김경종
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그림 1.6.24은 구조물의 모서리 접합부에 대한 정밀해석을 수행한 예로써 그 절차는 다음과 같습니다.
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1. 그림 1.6.24(a)의 전체모델에 대한 해석을 수행한 후 정밀해석을 요하는 접합부와 경계부분에서의 변위를 발췌합니다.
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2. 경계부분 4개소에서 발췌된 24개(각 절점당 6개 성분)의 변위성분을 그림1.6.24(a)의 모델에 입력합니다. 이때 상세모델의 경계부분에 주절점(Master Node)과 종속절점(Slave Nodes) 관계를 지정하여 전체모델 중하나의 절점으로부터 추출한 변위성분을 상세모델의 전 경계면에 영향을미칠 수 있도록 강체연결기능을 이용하면 편리합니다. 그리고 강체연결기능을 이용하는데 따른 오차를 줄이기 위해 경계면은 가능한 정밀분석 대상부위에서 먼거리에 위치해야 합니다.
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3. 전체모델에 고려된 하중조건 중에서 상세해석 모델의 범위 내에 포함되는하중조건을 추가로 입력하고 해석을 수행합니다.
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# Part 2 midas Civil의 구조해석 기능
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# Chapter 1. 구조해석 기능
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하중조건하에서 구조물의 실제거동은 엄밀히 재료적으로 비선형성을 가지게 되지만구성부재의 내력이 설계규준에서 정하고 있는 허용범위 내에 있는 경우에는 거의 선형적 거동에 근접하므로 설계목적의 구조해석에서 재료적 비선형성은 일반적으로 고려하지 않습니다.
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midas Civil은 선형해석을 근간으로 하고 있으며 인장 또는 압축력전담요소, P-Delta해석 등의 기하학적 비선형을 고려할 수 있습니다. midas Civil의 구조해석기능은 기본적인 선형해석과 비선형해석으로 구성되어 있고, 실무에서 필요로 하는 다양한 해석기능들을 포함하고 있습니다.
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midas Civil의 구조해석기능의 구체적인 내용들은 다음과 같습니다.
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정적해석 (Static Analysis)
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선형 정적해석 (Linear Static Analysis)
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열응력 해석 (Thermal Stress Analysis)
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재료비선형 해석 (Material Nonlinear Analysis)
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기하비선형 해석 (Geometric Nonlinear Analysis)
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대변형 해석 (Large Displacement Analysis)
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P-Delta 해석 (P-Delta Analysis)
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좌굴해석 (Buckling Analysis)
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정적증분해석 (Pushover Analysis)
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수화열 해석 (Heat of Hydration Analysis)
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시공단계별 해석 (Construction Stage Analysis)
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이동하중 해석 (Moving Load Analysis)영향선 해석 (Influence Line Analysis)영향면 해석 (Influence Surface Analysis)
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동적해석 (Dynamic Analysis)자유진동해석 (Free Vibration Analysis)고유벡터해석 (Eigen Vector Analysis)Ritz벡터 해석 (Ritz Vector Analysis)
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응답스펙트럼 해석 (Response Spectrum Analysis)
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시간이력해석 (Time History Analysis)
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경계비선형 시간이력해석 (Boundary Nonlinear Time History Analysis)
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비탄성 시간이력해석 (Inelastic Time History Analysis)
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구조물의 지점침하를 고려한 해석 (Analysis of Structures subjected to SupportSettlement)
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강합성단면의 합성 전후 단면성질을 고려한 해석 (Composite SectionAnalysis)
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최적화 기법을 사용한 미지하중 계산기능 (Calculation of Unknown Loads byOptimizing Techniques)
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midas Civil은 상기의 각종 하중조건에 대한 해석이 동시에 수행되도록 고안되었습니다. (단, 응답스펙트럼과 시간이력해석은 동시수행 불가)
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# Chapter 2. 정적해석
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midas Civil의 선형정적해석(Linear Static Analysis)에 사용된 기본방정식은 다음과같습니다.
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[ K ] \{U \} = \{P \}
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여기서, [ ] K : 구조물의 전체강성행렬 (Stiffness Matrix)
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{ } U : 모든 자유도의 변위벡터 (Displacement Vector)
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{ } P : 작용된 하중벡터 (Load Vector)
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midas Civil은 정적 단위하중 조건과 하중조합 수에 제한이 없습니다.
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# Chapter 3. 자유진동 해석
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# 3-1 고유벡터 해석
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구조물의 동적 특성을 나타내는 지표인 고유진동수와 모드 형상을 계산하는 방법으로서 midas Civil에서는 고유벡터 해석과 Ritz벡터 해석의 두 가지 방법을 채택하고 있습니다. 두 방법 모두 구조물의 고유치 문제의 특성방정식을 구성하고 그 해를 구하는 방법이지만 후자의 해석 결과를 이용하는 것이 응답스펙트럼해석이나 시간이력해석에서 보다 높은 효율성을 갖는 것으로 알려져 있습니다. 다음은 고유벡터 해석에 관한 설명이며 Ritz벡터 해석에 관해서는 다음 절에서 설명합니다.
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midas Civil에서 비감쇠 자유진동(Undamped Free Vibration) 조건하의 모드형상 (Mode Shape)과 고유주기(Natural Periods)를 구하기 위해 사용된 특성방정식은 다음과 같습니다.
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\left[ K \right] \left\{\Phi_ {n} \right\} = \omega_ {n} ^ {2} \left[ M \right] \left\{\Phi_ {n} \right\}
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여기서 [K] : 구조물의 강성행렬 (Stiffness Matrix)
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[M] : 구조물의 질량행렬 (Mass Matrix)
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$\omega_{n}^{2}$ : n번째 모드의 고유치 (Eigenvalue)
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$\{\Phi_{n}\}$ : n번째 모드의 모드형상 (Mode Vector)
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고유치해석은 구조물 고유의 동적특성을 분석하는데 사용되며 자유진동해석(Free Vibration Analysis) 이라고도 합니다.
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고유치해석을 통해 구해지는 구조물의 주요한 동적특성은 고유모드(또는 모드형상), 고유주기(또는 고유진동수), 그리고 모드기여계수(Modal Participation Factor) 등이며 이들은 구조물의 질량과 강성에 의해 결정됩니다.
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고유모드(Vibration Modes)는 구조물이 자유진동(또는 변형) 할 수 있는 일종의 고
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유형상이며, 주어진 모양으로 변형시키기 위해 소요되는 에너지(또는 힘)가 제일적은 것부터 순차적으로 1차 모드형상(또는 기본진동형상), 2차 모드형상, …, n차모드형상이라고 합니다. 그림 2.3.1은 외팔보의 진동모드를 저차부터(적은 에너지로 변형시킬 수 있는 모양부터) 순차적으로 나타낸 것입니다.
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고유주기는 고유모드와 일대일 대응되는 고유한 값으로 구조물이 자유진동상태에서 해당 모드형상으로 1회 진동하는데 소요되는 시간을 의미합니다.
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참고로 단일자유도계에서 고유주기를 구하는 방법은 다음과 같습니다. 단일자유도계의 운동방정식에서 하중과 감쇠항을 0으로 가정하여 자유진동 방정식을 만들면식 (1)과 같은 선형 2차 미분방정식이 됩니다.
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m \ddot {u} + c \dot {u} + k u = p (t) \tag {1}
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m \ddot {u} + k u = 0
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$$
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여기서 u가 진동에 의한 변위이기 때문에 이를 단순히 u Acos ωt (여기서 A는초기 변위치와 관련한 상수)라고 가정하면 위 식은 식 (2)와 같습니다.
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\left(- m \omega^ {2} + k\right) A \cos \omega t = 0 \tag {2}
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상기의 등식이 항상 만족하기 위해서는 좌변의 괄호내의 값이 0 이 되어야 하므로고유치는 식 (3)과 같은 형태로 구해지게 됩니다.
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$$
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\omega^ {2} = \frac {k}{m}, \omega = \sqrt {\frac {k}{m}}, f = \frac {\omega}{2 \pi}, T = \frac {1}{f} \tag {3}
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여기서, 2 을 고유치(Eigenvalue)라고 하고, 를 회전고유진동수(RotationalNatural Frequency), f 를 고유진동수(Natural Frequency), T 를 고유주기(NaturalPeriod)라 합니다.
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<details>
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<summary>natural_image</summary>
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Simple curved line diagram with no text or symbols
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</details>
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1st mode
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<summary>natural_image</summary>
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Pure curved line diagram without any text, numbers, or symbols
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</details>
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2nd mode
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<details>
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<summary>natural_image</summary>
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Pure abstract curved line drawing without any text, numbers, or symbols
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</details>
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3rd mode
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(a) 고유모드형상
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<summary>text_image</summary>
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sec
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λ1=1.87510407
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T1=1.78702sec
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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sec
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</details>
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λ= 4.69409113
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T2=0.28515sec
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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sec
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</details>
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λ3 = 7.85475744
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T3=0.10184sec
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(b) 고유주기
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그림 2.3.1 균일단면을 가진 외팔보의 고유모드형상 및 고유주기
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그리고 모드기여계수는 해당 모드의 영향을 총 모드에 대한 비율로 나타낸 것으로식 (4)와 같이 표현됩니다.
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\tau_ {m} = \frac {\sum M _ {i} \varphi_ {i m}}{\sum M _ {i} \varphi_ {i m} ^ {2}} \tag {4}
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여기서 $\tau _ { m }$ : 모드기여계수(Modal Participation Factor)
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m : 임의의 모드차수 (Mode Number)
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$M _ { \scriptscriptstyle i }$ : 임의의 i 위치의 질량 (Mass)
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$\varphi _ { _ { i m } }$ ：i m ≌ (Mode Shape)
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일반내진설계기준에서는 해석에 포함되는 모드별 유효질량(Effective Modal Mass)의합이 전체 질량의 90% 이상을 확보하도록 요구하고 있습니다. 이는 해석결과에영향을 주는 대부분의 주요모드를 포함하도록 하기 위한 것입니다.
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M _ {m} = \frac {\left[ \sum \varphi_ {i m} M _ {i} \right] ^ {2}}{\sum \varphi_ {i m} ^ {2} M _ {i}} \tag {5}
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여기서 $M _ { { \scriptscriptstyle m } } \Subset \Sigma \subseteq \varXi$ 유효질량(Effective Modal Mass)입니다.
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임의 질량의 자유도가 구속되어 있을 경우 총 질량에는 반영되지만 해당 자유도의모드벡터가 억제되어 질량성분이 유효질량에는 포함되지 않습니다. 그러므로 모드별 유효질량을 계산하여 전체질량에 대한 비를 평가하고자 할 경우에는 질량이 입력된 성분의 자유도가 구속되지 않도록 해야 합니다.
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특히 건축구조물에서 지하구조물의 횡변위가 구속된 경우, 해당층의 횡질량성분은입력할 필요가 없습니다.
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구조물의 동적거동을 제대로 분석하기 위해서는 고유치를 결정하는 질량과 강성을정확하게 반영하는 것이 가장 기본이 되는 작업입니다. 여기서 강성은 구조부재를유한요소로 모델링 함으로써 거의 모든 강성성분을 비교적 근접하게 반영할 수 있으나, 질량은 구조부재 자체의 질량이 전체 질량에 비해 적기 때문에 바닥 슬래브등 모델에 포함되지 않은 재료에 대한 질량성분을 정확하게 파악하여 입력하는 것
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