김경종
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를 지정합니다.
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고유치해석을 수행하면, 이상의 과정으로 설정한 요소그룹 및 경계그룹별Damping Ratio를 이용하여 변형율 에너지에 기초한 각 모드별 감쇠비를 계산하며,Modal Damping Ratio based on Group Damping의 Modal Damping Ratio를 통하여계산된 결과를 확인할 수 있습니다. 단, Group Damping에서 Calculate Only WhenUsed를 선택하면, 시간이력해석에서 감쇠방법을 Strain Energy Proportional으로 지정했을 경우만, 모드별 감쇠비를 계산하므로 주의할 필요가 있습니다.
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<details>
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<summary>text_image</summary>
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Group Damping : Strain Energy Proportional
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Default Values for Unspecified Elements and Boundaries
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Damping Ratio : 0,05 (0,00 ~ 1,00)
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Damping Ratio for Specified Elements and Boundaries
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Type: Material Structure Boundary
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Name of Material / Group : Cross beam
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Use Material Data Direct Define
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Damping Ratio : 0,05 (0,00 ~ 1,00)
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Name Type Damping Ratio
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SM490 Material 0,02
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SM400 Material 0,02
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C27 Material 0,05
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Cross beam Structure 0,05
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Strt Group 2 Structure 0,05
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Modify
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Delete
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Calculate Only When Used
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Damping Ratio Select Option OK Cancel
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<summary>scatter</summary>
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Modal Damping Ratio based on Group Damping
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| Mode No. | Frequency(Hz) | Period (sec) | M.P.M. X (%) | M.P.M. Y (%) | M.P.M. Z (%) | Modal Damping Ratio |
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|---|---|---|---|---|---|---|
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| 1 | 1.516833 | 0.059269 | 0.421441 | 62.89271 | 0.000006 | 0.038782 |
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| 2 | 1.947404 | 0.513504 | 63.51830 | 2.460253 | 0.088640 | 0.033136 |
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| 3 | 2.131171 | 0.465225 | 0.096991 | 0.006675 | 0.001452 | 0.023911 |
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| 4 | 2.489797 | 0.401639 | 16.04919 | 2.228820 | 0.790667 | 0.026394 |
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| 5 | 2.652879 | 0.376949 | 0.421931 | 3.149565 | 1.388275 | 0.026245 |
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| 6 | 3.192462 | 0.313238 | 13.47970 | 0.213074 | 0.103476 | 0.026844 |
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| 7 | 3.720826 | 0.268758 | 0.064054 | 0.016115 | 58.53938 | 0.021697 |
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Calculation of Mass and Stiffness Coefficients
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Damping Option | Mass Proportional | Stiffness Proportional
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Mode No. | Frequency(Hz) | Damping Ratio | Calc. | C=Alpha+M + Beta+K
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Mode 1 | Mode 1 | Mode 2 | Alpha | Beta | Alpha 0.0 | Alpha 0.0 |
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|---|---|---|---|---|---|---|
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| Mode 1 | 1.51683 | | 0.0387819 | | | |
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| Mode 2 | 1.51683 | | 0.0387819 | | | |
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</details>
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(a) 요소그룹 및 경계그룹별 Damping Ratio의 설정 (b) 변형율 에너지에 기초하여 계산된 모드별감쇠
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그림 2.4.4 Strain Energy Damping의 설정 및 모드별 감쇠
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응답스펙트럼해석 및 모드중첩법에 의한 해석에서는 구조물의 운동 방정식을 모드별로 분해하여, 각 모드의 운동 방정식에 변형율에너지에 기초하여 구한 모드별감쇠비 s 을 적용하여 해를 구합니다.
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직접적분법에 의한 시간이력해석에서는 변형율에너지에 기초하여 구한 모드별 감쇠비 s 와 고유진동수 i , 모드행렬 등을 이용하여 전체 구조물의 감쇠행렬을 작성하여 운동 방정식을 구성합니다. 감쇠행렬의 작성방법은 별도로 다루도록 합니다.
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# 4-5 모드별 감쇠
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모드별 감쇠는 각 모드별로 사용자가 직접 감쇠비를 정의하고 정의된 모드별 감쇠비에 따라서 모드별 응답을 계산합니다. 모드별 감쇠는 응답 스펙트럼해석 및 모드중첩법, 직접적분법에 의한 시간이력해석에서 사용가능합니다. 단, 직접적분법에 의한 시간이력해석에 모드별 감쇠를 고려할 경우, 감쇠행렬은 비대칭 행렬이 되므로 모드 중첩법에 비해 계산시간이 과도하게 늘어나는 문제가 발생할 수 있습니다.
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모드별 감쇠의 설정은 Response Spectrum Load Cases 혹은 Time History Load Cases에서 Damping Method를 Modal로 선택하여, Modal Damping Overrides에서 모드별로 감쇠비를 입력합니다. 모드별로 감쇠비를 입력하지 않는 모드의 감쇠비는 Damping Ratio for All Modes로 입력합니다.
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응답스펙트럼해석과 모드중첩법에 의한 해석에서는 구조물의 운동 방정식을 모드별로 분해하여, 각 모드의 운동 방정식에 사용자가 직접 입력한 모드별 감쇠비 $\xi_{s}$ 을 적용하여 해를 구합니다.
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직접적분법에 의한 시간이력해석에서는 입력된 모드별 감쇠비 $\xi_{s}$ 와 고유진동수 $\omega_{s}$ 그리고 모드행렬 등을 이용하여 전체 구조물의 감쇠행렬을 작성하여 운동 방정식을 구성합니다. 감쇠행렬의 작성은 별도로 다루도록 합니다.
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# 4-6 요소별 Rayleigh 감쇠
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요소별 Rayleigh 감쇠는 구조물을 구성하는 특정한 부재 또는 경계부분에 요소별로 다른 감쇠를 적용할 수 있는 기능으로, 구조물에서 감쇠가 서로 다른 재료가 흔재하거나 제진 및 면진장치가 설치되어 있는 경우 등에 사용합니다.
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요소별로 감쇠 특성을 각각 고려할 경우, 감쇠 행렬은 대부분 비비례 감쇠가 되어서 모드 분리가 되지 않습니다. 따라서, 요소별 Rayleigh 감쇠는 감쇠행렬을 직접 작성하는 직접적분법에 의한 시간이력해석시에만 적용가능하며, Time History Load Cases에서 Damping Method를 Element Mass & Stiffness Proportional로 선택하여 설정합니다.
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응답스펙트럼해석 및 모드중첩법을 이용한 해석에서 요소별로 서로 다른 감쇠 특성을 반영하기 위해서는 Group Damping에서 요소그룹 및 경계조건 그룹별로 지정된 감쇠비를 설정하여, 고유치해석을 통해 변형율에너지의 개념에 기초한 모드별 감쇠비를 산정하여 해석을 수행할 필요가 있습니다.
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midas Civil에서 요소별 Rayleigh 감쇠의 설정은, 우선, Group에서 서로 다른 감쇠 특성을 지정할 요소와 경계를 그룹으로 지정합니다. Group Damping의 Damping Ratio for Specified Elements and Boundaries내의 Element Mass & Stiffness Proportional Damping에서 요소그룹 및 경계그룹별로 Mass Coefficient(α)와 Stiffness Coefficient(β)를 지정합니다. 요소그룹 및 경계그룹에 포함되지 않은 부분은 Default Values for Unspecified Elements and Boundaries의 Element Mass & Stiffness Proportional Damping에서 지정합니다.
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요소별 Rayleigh 감쇠는 요소별로 입력된 $\alpha,\beta$ 값을 이용하여 $C=\alpha M+\beta K$ 와 같이 요소의 감쇠행렬을 작성하여 운동 방정식을 구성합니다. 요소별 Rayleigh 감쇠는 Rayleigh감쇠에 기초하므로, 부재 n의 $\alpha_{n},\beta_{n}$ 은 Rayleigh감쇠와 동일하게 계산합니다.
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단, 현재의 midas Civil에서는 Mass Coefficient(α)는 지원되지 않으므로, 요소별 강성비례형 감쇠로 취급됩니다.
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# 4-7 감쇠행렬의 구성
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직접적분법에 의한 시간이력해석에서 감쇠방법을 Modal 혹은 Strain Energy Proportional로 선택한 경우, 감쇠행렬은 Full Matrix 형태가 되며, 입력된 모드별 감쇠비 $\xi_{s}$ 와 고유진동수 $\omega_{i}$ 그리고 모드행렬 등을 이용하여 전체 구조물의 감쇠행렬 작성할 필요가 있습니다.
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전체 구조물의 감쇠행렬은 다음 식으로 구성됩니다.
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$$
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\mathbf {C} = \mathbf {M} \boldsymbol {\Phi} \left[ \begin{array}{c c c} \ddots & & \\ & 2 \xi_ {i} \omega_ {i} & \\ & & \ddots \end{array} \right] \boldsymbol {\Phi} ^ {T} \mathbf {M}
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$$
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여기서 C: 전체구조물의 감쇠행렬
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M: 전체구조물의 질량 행렬
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$\xi_{i}$ 전체구조물의 i-번째 모드 감쇠비
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Φ: 모드 형상
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$\Phi=\left\{\Phi_{1}\quad\Phi_{2}\quad\ldots\quad\Phi_{i}\quad\ldots\quad\Phi_{nf}\right\}\quad nf:$ 사용되는 모드 수
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# 4-8 범용연결요소의 선형감쇠의 고려
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범용연결요소는 제진장치, 면진장치, 압축 또는 인장 전담요소, 소성힌지, 지반스프링 등을 모델링 하는데 사용되는 요소로서 2개의 절점을 연결하는 6개의 스프링으로 구성됩니다. 범용연결요소는 선형점성감쇠를 설정하여 구조물에 부가적으로 설치되는 감쇠기를 모델링 할 수 있습니다.
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범용연결요소의 선형점성감쇠는 Element Type인 경우, Linear Dashpot과 Spring and Linear Dashpot를 선택하여 Linear Properties의 Damping을 통해 설정되며, Force Type인 경우 Linear Properties의 Effective Damping을 통해 설정됩니다.
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범용연결요소의 선형점성감쇠에 관한 상세한 사항은 범용연결요소에서 다루기로 합니다. 여기서는 변형율 에너지에 기초한 모드 감쇠를 고려할 경우 범용연결요소의 선형점성감쇠를 고려하여 모드별 감쇠비를 구하는 방법에 관해서 설명합니다.
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범용연결요소의 선형점성감쇠 Damping 혹은 Effective Damping는 다음과 같이 입력된다고 가정합니다.
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C _ {e f f} = \frac {2 \xi_ {e f f}}{\omega_ {e f f}} K _ {e f f}
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$$
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여기서 $C_{eff}$ : Damping 또는 Effective Damping
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$K_{eff}$ : 범용연결요소의 강성
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$\xi_{eff}$ : 범용연결요소의 감쇠비
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$\omega_{eff}$ : 범용연결요소의 고유진동수
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위 식의 가정에 의해, 범용연결요소의 변형율 에너지의 계산시에 선형점성감쇠를 반영하면 i-번째 모드 감쇠비는 다음과 같이 표현됩니다.
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$$
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\xi_ {i} = \frac {\sum_ {n = 1} ^ {N} E _ {D} (i , n)}{4 \pi \cdot \sum_ {n = 1} ^ {N} E _ {S} (i , n)} = \frac {\sum_ {n = 1} ^ {N} \left(h _ {n} \phi_ {n , i} ^ {T} K _ {n} \phi_ {n , i} + 0 . 5 \omega_ {i} \phi_ {n , i} ^ {T} C _ {\text { eff }} \phi_ {n , i}\right)}{\sum_ {n = 1} ^ {N} \phi_ {n , i} ^ {T} K _ {n} \phi_ {n , i}}
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$$
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위 식으로 계산된 모드별 감쇠비는 응답 스펙트럼해석 및 모드중첩법, 직접적분법에 의한 시간이력해석에서 동일하게 적용됩니다.
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# Chapter 5. 응답스펙트럼 해석
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midas Civil의 응답스펙트럼해석(Response Spectrum Analysis)에서 지반운동이 가해지는 구조물의 동적 평형방정식은 다음과 같습니다.
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[ M ] \ddot {u} (t) + [ C ] \dot {u} (t) + [ K ] u (t) = - [ M ] w _ {g} (t)
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$$
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여기서 [M] : 질량행렬 (Mass Matrix)
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[C] : 감쇠행렬 (Damping Matrix)
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[K] : 강성행렬 (Stiffness Matrix)
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wg $\mathsf { w } _ { \mathfrak { g } }$ : 지반가속도
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이고, u(t)와 u t ( ) , u t ( ) 은 각각 상대변위, 속도, 가속도를 의미합니다.
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응답스펙트럼해석법은 다자유도시스템을 단일자유도시스템의 복합체로 가정하여미리 수치적분 과정을 통해 계산된 임의 주기(또는 진동수) 영역내의 최대응답치에대한 스펙트럼(가속도, 속도, 변위 등)을 이용하여 조합 해석하는 방법으로 설계용스펙트럼을 이용한 내진설계에 주로 활용됩니다.
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응답스펙트럼해석법에서는 임의 모드에서의 최대응답치를 각 모드별로 구한 다음,적정한 조합방법을 이용하여 조합함으로써 최대응답치를 예견하게 됩니다. 예를들어 내진 해석시 임의 모드의 임의 자유도에 대한 변위와 관성력은 식 (1)과 같이 계산됩니다.
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$$
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d _ {x m} = \Gamma_ {m} \varphi_ {x m} S _ {d m}, F _ {x m} = \Gamma_ {m} \varphi_ {x m} S _ {a m} W _ {x} \tag {1}
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$$
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여기서
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$\Gamma _ { \mathsf { m } }$ : m차 모드에서의 모드기여계수
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mx : 임의 x위치에서의 m차 모드벡터
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$\mathsf { S } _ { \mathsf { d m } }$ : m차 주기에서의 Normalized Spectral Displacement
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$\mathsf { S } _ { \mathsf { a m } }$ : m차 주기에서의 Normalized Spectral Acceleration
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${ \sf W } _ { \sf x }$ : 임의 x 위치에서의 질량
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구조해석 프로그램에서 임의 주기치에 대한 Spectral Data가 입력되면 해석된 고유
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midas Civil에서는 모드별 조합과정에서 삭제된 부호를 재생하여 응답스펙트럼해석결과에 반영할 수 있다.
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주기에 해당하는 Spectral Value를 찾기 위해 일반적으로 선형보간법을 사용하기 때문에 Spectral Curve의 변화가 많은 부위에 대해서는 가능한 세분화된 데이터를 사용하는 것이 바람직합니다. (그림 2.5.1 참조) 그리고 Spectral Data의 주기범위는 반드시 고유치해석시 산출된 최소·최대 주기범위를 포함할 수 있도록 입력되어야 합니다. 그리고 midas Civil에서는 내진해석시 사용되는 Spectral Data를 규준에 따른 동적계수, 지반계수, 지역계수, 중요도계수, 반응수정계수 등의 입력으로 쉽게 생성할 수 있어 편리합니다. 반응수정계수 값은 부재 설계시 적용되는 것이 보다 일반적인 방법입니다.
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midas Civil은 전체좌표계 X-Y 평면의 임의의 방향과 Z방향에 대한 응답스펙트럼해석이 가능하며, 모드별 해석결과의 조합(Modal Combination)은 사용자의 선택에 따라 CQC(Complete Quadratic Combination)방법과 SRSS(Square Root of the Sum of the Squares)방법 등을 사용할 수 있습니다.
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각 모드별 응답을 조합하는 방법은 다음과 같습니다.
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\- SRSS (Square Root of the Sum of the Squares
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$$
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R _ {\max} = \left[ R _ {1} ^ {2} + R _ {2} ^ {2} + \dots + R _ {n} ^ {2} \right] ^ {1 / 2} \tag {2}
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$$
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\- ABS (ABsolute Sum)
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$$
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R _ {\max} = \left| R _ {1} \right| + \left| R _ {2} \right| + \dots + \left| R _ {n} \right| \tag {3}
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$$
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– CQC (Complete Quadratic Combination)
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$$
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R _ {\max} = \left[ \sum_ {i = 1} ^ {N} \sum_ {j = 1} ^ {N} R _ {i} \rho_ {i j} R _ {j} \right] ^ {1 / 2} \tag {4}
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$$
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여기서 $\rho_{ij}=\frac{8\xi^{2}(1+r)r^{3/2}}{(1-r^{2})^{2}+4\xi^{2}r(1+r)^{2}}$ ， $r=\frac{\omega_{j}}{\omega_{i}}$
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$R_{max}$ : 최대응답치
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$R_{i}$ : 임의 i차 모드에서의 최대응답치
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r :i번째 모드에 대한 j번째 모드의 고유진동수 비율
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ξ : 감쇠비 (Damping Ratio)
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상기 식 (4)에서 i = j 이면, 감쇠비(ξ)에 관계없이 $\rho_{ij} = 1$ 이 되고, 감쇠비(ξ)가 0인 경우 CQC와 SRSS의 결과가 동일한 값을 가집니다.
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위 방법 중에서 ABS가 가장 큰 조합치를 산출합니다. SRSS는 고유진동수들이 근접한 값을 가질 경우, 조합결과가 과대 또는 과소평가 되는 경향이 있기 때문에 종래에는 SRSS가 주로 사용되었으나 최근에는 모드간 확률적인 상관도를 고려할 수 있도록 고안된 CQC방법의 사용이 늘고 있습니다.
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예를 들어, 감쇠비가 0.05이고 3개의 자유도를 가진 구조물의 고유진동수와 각 모드별 변위가 다음과 같이 계산되었을 경우, SRSS와 CQC의 적용결과를 비교하면 다음과 같습니다.
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-고유진동수
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$$
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\omega_ {1} = 0. 4 6, \omega_ {2} = 0. 5 2, \omega_ {3} = 1. 4 2
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$$
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\- 모드별 최대변위 : $D_{ij}$ (j 고유차수에 대한 i 자유도의 변위성분)
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$$
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D _ {i j} = \left| \begin{array}{c c c} 0. 0 3 6 & 0. 0 1 2 & 0. 0 1 9 \\ - 0. 0 1 2 & 0. 0 4 4 & - 0. 0 0 5 \\ 0. 0 4 9 & 0. 0 0 2 & - 0. 0 1 7 \end{array} \right|
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$$
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\- 각 자유도에 대한 응답치를 SRSS에 의해 구하면
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$$
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R _ {\max} = \left[ R _ {1} ^ {2} + R _ {2} ^ {2} + R _ {3} ^ {2} \right] ^ {1 / 2} = \left\{0. 0 4 2 \quad 0. 0 4 6 \quad 0. 0 5 2 \right\}
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$$
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그리고 CQC를 사용하여 구하면
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$$
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\rho_ {1 2} = \rho_ {2 1} = 0. 3 9 8 5
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$$
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$$
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\rho_ {1 3} = \rho_ {3 1} = 0. 0 0 6 1
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$$
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$$
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\rho_ {2 3} = \rho_ {3 2} = 0. 0 0 8 0
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$$
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$$
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R _ {\max} = \left[ R _ {1} ^ {2} + R _ {2} ^ {2} + R _ {3} ^ {2} + 2 \rho_ {1 2} R _ {1} R _ {2} + 2 \rho_ {1 3} R _ {1} R _ {3} + 2 \rho_ {2 3} R _ {2} R _ {3} \right] ^ {1 / 2}
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$$
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$$
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= \left\{ \begin{array}{c c c} 0. 0 4 6 & 0. 0 4 1 & 0. 0 5 3 \end{array} \right\}
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$$
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상기의 두 가지 결과를 비교해보면 SRSS 방법을 사용할 경우가 CQC에 비해 첫번째 자유도성분에 대해서는 과소평가되고, 두번째 자유도성분에 대해서는 과대평가 되었습니다. 따라서 고유진동수들이 상대적으로 근접한 값을 가질 때 SRSS 방법은 과소 또는 과대평가된 결과를 산출함을 알 수 있습니다.
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<details>
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<summary>line</summary>
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| Period (Sec) | Special Data |
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| T1 | S1 |
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| T2 | S2 |
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| T3 | S3 |
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| T4 | S4 |
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| T5 | S5 |
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| T6 | S6 |
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| T7 | S7 |
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| Tn-1 | Sn-1 |
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| Tn | Sn |
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그림 2.5.1 스펙트럼곡선 및 임의 주기에 대한 스펙트럼데이터의 참조 방법
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# Chapter 6. 시간이력해석
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midas Civil의 시간이력해석(Time History Analysis)에 사용된 동적평형방정식은 다음과 같습니다.
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$$
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[ M ] \ddot {u} (t) + [ C ] \dot {u} (t) + [ K ] u (t) = p (t)
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$$
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여기서 [M] : 질량행렬 (Mass Matrix)
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[C] : 감쇠행렬 (Damping Matrix)
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[K] : 강성행렬 (Stiffness Matrix)
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p(t) : 동적하중
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이고, u(t)와 u t ( ) , u t ( ) 는 각각 변위, 속도, 가속도를 의미합니다.
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시간이력해석은 구조물에 동적하중이 작용할 경우에 동적 평형방정식의 해를 구하는 것으로, 구조물의 동적특성과 가해지는 하중을 사용하여 임의의 시간에 대한구조물 거동(변위, 부재력 등)을 계산하게 됩니다. midas Civil에서는 시간이력해석을 위해 모드중첩법(Modal Superposition Method)과 직접적분법(Direct Integration)을사용하고 있습니다.
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다음은 모드중첩법과 직접적분법에 대한 개략적인 개념과 데이터의 입력시 주의해야 할 사항을 서술합니다.
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