{c c} \sigma_ {x x} & \sigma_ {x y} \\ \sigma_ {x y} & \sigma_ {y y} \end{array} \right| - \left| \begin{array}{c c} \sigma_ {x x} & \sigma_ {x z} \\ \sigma_ {x z} & \sigma_ {z z} \end{array} \right| - \left| \begin{array}{c c} \sigma_ {y y} & \sigma_ {y z} \\ \sigma_ {y z} & \sigma_ {z z} \end{array} \right|

I _ {3} = \left| \begin{array}{c c c} \sigma_ {x x} & \sigma_ {x y} & \sigma_ {x z} \\ \sigma_ {x y} & \sigma_ {y y} & \sigma_ {y z} \\ \sigma_ {x z} & \sigma_ {y z} & \sigma_ {z z} \end{array} \right|, \sigma_ {x z} = \sigma_ {z y} = 0

\theta : Angle between the x-axis and the principal axis, 1 in the ECS x-y plane

\tau_{max} : Maximum shear stress = max \left[\frac{\left|\sigma_{1}-\sigma_{2}\right|}{2},\frac{\left|\sigma_{2}-\sigma_{3}\right|}{2},\frac{\left|\sigma_{3}-\sigma_{1}\right|}{2}\right]

\sigma_{eff}: von - Mises Stress = \sqrt{\frac{1}{2}\left[\left(\sigma_{1} - \sigma_{2}\right)^{2} + \left(\sigma_{2} - \sigma_{3}\right)^{2} + \left(\sigma_{3} - \sigma_{1}\right)^{2}\right]}

\sigma_{oct}: Octahedral Normal Stress = \frac{1}{3}\big(\sigma_{1} + \sigma_{2} + \sigma_{3}\big)

\tau_{oct}: Octahedral Shear Stress = \sqrt{\frac{1}{9}\left[\left(\sigma_{1} - \sigma_{2}\right)^{2} + \left(\sigma_{2} - \sigma_{3}\right)^{2} + \left(\sigma_{3} - \sigma_{1}\right)^{2}\right]}

그림 1.3.23 평면변형요소의 요소내력 및 요소응력 출력 예

PLANE STRAIN ELEMENT FORCES(GLOBAL）DEFAULT OUTPUT
Unit System：kN，m

ELEM	MAT	LC	NODE	FX	FZ
1	1	LCOMB1	1	0.00000	-792.25733
			2	-368.40881	-769.85496
			13	-434.10321	734.84737
			12	-69.04498	789.21492
		LCOMB2	1	0.00000	-1028.47676
			2	-352.46066	-978.32967
			13	-433.19898	947.23949
			12	-85.89736	1021.51694

PLANE STRAIN ELEMENT STRESSES(GLOBAL）DEFAULT OUTPUT
Unit System:N，mm

ELEM	MAT	LC	NODE	Sig-XX	Sig-YY	Sig-ZZ	Sig-XZ
1	1	LCOMB1	Cent	82.6287	0.0000	-1.9933	-3.7578
			1	82.3088	0.0000	-2.0162	-3.4446
			2	82.9937	0.0000	-2.0140	-3.4873
			13	82.9440	0.0000	-1.9716	-4.0557
			12	82.2564	0.0000	-1.9716	-4.0429
			NODE	Sig-P1	Sig-P2	Sig-P3	MAX-SHR	Sig-EFF	Sig-Oct
			Cent	82.7952	0.0000	-2.1599	42.4775	83.8960	39.5489
			1	82.4492	0.0000	-2.1567	42.3030	83.5485	39.3851
			2	83.1365	0.0000	-2.1568	42.6467	84.2356	39.7091
			13	83.1373	0.0000	-2.1648	42.6511	84.2406	39.7114
			12	82.4501	0.0000	-2.1652	42.3076	83.5537	39.3876
		LC	NODE	Sig-XX	Sig-YY	Sig-ZZ	Sig-XZ
		LCOMB2	Cent	82.6287	0.0000	-1.9933	-3.7578
			1	82.3088	0.0000	-2.0162	-3.4446
			2	82.9937	0.0000	-2.0140	-3.4873
			13	82.9440	0.0000	-1.9716	-4.0557
			12	82.2564	0.0000	-1.9716	-4.0429
			NODE	Sig-P1	Sig-P2	Sig-P3	MAX-SHR	Sig-EFF	Sig-Oct
			Cent	82.7952	0.0000	-2.1599	43.4775	83.8960	39.5489
			1	82.4492	0.0000	-2.1567	42.3030	83.5485	39.3851
			2	83.1365	0.0000	-1.9716	42.6467	84.2356	39.7091
			13	83.1373	0.0000	-2.1648	42.6511	84.2406	39.7114
			12	82.4501	0.0100	-2.1652	42.3076	83.5537	39.3876

그림 1.3.24 평면변형요소의 요소내력 및 요소응력 출력 예

3-8 축대칭요소 (2D Axisymmetric Element)

3-8-1 일반사항

이 요소는 형상, 재질, 하중조건 등이 임의 축에 대해 회전대칭 조건을 만족하는 구조체(Pipe, Cylindrical Vessel Body 또는 Head 등)의 해석에 사용될 수 있으며 등매개변수 정식화이론(Isoparametric Formulation)을 근거로 개발되었습니다.

이 요소는 다른 종류의 요소와 혼용할 수 없으며 요소의 특성상 선형정적해석에만적용 가능합니다.

축대칭 요소는 3차원 축대칭 모델을 축대칭적 특성을 고려하여 2차원 요소로 이상화한 것입니다. midas Civil에서는 전체좌표계 Z축이 회전대칭을 위한 기준축이 되고, 전체좌표계 X-Z 평면의 Z축의 오른쪽 평면에 위치하도록 입력되어야 합니다. 이 경우 반경방향은 전체좌표계 X축 방향이 되며, 모든 절점의 X방향 좌표는 양(X≥0)의 값을 가지도록 모델링 되어야 합니다.

요소의 두께는 그림 1.3.25와 같이 1.0 Radian(단위폭)으로 자동 고려됩니다.

이 요소는 구조물의 축대칭적 특성을 근거로 하기 때문에 원주방향에 대한 변위, 전단변형률( \gamma_{XY}, \gamma_{YZ} ) 그리고 원주방향 전단응력( \tau_{XY}, \tau_{YZ} )은 모두 존재하지 않습니다.

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Z (axis of rotation) 1.0 radian (unit width) N4 N3 an axisymmetric element N1 N2 X (radial direction)

그림 1.3.25 축대칭요소의 단위 폭

3-8-2 요소자유도 및 요소좌표계

midas Civil에서 축대칭요소의 요소좌표계는 프로그램 내부에서 요소강성행렬을 계산하거나, 후처리 모드(Post-processing Mode)에서 사용자가 요소좌표계를 기준으로 응력성분을 도화처리할 때 사용됩니다.

요소자유도는 전체좌표계를 기준으로 X, Z방향의 변위자유도만을 가지게 됩니다.

요소좌표계는 오른손법칙에 준한 x, y, z축의 직교좌표계를 따르며, 요소좌표계의 방향은 그림 1.3.26과 같이 설정됩니다.

사각형요소의 경우는 연결절점의 입력순서대로 오른손법칙에 따라 회전할 때(N1→N2→N3→N4) 요소중심에서 요소면의 수직방향으로 엄지손가락 방향이 요소좌표계 z축이 됩니다. 그리고 요소좌표계 x축 방향은 N1과 N4를 잇는 선분의 중심에서 N2와N3을 잇는 선분의 중심까지 직선으로 연결할 때 그 직선의 진행방향이 되며, 요소평면상에서 오른손좌표계를 기준으로 x축과 수직을 이루는 축이 요소좌표계 y축이 됩니다.

삼각형요소의 경우는 면의 중심점에서 N1부터 N2로 진행하는 방향이 요소좌표계의x방향이 되고, 나머지 y, z축 방향은 사각형요소의 경우와 동일합니다.

※ 요소내력의 출력은 전체좌표계를 따르며 화살표 방향이 양(+)의 방향을 의미한다.

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ECS y-axis (perpendicular to ECS x-axis in the element plane) Fz3 Fx3 N3 Node numbering order for creating the element (N1→N2→N3→N4) ECS x-axis (N1 to N2 direction) Center of Element ECS z-axis (normal to the element surface, out of the paper) Fx1 N1 N2 Fx2 Fx3 Fz1 Fz2 (a) 사각형 요소 Z GCS X Fz3 ECS y-axis (perpendicular to ECS x- axis) Fx3 N3 Node numbering order for creating the element (N1→N2→N3) ECS z-axis (normal to the element surface, Center of Element ECS x-axis (N1→N2 direction) Fx1 N1 Fz1 N2 Fx2 Fz2 (b) 삼각형 요소 GCS X Z GCS

그림 1.3.26 축대칭요소의 배치 및 요소좌표계, 절점내력

3-8-3 요소관련 기능

Create Elements	요소 입력
Material	재료적 성질 입력
Pressure Loads	요소의 변에 수직방향으로 압력하중 입력

축대칭요소의 압력하중은 그림 1.3.27과 같이 각 변에 수직방향으로 입력되며, 압력하중의 작용면적은 그림 1.3.25와 같이 1.0 Radian의 폭만큼 자동 고려됩니다.

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P1 P2 P1 N4 edge number 3 N3 edge number 4 edge number 2 N1 N2 P2 P1 P2 Z GCS X edge number 1

그림 1.3.27 축대칭요소의 압력하중

3-8-4 요소내력 출력내용

축대칭요소의 요소내력 및 응력은 다음과 같이 출력되며 부호와 방향은 요소좌표계또는 전체좌표계를 따릅니다. 그림 1.3.28은 요소좌표계의 축방향 또는 주응력방향의단위 Segment에서 발생되는 응력의 부호규약을 설명한 것입니다.

 연결절점에서의 요소내력 출력
 연결절점과 요소중심에서 요소응력 출력

연결절점에서의 요소내력은 절점에서 산출된 각 성분별 변위와 해당요소 강성성분을곱한 값으로 출력됩니다.

연결절점과 요소중심에서의 응력은 요소내의 적분점(Gauss Point)에서 연산된 응력을이용하여 외삽법(Extrapolation)에 의해 산출됩니다.

 요소내력의 출력
요소내력의 출력치에 대한 부호규약은 그림 1.3.26과 같고, 화살표방향이 양(+)의 방향을 의미합니다.

 요소응력의 출력

요소응력의 출력치에 대한 부호규약은 그림 1.3.28과 같고, 화살표방향이 양(+)의 방향을 의미합니다.